模糊厌恶下的寿命破产概率最小化

下一个目标是升级规则性。5.正则性直接证明问题（4.1）正则性的一个困难是非线性项ε（u′）导致^u缺乏凸性。受解决λ=0情况的启发，我们使用Cole-Hopft变换v=eε，得到一个等价的凸问题：G（w，v，v′，v′）=0，（5.1a）v（b）=eε，v（ws）=1。其中g（w，v，v′，v′）：=λv ln v- infπσv′π+（u- r） v′π+（rw）- c） v′.转化问题的解应该是凸的，否则G会爆炸。虽然（5.1a）目前仅在粘性意义上理解，但我们可以直观地预期，如果在每个内点上，粘性解（对于亚解性质）上方的每个测试函数在该点附近是凸的，那么粘性解也应该是凸的。因为我们已经有了问题（4.1）的连续粘性解^u，可以很容易地验证^v:=eε是问题（5.1）满足eεψ的连续粘性解≤ ^v≤ eεp。此外，（4.1）的比较原则立即与（5.1）的比较原则相同。我们在下面的两个引理中总结了这些结果。引理5.1。设u，v分别为（5.1a）的严格正u.s.c.粘度下解和l.s.c.粘度上解。假设u，v有界且有界远离零，且u>1或v≥ 1英寸（b，ws）。如果你≤ v on（b，ws），然后是u≤ v在[b，ws]上。证据很容易检查εlnu（分别为εlnv）是（4.1）的一个u.s.c.亚解（分别为l.s.c.上解），满足命题4.1的所有假设。引理5.2。^v:=eε^u是Dirichlet问题（5.1）的唯一（连续）粘性解，在所有粘性解中，该粘性解是有界的，在边界处是连续的，并且满足v≥ 1英寸（b，ws）。此外，eεψ≤ ^v≤ 我们现在建立了^v引理5.3的凸性和单调性。

^v在[b，ws]上是严格凸且严格递减的。16二汉BAYRAKTAR和张宇冲证明。首先，让我们展示（非严格的）内部凸性。假设^v在（b，ws）中不是凸的。然后通过[2，引理1]，存在w∈ （b，ws）和（p，A）∈ J2，+v（w），A<0。因此我们有G（w，^v（w），p，A）=∞ . 但通过粘度溶液的半射流公式（见[40，命题6.11.i]），我们得到了g（w，^v（w），p，A）≤ 我们遇到了矛盾。since^v是连续的，内部凸性可以扩展到边界。^v的凸性意味着它的左导数和右导数D^v存在（在R中表示内部点，在R中表示内部点）∪ {±∞} 对于边界点）和d是非递减的。自从我们展示了0≤ ^u≤ 我们知道p′（ws）=0，一个与备注3.1完全相同的参数得到D-^u（ws）=0。接下来就是D-^v（ws）=εD-^u（ws）^v（ws）=0。所以D^v≤ ^v′（ws）=0。假设D+v（w）=0∈ [b，ws）（如果是D，则相同-^v（w）=0）。然后通过D+v的单调性，D+v（w）=0W∈ [w，ws）。通过凸性，0=D+v（w）≤^v（w）- ^v（ws）w- ws=^v（w）- 1w- ws≤ 0W∈ [w，ws]我们推导出^v≡ 1在[w，ws]上，与^v≥ eεψ>1 in（b，ws）（见Lemm a5.2）。因此，我们必须在[b，ws]中有D±v<0，这意味着^v是严格递减的。最后，如果^v是凸的但不是严格凸的，那么它在某个开区间（x，y）中是线性的（b，ws）。由于^v是严格递减的，所以直线具有非零斜率，比如p。但这不会发生，因为G（w，^v（w），p，0）是无界的。作为一个凸函数，^v具有许多很好的正则性。它几乎在任何地方都是可区分的（a.e.），甚至是Alexandro ff的经典结果[1]中可区分的两倍。

