投资组合约束下的模型独立超边际

另一方面，QS=Mand EQ{ψ}<∞ 尽管如此，Q∈ M（见备注3.8）表示QS，I=M。定理3.14因此屈服强度d（Φ）=supQ∈M（EQ[（S- S） ]- EQI）=- infQ∈Msupη∈[-1,1]η（式[S]- S |]- p（η））=- supη∈[-1,1]η（infQ）∈环境质量指数- S |]- p（η）），在第二行中，我们使用引理3.9。回顾[5，第4.2节]∈环境质量指数- S |]=，我们得到D（Φ）=- 马克斯- A.+,B-+o、 6无适配凸性的有界约束在本节中，我们将本文的主要结果定理3.14和4.8推广到一类不满足适配凸性（定义2.7（ii））但允许额外有界性的约束。这背后的动机包括AMMA约束，将在第6.1节中讨论。定义6.1 S是满足定义2.7（i）和（iii）的交易策略的集合，而条件（ii）被以下内容取代：（ii）对于任何∈ s c>0以至于|t（x）|≤ c代表所有x∈ （Rd+）和t∈ {0，…，T- 1} （即S=S）∞).在当前的设置下，引理3.2不再适用，因此上变量过程AQtis不再有用。我们据此调整QS和PSA的定义。定义6.2适用于任何Q∈我们定义：=sup∈序号[(o S） [T]。（6.1）与QSin定义3.4和PSin引理4.4的表征类似，我们定义了Q:={Q∈∏：CQ<+∞} P′S:={Q∈∏：CQ=0}。（6.2）组合约束下的模型独立超边缘25（2.4）中的召回，其中SC2表示∈ 她和谁在一起t:（Rd+）t7→ Rdcontinuous对于所有t=1，T使用引理3.3中的参数givesCQ=sup∈ScEQ[(o S） T]，Q∈Π. （6.3）通过（6.1）、（6.3）和命题3.10中的类似论点（等式[AQT]替换为CQ），我们得到：命题6.3假设满足定义6.1。

让Φ：（Rd+）T7→ R是一个可测函数，存在K>0，使得（3.11）成立。（i） 我们有p′/0（Φ）：=supQ∈Q′SEQ[Φ]-CQ≤ D/0（Φ）。（ii）此外，如果Φ是上半连续的，那么P′/0（Φ）=D/0（Φ）。（iii）如果Φ是上半连续的且Q′S6=/0，则存在Q*∈ Q′Ssuch thatP′/0（Φ）=EQ*[Φ] -CQ*.备注6.4在适应性凸性（定义2.7（ii））下，引理3.2断言eq[AQT]=CQ。一般来说，这不一定是真的。任何问题∈π，我们从引理3.2中观察到，一般来说，EQ[AQT]≥ 啜饮∈s∞情商[(o S） T]=CQ。这特别是P′/0（Φ）≥ P/0（Φ）。我们现在包括选项{ψi}i的集合∈在超边缘策略中。回顾（3.6）中eqi的定义，我们考虑测量值的集合，I:={Q∈ 问题：EQI<∞}, 和definep′（Φ）：=supQ∈Q′SEQ[Φ]-CQ- EQI。（6.4）以下结果来自定理3.14的直接调整。命题6.5假设满足定义6.1，ψiis连续和|ψi |满足（3.11）所有i∈ I.然后，对于任何上半连续函数Φ：（Rd+）T7→ r满足（3.11），我们有D（Φ）=P′（Φ），D和P′的定义如（3.2）和（6.4）所示。此外，如果Q′S，I6=/0，则（6.4）中的上确界在某些Q上达到*∈ 为了推导FTAP，我们考虑了测量值的集合，I:={Q∈ P′S:c′i（0-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+），尽管我∈ 一} 。在（6.3）中，引理4.7中的相同参数（等式[AQT]被CQ替换）产生：P′，I=/0==> infQ∈Q′{CQ+EQI}>0。（6.5）根据（6.5）和命题6.5，我们可以按照定理4.8和命题4.15（用CQ代替等式[AQT]）来证明以下内容。命题6.6假设满足定义6.1。然后，（i）S约束下的无模型独立套利当且仅当P′，I6=/0。（ii）最优套利利润在约束S（即。

