投资组合约束下的模型独立超边际

这种近似尤其使我们能够在命题3.10中建立超边缘对偶性。事实上，如果我们只有条件（i）和（ii），命题3.10中的对偶性通常可能会失败，如附录A所示。下文解释的定义2.7（iii）涵盖了一大类凸约束。备注2.9（自适应凸约束）让{Kt}T-1t=0是一个经过调整的设定值过程，使得对于每个t，kTMap（x，…，xt）∈ 闭凸集kt（x，…，xt） 其中包含0。以交易策略集合为例：{∈ H:每个t≥ 0,t（x，…，xt）∈ Kt（x，…，xt）， （x，…，xt）∈ （Rd+t}，这基本上满足了2.7（i）和（ii）的定义。为了获得第2.7（iii）条的定义，我们对每个t≥ 1，集值映射Kt：（Rd+）t7→ 2R是半连续的，在这个意义上，对于Rd中的任何V开口，集合{x∈ （Rd+）t:Kt（x）∩v6=/0}在（Rd+）t.（2.5）中打开，这相当于以下条件： Y∈ Kt（x）和{xn} （Rd+）tsuch表示xn→ 十、 伊恩∈ Kt（xn）使yn→ Y（2.6）参见例如[2，定义1.4.2]及其下面的备注，以及[22，第2.5节]。为了检查（iii），让我们∈ s∞, Q∈π，ε>0。对于每个t=1，T- 1，byLusin定理，存在一个闭集Dε，t （Rd+）查克t | Dε，t:Dε，t7→ k连续与Q（Dε，t×（Rd+）t-t） >1-εT-1.在（2.5）中，我们可以应用连续选择理论（参见[31，定理3.2′]）来找到一个有界连续函数εt：（Rd+）t7→ 以致εt=t Dε，t.现在，开始ε=, 定义ε：=TtDε，t×（Rd+）t-t、 定义为在RT+中关闭。我们看到了ε∈ s∞c、 Q（Dε）>1-ε、 及t=εt Dε对于所有t=0，。。。，T- 1.这已经验证了定义2.7（iii）。请注意，对于{Kt}Tt=1是确定性的特殊情况，Kt是每个t的固定子集，因此（2.6）是微不足道的满足。

有关确定性和适应性凸约束的具体说明，请参见下面的示例5.2和5.3。8 Arash Fahim，Yu Jui Huang 3带支付函数Φ：（Rd+）T7的路径依赖奇异期权的超边对偶→ R、 我们打算构造一个半静态的超边缘投资组合，它由三部分组成：普通调用中的静态头寸，{ψi}i中的静态头寸∈一、 以及动态的交易策略∈ s更准确地说，考虑C：=ν：R7→ R:~n（x）=a+n∑i=1bi（x）- 用一个∈ R、 n∈ N、 毕∈ R、 Ki>0,RI:={η=（ηi）i∈我∈ R：ηi6=0，表示很多i}。我们打算找到你∈ C:n=1，。。。，Dt=1，。。。，T}，η∈ 莉，还有∈ 例如ψu，η，（x） ：=T∑t=1d∑n=1unt（xnt）+∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））+(o x） T≥Φ（x）十、∈ （Rd+）T，（3.1），其中我们假设·∞ = 0.在C的定义中，我们特别要求Kito绝对为正。这是因为Ki=0对应于风险资产的交易，而风险资产已经被纳入∈ 不应将其视为静态位置的一部分。通过将U设置为所有U={unt∈ C:n=1，。。。