对订单流不平衡的预期带来的市场影响

为此，我们假设Hawkes序流几乎不稳定（它们的核范数接近1），这使得我们能够测量在数据上观察到的持久性属性。3.2.1明显的长记忆众所周知，市场指令的符号呈现长记忆：其自相关函数渐近地表现为指数小于1的幂律，见[31]。回想一下，核φ的傅里叶变换和平稳霍克斯过程（分别由φ和dCov（，h）表示）的长度增量的自相关Cov（，h）的傅里叶变换通过以下方式连接：dCov（z，h）=hu1-Rφ^ghz|1-^φ（z）|，其中^ghzi是ghτ=（1）的四阶变换- |τ|/h）+，见[3]。因此，sincedCov（0，h）=Z∞Cov（τ，h）dτ和zφ=^φ（0），定义长记忆的相关函数积分的完整性，意味着核函数的范数必须等于1。[13]研究了这种“长记忆”霍克斯过程。Cov（τ，h）=E[（Nt+τ+h- Nt+τ）（Nt+h- （新界）]- （E[Nt+h- Nt]）。然而，在[6]、[17]和[22]中进行的估计似乎表明Rφ接近1，但严格低于1（Rφ）~ 0.9). [27]研究了这种几乎不稳定的霍克斯过程，结果表明，它们的不同极限是一个综合的考克斯-英格索尔-罗斯过程。然而，后一项工作假设内核的形状在sensethatRxφ（x）dx<+∞, 这并不符合符号过程的幂律持久性。文献[6]中给出的定性论证和数值模拟表明，对于φ渐近为1/x1+α的几乎不稳定的霍克斯过程，在时间尺度为1/（1）的情况下，应具有明显的长记忆-Rφ）1/α（即所考虑的h增量之间的间隙τ远低于1/（1-Rφ）1/α）。

这与同一篇论文中进行的经验核估计是一致的。为了给出这一说法的正式版本，我们按照[27]中的步骤，考虑一系列重整化的霍克斯过程，这些过程的核范数往往比观察尺度T趋于一致的“快”一个。渐近框架对于每个观察尺度T>0，我们定义了外源强度uT=Cu（1）的固定霍克斯过程- aT）T2α-核φT=aTΦ的1和，其中rΦ=1和（aT）是一个正实数序列，比T趋于完整时趋于1的正实数序列小。此外，我们假设Φ（x）~十、→+∞αcαx1+α，其中c>0和α∈ ]0，[.因为T是观察尺度，我们考虑通过考虑XTt:=ATNTT T，AT=（1）来重新规范化的过程NTT- aT）/（TuT）=1/（T2α）。当然，ATanduTare chosenso认为过程序列的期望和协方差收敛。考虑到时间尺度低于1/（1）的过程-Rφ）1/α意味着观测尺度远小于1/（1）- aT）1/α。它可以用以下方式正式书写：假设5。T（1）- aT）1/α→ 0.ResultLet h>0是固定的，Xt的h增量的协方差表示为：CX，Tτ，h:=Cov[（Xt+τ+h- XTt+τ，（XTt+h）- XTt）]。以下结果成立。定理3.2。在假设5下：CX，Tτ，h→ CXτ，h=K（|τ+h | 2H+|τ）- h | 2H- 2 |τ| 2H），（5）H=1/2+α，K是附录证明中明确给出的常数。该极限函数满足长记忆特性：对于任何h>0，CXτ，h~τ→+∞Chτ1-2α.附录中给出了p形屋顶。备注3.4。方程（5）正好对应于赫斯特指数H的分数布朗运动的相关函数。备注3.5。

