模糊厌恶下的寿命破产概率最小化

我们有hd（Q | P）=EQ-Zτdθsds+ZτdθsdBs= 情商-Zτdθsds+Zτdθs（dBQs+θsds）= 情商Zτdθsds= 情商Z∞E-λsθsds< ∞.备注2.1。我们还可以计算相对熵过程ht（Q | P）：=h（Qt | Pt）=EQhRtθsdsi。观察EQ[hτd（Q | P）]=EQZ∞λe-λtht（Q | P）dt= 情商Z∞λe-λtZtθsdt= 情商Z∞θsZ∞sλe-λtds= 情商Z∞E-λsθsds= hd（Q | P）。所以我们也可以认为HDA惩罚了死亡时的预期相对熵。将hd（Q | P）的表达式替换为（2.1）并使用τd的d分布，我们将值函数改写为：定义2.1（稳健值函数）。ψ（w；ε）=infπ∈AsupQ∈QEQwZ∞E-λsλ1{τb<s}-2εθsds其中W具有Q-动力学（2.3）。用ψ表示非稳健值函数，用p表示当enλ=0时的稳健值函数，即当个体永不死亡时。ψ有明确的公式（见[42]）：ψ（w）=1，w≤ BC-rwc-rbd、 b≤ W≤ c/r；0，w≥ c/r；（2.4）反馈形式的最优投资策略由π（w）=u给出- rσc- rw（d）- 1） rfor w∈ （b，ws），其中d=2rh（r+λ+r）+p（r+λ+r）- 4rλi>1，R=u - rσ. （2.5）在本文中，d和R将保留用于上述常数。稍后我们还将为p提供一个显式公式。现在，我们做一个简单的观察：0≤ ψ≤ ψ ≤ P≤ 1，（2.6）其中第二个不等式成立，因为P∈ 所以ψ=infπ∈APw（τb<τd）≤ infπ∈AsupQ∈QQw（τb<τd）-εhd（Q | P）= ψ、 第三个不等式成立是因为死亡前破产的可能性不比死亡前破产的可能性大，而最后一个不等式成立是因为我们正在优化一个实际概率减去一个非负惩罚。这意味着我们可以将鲁棒最优值视为保守破产概率。惩罚机制只会对破产概率造成微小的扭曲，而且永远不会使其为负，因为只有相对熵较小的度量是相关的，即。

有可能比参考标准差。ψ（w；ε）的定义意味着它在ε中不是递减的，因为随着ε变大，惩罚变小。在本文的其余部分，我们将压制ε的论点，但我们不需要强调ε依赖性。极限为ε↓ 0给出了函数ψ的非稳健值。极限为ε→ ∞ 给出了最坏情况下的值函数：ψ∞（w） ：=infπ∈AsupQ∈QQw（τb<τd）。对于更糟糕的情况，最优投资策略是根本不投资，因为dr if TCA可以是任意不利的（多头为负，空头为正），而不会受到任何惩罚。个人只能希望在消费将其财富拖累到毁灭水平之前，通过足够快的死亡来“赢得”这场游戏。在这种情况下，代理人的财富解决了确定性微分方程：dWt=（rWt- c） dt，W=W。简单计算得出τb=rlnc-红细胞-rwand Q（τb<τd）=e-λτb=C-rwc-rbλrfor w∈ [b，ws]和所有Q∈ Q.Soψ∞（w）=C- rwc- rbλr，w∈ [b，ws]。（2.7）或者，我们可以得到上述ψ的公式∞通过求解（2.12），将ε设为单位；然后必须做平均定理。回到一般情况。ψ（w）在w中没有增加，因为个人的初始财富明显更大。当w≤ b、 τb=0和ψ（w）=1，因为内上确界水道可以通过参考测度P获得。注意，通过（2.6），我们从1开始就有ψatw=b的连续性≥ 利姆→bψ（w）≥ 利姆→bψ（w）=1。让ws:=c/r。wss给出了一个“安全”的财富水平，在这个水平上，个人可以通过将所有的钱放在bank中并消费利息来维持消费。这意味着当w时ψ（w）=0≥ ws。漂移不确定性与此无关，因为个人可以通过不投资风险资产始终保持安全。

