投资组合约束下的模型独立超边际

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英文标题：
《Model-independent Superhedging under Portfolio Constraints》
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作者：
Arash Fahim and Yu-Jui Huang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In a discrete-time market, we study model-independent superhedging, while the semi-static superhedging portfolio consists of {\\it three} parts: static positions in liquidly traded vanilla calls, static positions in other tradable, yet possibly less liquid, exotic options, and a dynamic trading strategy in risky assets under certain constraints. By considering the limit order book of each tradable exotic option and employing the Monge-Kantorovich theory of optimal transport, we establish a general superhedging duality, which admits a natural connection to convex risk measures. With the aid of this duality, we derive a model-independent version of the fundamental theorem of asset pricing. The notion \"finite optimal arbitrage profit\", weaker than no-arbitrage, is also introduced. It is worth noting that our method covers a large class of Delta constraints as well as Gamma constraint.
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中文摘要：
在离散时间市场中，我们研究模型独立的超边际，而半静态超边际投资组合由{\\it三个}部分组成：流动交易的普通看涨期权中的静态头寸，其他可交易但可能流动性较低的奇异期权中的静态头寸，以及在一定约束条件下风险资产中的动态交易策略。通过考虑每一个可交易的奇异期权的极限指令簿，并利用Monge-Kantorovich最优运输理论，我们建立了一个一般的超边对偶，它允许与凸风险测度有自然联系。借助这种对偶性，我们导出了资产定价基本定理的一个独立于模型的版本。引入了比无套利更弱的“有限最优套利利润”概念。值得注意的是，我们的方法涵盖了一大类Delta约束和Gamma约束。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Model-independent_Superhedging_under_Portfolio_Constraints.pdf (308.6 KB)

2022-5-5 18:29:22 上传

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关键词：投资组合 超边际 Quantitative Independent Constraints

在离散时间市场中，我们研究了模型独立超边际，而半静态超边际投资组合由三部分组成：流动交易的普通看涨期权的静态头寸，其他可交易但可能流动性较低的奇异期权的静态头寸，以及在一定约束条件下的风险资产动态交易策略。通过考虑每一个可交易的奇异期权的极限指令簿，并利用Monge-Kantorovich最优运输理论，我们建立了一个一般的超边缘对偶，它允许与凸风险测度有自然联系。借助这种对偶性，我们导出了资产定价基本定理的一个独立于模型的版本。还引入了比无套利更弱的“有限最优套利利润”概念。值得注意的是，我们的方法涵盖了一大类Deltaconstraint和Gamma约束。关键词模型独立定价·稳健超边际·限制指令簿·资产定价基本定理·投资组合约束·Monge Kantorovichophimal运输数学学科分类（2010）91G20·91G80JEL分类C61·G13A。佛罗里达州立大学法希姆数学系邮件：fahim@math.fsu.eduY.-都柏林城市大学数学科学学院。huang@dcu.ieWe感谢皮埃尔·亨利·拉伯德·厄尔、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和扬·奥博伊提出的深思熟虑的建议。我们也要感谢匿名推荐人的详细评论，这有助于提高这项工作的质量。A.法希姆得到佛罗里达州立大学CRC FYAP（315-81000-2424）和NSF（DMS-1209519）的部分支持。Y-J。

Huang部分得到了SFI（07/MI/008和08/SRC/FMC1389）和ERC（278295）的支持。2 Arash Fahim，Yu-Jui Huang简介为避免模型规格错误，可以选择只考虑市场的“必须真实”影响。Dupire[16]提出的标准方法利用了流动交易的普通看涨期权的市场价格：一种方法无法指定适当的实物度量，但将所有与普通看涨期权的市场价格一致的度量视为合理的定价度量。这些度量随后为非流动性奇异期权的价格提供了独立于模型的界限，并激发了实际有用的半静态对冲，包括静态持有和动态风险资产交易。由霍布森[25]首创的这一研究思路引起了广泛关注；参见[8]、[6]、[27]、[26]、[30]、[11]、[12]、[5]和[14]。特别是，Beiglb¨ock、Henry Labord`ere&Penkner在[5]中建立了模型独立超边的一般对偶性，在离散时间设置下，到期日在T>0或之前的香草调用的市场价格都被考虑在内。事实上，我们可以依靠的不仅仅是普通的电话。例如，在大宗商品市场上，亚洲期权和日历价差期权大部分是交易的，它们的市场或经纪人报价很容易获得。在纽约证券交易所和芝加哥期权交易所，已经引入了标准化的数字期权和障碍期权，主要用于股票指数和交易所交易基金。

