投资组合约束下的模型独立超边际

我们说ρ：x7→ R是一个凸风险度量，如果对于所有Φ，Φ′∈ 以下条件成立：–单调性：如果Φ≤Φ′，然后ρ（Φ）≥ρ(Φ′).– 平移不变性：如果m∈ R、 那么ρ（Φ+m）=ρ（Φ）- m、 –凸度：如果为0≤λ≤ 1，然后ρ（λΦ+（1-λ)Φ′) ≤λρ(Φ) + (1 -λ)ρ(Φ′).考虑验收集：={Φ∈ X:u∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 因此Φ（x）+ψu，η，（十）≥ 0, 十、∈ （Rd）T}。然后，定义函数ρS:x7→ R乘以ρS（Φ）：=inf{m∈ R:m+Φ∈ AS}=D(-Φ).命题3.17如果QS，I6=/0，那么ρ是一个凸风险度量，并且允许双公式ρS（Φ）=supQ∈Π情商[-Φ] -α*（Q）, （3.19）其中惩罚函数α*由α给出*（Q） ：=（等式[AQT]+等式Q∈ QS，我，∞, 否则此外，对于任何α：7→ R∪ {∞} 使（3.19）保持（α*替换为α），我们有α*（Q）≤所有Q的α（Q）∈Π.证据单调性和平移不变性很容易验证，而ρS的凸性来自于U、ria和S的凸性。现在，对偶性（3.19）是定理3.14的直接结果。由于QS，I6=/0，（3.19）表明ρ是实数，因此是凸风险度量。为了证明这一点*是最小惩罚函数，观察任何α∏7→ R∪ {∞} 满足（3.19），我们有α（Q）≥ supΦ∈十、情商[-Φ] -ρS（Φ）≥ supΦ∈像情商[-Φ] -ρS（Φ）≥ supΦ∈ASEQ[-Φ], Q∈Π.（3.20）通过引理3.3和（3.6）建立投资组合约束下的模型独立超边，α*（Q） =sup（EQ）(o S） T+∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））#∈ s∞,η∈ RI）对于所有Q∈Π. 自从-(o S） T-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））∈ 至于所有∈ s∞和η∈ RI，我们从（3.20）得出结论，α*（Q）≤α（Q）。备注3.18命题3.17将[20]中的命题16和定理17推广到与模型无关的环境中。请注意[20]中规定了无套利条件（在给定的物理度量P下）。

这里，我们只需要QS，I6=/0，这比独立于模型的无套利条件弱；详见第4节。4二元论资产定价的基本定理遵循[1]中的公式，我们引入了强路径意义上的套利概念：定义4.1（模型独立套利）我们说，在约束S下存在模型独立的套利，如果存在∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 太好了∑t=1d∑n=1unt（xnt）+∑我∈I（ηIψI（x）- ci（ηi））+(o x） T>0，对于所有x∈ （Rd+）T.备注4.2根据上述定义，如果存在模型独立套利，则根据定义的任何概率测度P，该套利即为套利Ohm.请注意，在[7]中，作者没有使用路径公式，而是通过准确定分析引入了模型不确定性下的套利概念。它们在套利的定义中包含了更多的策略，并提供了无套利条件和超边缘对偶的不同特征。然而，我们不会在本文中探讨这个方向。考虑以下度量值集合：={Q∈Π: {(o S） t}Tt=0对于所有人来说都是一个局部Q-超马尔廷格尔∈ S}。备注4.3（M和PS）通过定义，我们看到 PS.给定α>0，如果‘α：={新界≡α} t，nand-α:= {新界≡ -α} t，n都属于S，那么PS=M。事实上，考虑到Q∈ PS，自从‘α，-α∈ s∞,αSt=（？αoS）tand-αSt=(-在Q条件下，将两个超级大分子去皮。因此我们得出结论，Q∈ M下面的引理提供了PS.引理4.4 Fix Q的一个特征∈Π. 然后，Q∈ 附言<==> AQT=0 Q-a.s.证明。这是[21，命题9.6]和引理3.6的结果。18 Arash Fahim，Yu-Jui Huang注释4.5（PSA和QS）引理4.4特别暗示PS QS。注意，如果∞由H中的所有非负有界交易策略组成，然后PS=QS。