为了展示C-正则性，我们首先利用粘性溶液的性质展示C-正则性，然后通过分析泊松方程升级到CBC，泊松方程的非齐次项用^v及其一阶导数的项s表示。引理5.4。（rw）- c） D±v- λ^v ln^v对于所有w都是非负的∈ （b，ws），如果w是^v.证明的两次可微点，则为严格正。通过[2]中的引理2，G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w））≤ 在每个点w处0∈ （b，ws）具有两倍的差异性。这里我们注意到，它们的引理表示连续G，但它可以很容易地修改以适应我们的l.s.c.G.Let w∈ （b，ws）是^v可二次微分的点。因为^v′（w）<0，G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w））≤ 0表示^v′（w）>0，λ^v（w）ln^v（w）+R（^v′（w））^v′（w）- （rw）- c） ^v′（w）≤ 0.我们得到（rw）- c） ^v′（w）- λ^v（w）ln^v（w）≥ R（v′（w））v′（w）>0。对于任意w∈ （b，ws），因为^v是两次可微分的a.e.，我们可以找到一系列两次可微分点（wn） （b，ws）从右边收敛到wf。在这里和续集中使用单调性，在左（右）边界点，D±v仅指右（左）导数。关于D^v，我们有（rwn- c） D±v（w）≥ （rwn）- c） ^v′（wn）>λ^v（wn）ln^v（wn）我们通过让n→ ∞ 利用^v的连续性。引理5.5。^v∈ C[b，ws]。证据我们首先研究了内部C-正则性。由于凸可微函数是连续可微的，因此必须证明^v是可微的。假设相反，D-^v（w）6=D+w点处的^v（w）∈ （b，ws）。让p∈ （D）-^v（w），D+^v（w））和>0。函数φ（w）=^v（w）+p（w）- w） +2（西）- w） 满足感^v- ^在w处有一个局部极小值。根据^v的上解性质，我们得到g（w，^（w），а′（w），а′（w））=λ^v（w）ln^v（w）+Rp- （rw）- c） p≥ 由于是任意的，我们得到λ^v（w）ln^v（w）- （rw）- c） p≥ 根据引理5.4，我们必须有λ^v（w）ln^v（w）- （rw）- c） p=0。

但这不能适用于每一个p。所以每个点的次微分必须是一个单态。由于^v在[b，ws]上是凸的，为了将C-正则性扩展到边界，我们只需要检查d+^v（b）>-∞ 和D-^v（ws）<∞. 我们已经在引理5.3的p屋顶上看到了D-^v（ws）=0。我们利用ψ的导数，从下面束缚D+v（b）。简单观察D+v（b）=εD+u（b）v（b），D+u（b）=limw→b+^u（w）- 1w- B≥ 利姆→b+ψ（w）- 1w- b=D+ψ（b）>-∞.提议5.1。^v∈ C[b，ws）中的满足度^v′<0和^v′>0。此外，^v解二阶方程λv ln v=-R（v′）v′+（rw）- c） v′，w∈ （b，ws）。（5.2）证据。^v′<0是引理5.3的结果。设f（w）：=（rw）- c） ^v′（w）- λ^v（w）ln^v（w）。引理5.4和5。5，f在（b，ws）中是连续的、非负的且a.e.严格正的。设g（w）：=R（v′（w））/f（w）。C-正则性的证明包括两个步骤。第一步。显示任何间隔[w，w] [b，ws]是指[w，w]上的f>0，^v∈ C[w，w]。注意，g在[w，w]上是连续的。首先，我们证明了^v是- v′（w）+g（w）=0，w∈ （w，w）。（5.3）w=b处的导数被理解为内部导数的连续延伸。18二汉贝拉克塔尔和余冲张磊w∈ （w，w）和∈ C（w，w）是任何测试函数，使得- 由于^v是G=0的一个c子解，我们有^′（w）=^v′（w）和G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w），^v′（w）≤ 0.由于^v′（w）<0，我们必须使^′（w）>0才能确定上述G。求出G的表达式并在π上进行优化，我们得到-f（w）+R（^v′（w））^′（w）=λ^v（w）ln^v（w）+R（^v′（w））^′（w）- （rw）- c） ^v′（w）≤ 0，在乘以正的量а′（w）f（w）后，精确地-ν′（w）+g（w）≤ 0.这表明^v是（5.3）的子解。让我们∈ （w，w）和∈ C（w，w）是任何测试函数，使得- 在w处有一个本地最小值。

