模糊厌恶下的寿命破产概率最小化

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英文标题：
《Minimizing the Probability of Lifetime Ruin Under Ambiguity Aversion》
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作者：
Erhan Bayraktar and Yuchong Zhang
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We determine the optimal robust investment strategy of an individual who targets at a given rate of consumption and seeks to minimize the probability of lifetime ruin when she does not have perfect confidence in the drift of the risky asset. Using stochastic control, we characterize the value function as the unique classical solution of an associated Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, obtain feedback forms for the optimal investment and drift distortion, and discuss their dependence on various model parameters. In analyzing the HJB equation, we establish the existence and uniqueness of viscosity solution using Perron\'s method, and then upgrade regularity by working with an equivalent convex problem obtained via the Cole-Hopf transformation. We show the original value function may lose convexity for a class of parameters and the Isaacs condition may fail. Numerical examples are also included to illustrate our results.
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中文摘要：
我们确定了一个人的最优稳健投资策略，该个人以给定的消费率为目标，当她对风险资产的漂移没有完全信心时，寻求最小化终生破产的概率。利用随机控制，我们将价值函数描述为关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一经典解，获得最优投资和漂移失真的反馈形式，并讨论它们对各种模型参数的依赖性。在分析HJB方程时，我们使用Perron方法建立了粘性解的存在唯一性，然后通过处理通过Cole-Hopf变换得到的等价凸问题来提升正则性。我们证明了对于一类参数，初值函数可能会失去凸性，而Isaacs条件可能会失败。数值例子也用来说明我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Minimizing_the_Probability_of_Lifetime_Ruin_Under_Ambiguity_Aversion.pdf (814.32 KB)

2022-5-5 13:30:37 上传

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关键词：破产概率 Optimization Quantitative Differential Applications

模糊厌恶下的最小化寿命破产概率。我们确定了一个人的最佳稳健投资策略，该个人以给定的消费率为目标，并在对风险资产的漂移没有完全信心时，寻求最小化终身破产的概率。利用随机控制，我们将值函数描述为关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一经典解，获得了最优投资和漂移失真的反馈形式，并讨论了它们对各种模型参数的依赖性。在分析HJB方程时，我们使用Perron方法建立粘性解的存在性和唯一性，然后通过处理通过Cole-Hopf变换得到的等价凸问题来提升正则性。我们证明了对于一类参数，原始值函数可能会失去凸性，而Isaacs条件可能会失败。数值例子也用来说明我们的结果。1.引言Young[42]分析了个人应如何将其财富投资于风险金融市场，以最大限度地降低其财富寿命延长的概率，也就是所谓的终身破产概率（该术语由[32]提出）。我们提到Jacka在早期的研究[22]中考虑了一个形式非常相似的最终燃料问题。杨氏工作的子变量包括但不限于增加借贷约束[7]，假设消费是棘轮式的[8]，允许稳定消费[9]和随机波动[4]。在之前的所有工作中，都有固定风险资产模型；也就是说，投资者对风险资产价格的演变和分布是确定的。不过，这不太现实。

价格波动性可能有很好的估计，但正如罗杰斯在[34，第4.2节]中指出的，漂移估计几乎是不可能的；要得到一个可靠的估计，需要几个世纪的数据。因此，我们希望有一个稳健的投资策略，能够很好地应对偏离错误。稳健决策理论[17]见稳健决策理论简介。虽然漂移估计很困难，但人们仍然希望利用可用的数据。自然方法是从可用数据中提取一个参考模型，并根据其与参考模型的偏差对其他模型进行惩罚。惩罚的难易程度取决于代理人对模糊性的厌恶程度，也被称为模型不确定性或奈特不确定性。将模糊规避纳入优化的早期工作（例如[30]，[18]）大多是通过对相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程进行正规分析来完成的。在这些关键词和短语中。寿命破产概率，模糊厌恶，漂移不确定性，粘性解，佩龙方法，正则性。这项研究得到了国家科学基金会DMS-0955463.2拨款的支持，二汉·贝拉克塔尔和张宇冲提供了更多的数学严谨性，我们注意到一些使用不同方法的研究。Jaimungal利用随机控制解决了有限期不可逆投资问题[24]，以及违约问题与Sigloch[25]的混合模型。他们使用标度熵惩罚来获得显式解，并依赖于直接验证。Bordigoni等人[11]也通过控制方法分析有限水平效用最大化问题，但提供了反向随机微分方程（BSDE）特征，而不是HJB特征。Hu和Schweizer[20]将他们的结果推广到了有限的层位设置。