因此，我们可以利用的不仅包括普通看涨期权的市场价格，还包括某些可交易的奇异期权的市场价格。在本文中，我们采用了[5]中的模型独立框架，并打算在考虑除普通看涨期权之外的其他可交易期权以及风险资产中交易策略的投资组合约束的情况下，建立一个一般的超边缘对偶。更具体地说，我们的半静态超边缘产品组合由三部分组成：1。流动交易普通看涨期权的静态头寸，如稳健对冲的文献；2.额外可交易但流动性可能较低的外部期权的静态头寸；3.风险资产在一定约束条件下的动态交易策略。虽然可以交易，但就流动性而言，额外的奇异期权可能与vanillacalls有很大不同。与标的资产和相关的普通看涨期权相比，它们的限价指令簿通常很浅，且存在较大的买卖价差。因此，为了使交易成为可能，我们需要考虑每个附加期权的整个限额指令簿，而不是一个单一的市场报价。我们在第2.1节中制定了限价订单簿，并考虑了相应的非恒定单价函数。另一方面，在模型特定情况下，对风险资产交易策略的投资组合约束进行了广泛研究；参见[13]和[28]了解确定性凸约束，以及[19]、[9]、[32]和[33]了解随机约束和其他更一般的约束。我们的目标是将投资组合约束置于当前独立于模型的背景下，并研究其对半静态超边缘化的影响。我们特别考虑一类具有自适应凸性和连续逼近性质的一般约束（定义2.7）。

这已经涵盖了大量的增量约束，包括自适应凸约束；见备注2.9。对于不存在额外可交易期权的简单情况，我们利用最优运输理论推导出命题3.10中的超边对偶。在投资组合约束下的模型独立超边这尤其将[5]中的对偶推广到了具有投资组合约束的多维情况；见备注3.12和3.13。然后，利用非常数单价函数的凸性，我们可以将上述对偶性推广到存在额外可交易期权的一般情况；见定理3.14。请注意，Acciaio、Beiglb–ock、Penkner&Schachermayer[1]也适用于存在可交易的奇异期权时的模型独立超边际，同时假设每个期权都可以流动交易。因此，定理3.14可以被视为[1]的一般化，涉及不同的流动性水平；见备注3.16。第二部分研究了超边缘对偶性与资产定价基本定理（FTAP）之间的关系。众所周知，在经典模型的特殊情况下，FTAP产生了超边缘对偶性。[1]将这种关系推广到了模型独立案例中，在该案例中引入了模型独立套利的适当概念。本着与[1]中相同的精神，我们在定义4.1中定义了独立套利模型，在当前设置下，附加可交易期权和投资组合约束。借助于定理3.14中的超边缘对偶，我们能够导出一个独立于模型的FTAP；见定理4.8。虽然定理本身没有区分风险资产套利和额外可交易期权套利，但引理4.4和4.6可以用来区分两者。

同样值得注意的是，我们推导FTAP是由于超边缘对偶性。这一论点在[15]中得到了证实，与标准论点相反，标准论点是由于FTAP而产生的超边缘二元性，该论点在模型具体案例和[1]中均使用。有了FTAP（定理4.8），我们从定理3.14和命题3.17中观察到，即使在一定程度上存在模型独立套利，也可以很好地解决超边际和风险度量问题。我们根据[10]的公式将其与最优套利联系起来，并表明，只要“最优套利利润是有限的”，就可以很好地定义超边际和风险度量，这是一个弱于无套利的概念；见提案4.15。我们还将定理4.8与[21，定理9.9]进行了比较，后者是投资组合约束下的经典模型专用FTAP，并观察到在当前设置下不再需要[21]中的封闭条件。第4.1节给出的一个例子表明，香草调用的可用性可以避免封闭条件的需要。最后，我们将范围扩展到Gamma约束。虽然Gamma约束在定义2.7（ii）中不满足自适应凸性，但它允许额外的有界性。利用这一点，我们可以修改之前的结果，得到命题6.3和6.6中相应的超边对偶和FTAP。本文的组织结构如下。在第2节中，我们规定了我们研究的设置。在第3节中，我们建立了超边缘对偶，并研究了它与文献中其他对偶和凸风险度量的关系。在第4节中，我们用额外的可交易期权对投资组合约束下的独立套利进行建模，并推导出相关的FTAP。还引入了比无套利弱的“有限最优套利”概念。