的确，对于任何问题∈ QS，我们从（3.5）中看到，AQT=0 qa.s，然后是Q∈ PSby引理4.4。为了说明无套利的等价条件，我们考虑了p，I:={Q∈ PS:c′i（0-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+），尽管我∈ 一} 。回想EQIin（3.6）。很容易验证EQI=0的以下特征。引理4.6给定Q∈π，我们有c′i（0）-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+）代表所有i∈ 如果EQI=0，则I为andony。为了推导出独立于模型的FTAP，我们需要以下引理。引理4.7假设所有i的ψiis连续和|ψi |满足（3.11）∈ I.那么，PS，I=/0==> infQ∈π{EQ[AQT]+EQI}>0。证据相反，假设infQ∈π{EQ[AQT]+EQI}=0。对于任何ε>0，都存在Qε∈π使得0≤ EQε[AQεT]+EQεI<ε。由于∏是弱紧的（注2.2），Qε必须弱收敛到某个Q*∈Π. 每人∈ s∞c、 我们可以用命题3.10（iii）来证明Q 7→ 情商[(o x） 在弱收敛拓扑下，T]在∏上是连续的。而且，对于每一个我∈ 一、 由于ψiis连续且|ψI |满足（3.11），我们可以在命题3.10（ii）中进行论证，以证明q 7→ 等式[ψi]在∏上是连续的。现在，使用引理3.3，0=limε→0EQε[AQεT]+EQεI=limε→0sup∈s∞cEQε[(o S） T]+supη∈里∑我∈I（ηiEQε[ψI]- ci（ηi））≥ 啜饮∈s∞克里姆ε→0EQε[(o S） T]+supη∈里里姆ε→0∑我∈I（ηiEQε[ψI]- ci（ηi））=sup∈s∞cEQ*[(o S） T]+supη∈里∑我∈I（ηiEQ）*[ψi]- ci（ηi））=EQ*[AQ]*T] +情商*一、 因此*[AQ]*T] =EQ*I=0。通过引理4.4和4.6，我们得到了Q*∈ PS，I，矛盾的PS，I=/0。现在，我们准备好介绍本节的主要结果。定理4.8假设ψiis连续且|ψi |满足（3.11）所有i∈ I.那么，在S约束下不存在模型独立套利当且仅当PS，I6=/0。证据证明“<==”, 假设存在模型独立套利。

也就是说，存在着你∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 真是这样∑t=1d∑n=1unt（xnt）+∑我∈I（ηIψI（x）- ci（ηi））+(o x） T>0表示所有x∈ RT+。在投资组合约束下的模型独立超边缘化，对于任何Q∈ QS，I，T∑t=1d∑n=1unt（Snt）+∑我∈I（ηIψI（S）- ci（ηi））+(o S） T- AQT>-AQTQ-a.s.通过对两边的期望，我们从引理3.7中得到≥∑我∈I（ηiEQ[ψI]- ci（ηi））>-EQ[AQT]，适用于所有Q∈ QS，I.If Q∈ PS，I，由于引理4.4，上述不等式变成EQI>0。然而，根据引理4.6，这意味着等式[ψi]/∈ [c′i（0-),c′i（0+）]∈ I和Q/∈ PS，我，一个矛盾。因此，我们得出结论，PS，I=/0。展示“==>”, 相反，我们假设PS，I=/0，并打算发现模型独立套利。根据定理3.14和引理4.7，我们得到了（0）=supQ∈QS，I{EQ[-[AQT]- EQI}=- infQ∈QS，I{EQ[AQT]+EQI}<0，这已经导致模型独立套利。让我们回顾一下第3.3节中的设置：每个期权ψican实际上可以在时间0时进行流动交易；也就是说，对于每一个我∈ 一、 c′I（η）是常数pi∈ 因此，PS，I=PS，（pi）I∈I:={Q∈ PS:EQ[ψi]=pi，我∈ 一} 。推论4.9假设ψiis连续，|ψi|satifies（3.11），ψi可以以π的价格流动交易∈ R、 尽管我∈ I.（I）S约束下的无模型独立套利当且仅当PS，（pi）I∈I6=/0。（ii）此外，假设不存在投资组合约束，即S=H。因此，不存在模型独立套利当且仅当M（pi）i∈I6=/0。备注4.10推论4.9（ii）恢复[1，定理1.3]，对于时间0的可交易期权至少包括所有到期日和行权的普通看涨期权的情况。备注4.11在资产定价基本定理（FTAP）的不同模型独立版本中，定理4.8和[1，定理1.3]在适应一般可交易期权集合的能力上是独一无二的。