Schied[35]和Hern\'andez Hern\'andez和Schied[19]使用对偶或对偶与控制的组合来处理鲁棒效用最大化问题。本文对鲁棒寿命破产问题infπsupQ给出了一个完整而严格的分析Q（τb<τd）-εhd（Q | P）使用随机控制，其中τ带τ分别代表破产时间和死亡时间，熵惩罚函数的hdisa变体仅测量死亡时间前的熵，ε规定惩罚强度，π贯穿一组投资策略，Q贯穿一组代表漂移不确定性的可能模型。当危险率为零时，我们得到了显式公式。在一般情况下，我们将值函数刻画为满足两个边界条件的关联HJB方程的唯一经典解，并给出了最优投资和漂移失真的反馈形式。与非稳健情形或纯粹效用最大化问题相比，我们证明了一类参数的值函数失去了凸性，这表明Isaacs条件可能失败。与非稳健情况一样，我们还表明，最优控制的财富过程从未达到所谓的“安全水平”。这与零危险率案例不同，可以追溯到Pestien和Sudderth[33]的工作（另见[3]）。在零风险率的情况下，目标是达到安全水平（可能在限定时间内），因为个人永远不会死亡，而当风险率非零时，目标是远离目标水平，通过死亡“赢得”比赛。在没有最后期限的情况下，最佳策略是最大化漂移与波动率的平方比。将死亡添加到问题中会极大地改变它。

特别是，我们将看到，就最优投资策略而言，鲁棒性是非常重要的。我们的工作将[42]中的讨论扩展到了健壮的情况。与[24]和[25]不同的是，在这里，向标度惩罚导致显式解，随机视界鲁棒问题，即使在简单的Black-Scholes框架中，通常也没有显式解，无论惩罚是否标度。此外，由于简并性和控制空间无界，Krylov[28]的经典非线性椭圆理论无法直接应用。所以我们必须求助于粘性溶液理论，然后通过自举提升规律性。我们的工作在方法上与[11]、[20]、[35]、[19]有所不同。[11]和[20]中的BSDE描述只关注内部Q-最大化问题，没有描述最优投资策略或可添加点。[35]的定性方法要求内界和上界是可交换的，而在我们的例子中，在某些参数的选择上，ich不存在。经典二元论E[eX]=supQ∈Qabs{EQ[X]- 自由能和熵惩罚之间的h（Q | P）}乍一看可能有用，但不确定性集Qabs不能保持资产价格和死亡率之间的独立性，也不能为不同模型组件的不同置信水平留出空间。此外，我们使用的不是完全相同的entrop ic Function h，而是其变体hd。由于时间不一致的问题，我们不考虑危险率的不确定性。不确定泊松跳变率（见[29]、[31]、[12]、[10]）以及不同程度的歧义厌恶（见[29]、[31]、[12]、[10]）可能是一个有趣的扩展。