[27]对这种“重尾几乎不稳定的霍克斯过程”的更精确行为进行了试探性讨论。在[6]中，时间尺度为1/（1）-Rφ）1/α，Hawkes进程可以表现出明显的长内存可能相当大（10秒）。这表明，将金融秩序流动建模为几乎不稳定的霍克斯过程与它们的经验显著持续性是一致的。3.2.2建模元订单在上述框架中，NAB和NB是匿名市场订单的流程。这相当于从不使用订单且不知道谁使用不同订单的被动代理的角度对市场进行建模。为了计算元订单的影响函数，可以方便地从执行（购买）元订单的人的角度来看市场，请参见[6]。为此，我们认为总订单流量是匿名订单（之前被建模为两个独立的霍克斯流程）和对应于“我们”订单流量的标签订单的总和。更确切地说，在执行一个元序的过程中，我们将我们的序流建模为[0，τ]上强度f的泊松过程PF，τ。因此，总买卖订单流量为Na+PF、τ和Nb。让我们计算一下OUR模型中元序的影响函数。从市场其他部分的角度来看，你的订单和匿名订单之间没有区别。因此，假设我们订单的价格影响与匿名订单的价格影响是一样的，这似乎很自然。因此，根据传播子模型：Pt=P+Rtζ（t- s） （DNA）- dNbs）+Rtζ（t- s） dPF，τs。对于Na和Nb具有相同平均强度的过程，取期望值，我们得到以下结果：命题3.4。在0和τ之间执行的元序的影响函数MI为：MI（t）：=E[Pt- P] =FZt∧τζ（t）- s） ds。

（6） 3.2.3明显的功率定律影响函数在这里，我们认为用于模拟顺序流的霍克斯过程接近临界状态（与经验测量相对应，见第3.2.1节）。我们证明，如果与相关标度1/（1）相比，亚阶τ的长度很小-Rφ）1/α，出现在第3.2.1节中：1<< τ << 1/(1 -Rφ）1/α，则重整化冲击函数接近指数为1的幂律- α.为了正式表达和展示这一陈述，我们考虑与第3节相同的霍克斯过程序列。2.1. 让我们也表示（τT）T元序大小的序列。按照与之前相同的思路，我们正式写道，与相关尺度相比，元序的长度很小，如：假设6。τT→ +∞ 和τT（1）- aT）1/α→ 0.让我们来定义对t的重塑影响∈ [0,1]：RMIT（t）=1-aT（τT）1-αMIT（tτt）。我们得到以下结果：定理3.3。在假设6下，市场冲击是渐近幂律：RMIT（t）→ K′t1-α、 K′=cακvΦ1-α.附录中给出了p形屋顶。当然，重整化常数（1-aT）（τT）α-再次选择1，以便重整化Dimpact函数收敛。这种幂律影响函数接近于经验观察到的“平方根定律”，See[34]。

现在让我们来看看这个影响指数是怎样的- α可以与阶流持续指数γ联系起来。3.2.4方程（1）和f所暗示的冰过程指数之间的联系，或者内核形状接近1且分布尾为1/x1+α的霍克斯阶流，我们已经证明：o阶流的长记忆指数为γ=1- 2α，见定理3.2.o冲击幂律的指数为ν=1- α、 这就是理论。3.因此，我们有：ν=（1+γ）/2。根据数据，γ依赖于股票，似乎在0.2到0.7之间变化，见[11]，在我们的框架中，这意味着ν必须在0.6到0.85之间变化，这相当于经验数据，见[34]。备注3.6。从理论上从其他市场变量中提取影响函数的形状是市场微观结构中的一个重要问题。有人提出了三种主要的解决方法。第一个是考虑投资者和做市商的风险规避，如[18]所述。另一种方法是考虑市场订单流动和价格变化的统计模型，如[6]所示。在这里，我们以某种方式，如[10]、[16]或[37]中所述，在价格上引入了一个鞅条件，它允许我们仅从订单流中暗示冲击函数。让我们注意到，我们得到的冲击函数指数和订单流长记忆指数之间的联系与[6]和[10]中的相同。4结论我们回顾了元订单的永久市场影响为何应该是线性的。利用这种线性以及价格的鞅假设，我们计算了一个影响方程（方程（1）），它允许我们从任何订单流量模型中检索价格动态。我们将其应用于几乎不稳定的霍克斯过程模拟的订单流的例子。

