模糊厌恶下的寿命破产概率最小化

利用fand f的公式，我们可以证明对于ε足够小的ε（△ψ′）（w）+ψ′（w）≥ CC- rwc- rbD-2> 0  W∈ （b，ws）。（8.6）对于与ε和dW相关的一些正常数，接下来，我们对w统一显示F（w，~ψ（w），~ψ′（w），~ψ′（w））=O（ε）∈ （b，ws）。（8.7）鉴于（8.6），我们对F的表达式中的π进行了优化。利用方程（8.2）和（8.3），我们得到了f（w，~ψ（w），~ψ′（w），~ψ′（w））=D（w）ε+D（w）ε+D（w）ε（~ψ′）（w）+ψ′（w），其中D（w）：=2f′[λf- （rw）- c） f′]+[λf- （rw）- c） [f（f′）+f（f′）+D- （rw）- c） f′）+（f′）[λf- （rw）- c） f′，D（w）：=（f′）[λf- （rw）- c） f′）。利用（8.6）和f，f的显式公式可以证明，存在一个与ε和w无关的正常数，即| Di（w）|/[ε（~ψ′）（w）+ψ′（w）]≤ C、 i=1,2,3表示所有w∈ （b，ws）和ε小enou-gh。这证明了（8.7）。因此，我们可以找到一个正常数Cs，对于ε足够小的情况，F（w，△ψ（w）- Cε，△ψ′（w），△ψ′（w））≤ 0和F（w，ψ（w）+Cε，ψ′（w），ψ′（w））≥ 根据方程F=0的比较原理，我们得到了ψ=～ψ+O（ε）。8.3. 个人是否应该关心健壮性？图2显示了鲁棒性对最小破产概率有相当大的影响。然而，就投资行为而言，这并不是真正的信息。一个更重要的问题是：在强劲的市场中，最优非盈利投资策略π的表现如何？换句话说，如果个人做出投资决策时没有模型的不确定性，那么她会承担更大的风险吗？这个问题的答案部分是肯定的；个体应注意非小ε的稳健性。在我们的数值例子中，忽略稳健性会使ε大于10的破产概率增加10%以上。另一方面，对于小ε，π是一个很好的投资策略。

对于ε=1，由π产生的破产概率与最优破产概率ψ（·；1）之间的差异为0.1%，对个人而言可以忽略不计，尽管ψ和ψ（·；1）之间的差异可能高达10%。在我们的数值例子中，表1显示了π在不同程度的歧义厌恶下的表现。表1。如果个人使用非风险策略π，则与最小风险破产概率的最大偏差。ε=1ε=2ε=3ε=4ε=5ε=10ε=20r=0.02 0.001 0.005 0.013 0.025 0.038 0.105 0.201r=0.06 0.002 0.013 0.033 0.059 0.087 0.198 0.32434二汉贝拉克塔尔和张宇冲参考文献[1]A.D.亚历山大罗夫。几乎所有地方都存在凸函数的第二微分，以及与之相关的凸曲面的一些性质。列宁格勒州立大学编年史[Uchenye Zapiski]数学。爵士。，6:3–35, 1939.[2] O.阿尔瓦雷斯、J.-M.拉斯利和P.-L.狮子。凸粘性解和状态约束。J.数学。果酱。（9） ，76（3）：265–2881997年。[3] 妮可·伯尔和厄汉·贝拉克塔尔。关于随机排序在保险和金融问题控制中应用的说明。随机统计，86（2）：330-340，2014年。[4] E.Bayraktar、X.Hu和V.R.Young。在随机波动率下最小化终身破产概率。保险数学。经济。，49(2):194–206, 2011.[5] E.贝拉克塔尔和S.姚。零和随机微分对策的弱动态规划原理。暹罗J.控制优化。，51(3):2036–2080, 2013.[6] E.贝拉克塔尔和V.R.杨。终身最低财富与消费效用之间的对应关系。金融斯托赫。，11(2):213–236, 2007.[7] E.贝拉克塔尔和V.R.杨。在借贷约束下最小化终身破产概率。保险数学。经济。，41(1):196–221, 2007.[8] E.贝拉克塔尔和V.R。幼小的