[41], [24]).为了构造HJB方程的粘性解，我们使用了[13]中描述的“比较+佩龙方法”方法，而不是通常的“动态规划原理（DPP）+值函数是粘性解+比较”方法。原因是，优化问题类似于随机微分博弈，在这种博弈中，自然可以被视为第二个参与者，而博弈的DPP通常由于可测性问题而复杂。一方必须使用Elliott-Kalton公式，其中一方使用控制，另一方使用“策略”，即在满足非对抗性的一组控制上定义的映射（参见[16]、[15]、[5]），或者将自己限制在简单形式的策略上，例如，S^rbu[37]所称的自我策略。解决可测量性问题的两种方法对我们来说都不理想。特别是，我们使用埃利奥特·卡尔顿公式，并假设自然是对抗美国的战略参与者，这有点不自然，因为自然没有回报，而且是无私的。事实证明，经典的佩伦方法产生了更简单、更优雅的结构。唯一的回溯是正则性现在变得非常重要，否则构造的解就不能与值函数相关。幸运的是，我们能够提升正则性并实现平均定理。Janeˇcek和S^irbu[26]首次在纯随机控制问题中使用了本文概述的方法。凸性通常是提升规则性的关键。正如我们所指出的，鲁棒性带来的一个挑战是一类参数的值函数的凸性损失。事实上，即使对于非鲁棒寿命破产问题，值函数的先验凸性也不清楚。

例如，[9]得到了一个随机消费的终生破产问题的凸性，通过降维得到了一个凸对偶与原问题相关的控制器和停止器问题。我们通过处理通过Cole-Hopf变换得到的等价凸问题来克服这个挑战。一旦我们有了凸性，利用凸分析和粘性解理论就很容易转化为C-正则性。通过分析泊松方程，我们进一步升级到C-正则性，这里我们借用了[26]和[36]中的一些技巧。在e上，我们可以尝试用[43]和[14]中使用的正则化方法证明C-正则性，但这种方法要求我们证明π上存在一个正下界，该下界独立于远离安全水平的紧区间上的正则化，我们发现很难建立。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了问题，启发式地推导了HJBE方程和反馈形式，并陈述了主要结果。第3节给出了当危险率为零时的一个明确的解决方案，这不仅是出于自身的考虑，而且是一个有趣的问题，它表示一组相对于P绝对连续且具有有限熵的度量。4二汉·贝拉克塔尔和张宇冲在一般情况下的分析是有用的上界。第4节和第5节致力于建立HJ B方程经典解的存在性，第4节侧重于Perron对粘性解的构造，第5节侧重于正则性。在第6节中，我们对我们的主要结果进行了验证。为了证明验证定理，我们还证明了最优投资策略的有界性和Lip-schitz连续性。第7节收集了最优投资策略和价值函数的一些额外性质。

第8节提供了sm全ε展开式的数值结果和公式。2.问题表述和主要结果letOhmMbe连续函数空间ω：[0，∞) → R、 在[0]的紧致子区间上为ped配备一致收敛拓扑，∞). 设fm为上的Borel-sigma代数OhmMand PMbe上的维纳度量(OhmM、 FM）。坐标映射Bt（ω）：=ω（t）是这个空间中的标准布朗运动。在这里，PMS作为一个参考指标，反映了个人对市场的信心。设N=（Nt）t≥0是一个泊松过程，其速率λ定义在另一个概率空间上(Ohmd、 Fd，Pd）。设τdbe为泊松过程第一次跳跃的时间，对个体的死亡时间进行建模。τdis是一个带有参数λ的指数随机变量，在本文中称为危险率。定义(Ohm, F、 P）：=(OhmM×Ohmd、 调频 Fd，PM×Pd）。B和N独立于这个空间，分别保持布朗运动和泊松过程。设F=（Ft）t≥0是布朗运动B和G=（Gt）t产生的（原始）过滤≥由B和过程1{τd生成的过滤≤t} 。假设F和G都是完全连续的。然而，我们没有完成过滤，因为稍后，我们希望将仅在本地等同于P的措施作为我们考虑的一部分。个人对金融市场的投资包括利率r>0的无风险银行账户和价格St遵循几何布朗运动的风险资产：dSt=uSt+σStdBt，S=S>0，其中u>r和σ>0。L etπt指个人在时间t投资于风险资产的金额。除投资外，个人还以c>0的恒定速率消耗其当前财富w。其财富w根据随机微分方程（SDE）演变：dWt=[rWt+（u）- r） πt- c] dt+σπtdBt，W=W。通过局部等效，我们指的是所有t在gtt上的等效≥ 0