，d、 t=1，T}，我们定义了Φ比亚迪的超边际价格（Φ）：=infnT∑t=1d∑n=1ZR+untdunt:u∈ U，η∈ 里昂德∈ 满足ψu，η，≥Φ, 十、∈ （Rd+）至。（3.2）通过引入U:={U∈ U:∑Tt=1∑dn=1RR+untdunt=0}，我们可以表示（3.2）asD（Φ）=infA.∈ R:u∈ U、 η∈ 里昂德∈ S满足a+ψu，η，≥Φ,十、∈ （Rd+T）本节的目标是推导与D（Φ）相关的超边对偶。3.1上变异过程为了处理投资组合约束S，我们为每个Q引入了一个辅助过程∈π，如[21，第9.2节]所述。定义3.1给定Q∈π，AQS的上限变化过程由AQ:=0和AQt+1定义- AQt:=esssupQ∈锡t·（等式[St+1 | Ft]- St）o，t=0，。。。

T- 1.投资组合约束下的模型独立超边际9首先，请注意，由于备注2.1，AQ定义中的条件预期得到了很好的定义。其次，由于定义2.7（i）-（ii）意味着1{||≤n}∈ 无论何时∈ S，我们可以用S代替S∞在上述定义中。接下来是AQT+1- AQt=esssupQ∈s∞情商[t·（St+1）- St）| Ft]，t=0，T- 1.（3.3）因此，AQt=t∑i=1esssupQ∈s∞情商[我-1·（Si）- 硅-1） |Fi-1] ，t=1，T.（3.4）引理3.2对于任意Q∈π和t=1，T，我们有EQesssupQ∈s∞情商[t·（St+1）- St）|英尺]= 啜饮∈s∞情商[t·（St+1）- [圣路易斯]。这尤其意味着eq[AQt]=sup∈s∞情商[(o S） [t]。（3.5）证据。首先，请注意{EQ[t·（St+1）- St）| Ft]：∈ s∞} 是朝上的。事实上，考虑到,′∈ s∞, 定义s:=s{s6=t}+(sA+′sAc）1{s=t}，其中：={EQ[t·（St+1）- St）|英尺]≥ 情商[′t·（St+1）- St）| Ft]}∈ 那么，~∈ s∞根据定义2.7（ii），andEQt（St+1）- St）|Ft]=最大{EQ[t·（St+1）- St）| Ft]，EQ[′t·（St+1）- St）| Ft]}。因此，我们可以应用[21，定理A.33，第496页]和getEQesssupQ∈s∞情商[t·（St+1）- St）|英尺]= 啜饮∈s∞情商[t·（St+1）- [圣路易斯]。现在，考虑到（3.4），我们有eq[AQt]=t∑i=1sup∈s∞情商[我-1·（Si）- 硅-1） ]=sup∈s∞情商[(o S） 定义2.7（ii）给出了最后一个等式。根据定义2.7（iii），我们实际上可以替换∞由S∞cin（3.5）。引理3.3对于每个t=1，。。。，T，EQ[AQt]=sup∈s∞cEQ[(o S） 10阿拉什·法希姆，于瑞黄。鉴于（3.5），有必要表明，对于每个固定的∈ s∞, 存在{ε}ε s∞C如此[(o S） T]=limε→0EQ[(εoS）T]。以M>0为例|t|≤ M表示所有t=1，。。。，T- 1.根据定义2.7（iii），对于任何ε>0，存在在RT+中闭合的Dε，并且ε∈ s∞使Q（Dε）>1-ε,ε=关于Dε，和|εt|≤ M对于所有t=1，T- 1.

