对订单流不平衡的预期带来的市场影响

体积V的亚阶的永久影响在其体积中是线性的：P MI（V）=G∞千伏。因此，在一个相当普遍的模型中，元序的永久影响必须是线性的。然而，让我们指出，前面的论点假设，即使是在没有信息的情况下执行订单的交易者，也会对价格产生永久性的影响。因此，如引言所述，冲击必须是机械的。这可能看起来不现实，但实际上可以理解为资产管理人对持有大量资产头寸的厌恶。在下一段中，我们将介绍一个简单的投资者模型，该模型解释了即使是不知情的元指令也会如何影响差异价格。2.2玩具投资者模型经典观点是认为使用元指令的投资者比其他市场参与者更了解价格走势，例如[29]。然而，这是基于“信息价格”的经济学概念，而实证研究似乎表明，价格波动的主要驱动力不是信息，见[36]，而是数量，见[10]。事实上，在[36]中，希勒认为：“股票价格指数的变动实际上可以归因于任何客观的新信息，因为指数的变动相对于股息的实际后续变动“太大”。在本节中，我们考虑投资者模型的一个简单示例，它实际上是CAPM模型的一个特例（参见示例[35]）。该模型使我们能够说明非信息元订单如何对价格产生长期的机械影响。

这种影响源于资产管理人的风险厌恶（即他们不愿意持有一项资产的大额头寸），而不是信息不对称。在[19]中，价格操纵是平均成本为负的往返。在我们的市场上，我们是投资者。代理人之间有固定数量的股份，我们称其为P。每个投资者（Ii）i=1。。。假设股票收益率的分布有一个平均Ei和一个方差∑iand选择其投资组合中的股票数量Ni，并用风险规避λi:Ni=argmaxx{x（Ei）优化均值-方差标准- P）- λix∑i}=Ei- P2λi∑i。此外，nXi=1Ni=N，这给出了投资者的差异价格P:P=nXi=1Ei2λi∑i- NnXi=12λi∑i。现在让u s假设股份总数为N- 由于某些非优化代理的行为，需要购买一些股票（例如，出于现金流原因）。新的差异价格isP+=P+NnXi=12λi∑i=P+kN。这意味着，在这个框架中，元订单对其大小呈线性的差异价格有影响。因此，我们（无可否认地以一种相当天真的方式）说明了这一点贸易的影响可能并不取决于其信息量。备注2.5。让我们再次强调，与[16]和[29]相比，在我们的框架中，订单的影响纯粹是由于其数量，而不是任何外部信息。因此，所有交易者都是等价的，没有噪音交易者。特别是，个体交易应被视为小型元订单。2.3影响动态我们已经证明，合理的考虑是，市场参与者执行的每个元订单都会对价格产生长期影响，而价格的大小是线性的。在这里，我们假设价格为鞅性质。

我们使用这些假设来获得一个联系订单流量动态和价格过程的一般影响方程。让我们用[0，S]来表示元指令执行的时间（我可以把它看作交易日），用VAT和VBT来表示截至时间t的市场指令在询价和报价时的累积量∈ [0，S]。我们考虑以下假设。假设1。元订单仅通过市场订单执行，市场订单仅用于执行元订单。因此，买入（或卖出）市场订单VaS（或VbS）的每日累计交易量等于当日NaSbuy（或NbSsell）元订单VaS=NaSXi=1vai的交易量之和，其中VAI是当日ithbuy元订单的交易量。备注2.6。假设1是为了简单起见而使用的，实际上可以弱化为[28]中的假设1，即每日买入（或卖出）市场订单的累积量与当日纳斯宝（或NbSsell）元订单量之和成比例（且不一定相等）：VaS=χNaSXi=1vai，其中χ可以理解为“市场中介水平”。在下文中，我们将取χ=2。为了验证想法，我们假设在一天的开始和结束时，有价格用P表示的变化-然后我们对长期市场影响的线性假设如下。假设2。P+Sis平均等于公开拍卖的价格P-加上一天的元订单的影响，其量呈线性：P+S=P-+ κ（NaSXi=1vai）-NbSXi=1vbi）+ZS=P-+ κ（VaS）- VbS）+ZS，其中κi是一个正常数，Z是鞅随机游动。最后，我们考虑以下假设。假设3。

价格P是一个鞅。假设3意味着pt=E[P+S | Ft]=P-+ E[κ（VaS- VbS）|Ft]+E[ZS |Ft]，其中fti是时间t时市场参与者的信息集。噪音术语E[ZS |Ft]对应于由除交易量以外的其他因素引起的价格变动（例如公共公告）。为了简单起见，我们考虑zs=0和thusPt=P-+ E[κ（VaS- VbS）|英尺]。现在，让我们将买卖市场订单流程扩展到R+（直到现在，它们都是在交易日[0，S]定义的），并假设这些流程满足以下技术假设。假设4。数量E[Vas]- 当s趋于一致时，Vbs | Ft]会收敛到某个有限的极限。这一假设可以这样理解：FTA不提供任何关于订单流量不平衡的信息，订单流量不平衡将在时间t′发生>> t、 实际上，在这个假设下，对于所有h>0，E[（Vas+h- Vbs+h）- （瓦斯）- Vbs）|英尺]→s→+∞0.因此，s和s+h之间的订单流量不平衡在时间t是渐近（s）不可预测的。例如，在下一节中，我们将假设市场订单流量是满足该假设的Hawkes过程。在该假设下，如果s与函数7的特征收敛标度相比足够大，我们有→ E[Vas- Vbs | Ft]，在计算价格Pt时，可以将S视为单位。这暗示了本文的主要结果。定理2.1。假设1,2,3和4Pt=P+κlims→+∞E[Vas- Vbs |英尺]。（1） 备注2.7。为了更好地理解这些想法，我们假设元顺序在一天结束时停止。然而，一些元指令会持续几天（甚至几周）。