我们在w=ws0时也有ψ的连续性，因为0≤ 利姆→wsψ（w）≤ 利姆→wsψ∞（w） =0.8 ERHAN BAYRAKTAR和YUCHONG Zhang区间（b，ws）中ψ的相关HJB方程为λψ（w）=infπsupθ-2εθ+（rw）- c+（u+σθ）- r） π）ψ′（w）+σπψ′（w）, （2.8）边界条件ψ（b）=1，ψ（ws）=0。请注意，大括号内的表达式是θ的二次表达式，前导系数为负。根据一阶条件，给定的最佳θπ等于σεπψ′。将θ=σεπψ′代入（2.8），我们得到λψ=infπσε(ψ′)+ ψ′′π+ (u - r） ψ′π+（rw）- c） ψ′. （2.9）假设ε（ψ′）+（ψ′）>0，我们再次使用一阶条件来寻找候选优化器π*= -u - rσψ′ε（ψ′）+ψ′。（2.10）可以得出θ*= -u - rσε（ψ′）ε（ψ′）+ψ′。（2.11）将（2.10）代入（2.9），我们得到了下面的Dirichlet边值问题：λψ=-R（ψ′）ε（ψ′）+ψ′+（rw）- c） ψ′（2.12a）ψ（b）=1，ψ（ws）=0（2.12b），其中R是（2.5）中定义的正常数。当ε=0时，我们恢复了非稳健值函数ψ，其公式在（2.4）中给出。当ε=∞, 我们得到了最坏情况下的值函数ψ∞其公式如（2.7）所示。备注2.2。如果没有对模型参数的进一步限制，Isaacs条件不适用于我们的鲁棒问题。假设ψ′<0，但ε（ψ′）+ψ′>0，那么在（2.8）中，首先在θ上最大化，然后在π上最小化，将得到一个有限的哈密顿量，但在π上最小化，然后在θ上最大化，将得到一个无界哈密顿量。从另一个角度来看，我们期望每个固定测度寿命破产问题的值函数是凸的，否则哈密顿量会爆炸。在这些凸函数上最大化将产生一个凸函数。另一方面，我们的鲁棒值函数在某些区域可能是凹的。当r>λ时，最坏情况下的v值函数ψ∞它是凹的。

因为ψ（w；ε）加上ψ∞（w） asε→ ∞, ψ（w；ε）不可能处处凸，因为ε足够大。关于凸度如何依赖于λ、r和ε的更详细讨论，请参见命题7.1。第4节和第5节将对方程式（2.9）进行严格分析。当λ2.0节给出问题的解析解时。我们以我们的主要结果结束这一节，其结果在第6节末尾给出。定理2.1。稳健值函数ψ满足ψ（w）=1≤ b、 ψ（w）=0表示w≥ ws。对于w∈ （b，ws），ψ（w）是唯一的C[b，ws]∩ 满足边界条件ψ（b）=1和ψ（ws）=0的（2.8）或（2.9）的C[b，ws）解。最优投资策略为π*t=-u - rσψ′（Wt）ε（ψ′（Wt））+ψ′（Wt）（b，ws）（Wt），最佳漂移失真为σθ*θ在哪里*t=-u - rσε（ψ′（Wt））ε（ψ′（Wt））+ψ′（Wt）（b，ws）（Wt）。λ=0的显式解在（2.12）中设置λ=0，我们得到0=-R（ψ′）（ψ′）+ψ′+（rw）- c） ψ′ψ（b）=1，ψ（ws）=0。（3.1）使用指数变换φ=eεψ，在偏微分方程理论中也称为科尔-霍普夫变换，消除了d烯醇化器中的非线性，（3.1）变成0=-R（φ′）φ′+（rw）- c） φ′φ（b）=eε，φ（ws）=1。假设φ′6=0，让u=φ′。第二阶常微分方程（ODE）进一步简化为tou′=Rrw- 其通解由u（w）=AeRRwbrz给出-cdz=AC- rwc- rbRr，A∈ R.由此得出φ（w）=eε+AZwbC- rzc- rbRrdz=eε- 交流电- rbR+r“C- rwc- rbRr+1- 1#.利用safe水平上的边界条件，我们可以确定常数A并得到φ（w）=1+（eε）- 1)C- rwc- rbRr+1。所以Dirichlet问题（3.1）的解是ψ（w）=εln“1+（eε）- 1)C- rwc- rbRr+1#。