因此情商[(o S） [T]- 情商[(εoS）T]≤ 情商|((-ε） oS）T | 1Dcε≤ EQh2MT-1.∑t=0 | St+1- St | 1Dcεi.由于备注2.1，随机变量2M∑T-1t=0 | St+1- St |是Q-可积的。然后，我们可以从上述不等式得出结论：[(εoS）T]→ 情商[(o S） [T]。定义3.4让QS成为Q的集合∈∏使EQ[AQT]<∞.备注3.5如果S中的策略一致有界，即。 c>0以至于|| ≤ 全体∈ 然后我们从（3.5）和备注2.1中推导出QS=∏。引理3.6给出任何∈ 是的，过程(o S） t-AQtis是一个本地的Q-supermartingale，适用于所有Q∈ QS。证据这个结果来源于[21，命题9.18]中的论点。我们在此提供完整性的证明。考虑停止时间τn:=inf{t≥ 0 : |t |>n或EQ[| St+1- 圣| |英尺]>n}∧ T、 由于备注2.1，条件预期得到了明确定义。给定一个进程Vt，让我们用vntt表示停止的进程Vt∧τn.观察|(o S） nt+1- (o S） 新界|≤ 1{τn≥t+1}|t | | St+1- 圣|。再次感谢备注2.1，这意味着(o S） ntis Q-可积。此外，情商[(o S） nt+1-(o S） nt | Ft]=1{τn≥t+1}t·（等式[St+1 | Ft]-（圣）≤ （AQ）nt+1-（AQ）nt，其中不平等性来自（3.3）。自EQ[AQT]<∞, 上述不平等表明(o S） nt公司- （AQ）NTI是一个超级艺术家。在终端时间T具有一定的可积性时，上述结果中的局部上鞅就变成了真正的上鞅。引理3.7修正∈ S和Q∈ QS。如果 Q-可积随机变量φ(o S） T≥那么，Q-a.s(o S） t-AQt≥ 等式[~n-AQT | Ft]Q-a.s.对于所有t=1，。。。，T这尤其意味着(o S） t- 这是一个真正的Q-超级艺术家。在投资组合约束下的模型独立超边。使用与引理3.6证明相同的符号，我们知道存在一个停止时间序列{τn}，使得τn↑ ∞ Q-a.s.和停止的过程(o S） 新界- （AQ）NTI是一个Q-超级马丁格尔，每n∈ N

我们将证明这个引理。假设t=2，不是这样的(o S） t- AQt≥ 等式[~n- AQT | Ft]，我们从supermartingale地产获得≥ 1{t-1<τn}EQh(o S） 新界- （AQ）新界-(o S） 新界-1.- （AQ）新界-1.| 英尺-1i=EQh{t-1<τn}n(o S） t- AQt-(o S） t-1.- AQt-1.o |英尺-1i≥ EQh{t-1<τn}nEQ[~n- AQT |英尺]-(o S） t-1.- AQt-1.o |英尺-1i=1{t-1<τn}EQ[~n- AQT |英尺-1] - 1{t-1<τn}(o S） t-1.- AQt-1..发送n→ ∞, 我们的结论是(o S） t-1.-AQt-1.≥ 等式[~n-AQT |英尺-1] Q-a.s.现在，引理3.6(o S） t- AQtis是一个局部的Q-超鞅，从下方以阿马丁格尔为界，因此是一个真正的Q-超鞅（见例[21，命题9.6]）。3.2从{ψi}i的静态持有量看超边对偶的推导∈在（3.1）中，我们引入eqi:=supη∈里∑我∈I（ηiEQ[ψI]- ci（ηi））≥ 0代表Q∈Π. （3.6）集合F（I）：={J I:J是一个有限集。我们观察到eqi=supJ∈F（I）supη∈R|J|∑我∈J（ηiEQ[ψi]- ci（ηi））=supJ∈F（I）∑我∈Jsupη∈R（ηEQ[ψi]- ci（η））。（3.7）考虑度量的集合，I:={Q∈ QS:EQI<∞}. （3.8）备注3.8修正Q∈Π. 无论如何，我∈ 一、 假设以下两个条件成立。（i） ci（η）=∞ 对于某些η>0或等式[ψi]<c′i(∞),（ii）ci（η）=∞ 对于某些η<0或等式[ψi]>c′i(-∞).通过η7的凸性→ ci（η），我们有supη∈R（ηEQ[ψi]-ci（η））<∞. 因此，从（3.7）的角度来看，如果I是一个有限集，并且（I）-（ii）满足上述所有I∈ 一、 然后EQI<∞.我们将致力于推导（3.2）中定义的D（Φ）和p（Φ）：=supQ之间的对偶关系∈QS，I{EQ[Φ- [AQT]- EQI}。