在这个模型中，市场订单的迹象表现出明显的长记忆，我们已经证明，我们可以恢复市场影响的许多程式化事实。特别是，我们计算了幂律影响函数，其指数与市场指令符号的长记忆有关。霍克斯订单流的例子使我们能够推导出关于未来预期量的简单公式。然而，这个模型可能过于简单。考虑更现实的框架，比如[32]中提出的框架，其中订单流实际上是独立订单的叠加，这会很有趣。除了自然解释外，这些有序流模型还设法将元序的大小分布与有序流的长记忆特性联系起来。然而，这种模型在某种程度上要复杂得多，而获得阶流不平衡的封闭式预测公式可能非常复杂。证据。1命题的证明2。1我们按照[19]中的步骤进行：对于所有（v，v，T）>0的情况，我们认为在[0，θT]上，我们以一个比率购买股票，而在[θT，T]上，我们以一个比率v出售股票。我们采用θ=v/（v+v），因此这个策略是一个往返过程。

[19]（等式（4））表明，该策略的成本预期为：E=vf（v）RθTRtG（t）- s） dsdt+vf（v）RTθTRtθTG（t- s） dsdt- vf（v）RTθTRθTG（t- s） dsdtg=G∞+~G与~G=G- G∞:E（v+v）Tvv=G∞（f（v）v- f（v）v）+（v+v）vvvf（v）ZθTZtTG（s）dsdt+vf（v）ZθTZT（t-θ） ~G（s）dsdt- vf（v）ZθTZT tT（t-θ） ~G（s）dsdt.因此，使用Ces`aro引理（适用于G→ 0），我们证明只有第一项不趋向于零，当T趋向于完整时，因此当T变得足够大时，E不严格为负，我们必须有：vf（v）≤ vf（v）。对称地，我们得到：vf（v）=vf（v），因此f必须是线性的。A.2定理的证明3.2Let u s write:θ（x）=Z+∞eiuuxdu for x∈]0,1[和θ（x）=Z+∞eiu- 1uxdu代表x∈]1,2[.通过定义XT，其h增量的协方差与NTbyCX的h增量的协方差相关联，Tτ，h=ATCN，TTτ，th。现在让我们计算XT的h增量的相关函数的傅里叶变换。对于固定的z∈ R*, 我们有^CX，Tz，h=Z+∞-∞CX，Tτ，heizτdτ=ATT^CN，TzT，th.[3]中的定理1得出了^CN，TzT，th=thuT1-aT^gT hzT|1-^φTzT |=thuT1-aTT^ghz|1-^φTzT |内脏=（1-|t|u）+。我们现在陈述以下技术引理。引理A.1。为了z∈ R*^φTzT=aTh1+θ（1+α）αczTα+o（Tα）i.证明。

傅里叶变换写道：^φTzT=Z+∞φT（T）eitzTdt=Z+∞φT（T）dt+Z+∞φT（T）（eitzT）- 1） dt=aT1+T-αZ+∞φ（tuz）（eiu）- 1） T1+αzdu.然而，对于固定u>0，我们关于φimp渐近行为的假设是：φ（tuz）（eiu）- 1） T1+αz→ （eiu）- 1） αcαzαu1+α。此外，由于φ是有界的，因此存在C>0使得|φ（x）|≤Cx1+α和|φ（tuz）（eiu）- 1） T1+αz|≤ zαCu1+α| eiu- 1|.因此，我们可以应用支配收敛定理来获得引理。CX，Tτ，h=E[（XTt+τ+h- XTt+τ）（XTt+h- XTt）]- （E[XTt+h- XTt]）。利用L emma A.1，我们得到^CN，TzT，th=hTuT1-在|θ（1+α）|（cT）2α在^ghz | z | 2αh1+o（1）+oTα（1）- 在）i、 用其表达替换utb会导致→+∞^CX，Tz，h=hCu|θ（1+α）| c2α^ghz | z | 2α。现在让我们为^CX，Tz，h.引理a.2陈述一个支配引理。有一个常数C>0，因此对于所有z∈ R*|^CX，Tz，h|≤ C min（|z |，1）（1+z2α）。证据我们首先注意到存在c>0和c>0，例如| ghz |≤ cmin（|z |，1）和| 1-^φTzT|≥ cmin(zTα, 1).如果我们现在将这些不等式与[3]的定理1和XT的定义一起使用，我们得到| CX，Tz，h |≤hCuT-2αcmin(zTα、 1）C分钟（|z |，1），结束p屋顶。傅里叶变换的反演公式为x，Tt，h=2πZ+∞-∞^CX，Tz，他-伊兹。多亏了前面的引理，我们可以使用支配收敛定理，当t趋向于一个dCXt，h:=limT时，得到固定t，CX，Tt，hh的极限→+∞CX，Tt，h=2πZ+∞-∞hCu|θ（1+α）| c2α^ghz | z | 2αe-伊兹。我们现在陈述下面的引理，它由变量的简单变化给出。引理A.3。傅里叶变换为| z的函数|-2αis2Reθ (1-2α)|t | 1-2α.因此，如果我们设置K=hCu2Reθ (1-2α)|θ（1+α）| c2αα，然后是函数t7→ Kght*|t | 1-2α与CXt、hand-thuslimT具有相同的傅里叶变换→+∞CX，Tt，h=Kght*|t | 1-2α.