如果φ′′（w）≤ 0，那么我们马上就有了-ν′（w）+g（w）≥ 因为g是非负的。如果^′（w）>0，那么我们使用^v是G=0的C上解，以获得^′（w）=^v′（w）和G（w，^v（w），^v′（w），^v′（w），^v′（w），^v′（w，^v′（w））≥ 0.对G的表达式中的π进行优化，我们也得到-ν′（w）+g（w）≥ 0.这表明^v是（5.3）的最佳解。接下来，我们遵循[36]第652页的论点，考虑泊松方程- v′′+g=（5.4），Dirichlet边界条件v（w）=^v（w），v（w）=^v（w）。这是我们真正的选择。我们可以把g积分- 两次得到C[w，w]解，用v表示。要将^v与v进行比较，首先取>0并假设v- v在某个点w有一个局部最大值∈ （w，w）。由于粘度低于（5.3），我们-v′（w）+g（w）≤ 0，这与（5.4）相矛盾。所以最大值必须在它为零的边界上达到。这意味着^v≤ v。让→ 0^v≤ v、 通过取<0得到逆不等式，并使用^v得到（5.3）的粘性上解。这就证明了^v=v∈ C[w，w]。第二步。对于任何w，显示f（w）>0∈ [b，ws]我们在[26]的第811-812页使用了一个与之相似的参数。选择任意一点w∈ （b，ws）其中f（w）>0。由于f是连续的，在w的邻域中f>0。假设f在w左边的某个点消失。设w:=sup{w∈ [b，w）：f（w）=0}。通过步骤1，^v满足（w，w）中经典意义上的方程（5.3）。让w∈ （w，w）。根据中值定理，f（w）- f（w）w- w=f′（z）=（r）- λ） ^v′（z）+（rz）- c） ^v′（z）- λ^v′（z）ln^v（z）（5.5）对于某些z∈ （w，w）。让我们→ w+。注意^v′（z）→ ∞ 因为方程（5.3）中的^v′（z）=g（z），并且g（z）有一个三次正的分子和一个从正边到零的分母。所以（5.5）右边的中间项正在爆炸式增长-∞ 而其他两项则收敛为有限数。

这与左手的非负性相矛盾。sof（w）>0n必然意味着f（w）>0代表所有w∈ [b，w）。由于f>0a.e，我们得出[b，ws]中f>0的结论。结合步骤1和2，我们得到了^v∈ 在（b.v′）中，我们从（b.v′）到（b.v′）的（7100）的（b.v′）.5。一旦我们有了C-规律性，我们可以进一步升级到有限的差异性，而几乎没有影响。推论5.1。^v∈ C∞[b，ws）。证明。让g像以前一样定义。用^v∈ C[b，ws），我们现在有了g∈ C[b，ws）。然后从^v′′=g得出∈ C[b，ws）。这反过来意味着g∈ C[b，ws）等等。归纳地，我们将得到^v∈ C∞[b，ws]。备注5.1。因为f（ws）=0，所以在右边界上只保证C-正则性。即使在非稳健的情况下，也有可能在安全水平上有一个无界的二阶导数。通过^u=εln^v回到原始p问题，我们对^u命题5.2有以下命题。^u∈ C[b，ws]∩ C[b，ws），满足[b，ws]中的^u′<0和ε（^u′）+^u′>0。此外，^u解二阶方程λu=-R（u′）ε（u′）+u′+（rw）- c） u′，w∈ （b，ws）。(5.6)6. 验证为了通过验证将^u与价值函数联系起来，我们首先需要显示反馈形式导致了一对可接受的控制，在此情况下，受控财富过程的SDE具有唯一的强解。F（w，^u，^u′，^u′）中达到最大值的π由π给出*= -u - rσ^u′ε（^u′）+^u′=-u - rσ^v′v′，与π达到G（w，^v，^v′，^v′）的最大值相同。从上一节我们已经知道π*在（b，ws）中是光滑的，因此局部是Lipschitz。我们将展示π*在边界附近也是如此。引理6.1.0<π*（w） <2（c）- rw）u- r、 w∈ [b，ws]证明。下限很小。