（3.9）以下取自[34，推论2]的极小极大结果将是有用的。12 Arash Fahim，Yu-Jui HuangLemma 3.9设X是拓扑向量空间的紧凸子集，Y是向量空间的凸子集，f:X×Y 7→ R是一个满足（i）的函数∈ 十、 地图y 7→ f（x，y）在y上是凸的。（ii）对于每个y∈ Y，地图X7→ f（x，y）在x上是上半连续且凹的。然后，英菲∈Ysupx∈Xf（x，y）=supx∈辛菲∈Yf（x，y）。让我们首先推导出I=/0情况下的超边缘对偶，即在时间0时，除普通调用外，没有期权可交易。（3.1）中的路径关系减少到ψu，（x） ：=T∑t=1d∑n=1unt（xnt）+(o x） T≥Φ（x），十、∈ 根据一个空集上的和为0的约定，（3.2）中的D（Φ）变成了D/0（Φ）：=infnT∑t=1d∑n=1ZR+untdunt:u∈ U和∈ 这就是ψu，（十）≥Φ（x），十、∈ （Rd+）至。此外，由于I=/0意味着F（I）={/0}，我们从（3.7）中推断出EQI=0，因为它是一个空集上的求和。因此，（3.9）中的P（Φ）减少了toP/0（Φ）：=supQ∈QSEQ[Φ- AQT]。（3.10）提议3.10让我=/0。假设Φ：（Rd+）T7→ R是可测量的，且 K>0使得Φ（x，…，xT）≤ K1+T∑t=1d∑n=1xnt！，为了所有的x∈ 我们有P/0（Φ）≤ D/0（Φ）。（ii）如果Φ是上半连续的，那么P/0（Φ）=D/0（Φ）。（iii）如果Φ是上半连续且QS6=/0，则存在Q*∈ qsp/0（Φ）=EQ*[Φ- 逆商*T] 。证据首先，通过备注2.1、（3.11）和定义3.4，P/0确实得到了很好的定义。（i） 拿你来说∈ U和∈ 这就是ψu，≥Φ. 任何问题∈ QS，注意(o S） T≥Φ（x）-T∑t=1d∑n=1unt（xnt）。如果等式[Φ-] < ∞, 那么Φ（x）-∑Tt=1∑由于（3.11），di=1uit（xt）是Q-可积的。我们从引理3.7得出结论(o S） t-这是一个真正的Q-超级艺术家。因此，EQ[Φ- [AQT]≤ EQ“T∑t=1d∑n=1unt（Snt）+(o S） T- AQT#≤T∑t=1d∑n=1ZR+untdunt。（3.12）投资组合约束下的模型独立超边际13If EQ[Φ-] = ∞, 然后（3.12）琐碎地成立。

通过取Q的上确界∈ qsand利用u的任意性，我们从（3.12）得到期望的不等式。（ii）我们将使用类似于[5，等式（3.1）-（3.4）]的论点。首先，观察D/0（Φ）≤inf（T）∑t=1d∑n=1ZR+untduit:u∈ U和∈ s∞c例如ψu，（十）≥Φ（x））=inf∈s∞辛夫T∑t=1d∑n=1ZR+untdunt:u∈ 你就是这样∑t=1d∑n=1unt（xnt）≥Φ（x）- (o x） T= inf∈s∞csupQ∈πEQ[Φ（x）- (o x） [T]。（3.13）这里，（3.13）来自最优传输理论（参见[5，命题2.1]），该理论要求Φ的上半连续性。现在，我们打算应用Lemma3。9到（3.13），其中X=π，Y=S∞c、 和f（Q，) = 等式[Φ（x）- (o x） [T]。引理3.9中唯一不明显的条件是q7的上半连续性→ f（Q，). 