虽然我们的框架除了流动交易的普通看涨期权外，还提供了广泛的可交易期权，[1]甚至没有假设普通看涨期权必须是可交易的。另一方面，虽然[1]隐含地假设任何可交易期权都是流动的，但我们考虑了流动性较低的期权的限制指令簿。还要注意，我们的方法与[1]中的方法有很大不同。函数分析技术包括使用哈恩-班纳赫定理，用于建立[1，定理1.3]；见[1，命题2.3]。在我们的例子中，我们首先通过最优传输推导出定理3.14中的超边对偶。利用这种对偶性，我们在定理4.8.20 Arash Fahim，Yu-Jui Huang 4中得到了所需的FTAP。1与经典理论的比较在经典理论中，物理测量P(Ohm,FT）是先验的。我们说，在约束为S的情况下，P下没有套利∈ S(o S） T≥ 0P-a.s.意味着(o S） T=0 P-a.S.考虑正锥K:={λ|∈ S，λ≥ 0}由S生成。对于allt=1，T，我们定义：{t|∈ S}，Kt:={t|∈ K}，和Introductent:={η∈ L(Ohm,英尺-1，P；Rd）：η·（St- 圣-1） =0 P-a.s.}，N⊥t:={ξ∈ L(Ohm,英尺-1，P；Rd）：ξ·η=所有η的0 P-a.s∈ Nt}。通过[21，引理1.66]，每ξ∈ L(Ohm,英尺-1，P；Rd）具有唯一的分解ξ=η+ξ⊥, 含η∈ n与ξ⊥∈ N⊥t、 我们用^Stand^Kt分别表示L和K的闭包(Ohm,英尺-1，P；Rd）。P下无套利的以下特征取自[21，定理9.9]。命题4.12假设对于所有t=1，T，St=^St，^Kt∩L∞(Ohm,英尺-1，P；（右） Kt和ξ⊥∈ 对于任何ξ∈ St.（4.1）那么，当且仅当ifPS（P）满足以下条件时，在P下，不存在带约束S的套利：=Q≈ P:St∈ L（Q）和{(o S） t}Tt=0是一个局部的Q-超鞅，∈ s6= /0.定理4.8可被视为命题4.12的推广，适用于模型无关的环境。

然而，有一个显著的差异：定理4.8不再需要封闭性假设（4.1）。在下文中，我们用一个简单的例子详细说明了这种差异。一个典型的例子表明，条件（4.1）对于命题4.12是必不可少的，它是一个包含两个风险资产（S，S）的单周期模型，集合了约束策略：{(,) ∈ R|()+ (- 1)≤ 1}.很容易看出（4.1）并不令人满意，正如^K∩ L∞(Ohm,F、 P）=K={≥ 0}不包含在K=K={（0,0）}∪{> 0}. 在时间0时，假设（S，S）=（1，1），通过分析市场数据，我们得到一个合理的定价度量Q应该是均匀分布在[1，2]上的，并且仅集中在{0}。（4.2）在经典框架下，物理测度P应满足（4.2），因此任何定价测度Q≈ P承认同样的财产。鉴于∈ 如果(· S） T=（S）- 1) -≥ 那么每年0美元== 因此，在约束为S的P下不存在套利。然而，正如在[4，示例2.1]中观察到的，PS（P）是空的。事实上，考虑到Q≈ P、 因为EQ[S]-1] >0，通过∈ 她和谁在一起/< EQ[S- 1] 一个人得到了情商[(· S） [T]=EQ[S- 1] -> 0.投资组合约束下的模型独立超边际21在我们的模型独立框架下，（4.2）通过普通调用的市场价格反映出来- K） +和（S）- K） +，为了所有的K≥ 也就是说，（2.2）中的∏是{Q的集合∈ P(Ohm) : （4.2）满足}。给定Q∈因为等式[S]=3/2，所以取∈ 她和谁在一起/< 1/2，一个人得到EQ[(· S） [T]=EQ[S- 1] -> 0.这表明PS=/0。请注意，这并不违反定理4.8，因为存在模型独立套利。要了解这一点，请考虑与客户进行动态交易∈ 令人满意的<ε对于某些ε∈ （0,1），并通过-（S）-ε)++ (1 +ε)∈ C