因此，S不应被视为一天的结束，而应被视为一段时间的结束，这段时间与元指令的执行相比非常大。从方程（1）和序流动力学的任何例子中，我们可以得出一个满足以下性质的价格过程：o即使序流表现出持续性，价格也是鞅元秩序的永久影响在其大小上是线性的，与执行无关价格过程仅取决于全球市场订单流，而不取决于元订单的个别执行。因此，我们不需要假设市场“看到”了元订单的执行，因为它通常是不存在的（参见示例[16]）。方程（1）可以被视为[21]和[33]中“冲击与创新的顺序成正比”这一假设的严格且独立于模型的推广。事实上，在我们的模型中，市场订单会改变价格，因为它们改变了市场庄家对订单流未来的预期。此外，考虑到如等式（1）中所示，价格变动会导致“订单流量意外”（即预期累计订单流量不平衡的变化），这是解决以下明显“悖论”的一般方法（这是对影响模型的挑战）：订单流量是持续的，而价格是鞅。从实证角度来看，我们的框架得到了[25]的支持，其中表明一些套利者（通常是高频交易者）的交易会预测其他投资者的订单流量。因此，套利者在交易中转移价格，直到不再值得这样做；直到价格正确预测未来订单流量失衡。在下一节中，我们将给出一个实际订单流量动态的例子，并计算相关的价格过程。

我们将看到，亚序的永久冲击线性与观察到的凹幂律冲击函数并不矛盾。3适用于霍克斯订单流量示例我们现在想将方程式（1）应用于市场订单流量动态的合理示例。更准确地说，我们将买卖市场订单流建模为两个独立（几乎不稳定）的平稳霍克斯过程，它们以某种方式再现了市场订单信号的持续性。将方程（1）应用于这些过程，我们建立了一个简单的p rice模型，该模型与[11]中的传播者模型非常相似。3.1单个市场订单的影响在霍克斯订单流量假设下推导独立市场订单的影响之前，我们需要引入霍克斯过程和传播者模型。3.1.1霍克斯工艺[23]介绍了霍克斯工艺。它们最近被应用于许多金融领域，见导言中的参考文献。例如，他们被用来研究[5]中的滴答价格和[6]中的订单流量。我们将买卖市场订单的到达时间建模为两个独立霍克斯过程的跳跃时间。备注3.1。我们认为所有的市场订单都具有相同的体积v。根据定义，霍克斯过程N是一个自激点过程，其强度λ在时间t上与过去呈线性变化，见[23]：λt=u+Ztφ（t- s） dNs，其中u是一个正常数，φ是R+上支持的一个正函数，它满足s稳定性条件：Z+∞φ（s）ds<1。我们将使用霍克斯过程的一个很好的性质来计算冰动力学，如下所示，见[4]：命题3.1。

T≥ 0：λt=u+uZtψ（t- s） ds+Ztψ（t）- s） dMs，其中ψ=P+∞k=1φ*k、 φ*K为φ与dMt=dNt的kthcovolution乘积- λtdt。因此，因为M是鞅，ψ在R+上有支撑，所以0≤ s、 r≤ t、 E[Nt- Ns | Fr]=ZtsE[λu | Fr]段德[λu | Fr]=u+uZuψ（u- x） dx+Zrψ（u）- x） DmX该公式允许我们计算订单流量的预期值，并将非常有用地应用于霍克斯上下文中的等式（1）。Hawkes过程是Poisson过程的自然延伸，可用于模拟同侧交易的经验聚类。更准确地说，我们将在后面展示霍克斯订单流几乎可以重现市场订单流的经验长记忆。3.1.2传播模型在[11]中，顺序流被建模为FARIMA过程，能够获得实践中观察到的该流的长记忆特性。为了获得不同的价格，作者提出了一种价格影响模型，称为prop-agator模型，其中市场订单的影响不取决于订单流动的过去，而是短暂的（其永久市场影响为零）。基本上如[20]所述，该模型可以通过以下方式扩展到连续时间：定义3.1。连续时间传播者模型是一种影响模型，其中价格过程P i与市场订单的累计签署量V=Va相关联- Vbby:Pt=P+Ztζ（t- s） 其中ζ是衰变核。备注3.2。这个模型和[20]的模型有一点不同：在[20]中，V是给定交易者的交易率，而这里是所有市场的订单流量。3.1.3价格动态计算从现在起，我们将买卖市场订单的到达建模为两个独立的Hawkes过程Na和Nb的点，具有相同的核φ和外生强度u。我们还假设每个市场订单的数量是恒定的，等于命题3.2。