虽然我们的设置中的过滤并不完整，但随机积分仍然可以定义，并且具有所有常见的性质。特别是，它的引理仍然有效。例如，参见[23]第1章。为了简化讨论，我们只使用恒定的消耗率。但是，主要技术可以应用于比例消费率，更一般地说，适用于消费率是财富的非负Lipschitz连续函数的情况。如果投资策略π是F-逐步可测且几乎肯定有界（时间一致）的，则该投资策略π是可容许的。用A表示所有可接受策略的集合。设τb:=inf{t≥ 0:Wt≤ b} 个人财富首次降至b级或以下。个人的目标是最大限度地降低死亡前发生破产的概率，即τb<τd。更准确地说，她认为风险资产的漂移可能是特定的。因此，她没有在参考测度P下进行优化，而是考虑了一组局部等价于P的随机测度，并惩罚它们与P的偏差。在这里，我们假设个体仅对市场模型具有鲁棒性，而不是对死亡时间模型，也不是它们之间的独立性。因此Q中的元素应为QM×Pdso的形式，使得τd在所有候选度量下都是exp（λ）随机变量。设h（Q | P）：=EQ[logdQdP]为相对熵函数。用qt表示度量Q对Gt的限制。我们用h:hd（Q | P）：=h（Qτd | Pτd）的一个变体来惩罚P的偏差，它只测量gτd上的相对熵；也就是说，个人不关心死后的不确定性。她面临以下鲁棒优化问题：ψ（w；ε）=infπ∈AsupQ∈QQw（τb<τd）-εhd（Q | P）, （2.1）下标w表示事件w=w的条件。

ε参数衡量个体对歧义的厌恶程度或对稳健性的偏好。ε ↓ 0对应于经典的非稳健情况，因为除P之外的所有度量都会给出一个非常负的值，因此对于内部最大化问题不是最优的。ε越大，意味着个体越不喜欢模糊，对参考模型的信任度越低，并且会考虑更大的d裂缝变形。ε → ∞ 对应于最坏情况下的方法，即个人对所有候选指标有相同的信念，并再次优化最坏情况下的方案。我们现在给出候选度量集Q的精确定义。概率测度∈ Q ifdQtdPt=exp-Ztθsds+ZtθsdBs, T≥ 0（2.2）对于满足E[eRtθsds]<∞ 尽管如此，t≥ 0，andEQ[R]∞E-λsθsds]<∞. 相反，给定任何F-逐步m可测量过程θ满足[eRtθsds]<∞ 尽管如此，t≥ 0，我们可以定义一系列一致的度量~ 普顿(Ohm, Gt）由（2.2）修订。根据[38，引理4.2]（也见[21，命题1]），存在一个概率测度Qon(Ohm, F） 这样Q | Gt=所有t≥ 0.在本文中，我们将使用粗体希腊语π，θ来表示控制（作为随机过程），并使用平面希腊语π，θ来表示控制可以采用的值。由于τdis与F无关，只要对每个π定义的最佳漂移失真为容许测度Q，几乎确定有界性下τdis不变量的分布就可以放松∈ Q，其中Q是要引入的模型不确定性集。如果过滤已完成，则不保证存在此类措施。P.6二汉贝拉克塔尔和张宇冲的措施。在Q下，Sthas漂移u+σθ和Wthas动力学：dWt=[rWt+（u+σθt- r） πt- c] dt+σπtdBQt（2.3），其中bq是独立于τd.Let Q的Q-布朗运动∈ Q