每人∈ s∞c、 由于（3.11），上半连续函数Φ（x）- (o x） 它由连续函数从上面限定l（x） ：=K1+T∑t=1d∑n=1xnt！+||∞D∑n=1（xn+2（xn+·xnT-1） +xnT），（3.14）其中||∞:= || ∨ max{supz∈（Rd+t）|t（z）|：t=1，。。。，T- 1} < ∞. 取任意序列{Qn}n∈Nin∏弱收敛于某些Q*∈Π. 观察问题7→ 情商[l] 是∏上的一个常数函数，我们从[35，引理4.3]得出结论：→∞方程n[Φ（x）- (o x） [T]≤ 情商*[Φ（x）- (o x） 它显示了q7的上半连续性→ f（Q，). 现在，将引理3.9应用到（3.13）yieldsD/0（Φ）≤ supQ∈πinf∈s∞cEQ[Φ（x）- (o x） T]=supQ∈Π等式[Φ]- 啜饮∈s∞cEQ[(o S） [T]= supQ∈πnEQ[Φ]- 等式[AQT]o=supQ∈QSnEQ[Φ]- 等式[AQT]o=P/0（Φ），其中第二行来自引理3.3。（iii）根据定义3.4，我们可以写出P/0（Φ）=supQ∈πEQ[Φ- AQT]用（3.10）中的∏代替QST。由于∏在弱收敛拓扑下是紧的（注2.2），因此可以证明Q 7→ =f（等式）：=Q- AQT]是上半连续的。因为第（二）部分的论点已经暗示了问题7→ EQ[Φ]是半连续的，仍然需要证明q7→ g（Q）：=EQ[AQT]是下半连续的。

与（3.14）相似，各∈ s∞c、 我们有|(o x） T|≤ h（x）与h（x）定义的h:||∞∑dn=1（xn+2（xn+·xnT-1） +xnT]。对于任意序列{Qn}n∈Nin∏弱收敛于某些Q*∈π，将[35，引理4.3]应用于函数(o x） 坦然-(o x） Tgivesliminfn→∞EQn[(o x） [T]≥ 情商*[(o x） [T]≥ 林尚→∞EQn[(o x） [T].14阿拉什·法希姆，于瑞黄，问题7→ G（Q） ：=EQ[(o S） T]是连续的。由于引理3.3，我们得到了g（Q）=sup∈s∞cg（Q） 是下半连续的，作为连续函数的上确界。备注3.11命题3.10（i）和（ii）不需要条件QS6=/0。的确，如果QS=/0，那么P（Φ）=-∞ 因此，第（一）部分的内容微不足道；此外，只要∏6=/0，第（ii）部分中的参数就成立，这由备注2.2保证。备注3.12命题3.10将[5，定理1.1]扩展到组合约束的情况。要了解这一点，请考虑无约束情况，即S=H。注意，S=H意味着QS=M，M的定义如（2.3）所示。而我 QS很明显，另一个包含在定义3.1中。事实上，考虑到Q∈ QS\\M，必须存在t∈ {0，…，T- 1} 这样等式[St+1 | Ft]6=St。因为S=H，我们有AQT+1- AQt=∞, 矛盾Q∈ QS。命题3.10中的对偶性减少了toD/0（Φ）=P/0（Φ）=supQ∈MEQ[Φ]，它恢复了[5，定理1.1]。备注3.13命题3.10还将[5，定理1.1]扩展到了多维S的情况。由于[5，定理1.1]依赖于一维Monge-Kantorovichdility，其作用于R+的T个副本的乘积（即[5，命题2.1]），人们可以期望通过作用于Rd+的T个副本的多维Monge-Kantorovichdility来证明命题3.10。虽然这种对偶确实存在（例如[29，定理2.14]），但应用它需要了解每个t=1，…，的（St，…，Sdt）的联合分布，。。。，T