观察初始财富需要isZR+u（x）du（x）=-(3/2 -ε) + (1 +ε)= (2ε- 1/2),而最终财富总是严格地为正：对于任何（S，S）∈ R+，u+(· S） =（ε）+（S）- 1) >ε-> 0，如果是≥ε,(ε-) + (S+S） 如果S<ε，则大于0。（4.3）取ε∈ （0，1/4），我们所需的初始财富不大于0，并且thusobtain模型独立套利。备注4.13在模型独立设置中，我们可以在vanillacalls中持有静态头寸（Si-K） +就我所知∈ {1,2}和K>0，除了动态交易S=（S，S）。这种额外的灵活性，在经典框架下不可用，允许我们在（4.3）中构造套利。有趣的是，如果（4.1）在时间0时有足够多的可交易期权可用，那么在经典情况下是否可以放宽。最近，在附加可交易期权的情况下，[4]获得了一个类似于命题4.12的结果，先验地给出了一组可能的物理测度P。然而，由于他们的方法只考虑了大量可交易期权，因此仍然假设了类似于（4.1）的封闭性假设。4.2最优套利在一个独立于模型的框架下，从定理3.14和命题3.17的角度来看，只要QS，I6=/0弱于无风险条件PS，I6=/0，就可以很好地定义超边缘和风险度量问题。因此，有兴趣提供条件QS，I6=/0的特征。定义4.14考虑因素，I:=sup{a∈ R:u∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 所以ψu，η，（x） >a，十、∈ （Rd+T}。（4.4）根据定义，GS，I≥ 0

如果GS，I>0，我们说它是（独立于模型的）最优套利利润。最优套利的概念可以追溯到[17]，作者研究了在扩散环境下相对于市值可以实现的最高回报。在[10]和[18]中，分别对半鞅模型和模型不确定性设置进行了推广。我们的上述定义与[10，第3节]中的公式类似。从D（0）和GS的定义来看，这很简单，I=-D（0）=infQ∈QS，I{EQ[AQT]+EQI}。这会立即产生以下结果。命题4.15（i）GS，i=0<==> PS，I6=/0。（ii）GS，I<∞ <==> QS，I6=/0.5示例在本节中，我们将提供几个约束交易策略集合的具体示例。还将给出一个例子，说明额外可交易但流动性较低的期权的效果。记住M的关系会很方便 附言 QSπ，取自备注4.3和4.5。让我们进一步开始分析。提议5.1让我们∞包含H中的所有非负有界交易策略。（i） 任何问题∈ QS，{St}Tt=0是一个Q-超鞅。（ii）此外，如果在S∞从下方一致有界，即sup∈Ssupx∈（RT+d）|-（x） |≤ 对于一些C>0，那么QS={Q∈π：{St}Tt=0是一个Q-超马氏体}。证据（i） 给定Q∈ QS，如果{St}Tt=0不是Q-超鞅，则一定存在*∈ {1，…，d}和t*∈ {0，…，T- 1} 使得Q（EQ[Sn*T*+1 |英尺*] - 锡*T*> 0) > 0.然后我们从（3.3）推导出Q（AQt*+1.- AQt*= ∞) > 0.这意味着等式[AQT]=∞,与Q的矛盾∈ QS。（ii）让Q∈π使得{St}Tt=0是Q-超鞅。这很容易检查{(o S） 对于任何非负有界交易策略，t}Tt=0是Q-超鞅∈ H

