欧洲股市有效吗？分形的新证据

后一个值与ARFIMA的平均估计赫斯特指数（0,0,0）之间的标准差小于一个。因此，预过滤降低了长期依赖性测试的能力。同样，对于d=0.12，在评估RRA区分短期和长期依赖性的能力时，雅各布森（1996）考虑了ρ=0.268，-0.230和d=0.10,0.20,0.30。对于发达股票市场中的对数收益率序列而言，这些选择的ρ值在绝对值上似乎不太大。ρ=0.20，未过滤序列的平均估计赫斯特指数isH^=0.7249，而预过滤序列的平均估计赫斯特指数为0.6300。【此处插入表1】3方法和数据在本文中，我们使用重标极差分析（RRA）来估计赫斯特指数，并评估八种股票市场指数的长期依赖程度。第3.1节描述了估算方法。第3.2节报告了八个市场指数的回报率系列的描述性统计数据。3.1方法学RRA基于对时间序列累积偏差的平均重新标度范围的检查，该时间序列在多个子周期内的平均值。标度范围统计，表示为（R/S）n，特定于时间标度n，相当于每个子周期中包含的每日收益观测数。为了获得（R/S）nas n变化的标度行为的指示，将（R/S）nis构造为与nH成比例变化。设N表示序列zt中的观测总数，其中zt表示在预过滤或未过滤的日志返回序列的情况下，拟合到日志返回序列的AR（p）模型的残差。

从第一次观测开始，将标记为M=1，。。。，M、 每个都包含n个观测值，因此nmnnn. 对于m亚周期内的观测，ztare的平均值和标准偏差：AR模型的滞后数p等于偏自相关函数（PACF）在5%时具有统计显著性的滞后数。只考虑到第十个滞后。mnnmttmzn1）1（1(4)MNNMTMZNS1）1（21）(（5） forMm，。。。，1..次周期m中溴镁的累积偏差为：tnmsmstzx1）1（）(（6） 其中1，。。。，1)1(  mnnmt和0nmx。子周期m的范围定义为子周期m内观测值XT的最大值和最小值之间的差值：Rm=maxtm（xt）-薄荷m（xt）（7）通常，N不是N的倍数。如果Mn<N，则在观察期结束时的L=N–nM观察值在上述程序中未使用。为了避免放弃这些观察，从第1次观察（而不是第一次观察）开始重复该过程。获得第二组M个Rmand SMI计算值，其中M=M+1，。。。，200万。如果Mn=N，对于m=1，。。。，对于M=M+1，…，M与Rmand相同，。。。，200万。（R/S）nstatistic是m=1，…，的重定标范围值的平均值，。。。，2米MmmmnSRMSR211）/（）2（）/（（8）最后，可以通过检查幂律关系（R/S）n~nH来研究（R/S）NCA的标度行为，其中H是赫斯特指数。

在获得多个时间尺度n的（R/S）值后，可以通过运行普通最小二乘（OLS）回归ln[（R/S）n]=ln（c）+H ln（n）+ηn（9）来估计H，其中η是一个扰动项。如上所述，无论对数收益序列的随机成分是否为高斯分布，RRA都能够识别长期相关性（Mandelbrot和Taqqu，1979）。之前的几项研究指出，在有限样本中应用RRA会产生H的向上偏差估计值（Feller，1951年；Anis和Lloyd，1976年；Peters，1994年；Qian和Rasheed，2004年；Norouzzadeh和Jafari，2005年）。继Orian和Goddard（2009）之后，使用蒙特卡罗模拟来检验指数对数收益序列的估计德赫斯特指数是否与EMH下的预期值存在显著差异。该程序涉及生成5000个包含随机正常创新的模拟返回序列。计算每个模拟序列的RRA，并获得估计H的采样分布。表2检查了基于RRA估计器的0.05显著性水平下H:H=0.5和H:H>0.5测试的幂函数，并与基于Mandelbrot、Calvet和Fisher（1997）开发的标度函数方法的测试进行了比较，当真实生成过程为ARFIMA（0，d，0）且d=H–0.5时。我们考虑的样本量为T=1000、2000、5000、10000。通常，基于RRA的测试比基于缩放函数的测试具有更高的功率。