这实际上是不可行的，因为vanilla Calls仅规定了每个n和t的Snt分布。因此，在命题3.10中，我们仍然依赖于一维结果[5，命题2.1]。通过治疗Ohm= （Rd+）是R+的（d×T）份数的乘积（如备注2.2），[5，命题2.1]确实适用于Snt的分布unTo，对于每n=1，d和t=1，。。。，T是已知的。注意，在[23，定理2.1]中首次提到[5，定理1.1]可以推广到更高的维度。通过ci的凸性，命题3.10扩展到一般情况，其中I6=/0。定理3.14假设ψiis连续且|ψi |满足（3.11）所有i∈ I.然后，对于任何上半连续函数Φ：（Rd+）T7→ R满足（3.11），我们有D（Φ）=P（Φ），D和P的定义如（3.2）和（3.9）所示。此外，如果QS，I6=/0，则（3.9）中的supremum是在某个Q处获得的*∈ QS，I.证据。从（3.2）和命题3.10中观察D（Φ）=infη∈RID/0Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））！=infη∈RIsupQ∈πEQ“Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））- AQT#。（3.15）考虑函数f（Q，η）：=EQ[Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））- Q的AQT]∈π和η∈ 里。通过Φ的上半连续性、ψi的连续性和（3.11），我们可以在命题3.10（i）和（ii）中论证f在Q中是上半连续的∈Π.此外，通过η7的凸性→ ci（η）为所有i∈ 一、 f在η中是凸的∈ 里。因此，我们可以将引理3.9应用于（3.15）和getD（Φ）=supQ∈πinfη∈RIEQ“Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））- AQT#=supQ∈QS，InEQ[Φ- [AQT]- EQIo=P（Φ）。鉴于命题3.10（iii）中的论证和ψi的连续性，我们得到了q7→ 等式[Φ- [AQT]- 紧集∏上的Eqi是上半连续的。因此，如果QS，I6=/0，则得到（3.9）中的上确界。

3.3与[1]中的无模型二元性的联系考虑这样一种情况，即每个期权ψican实际上在时间0时进行流动交易，就像普通期权一样。也就是说，对于每一个我∈ 一、 CII是线性的（见备注2.5），我们∈ R是ci的斜率。通过（3.6），当EQ[ψi]=Pi时，Eqi等于0∈ 一、 及∞ 如果不是的话。它由（3.8）得出，I=QS，（pi）I∈I:={Q∈ QS:EQ[ψi]=pi，我∈ 一} 。（3.16）在（2.3）中定义的召回。让我们也考虑一下我：={Q∈ M:c′i（0）-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+），我∈ 一} 。（3.17）在电流设置下，它变为mMi=M（pi）i∈I:={Q∈ M:EQ[ψi]=pi，我∈ 一} 。（3.18）每个i的推论3.15∈ 一、 假设ψiis连续，|ψI|satifies（3.11），ψI可以以π的价格进行流动交易∈ R.让Φ：（Rd+）T7→ R为上半连续且满足（3.11）。（i） 我们有（Φ）=P（Φ）=supQ∈QS，（Pi）i∈IEQ[Φ- AQT]。（ii）此外，如果没有投资组合约束，即S=H，则D（Φ）=P（Φ）=supQ∈M（pi）i∈IEQ[Φ]。证据（i） 简单地遵循定理3.14和（3.16）。对于（ii），从备注3.12中回顾S=H意味着QS=M，我们有QS，（pi）i∈I=M（pi）I∈I.然后，第（I）部分就变成了期望的结果。16 Arash Fahim，Yu Jui Huang评论3.16推论3.15（ii）指出，为了确定Φ的超边际价格，需要考虑鞅测度下Φ的预期，该鞅测度与普通看涨期权和其他期权的市场价格一致{ψi}i∈I.这尤其包括[1，定理1.4]，对于时间0的可交易期权至少包括所有到期日和行权的普通看涨期权的情况。3.4凸风险度量的连接设X为可度量函数Φ：（Rd+）T7的集合→ R满足线性生长条件（3.11）。