在H awkes订单流量模型中，假设价格和数量满足动力学方程（1），那么价格过程遵循传播子模型：Pt=P+Ztζ（t- s） （DNA）- dNbs，（2）与ζ（t）=κv（1+R）+∞tψ（u）-Rtψ（u）- s） φ（s）dsdu）。附录中给出了p形屋顶。让我们注意到，内核中的th并不趋向于0，因为它会产生永久性的影响。我们的传播子核ζ补偿了Hawkes核φ隐含的阶流相关性，以恢复鞅价格。3.1.4传播子模型的性质在本段中，我们将自己置于一个总体框架中，其中包括建议3的结果。2，并将其推广到临界Hawkes序流（rφ=1，见[13]前文）。我们证明了在ζ和dφ的简单条件下，连续时间传播子价格模型与Hawkesorder流相结合可以得到鞅价格。然后我们使用这个条件来获得ζ的更好表达式。实际上，如果：o买卖市场订单流是两个独立的Hawkes过程，内核φ：λa/b=u+Rtφ（t- s） dNa/bs.o价格过程遵循传播子模型：Pt=P+Rtζ（t- s） （DNA）- dNbs）。然后，o如果t中没有交易，则t中的价格是可微分的，导数ep′t=Ztζ′（t- s） （DNA）- dNbs）。o如果e是t中的买入交易（发生时强度λat=u+Rtφ（t- s） DNA），价格从ζ（0）向上跳跃如果在t中存在卖出交易（发生时强度λbt=u+Rtφ（t- s） dNbs），价格从ζ（0）向下跳。因此，林→0E[Pt+h | Ft]- Pth=ζ（0）Ztφ（t- s） （DNA）- dNbs）+Ztζ′（t）- s） （DNA）- dNbs）。因此，我们得到以下结果：命题3.3。在上面定义的框架中，如果价格是鞅，那么：ζ′（x）=-ζ（0）φ（x）。（3） 给定f函数ζ，我们可以计算满足（3）的唯一φζ。相反，给定一个φ和ζ（0）（或其他任何地方的ζ），我们可以计算满足（3）的唯一ζφ。备注3.3。

让我们强调一下，在本段的总体框架中，霍克斯顺序流可能是关键的（Rφ=1）。此外，霍克斯过程的关键性相当于市场秩序影响的短暂性：limx→+∞ζ（x）=0<=>Zφ=1。在这种关键情况下，假设4并不令人满意。因此，我们不在方程式（1）的框架内。回到命题3的框架。2（其中φ<1），因为我们的价格是有条件地基于Ft的预期，它是通过构造一个鞅，因此，隐含的ζ必须满足（3）。事实上，我们有：ζ′（t）=κv[-ψ（t）+Ztψ（t）- s） φ（s）ds-Z+∞tψ（u）- t） φ（t）dy]=κv[-ψ（t）+ψ* φ（t）- φ（t）|ψ|]=-κv（|ψ|+1）φ（t）自ψ* φ = ψ - φ，因此ζ′（t）=-ζ（0）φ（t）。定理3.1。在命题3的设置中。我们可以得到ζ的另一个表达式：ζ（x）=ζ（0）（1）-Zxφ（s）ds）=κv1-Rφ（（1）-Zφ）+Z+∞xφ（s）ds）。（4） 订单的临时和永久影响之间的比率满足ζ/ζ（0）=1-Zφ。因此，当nrφ接近于ds对应于明显的长记忆渐近时，暂时冲击比永久冲击大得多。这是因为在这个渐近过程中，一个市场订单平均“生成”大量市场订单，见下一段。Hawkes过程的集群表示在这一段中，我们回顾了Hawkes过程的分支结构，这将允许我们根据市场影响来解释φ。让我们定义一个人口模型（见[13]的介绍）：在时间零点，没有个体。一些个体（移民）以强度为u的均匀泊松过程到达。如果移民在时间s到达，其子女的出生日期将形成强度φ（）的泊松过程。- s） ，rφ<1。同样地，如果一个孩子出生在s′，那么他的孩子的出生日期形成了强度φ（）的泊松过程。- s′）。

我们称之为λt的个数- s） dNs，因此，N是一个霍克斯过程。如果我们现在将一个集群命名为来自同一移民的所有个体的集合，那么aHawkes过程就是一个速率为u的独立集群的叠加。这是霍克斯过程的泊松聚类表示，见[24]。霍克斯过程将“个体”替换为“市场秩序”，将“集群”替换为“元秩序”，可以将其视为元秩序独立执行的叠加。在这种解释中，一个元序的平均大小是1/（1）-Rφ）。因此，当nrφ接近1时，一个元订单是大量市场订单的平均值。因此，参数φ可被视为市场内生性的程度，最近已成为许多研究的主题，见[17]、[22]和[27]。3.2元指令的影响在本段中，我们研究了一大组交易的影响，我们将其视为渐进框架中的元指令。