这些结果为我们选择基于RRA的测试提供了理由。[在此插入表2]3.2数据和描述性统计根据汤姆森分析公司提供的1995年8月31日至2005年8月30日期间的收盘价格，计算八种股票市场指数的每日日志收益。其中六个股票市场位于西欧：Mibtel（米兰）、CDAX（法兰克福）、FTSE 350（伦敦）、阿姆斯特丹S.E.all share（此后为ASE）、马德里S.E.all share（MSE）、瑞士市场指数（SWX、苏黎世）。作为比较，我们还研究了东欧国家的指数PX-Glob（布拉格）和美国股票市场的指数道琼斯工业平均指数（纽约证券交易所，此后简称DJIA）。在调查期间，捷克共和国正处于经济转型期，其股票市场相对不发达。美国股市被广泛认为是全球最有效的股市。由于市场发展、市场效率和回报的长期依赖程度之间存在着正相关关系，我们预计PX Glob将表现出长期依赖性，而THDJA不应表现出长期依赖性。对于六个西欧国家，我们预计要么没有长期依赖，要么有适度的长期依赖（H略高于0.5，或者d略高于0）。作为发展中股票市场依赖程度的第一个指标，PX Glob的一阶自相关系数为0.1176，远大于其他六个欧洲股票市场（对于DAX，ρ的范围为-0.0026，对于SWX，ρ的范围为0.0351）。

DJIA的一阶自相关系数仅为0.0106，1到10之间的滞后的PACF从不显著。表3报告了四个时间尺度的日志返回序列的描述性统计数据：每日、每周、每月和季度。四个系列的总观测值分别为2608522、120和40。表3所示的描述性统计数据与对数收益分布的前四个中心矩有关：均值、标准差、偏度和峰度。[在此插入表3]关于捷克共和国整个1990年代经济改革的报告，见经合组织（2001年）。由于PX-Glob在1995年8月31日至2005年8月30日期间的观测缺失，我们将PX-Glob的采样期延长至2006年2月1日。与所有其他国家一样，这一扩展使我们能够获得2608次返回观测。给定n个包含每个时间标度的交易日数，对于每日收益率，n=1。对于其他时间尺度，n和分析中使用的实际时间尺度之间没有精确的对应关系，因为交易日的数量可能会根据周、月或季度而变化。在大多数情况下，偏度是负的。对于每日频率，歪斜程度最高（绝对值）的指数是PX Glob，对于每日频率，歪斜程度最低的指数是SWX。这些结果可能表明，与发达市场相比，发达市场更可能出现巨大的负回报（市场崩溃）。随着时间尺度的增加，对数收益序列的分布似乎不再变得更加对称。季度数据偏离正态性与所谓的“总体正态性”现象相反（Cont，2001）。

长时间尺度上的负偏态表明，负的日收益率往往会聚集在一起，使得大的累积损失比大的累积收益更有可能发生。负偏态意味着大损失比大收益更有可能。在其他条件相同的情况下，负偏态应该鼓励投资者要求比偏态为零时更高的预期回报。日频率峰度最高的指数是DJIA，日频率峰度最低的指数是PX Glob。这些结果可能表明，在发达市场，信息流动更快，新闻迅速融入价格，导致每日价格大幅波动。随着时间尺度的增加，对数收益序列的分布似乎变得不那么轻薄（尽管对于FTSE 350而言，季度对数收益比月度对数收益更轻薄）。瘦肉型荨麻疹意味着两种症状的极端回归比正态分布更可能出现。在其他条件相同的情况下，当分布为细库尔特分布时，投资者应要求比中库尔特分布（其中库尔特分布为三）更高的预期回报。假设总体方差是有限的，中心极限定理（CLT）确保独立随机变量的总和随着变量数量的增加而收敛到正态分布，而不管每个随机变量的分布如何。然而，如果总体方差为无穷大，CLT则不成立。在这种情况下，IID变量之和收敛到一个稳定的帕累托分布（Levy，1925），其特征指数等于单个随机变量的指数。

独立的稳定帕累托变量满足“加法下的稳定性”的性质，这是中心极限定理（CLT）的推广。换句话说，稳定的帕累托分布能够解释具有独立非正态增量的时间序列的自相似性。如果logreturns收敛到具有无穷方差的稳定帕累托分布，那么许多与有效市场假说有关的概念都是无效的。为了调查一旦消除了时间依赖性，日志返回序列是否符合CLT，对日志返回序列的替代项重复上述步骤，其中观察的顺序是随机的。表4报告了四个时间尺度（每日、每周、每月和季度）的日志返回序列的混合替代项的描述性统计。很少有证据表明长时间存在肺结核。对于PX Glob，对于季度时间尺度，峰度低于正态分布（柏拉图峰度）。与表3中报告的结果相比，长时间尺度下的偏度也更小。在洗牌序列中，长时间尺度的负向性降低支持长时间尺度的负向性可能是由于负日收益的聚集。这些结果与CLT一致。4结果对时间标度参数n的40个值进行了重新标度范围分析（RRA），定义为将ln（n）从最小值ln（n）=1.6（n=5）增加到最大值ln（n）=5.7（n=299）。对于ln（n）的每个值，n通过将[ln（n）]四舍五入到最接近的整数来获得。