对于上限，将方程（5.6）改写为λ^u=u - rπ*+ rw- C^u′。（6.1）对于w∈ [b，ws），因为^u（w）>0和^u′（w）<0，我们必须有u-rπ*（w） +rw- c<0。20二汉贝拉克塔尔和张宇冲推论6.1。θ*:= σεπ*^u\'有界且满足极限→ws-θ*（w） =0。更准确地说，2σεu- r（c）- rb）^u′（b）≤2σεu - r（c）- rw）^u′（w）<θ*（w） <0，w∈ [b，ws）。稍后将验证π*（w） ，θ*（w） 是w的最佳控制吗∈ （b，ws）。注意π的上界*引理6.1给出的是. 事实上，我们可以把束缚收紧到π，然后显示π*与ε无关。提议6.1。π*（w；ε）在ε中不增加≥ 特别是π*（w；ε）≤ π（w）。证据设0<ε<ε，并写出^u（w；εi）的^ui（w），i=1，2。^viandπ*我也有类似的定义。首先，通过比较问题（5.1）的原理，我们得到了^v≤ ^vand Thous^u≤ ^u.由于^u（b）=^u（b）=1，我们推导出^u′（b）=limw→b+^u（w）- 1w- B≤ 利姆→b+^u（w）- 1w- b=^u′（b）。让我们→ 在方程（6.1）中，我们看到λ=u - rπ*（b；ε）+rb- C^u′（b；ε）。自^u′（b）≤ ^u′（b）<0，我们必须有π*（b）≥ π*（b） 嗯。根据Lemm a 6.1，我们还有π*（ws）=π*（ws）=0。声称π*（w）≥ π*（w） 尽管如此，w∈ [b，ws]。从方程（5.2）中，我们得到λ^v ln^v=u- r^v′π*+ （rw）- c） ^v′，w∈ （b，ws）。通过推论5.1，我们可以对上述方程进行微分。重新安排条款后，我们得到- r（π）*)′= R+λ- r+u- rσrw- cπ*+ λln^v，w∈ （b，ws）。（6.2）假设相反，π*- π*在w点达到负最小值∈ （b，ws）。根据一阶条件，我们有（π*)′（w） =（π）*)′（w） 。方程（6.2）则产生矛盾：0=u- rσ（rw）- c） π*（w）- π*（w） π*（w） π*（w） +λ（ln^v（w）- ln^v（w））>0，这里我们使用π*i> 0，^v≥ ^vin（b，ws）和π假设*（w）- π*（w） <0。因此，这个论点成立。如果ε=0，即π*= π、 然后简单的计算显示π*^v:=1的满意度（6.2）。

完全相同的比较参数意味着π*≥ π*在[b，ws]上到处都是。提议6.2。π*Lipschitz在（b，ws）和satieslimw中是连续的吗→ws-(π*)′（w） =-u - rσ（d）- 1） =π′（ws）。（6.3）通过π*（ws），我们指的是limw→ws-π*（w） 因为^v′（w）在w=ws时可能不存在。证据对于Lipschitz连续性，必须显示π*在（b，ws）中有界的一阶导数。自π*> [b，ws]中的0表示（π）*)′在（b，ws）的任何远离ws的子集上有界。还有待展示（6.3）。允许l := 林infw→ws-(π*)′（w） L:=lim supw→ws-(π*)′（w） 。根据提案6.1，我们已经- cπ*≤rw- cπ=-σr（d）- 1)u - r、 上述不等式和（6.2）表示：- r（π）*)′≤ R+λ- rd+λln^v.简单代数表示R+λ- rd=R/（1）- d） <0。自^v（w）→ 1作为w→ ws-, 我们知道（π）*)′为负，在ws附近远离零。特别是，上限更能满足要求- rL≤ R+λ- rd=R1- d<0。现在，将广义l\'H^opital规则[39，Theorem II]应用于（6.2）。我们推断- Rl ≥ R+λ- r+u- rσlim infw→ws-r（π）*)′（w） =R+λ- r+u- rσrL。这导致了一个不等式链，实际上是一个等式链：0>R1- D≥u - rL≥u - Rl ≥ R+λ- r+r（1）- d） =R1- d、 我们已经证明了这一点l = L=2R（u）-r） （1）-d） =-u-rσ（d）-1). 我们现在准备证明验证定理。对于任意c函数φ和π，θ∈ R、 定义π，θν（w）：=[rw- c+（u+σθ）- r） π]П′+σπП′（w）。定理6.1（验证定理）。