GS，I<∞) 当且仅当Q′，I6=/0.26阿拉什·法希姆，于瑞黄6。1 Gamma constraintGivenΓ=（Γ，…，Γd）∈ Rd+，我们认为交易策略集合Γ={∈ H:|新界-新界-1| ≤Γn，t=0，T- 1，n=1，d} ，我们出发的地方-1.≡ 0∈ Rd.观察SΓ不承认自适应凸性（定义2.7（ii））。事实上，考虑一下≡ 0和′:= {1{t=0}Γ+1{t>0}Γ}t-1t=0，这两个值都在SΓ中。给定一个固定的∈ {1，…，T- 1} ，交易策略:= {t{t<s}+′t{t≥s} }T-1t=0不属于SΓ，如Γs-~s-1= 2Γ. 相反，Constrained collection SΓ满足了6.1的定义。引理6.7满足定义6.1。证据0是微不足道的∈ SΓ。每人∈ SΓ，自从t=∑tj=0(J-J-1） ，我们有|t|≤ （t+1）|Γ|，这表明定义6.1（ii）是令人满意的。它仍然需要验证定义2.7（iii）。鉴于备注2.9，根据Lusin定理，对于任何Q∈当∏和ε>0时，存在一个闭集DεOhm和一系列连续函数ε（x）={εt（x，…，xt）}t-1t=0使得Q（Dε）>1-ε和=ε在Dε上。也就是说，对于所有t=1，。。。，T- 1.当它被限制在域proj（Rd+）tDε：={x时，它是一个连续函数∈ （Rd+t: Y∈ （Rd+T）-tsuch（x，y）∈ Dε}。在下文中，通过对时间t的归纳，我们将构建一个持续的策略“ε∈ SΓ，c.时间t=0，\'ε:=这是一个常数∏dn=1[-Γn，Γn]，因此是连续的。修正t≥ 1.我们假设我们构造了连续函数{εs：（Rd+）s7→ Rd}t-1s=0这样‘εs=son proj（Rd+）sDε和|εs-\'\'εs-1| ≤Γon（Rd+）s\\proj（Rd+）sDε，对于任何s<t.通过‘’的连续性εt-1，由kT（x，…，xt）定义的集值函数：=({t（x，…，xt）}on proj（Rd+）tDεT-1（x，…，xt）-1) +∏dn=1[-Γn，Γn]on（Rd+）t\\proj（Rd+）tDε满足（2.6），因此允许连续选择（[31，定理3.2′）；i、 e.有一个连续函数“εt：（Rd+）t7→ 因此，”εt（x，…，xt）∈ Kt（x，…，xt）表示所有x∈ Rt+。

因此，我们可以构建ε∈ 定义2.7（iii）要求的SΓ，c。命题6.8 Q′SΓ=π和P′SΓ=M。证据从引理6.7的证明来看∈ SΓ以c为界：=（T+1）|Γ|。注释3.5给出了Q′SΓ=π。无论如何∈ {0，…，T- 1} 还有∈ Ft，注意(+)= {+s} T-1s=0:=+ΓA{s=t}和(-)= {-s} T-1s=0:=-ΓA{s=t}都属于sΓ。给定Q∈ P\'SΓ，在（6.2）中对P\'SΓ的定义意味着eq[A（St+1- St]=0。这很容易暗示EQ[St+1 | Ft]=St，因此Q∈ M根据命题6.8，以下是命题6.6的直接结果。推论6.9 SΓ满足以下条件：投资组合约束下的模型独立超边际27（i）SΓ下不存在模型独立套利当且仅当MI6=/0。（ii）最佳套利利润在SΓ（即GSΓ，i<∞) 当且仅当EQI<∞对于一些问题∈Π.备注6.10根据定理4.8、备注3.12和推论6.9，我们在以下方面具有等价性：（i）存在模型独立套利：∈ H（即无约束情况）。（二）存在模型独立套利∈ SΓ。虽然这两种套利机会并存，但就（4.4）中定义的最佳套利而言，它们是非常不同的。根据命题4.15，我们看到GH<∞当且仅当QH，I={Q∈ 男：EQI<∞} 6=/0，而GSΓ<∞ 当且仅当ifQ\'SΓ，I={Q∈∏：EQI<∞} 6= /0.在本附录中，我们提供了一个与定义2.7（iii）相关的例子，表明如果定义2.7（iii）不满足，命题3.10中的二元性可能会失败。设d=1，T=2，x=1。假设u（dx）=δ（dx）+δ（dx）和u（dx）=δ（dx），其中δx是x处的Diracmeasure∈ R