（3.2）反馈表（2.10）、（2.11）变为 =2（c）- rw）u- r、 10二汉贝拉克塔尔和张宇冲=-2σ（R+R）u- r（eε）- 1)C-rwc-rbRr+11+（eε）- 1)C-rwc-rbRr+1。（3.2）给出的解是a C[b，ws]∩ C[b，ws）函数。 和θ是[b，ws]上状态变量的有界Lipschitz连续函数。因此，验证定理很容易实现，表明（3.2）给出的函数确实是区间[b，ws]上的稳健值函数p，并且, θ是最佳反馈控制。我们在下面的定理中总结了结果。定理3.1。当λ=0时，鲁棒值f函数由p（w）=εln“1+（eε）给出- 1)C- rwc- rbRr+1#代表b≤ W≤ ws，p（w）=0表示w≤ b和p（w）=1表示w≥ ws。最佳投资政策是t=2（c）- rWt）u- r（b，ws）（Wt），最佳漂移失真为σθ，其中θt=-2σ（R+R）u- r（eε）- 1)C-rWtc-rbRr+11+（eε）- 1)C-rWtc-rbRr+1（b，ws）（Wt）。一个观察结果是，与非鲁棒情况相比，值函数失去了凸性。这是由非线性项ε（ψ′）引起的。当ε为零时，ψ′必须是非负的（实际上，如果ψ′6=0，则严格为正），以便（2.9）中的哈密顿量是有限的。当ε不为零时，只要ε（ψ′）+ψ′不为负，ψ′就可以取负值。ε越大，值函数可能越凹。另一个有趣的特征是，当危险率为零时，破产前的最优投资策略与模糊厌恶参数ε和b级的ru无关∈ （b，ws），limε→∞θ（w）=-2σ（R+R）u-r、 在最佳畸变夏普比中，我们有limε→∞u - rσ+θ（w）= -2σru- r、 图1显示了稳健破产概率p和最佳扭曲夏普比率u的曲线图-参数为c=1、b=1、r=0.02、u=0.1、σ=0.15和ε=0、1、5、10、50的rσ+θ。

我们把情节漏掉了 因为它是一个简单的向下倾斜的线性函数，并且依赖于ε。值得一提的是 ≥ π、 也就是说，当生命永存时，个人会采取更积极的投资策略。在我们继续讨论一般情况之前，让我们再谈一谈安全级别的差异。5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富（w）稳健破产概率（p）5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.100.10.20.30.40.5财富（w）扭曲的夏普比率（u-r） /σ+θ）ε=0ε=1ε=0ε=50ε=10ε=5ε=1ε=5ε=10ε=50图1。λ=0时的鲁棒破产概率和最优扭曲夏普比。备注3.1。从显式公式f或p可以看出，p在安全水平上的导数为零。由于p从上面限定了任何一般ψ，这个性质也被ψ共享。事实上，0≥ 利姆→ws-ψ（w）w- ws≥ 利姆→ws-p（w）w- ws=p′（ws）=0.4。粘性解和Perron方法本节的目标是展示非线性退化椭圆Dirichlet问题f（w，u，u′，u′）=0，（4.1a）u（b）=1，u（ws）=0，（4.1b），其中f（w，u，u′，u′）：=λu- infπσε（u′）+u′的π+ (u - r） u′π+（rw）- c） u′具有独特的粘度溶液，满足某些特性。注意，F可以写成一系列连续函数的上确界，因此是下半连续的（l.s.c.）。我们首先证明了（4.1）的比较原则，这意味着唯一性。p屋顶是对经典比较论证的轻微修改，以考虑控制空间的无界性。幸运的是，非线性项ε（u′）并没有增加任何困难。提议4.1。设u，v分别是F=0的半连续（u.s.c.）粘度下解和l.s.c.粘度上解。假设u，v是有界的，并且≥ 0或u>0英寸（b，ws）。如果你≤ v on（b，ws），然后是u≤ v在[b，ws]上。证据