（7） 计算卷积结束了证明：limT→+∞CX，Tt，h=K（|t+h | 2H+|t- h | 2H- 2 | t | 2H）w，H=1/2+α。A.3命题3.2的证明从方程（1）开始：Pt=P+κv lims→+∞E[Nas- 国家统计局|英尺]。我们重新定义了Na/bs=Ma/bs+Rsλa/bdu，这意味着：Pt=P+κv lims→+∞E[Mas- Mbs+Ztλau- λbudu+Zstλau- λbudu | Ft]。我们使用命题3。1替换λa/带，我们得到：Pt=P+κv lims→+∞E[Mas- Mbs+Ztλau- λbudu+zsziψ（u）- x） （dMax- dMbx）du | Ft]。使用这个Ma/bis是一个鞅，它是：dMx=dNx- λxdx=dNx- （u+Rtφ（x- r） dNr）dx，我们得到：Pt=P+κv[Nat- Nbt+Z+∞tZtψ（u）- x） （dNax）- dNbx）du+Z+∞tZtψ（u）- x） Zxφ（x）- r） （德纳尔）- dNbr）dxdu]。对上一个方程中的积分进行反演，我们得到：Nat- Nbt=Zt（脱氧核糖核酸）- dNbs）和∞tZtψ（u）- x） （dNax）- dNbx）du=ZtZ∞tψ（u）- x） 杜（dNax）- dNbx）=ZtZ∞T-sψ（u′）du′（dNas）- dNbs）。莫罗维兹∞tZtψ（u）- x） Zxφ（x）- r） （德纳尔）- dNbr）dxdu=ZtZ∞tZtrψ（u）- x） φ（x）- r） dxdu（dNar）- dNbr）=ZtZ∞T-sZt-sψ（u′）- x′）φ（x′）dx′du′（脱氧核糖核酸）- dNbs），其中我们对变量进行了更改：u′=u- r和x′=x- r、 在前面的等式中替换这三个项，证明就结束了：Pt=P+κvhZt（1+Z）+∞T-sψ（u）du-Z+∞T-sZt-sψ（u）- x） φ（x）dxdu）（脱氧核糖核酸- dNbs）i.A.4定理3.3的证明我们从冲击方程（6）开始，应用于我们的渐近解：RMIT（t）=F1- aT（τT）1-αZtτTζT（s）ds=F1- aT（τT）1-αZtκvτT（1- aT）（τT）αh（1）- aT）（τT）α+Z+∞sτTφT（x）dx（τT）αids→ κvFZtcαs1-αds=cακvΦ1- αt1-α.利用（1）的d-支配收敛定理- aT）（τT）α→ 0安德烈+∞sτTφT（x）dx~cα/（τTs）α证据结束了。参考文献[1]Y.Ait-Sahalia、J.Cacho Diaz和R.J.Laeen。使用相互刺激的跳跃过程对金融传染进行建模。技术报告，国家经济研究局，2010年。[2] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[3] E.Bacry、K.Dayri和J.-F.Muzy。symmetricHawkes过程的非参数核估计。

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