因此，Q（S=1，S=2）=Q（S=2，S=2）=。考虑交易策略的集合={= (,) :≡ 0,（x） =α{x=1}（x）对于某些α∈ [0, 1]}.虽然对定义2.7（i）和（ii）的满意度很低，但定义2.7（iii）并不成立。要了解这一点，请注意∞c={（0,0）}，因此对于任何∈ 当α>0时，我们有q(6= (0,0)) = 1/2. 为了保护索赔Φ（x，x）≡ 0，我们需要找到，m∈ N、 a比，cj∈ R、 Ki，Kj≥ 0和∈ 因此对于所有人（x，x）∈ R+0≤ a+n∑i=1bi（x）- Ki）+m∑j=1cj（x）- （千焦）++（十）- 十）+（x） （十）- x） 。自从≡ 0和（x） =α{x=1}，上述不等式减少了tofα（x，x）：=-α{x=1}（x）（x）- 十）≤ a+n∑i=1bi（x）- Ki）+m∑j=1cj（x）- Kj）+，（A.1）表示所有（x，x）∈ R+。让f*α表示fα的上半连续包络。我们观察到（A.1）对fα成立，当且仅当它对f也成立*α. 它跟在D/0（0）=inf0后面≤α≤1D/0（fα）=inf0≤α≤1D/0（f）*α） =inf0≤α≤1P/0（f）*α） =inf0≤α≤1αEQ[1{S=1}（S）（S）- （S）-] = 0，其中第三个等式来自命题3.10，第四个等式来自f*α=α{x=1}（x）（x）- 十）-. 另一方面，sinceAQ=supα∈[0,1]αQ（S=1）=，28 Arash Fahim，Yu-Jui Huangwe有P/0（0）=-等式[AQ]=-, 这表明了二元性的差距。参考文献1。B.ACCI AIO、M.BEI GLB–OCK、F.PENKNER和W.SCHACHERMAYER，资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本，数学金融（2013）。J.-P.AUBI N和H.FRANKOWSKA，集值分析，现代Birkh–auser经典，Birkh–auserBoston，Inc.，波士顿，马萨诸塞州，2009年。1990年版的再版[MR1048347]。E.BAYRAKTAR，Y.ZHANG，Z.ZHOU，关于资产定价模型不确定性基本定理的注记，风险，2（2014），第425-433.4页。E.BAYRAKTAR和Z.ZHOU，关于模型不确定性和组合约束下的套利和对偶性，密歇根大学技术代表，2014年。可在http://arxiv.org/abs/1402.2596.5.贝格尔博克先生，P。