根据（3.5），等式[AQT]=sup∈s∞情商[(+o S） [T]- 情商[(-o S） [T]≤ 啜饮∈s∞情商[|(-o S） T |]≤ 2CT∑t=1d∑n=1（等式[Snt+1]+EQ[Snt]）<+∞,这意味着Q∈ QS。示例5.2（卖空约束）给定cnt≥ 每t=0，T- 1和n=1，。。。，d、 我们从备注2.9（带Kt）中看到=∏n[-cnt，∞) 尽管如此，这是：{∈ H:新界≥ -cnt，t=0，T- n=1，。。。，d} 。投资组合约束下的模型独立超边际23满意度定义2.7。根据命题5.1，我们得到qs={Q∈π：{St}Tt=0是一个Q-超马氏体}。此外，如果所有t和n的cnt>0，则根据备注4.3，M=Ps。如果有∈ {1，…，d}使得cnt=0表示所有t，那么{Snt}Tt=0表示所有Q∈ 因此，如果所有t和n的cnt=0，那么PS=QS。例5.3（相对水位降限）当n=1时，让xn>0，。。。，d、 每个人∈ （Rd+）T，T=1，。。。，T和n∈ {1，…，d}，考虑运行的最大值x*,ntgivenby max{xn，xn，…，xnt}。然后，用xt:=（xt/x）定义相对下降过程{xt:t=0，…，t}*,1t，。。。，xdt/x*,dt）。对于每个n=1，。。。，d、 取两个连续函数san:[0,1]d7→ (-∞,0]和bn:[0,1]d7→ [0,∞), 并介绍：={∈ H:an（~xt）≤新界（xt）≤ bn（~xt），t=0，。。。，T- 1，n=1，。。。，d} ={∈ H:T∈ Kt，t=0，T- 1} ，其中Kt:=d∏i=1[an（~xt），bn（~xt）]。自KT满意度（2.6）以来，备注2.9表明，S满意度定义为2.7。感谢Remark 3.5，我们得到了QS=∏。例5.4（不可交易资产）假设某些风险资产不可交易。例如，在电力和外汇市场，人们交易写在不可交易基础上的期权。更准确地说，让d′来∈ {1，…，d}和集合：={∈ H:新界≡ 0，对于所有t=1。

，T和n=1，。。。，d′}。通过命题5.1中类似的论证，我们可以证明ps=QS={Q∈π：{Snt}Tt=1是一个Q-鞅，对于所有n=d′+1，。。。，d} 。根据定理4.8，当且仅当存在SQ时，不存在模型独立套利∈所有可交易资产都是鞅的∏。我们还可以通过对满足定义2.7的可交易资产施加额外约束来修改该示例。在这种情况下，定理4.8表明，当且仅当在仅由可交易资产组成的市场中不存在套利时，才存在套利。例5.5（流动性较小的期权）考虑一个两期模型，其中一个风险资产从S=2开始。如[5，第4.2节]中所述，我们假设砂的边缘分布由du（x）=[1,3]（x）dx，du（x）=x[0,1]（x）dx+[1,3]（x）dx+4给出- x[3,4]（x）dx。除了普通的调用之外，我们假设一个向前的开始跨越了支付ψ（S）=S- S |在时间0时也可交易，其交易η单位的单价由p（η）给出：∞1{η>1}+a1{0≤η≤1} +b1{-1.≤η<0}，其中0≤ B≤ a、 和wetake 0·∞ = 0.我们假设投资组合约束S满足QS=M。这很容易涵盖无约束情况，如备注3.12所述。此外，它还包括如例5.2所示的卖空约束。要了解这一点，请注意示例5.2中的QS={Q∈π：{St}Tt=0是一个Q-超马氏体}。但是自从Q∈π意味着等式[S]=EQ[S]=2（由u和u计算），每个Q∈ qs实际上是一个鞅。因此我们得到QS=M。我们打算对一个收益Φ（x，x）=（x）的奇异期权定价- x） 。我们的目标是了解在静态套期保值中使用附加期权ψ如何影响Φ的超边际价格。首先，对于任何问题∈ M，S的鞅性质impliesEQ[（S- S） ]=EQ[S]- 等式[S]=，仅从u和u中获得。由于QS=M，命题3.10给出D/0（Φ）=。