相反，假设δ：=supx∈（b，ws）（u）- v） （x）>0。δ < ∞ 假设u和v区域是有界的。由u的上半连续性- v、 存在x*∈ (某某)(某某)(张二重)(12)(张二重)*) - v（x）*) = δ. 对于每一个大于0的α，定义ψα（x，y）：=u（x）- v（y）-α| x- y |。很明显，supx，y∈（b，ws）ψα（x，y）≥ δ，因为我们总是可以选择x=y。通过u（x）的上半连续性- v（y），存在^xα，^yα使得supx，y∈（b，ws）ψα（x，y）=ψα（^xα，^yα）。韦哈维（x）*) - v（x）*) ≤ u（^xα）- v（^yα）-α|^xα- ^yα|。这意味着α|^xα- ^yα|≤ u（^xα）- v（^yα）- （u（x）*) - v（x）*)). （4.2）由于[b，ws]是紧的，我们可以找到一个序列αn→ ∞ 使得（^xn，^yn）：=（^xαn，^yαn）收敛到（^x，^y）为n→ ∞. 用α和n代替α→ ∞ 在（4.2）中，我们得到了supnαn |^xn- ^yn|≤ lim supn（u（^xn）- v（^yn））- （u（x）*) - v（x）*))≤ u（^x）- v（^y）- （u（x）*) - v（x）*)),（4.3）其中第二个不等式是由u（x）的上半连续性引起的-v（y）。因为（4.3）的右边是有限的和αn→ ∞, 我们必须有^x=^y和（4.3）产量0≤ lim supnαn |^xn- ^yn|≤ u（^x）- v（^x）- （u（x）*) - v（x）*)) ≤ 0，表示u（^x）- v（^x）=u（x*) - v（x）*) = δ、 αn |^xn- ^yn|→ 0和dδ≤ 你好∈（b，ws）ψαn（x，y）=u（^xn）- v（^yn）-αn |^xn- ^yn|→ u（x）*) - v（x）*) = δ（4.4）as n→ ∞. 现在，既然你≤ v on（b，ws），我们必须有^x∈ （b，ws）。所以^xn，^yn∈ （b，ws）对于足够大的n.通过Crandall Ishii引理，我们可以找到序列An，bn-3αn≤一≤ Bn≤ 3αnand（αn（^xn- ^yn），安）∈\'J2，+（b，ws）u（^xn），（αn（^xn）- ^yn），Bn）∈\'J2，-（b，ws）v（^yn），其中\'J2，+（b，ws）u（^xn），\'J2，-（b，ws）v（^yn）分别是二阶超级喷气机和Subject的闭包。由于u是F=0的粘性子解，F是l.s.c.，我们通过[40，命题6.11.i]得到F（^xn，u（^xn），αn（^xn- ^yn），安）≤ 0

（4.5）F（^xn，u（^xn），αn（^xn）的完整性- ^yn），An）表示εαn（^xn- ^yn）+An>0或εαn（^xn）-^yn）+An=αn（^xn- ^yn=0。我们分别考虑每个案例。案例1。εαn（^xn）- ^yn）+An>0。在这种情况下，我们还有εαn（^xn）- ^yn）+Bn>0。由于（w，u，u′，u′）在ε（u′）+u′>0区域内是连续的，v的上解性质是f（^yn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），Bn）≥ 0.（见[40，提案6.11.ii]。）所以我们有f（^xn，u（^xn），αn（^xn）- ^yn），安）≤ 0≤ F（^yn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），Bn）<∞. （4.6）利用F的表达式，我们从（4.4）和（4.6）中得到λδ≤ λ（u（^xn）- v（^yn））=F（^xn，u（^xn），αn（^xn）- ^yn），安）- F（^xn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），安）≤ F（^yn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn），Bn）- F（^xn，v（^yn），αn（^xn）- ^yn，An）=Rαn（^xn- ^yn）- Bn）[εn（^xn- ^yn）+Bn][εαn（^xn）- ^yn）+An]+rαn（^xn- ^yn）≤ rαn（^xn）- ^yn）。让n→ ∞, 我们得出了矛盾的结论≤ 0、案例2。εαn（^xn）- ^yn）+An=αn（^xn- ^yn=0。在这种情况下，等式（4.5）的读数为λu（^xn）=F（^xn，u（^xn），αn（^xn）- ^yn），安）≤ 0.如果u是严格正的，这就不会发生。假设我们是在v为非负的情况下。但这意味着u（^xn）- v（^xn）≤ 0，与u相矛盾（^xn）- v（^yn）≥ 你好∈（b，ws）ψαn（x，y）≥ δ. 推论4.1。Dirichlet问题（4.1）至多有一个有界的、非负的、在边界处连续的vi粘性解。引理4.1。假设U是F=0的U.s.c.粘性子解的非空族。定义（w）=supu∈Uu（uw）。让你*成为u的u.s.c.信封并假设u*（w） <∞ 对于w∈ （b，ws）。然后你*是F=0的粘性子解。证据由[13]中的引理4.2给出。注意，尽管它们的函数F是R值的，但当F被允许取值时，证明的工作方式完全相同∞ 作为一个价值，只要它是l.s.c.，这在我们的案例中是令人满意的。接下来，我们用Perron的方法证明问题（4.1）有一个粘性解。