HENRY-LABORD`ERE和F.PENKNER，《期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法》，金融学Stoch。，17（2013），第477-501.6页。D.BERTSIMAS和I.POPES CU，关于期权和股票价格之间的关系：凸优化方法，Oper。第50号决议（2002年），第358-374.7页。B.BOUCHARD和M.NUTZ，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，人工神经网络。阿普尔。B。，25（2015），第823-859.8页。H.BROWN、D.HOBSON和L.C.G.ROGERS，《障碍期权的稳健对冲》，数学。《金融》，11（2001），第285-314.9页。L.CARAS S US、H.PHAM和N.TOUZI，《投资组合约束下的离散时间无套利》，数学。《金融》，11（2001），第315-329.10页。周海恩和坦科夫，最优套利市场模型，技术代表，帕多瓦大学和巴黎迪德罗大学，2013年。可在http://arxiv.org/abs/1312.4979.11.X.CHEN、G.DEELSTRA、J.DHAENE和M.VANMAELE，一类奇异期权的静态超级复制策略，保险数学。经济。，42（2008），第1067-1085.12页。A.M.G.COX和J.OBL'OJ，《双重非接触期权的稳健定价和套期保值》，金融科技。，15（2011），第573-605.13页。J.CVITANI\'C和I.KARATZAS，用受限投资组合对冲或有权益，安。阿普尔。B。，3（1993），第652-681.14页。Y.DOLINSKY和H.M.SONER，《连续时间中的鞅最优运输和稳健套期保值，概率论及相关领域》，160（2014），第391-427.15页。，按比例交易成本的稳健对冲，《金融与随机》，18（2014），第327-347.16页。B.DUP I RE，《微笑定价，风险》，第7期（1994），第18-20.17页。D.FERNHOLZ和I.KARATZAS，《最佳套利》，应用概率年鉴，20（2010），第1179-1204.18页。，模型不确定性下的最优套利，《应用概率年鉴》，21（2011），第2191-2225.19页。霍尔默和D。

KRAMKOV，约束下的可选分解，Probab。理论相关领域，109（1997），第1-25.20页。H.F¨OLLMER和A.SCHIED，《风险和交易约束的凸度量》，金融史托赫出版社。，6（2002），第429-447.21页。，《随机金融》，沃尔特·德·格鲁伊特公司，柏林，扩展版，2011年。不确定时间的介绍。22.A.G¨OPFERT，H.RI AHI，C.TAMMER和C.ZALINESCU，部分有序空间中的变分方法，CMS数学书籍/Ouvrages de Math¨ematiques de la SMC，17，Springer Verlag，纽约，2003.23。P.HENRY-LABORD`ERE，《自动期权定价：数值方法》，国际理论与应用金融杂志，16（2013）。24。F.HI RSCH和B.ROYNETTE，凯勒定理的一个新证明，ESAIM：概率与统计，将于2012年出版。D.HOBS-ON，《回望期权的稳健对冲》，金融与随机，2（1998），第329C–347.26页。D.HOBS ON，P.LAURENCE和T.-H.WANG，篮子期权的静态套利最优子复制策略，保险数学。经济。，37（2005），第553-572页。投资组合约束下的模型独立超边际2927。，篮子期权价格的静态套利上界，Quant。《金融》，5（2005），第329-342.28页。E.JOUINI和H.KALLAL，《有卖空限制的证券市场中的套利》，数学。《金融》，第5期（1995），第197-232.29页。H.G.凯勒，边际问题的对偶定理，Z.沃希。没错。Gebiete，67（1984），第399-432.30页。P.LAURENCE AND T.-H.WANG，《篮子期权的精确上下限》，应用数学金融，12（2005），第253-282.31页。E.迈克尔，连续选择。一、 数学年鉴。第二辑，63（1956），第361-382.32页。C.纳普，《锥约束下的达朗-莫顿-威林格定理》，J.数学。经济。，39（2003），第111-126页。关于不对称信息均衡的特刊。33.D.B。

ROKHLIN，Dalang Morton-Willinger定理的一个扩展版本，带有凸portfolioconstraints，Teor。维罗亚特。Primen。，49（2004），第503-521.34页。F.TERKELS-EN，一些极大极小定理，数学。斯堪的纳维亚。，31（1972），第405-413页（1973）。35。C.VILLANI，《优化交通，新旧》，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[Mathematics Principles of Mathematics]第338卷，斯普林格·维拉格，柏林，2009年。