假设u:[b，∞ ) → [0,1]，π：[b，∞) → R和Θ：R×[b，∞) → R是满足下列条件的可测函数：（i）u∈ C[b，ws]∩ C[b，ws）；（ii）u是λu（w）=infπsupθ的解-2εθ+Lπ，θu（w）, W∈ （b，ws）；（6.4）（iii）对于w，u（b）=1，u（w）=0≥ ws；（iv）对于每个w，∏（w）达到（ii）中的最大值∈ （b，ws）；Θ（π，w）对于每个π都达到（ii）中的上确界∈ R和w∈ （b，ws）；（v） π（w）=Θ（π，w）=0如果w/∈ （b，ws）；（vi）在（b，ws）中∏有界且Lipschitz连续；Θ在[π，π]×b上有界，∞) 对于任意紧区间[π，π] R.然后ψ=u在[b]上，∞), 和∏（·）、Θ（π（·），·）是最优的马尔可夫控制。22.二汉贝拉克塔尔和余冲。和[7]一样，我们让 成为“合作国家”和[b，∞ )∪{} 成为[b]的一点压缩，∞). 定义u到[b]的扩展，∞) ∪ {} 通过分配u() = 0.1. 设w>b。通过条件（v）和（vi），SDEdWt=[rWt+（u）- r） π（Wt）- c] dt+σ∏（Wt）dBt，W=什么是唯一的强解Ww，W.r.t.过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）。让π*t:=π（Ww，πt）并写入Ww，π*:= Ww，π。π*∈ A因为∏是有界的和可测的。定义τ*b:=inf{t≥ 0:Ww，π*≤ b} 和τ*:= inf{t≥ 0:Ww，π*≥ ws}∧ τd.Let Q∈ Q是具有相应漂移失真过程θ的任何候选度量。根据吉尔萨诺夫定理，BQt:=Bt-Rtθsds是Q-布朗运动。Ww，π*满意度DWT=[rWt+（u+σθt- r） π*T- c] dt+σπ*tdBQt，W=W。回想一下，τ是P-泊松过程N的第一跳时，其速率λ依赖于F。Q的定义表明N也是具有相同速率的Q-泊松过程。让我们，π*t:=Ww，π*t{t<τd}+1{t≥τd}。Ww，π*是放大过滤H中一个逐步可测量的过程，其中包括N生成的信息。

很容易看出ww，π*满意度：dWt=[rWt+（u+σθt- r） π*T- c] dt+σπ*tdBQt- ( - Wt-)dNt，W=W。将它的^o引理应用于u（Ww，π）*t） 用这个u() = 0，我们有（Ww，π）*τ*B∧τ*) = u（w）+Zτ*B∧τ*Lπ*s、 θsu（Ww，π）*（s）- λu（Ww，π）*s） ds+Zτ*B∧τ*u′（Ww，π）*s） σπ*sdBQs- u（Ww，π）*s-)d（Ns）- λs）。由于u，u′和∏在[b，ws]上有界，在取Q-期望时，It^o积分消失，我们得到eqhu（Ww，π）*τ*B∧τ*)i=u（w）+EQ“Zτ”*B∧τ*Lπ*s、 θsu（Ww，π）*（s）- λu（Ww，π）*s） ds#。条件（ii）、（iv）和π*= π（Ww，π）*) 暗示0≤ s<τ*B∧ τ*,0=infπsupθ-2εθ+Lπ，θu（Ww，π）*（s）- λu（Ww，π）*s） =supθ-2εθ+Lπ*s、 θu（Ww，π）*（s）- λu（Ww，π）*（s）≥ -2εθs+Lπ*s、 θsu（Ww，π）*（s）- λu（Ww，π）*s） 。所以我们有eqhu（Ww，π）*τ*B∧τ*)我≤ u（w）+EQ“Zτ”*B∧τ*2εθsds#。等价地，u（w）≥ EQ“u（Ww，π*τ*B∧τ*) -Zτ*B∧τ*2εθsds#。根据条件（v），Ww，π*一旦达到安全水平，将保持不变。这意味着，如果达到安全水平，那么死亡肯定会在毁灭之前发生。所以我们有{τ*b<τ*} = {τ*b<τ*d} 。自u（Ww，π）*τ*B∧τ*) = 1{τ*b<τ*}= 1{τ*b<τd}和τ*B∧ τ*≤ τd，we getu（w）≥ 情商{τ*b<τd}-Zτd2εθsds.这对所有人都适用∈ Q.苏（w）≥ supQ∈量化宽松{τ*b<τd}-Zτd2εθsds≥ infπ∈AsupQ∈量化宽松{τw，πb<τd}-εZτdθsds= ψ（w），在最后一步，我们在τbin上加上标，以表明其对初始财富和控制的依赖性。2.让π∈ A是任何可接受的投资策略，Ww，π是SDE的解决方案：dWt=[rWt+（u- r） πt- c] dt+σπtdBt，W=W.Letθ*t:=Θ（πt，Ww，πt）。θ*因为π和Ww，π和Θ都是可测函数，所以F是可测函数。由于π在t上一致有界，条件（vi）确保θ*在定义Q时满足所有可积条件。因此存在测度Q*∈ 满意的*tdPt=E（Rtθ）*其中E表示随机指数。根据Girsanov定理，BQ*t:=Bt-Rtθ*sds是一个Q*-布朗运动。