在（1.6,5.7）范围内的42个ln（n）值中有两个被丢弃，因为e[ln（n）]和e[ln（n–0.1）]的整数值是相同的。将每个指标的theRRA结果与通过蒙特卡罗模拟获得的临界值进行比较。为了调查当收益仅在小或大的时间尺度上测量时，是否存在偏离RWH（由于其持续性或反持续性）的统计证据，通过拟合样条函数，允许估计的赫斯特指数发生变化，重复等式（9）的估计和蒙特卡罗模拟。表5和表6分别报告了过滤和未过滤日志返回的RRA估计结果。H是对数返回序列的估计赫斯特指数。HSis是时间尺度5的估计赫斯特指数≤ N≤ 40.HL是时间尺度的估计赫斯特指数40≤  N≤  299.对于蒙特卡罗模拟，我们报告了5000次重复的平均估计赫斯特指数，以及0.005、0.025、0.005、0.950、0.975和0.995分位数。表5表明，对于预过滤的日志返回序列，Hurst指数在时间尺度2995上进行了估计 在除DJIA外的所有情况下，nare均高于从5000次蒙特卡罗模拟中获得的平均H（μH=0.572）。然而，这些值均未超过0.1显著性水平下的临界值，但PX Glob除外，其H超过0.01显著性水平下的临界值。因此，双尾检验未能拒绝H=0.5的零假设（在所有时间尺度上，对数回报在时间上是独立的），而支持备选方案H≠ 0.5（在所有时间尺度上的长期依赖性），除PX Glob外的任何指数。

由于美国股市被认为是最有效率的，而捷克股市应该相对欠发达和低效，我们的结果表明，长期依赖的程度是正确的。5个人≤ N≤ 40，估计的赫斯特指数小于（对于CDAX和SWX）、大于（对于FTSE 350、ASE和PX Glob）或等于（对于Mibtel和MSE）从蒙特卡罗模拟获得的平均赫斯特指数（μH=0.606）。然而，与之前一样，除了PX Glob外，这些值都不高于0.1显著性水平的临界值。同样，40岁≤  N≤  299指数的估计赫斯特指数既不小于也不大于所有指数的临界值，但PXGlob除外，该指数在0.05显著性水平上超过了临界值。然而，除DJIA外，所有指数的估计赫斯特指数均大于通过蒙特卡罗模拟（μH=0.540）获得的平均赫斯特指数。[在此插入表5]表6报告了未过滤日志返回序列的结果。FTSE 350的估计赫斯特指数低于μH，并且低于预过滤的同一系列的估计赫斯特指数。在这种情况下，预滤波消除了滞后3、5、6和10的显著负相关性。有趣的是，在这种情况下，预滤波可能会增加长程依赖性的虚假检测概率，这与公认的观点相反（例如，见Lo，1991）。对于Mibtel，在0.05显著性水平下，估计的His显著大于0.5。

因此，有证据表明存在长程依赖性，这在使用预过滤对数返回序列估计赫斯特指数时并不明显。与表5所示结果一致，在0.01显著性水平下，PX Glob的估计HF显著大于0.5。5个人≤ N≤ 40，对于除Mibtel和PX Glob之外的所有指数，未过滤日志的hs返回序列低于预过滤序列的hs，这表明预过滤可能会增加长程相关性虚假检测的几率。对于Mibtel和PX Glob，未过滤系列的Hs高于过滤系列。40美元≤ N≤ 299，获得了Mibtel和PX Glob的长程相关性证据。在Mibtel的0.1显著性水平和PX Glob的0.01显著性水平下，估算的HL不同于0.5。对大时间尺度零假设的否定表明，长程依赖的检测不是虚假的，也不是由短程依赖的存在驱动的。对于富时350指数，与5年的结果相同≤ N≤ 299，未过滤系列的H估计值低于预过滤系列的H估计值。和以前一样，预过滤可能会增加而不是降低在不存在长程依赖时检测到长程依赖的概率。[在此插入表6]总结，对于CDAX、FTSE 350、ASE、MSE、SWX、thePX Glob和DJIA，过滤系列的结果与未过滤系列的结果一致，而对于Mibtel，长期相关性测试受预过滤程序的影响。