我们模仿[13，定理4.1]中的p。首先，我们需要定义一个（u.s.c.）粘度下解，其l.s.c.包络满足边界条件（4.1b），以及一个（l.s.c.）粘度上解，其u。s、 c.包络线满足边界条件（4.1b）。显然，我们应该针对那些从下面和上面约束鲁棒值函数的函数，我们有两个自然的候选者：ψ和p。事实上，F（w，ψ，ψ′，ψ′）=λψ- infπσε(ψ′)+ ψ′′π+ (u - r） ψ′π+（rw）- c） ψ′= λψ+R（ψ′）ε（ψ′）+（ψ′）- （rw）- c） ψ′≤ λψ+R（ψ′）ψ′- （rw）- c） ψ′=0，我们也可以使用ψ∞作为上限。14 ERHAN BAYRAKTAR和YUCHONG Zhang，其中在第二等式中，我们在（b，ws）中使用ψ′>0，并且f（w，p，p′，p′）=λp- infπσε（p′）+p′π+ (u - r） p′π+（rw）- c） p′= λp≥ 0.备注4.1。如果没有这些自然的候选者，我们可以从constantsubsolution u开始≡ 0（分别为上解v≡ 1） ，并通过类似于[13]第25页的构造，在rui n水平附近对其进行修改（分别为安全水平），以满足边界条件。命题4.2（Perron方法）。Dirichletproblem（4.1）存在一个连续的粘性解，它取[0,1]中的值。更准确地说，它从下到ψ，从上到p.Proof是有界的。设u=ψ和v=p都是[0,1]值的连续函数。defineu（w）：=sup{u（w）：u≤ U≤ v和u是F=0}的u.s.c.子解。（4.7）对于任何函数u，用u表示*你呢*它的u.s.c.信封和l.s.c.信封分别是。我们有你*≤ U*≤ U≤ U*≤ 五、*= v、 由于u和v在边界上一致，我们知道u在边界上是连续的，并且满足边界条件（4.1b）。自从你*≤ v<∞, 引理4.1意味着*是F=0的粘度子溶液。

如果我们能告诉你*是F=0的粘性上解，我们可以应用比较原理得到u*≤ U*, 并得出结论，u是Dirichlet问题（4.1）的连续粘性解。剩下的部分则用来证明u的上解性质*.假设你*不是F=0的粘性上解。存在w∈ （b，ws）和∈C（b，ws）使得*- 在棒F（w，魟（w），魟′（w），魟′（w））<0时，魟具有严格的最小零。这里是F<∞ 意味着ε（ν′（w））+П′（w）>0或П′（w）=П′（w）=0。在后一种情况下，我们得到了你*（w） =ψ（w）<0，因为u*≥ U≥ 0.所以我们是前一种情况。通过F在ε（u′）+u′>0区域内的连续性，存在δ，γ>0，使得F（w，ν（w）+γ，ν′（w），ν′（w））<0∈ Bδ（w）Bδ（w） （b，ws）。设νγ（w）：=ν（w）+γ。那么γ是Bδ（w）中F=0的一个经典子解。自从你*> 在（b，ws）\\{w}中，我们可以选择γs商场，以便*> ν+γ=νγ打开Bδ（w）。定义：=U*∨ Bδ（w）中的γ，u*否则自从你*< ∞ 然后呢≤ U*+ γ < ∞ 在Bδ（w）中，通过引理4.1，U*是一个粘度亚分辨率ofF=0。自从你*= U*≤ v on（b，ws），比较原则（命题4.1）意味着*≤ v在[b，ws]上。所以你*属于（4.7）右侧的集合，因此u*≤ U≤ U*≤ U≤ U*,其中，最后一个不等式是由于u的极大值。因此，我们得到u=u*.另一方面，通过半连续包络的定义，存在一个序列（wn） Bδ（w）使得wn→ 魔杖u*（西九龙）→ U*（w） 。接下来是γ（wn）- U*（wn）=~n（wn）+γ- U*（西九龙）→ γ > 0. 对于n足够大的情况，U（wn）=γ（wn）>U*（wn）+γ/2。我们遇到了矛盾。这就证明了*是F=0的粘度上解。到目前为止，我们已经建立了Dirichlet问题（4.1）的连续粘性解的存在唯一性。用^u表示这个解。我们有ψ≤ ^u≤ P