当消费增长时，最小化破产概率。上午好。精算师。J、 ，12（4）：428–4422008年。[9] E.贝拉克塔尔和V.R.杨。通过停止和控制的博弈，证明了最小破产概率的规律性。金融斯托赫。，15(4):785–818, 2011.[10] A.本塔尔、D.贝尔西马斯和D.B.布朗。模糊优化的软鲁棒模型。奥普。第58号决议（4，第2部分）：1220-12342010年。[11] G.博尔迪戈尼、A.马图西和M.施韦泽。鲁棒效用最大化问题的随机控制方法。在随机分析与应用中，Abel Symp.第二卷。，第125-151页。柏林斯普林格，2007年。[12] A.Cartea、R.Donnelly和S.Jaimungal。强劲的做市。2013年。可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=2310645.[13] M.G.克兰德尔、H.石井和P-L.狮子。二阶偏微分方程粘度解用户指南。公牛是数学Soc。，新爵士。，27(1):1–67, 1992.[14] D.杜菲、W.H.弗莱明、H.M.索纳和T.扎里霍普·乌卢。不完全市场中的套期保值。J.经济。迪纳姆。控制，21（4-5）：753-7821997。[15] W·H·弗莱明和D·埃尔南德斯·埃尔南德斯。关于随机微分对策的价值。公社。斯托克。肛门。，5(2):341–351, 2011.[16] W·H·弗莱明和P·E·苏加尼迪斯。关于两人零和随机微分对策值函数的存在性。印第安纳大学数学系。J.，38（2）：293-3141989。[17] L·P·汉森和T·J·萨金特。健壮性。普林斯顿大学出版社，2007年。[18] L·P·汉森、T·J·萨金特、G·图尔穆罕贝托娃和N·威廉姆斯。机器人控制和模型误判。J.经济。《理论》，128（1）：45-902006。[19] D.Hern\'和ez Hern\'andez以及A.Schied。一种具有对数效用和时间一致性惩罚的鲁棒效用最大化控制方法。随机过程。应用程序，117(8):980–1000, 2007.[20] 胡和施韦泽。

有限时域随机控制问题的一些新的BSDE结果。《金融高级数学方法》第367-395页。斯普林格，海德堡，2011年。[21]C.Huang和H.Pag`es。具有有限视野的最优消费和投资组合政策：存在性和收敛性。安。阿普尔。B。，2(1):36–64, 1992.[22]S.杰卡。避免源头：一个有限的燃油控制问题。安。阿普尔。B。，12(4):1378–1389,2002.[23]J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理。斯普林格，第二版，2002年。[24]S.Jaimungal。不可逆转的投资和模糊厌恶。2011年。可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=1961786.[25]S.Jaimungal和G.Siglo ch.将风险和模糊厌恶纳入违约的混合模型。数学《金融》，22（1）：57-812012。[26]K.Janeˇcek和M.S^irbu。最佳投资，高水印性能费用。暹罗J.控制优化。，50(2):790–819, 2012.[27]I.Karatzas和S.E.Shreve。布朗运动与随机微积分。斯普林格，第二版，1991年。[28]N.V.克雷洛夫。二阶非线性椭圆型和抛物型方程。D.雷德尔出版公司，荷兰多德雷赫特，1987年。[29]A.E.B.Lim和J.G.Shanthikumar。相对熵、指数效用和稳健的动态定价。奥普。第55（2）号决议：198-2142007年。[30]P.Maenhout。稳健的投资组合规则和资产定价。《金融研究评论》，17（4）：951–983，2004年。[31]S.Mataramvura和B.Oksendal。风险最小化投资组合和随机微分方程。《随机学》，80（4）：317–337，2008年。[32]M.A.米列夫斯基和C.罗宾逊。自我年金和退休时的破产。上午好。精算师。J.，4（4）：112-1292000。讨论。[33]V.C.佩斯蒂恩和W.D.苏德思。连续时间红色和黑色：如何控制与目标的差异。数学奥普。第10（4）号决议：599-6111985年。[34]L.C.G.罗杰斯。

最佳投资。施普林格柏林海德堡，2013年。[35]A.希德。O风险和模糊规避偏好的最佳投资：双重方法。金融斯托赫。，11(1):107–129, 2007.[36]S.E.什里夫和H.M.索纳。具有交易成本的最优投资和消费。安。阿普尔。Probab。，4(3):609–692, 1994.[37]Mihai S^irbu。零和微分对策的随机Perron方法和基本策略。暹罗J.控制优化。，52(3):1693–1711, 2014.[38]D.W.斯特罗·奥克。随机分析讲座：扩散理论。剑桥大学出版社，1987年。[39]A.E.泰勒。医院的规则。艾默尔。数学月刊，1952年59:20-24。[40]N.头子。最优随机控制、随机目标问题和反向SDE。斯普林格纽约海德堡多德雷赫特伦敦，2012年。[41]R.乌帕尔和T.王。模型错误定义和差异化不足。《金融杂志》，58（6）：2465-24862003。[42]V.R.杨。O使终身破产概率最小化的最佳投资策略。上午好。精算师。J.，8（4）：105-1262004年。[43]T.Zariphopoulou。有约束的消费投资模型。暹罗J.控制优化。，32(1):59–85,1994.密歇根大学数学系，密歇根州安纳伯教堂街530号，邮编：48109，美国电子邮件地址：erhan@umich.edu密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡教堂街530号，邮编：48109，美国电子邮件地址：yuchong@umich.edu