第5节给出了投资组合约束和额外可交易期权影响的具体例子。第6节讨论的约束不具有自适应凸性，但具有一定的有界性。附录A包含一个反例，该反例强调了定义2.7.4 Arash Fahim，Yu Jui Huang 2中要求的连续近似性质的必要性。我们考虑的是离散时间市场，具有有限的视野∈ N.有d个风险资产S={St}Tt=0={（St，…，Sdt）}Tt=0，其初始价格S=x∈ 给出了Rd+。还有一个无风险资产B={Bt}Tt=0，标准化为Bt≡ 1.具体地说，我们将S作为路径空间上的标准过程St（x，x，…，xT）=xOhm:= （Rd+）T，用F={Ft}Tt=0表示S.2.1普通看涨期权和其他可交易期权在时间0时产生的自然过滤，我们假设有回报的普通看涨期权（Snt-K） +可以以市场给定的价格Cn（t，K）进行流动交易，所有n=1，d、 t=1，。。。，T和K≥ 0.因此，与vanillacalls市场价格一致的定价措施集合为∏：=Q∈ P(Ohm) : 等式[（Snt）-K） +]=Cn（t，K），n=1，d、 t=1，T、 和K≥ 0,（2.1）其中P(Ohm) 表示定义的所有概率度量的集合Ohm.鉴于[24，命题2.1]，对于每个n=1，。。。，d和t=1，。。。，T，只要k7→ Cn（t，K）是非负的、凸的和满足极限的↓0KCn（t，K）≥ -1.安德林克→∞Cn（t，K）=0，关系式EQ[（Snt- K） +]=Cn（t，K）K≥ 0已经规定了Snton R+的分布，将用unt表示。因此，通过将qntas设为Sntunder Q定律，我们得到∏={Q∈ P(Ohm) : Qnt=unt， n=1，。。。，d和t=1，T}。（2.2）注释2.1给出Q∈π，注意等式[Snt]<∞ 对于所有n=1，d和t=1，T（取（2.1）中的K=0即可看出）。注2.2从（2.2）来看，∏是非空的、凸的、弱紧的。

这是[29，命题1.2]的直接结果，一旦我们Ohm= （Rd+）是R+的（d×T）份数。备注2.3我们不认为t 7→ Cn（t，K）随着固定n和K的增加而增加。这个条件通常是文献中所要求的（参见[5，第481页]），它意味着鞅度量集m:={Q∈π：S={St}Tt=0是Q}（2.3）下的鞅是非空的，这是[5]中超边对偶的基础。相比之下，下面命题3.10中的超边缘二元性取决于包含QSM的不同集合（见定义3.4）。因为有可能我们的二元性在M=/0时成立，施加“t7”→ Cn（t，K）在增加，这是不必要的。除了普通看涨期权外，还有其他期权在0点时可以交易，但流动性较低。让我成为一个（可能是不可数的）索引集。每一次我∈ 一、 假设ψI：Ohm7.→ Ris时间为0时可交易期权的支付函数。让η∈ R是在时间0时交易的ψi的单位数，η≥ 0表示采购订单，η<0表示组合约束下的模型独立超边缘5销售订单。设ci（η）∈\'-R:=R∪ {-∞,+∞} 表示交易η单位ψi的总成本。在本文中，我们施加以下条件：对于所有i∈ 一、 地图η7→ ci（η）是凸的，ci（0）=0。（C） 然后，我们可以定义交易η单位ψibypi（η）：=ci（η）η的单价pi（η）∈ R\\{0}，和pi（0）：=c′i（0+）。备注2.4条件（C）的动机是非负期权的限制订单的典型结构，如图2.1所示。也就是说，期权ψ只能以0的价格购买≤ A.≤ A.≤ · · · ≤ A.l单位数q，q，。。。，Ql> 分别为0，仅以b价出售≥ B≥ ··· ≥ bk≥ 0，单位数sr，r，。。。，rk分别大于0，其中b≤ 是否反映了买卖价差l 从kbelong到N∪ {+∞}. 可能l,k=∞ 允许在订单簿中输入许多买入/卖出价格。rk。bk。。

.RBQAQAQ。A.QlA.l出价要求价格。2.1ψiWe的限额订单簿记录Qm：=∑mj=1qj，在价格am以下可购买的单元总数，对于m=1，。。。，l. 同样，Rm：=∑mj=1rjis是指所有m=1，。。。，k、 ψiis的交易η单位的总成本ci（η）由ci（η）给出=∑U-1m=1amqm+au（η）- 曲-1) ≥ 0如果η∈ (曲)-1，Qu]，u=1，l + 1.0如果η=0，-∑U-1m=1bmrm+bu（η+Ru）-1) ≤ 0如果η∈ [-茹，-汝-1） ，u=0，。。。，k+1。我们把Q=R=0，Ql+1=Rk+1=∞, A.l+1= ∞, bk+1=0，并使用0·∞ = 0和∑m=1=0。如图2.2所示，η7→ ci（η）满足（C）。特别地，当且仅当b=A和q=R=∞; 这意味着ψi可以以a=b的价格进行流动交易，这是ci的斜率。备注2.5条件（C）捕捉到ψi价格的两个重要特征：（1）买卖价差，表示为[C′i（0）-),c′i（0+）；（2） 非线性，即单价η7→ π（η）是非常数。该设置特别允许在c′i（0-) = c′i（0+），同时，限价订单可能会导致非线性定价。这种情况发生在流动性很高的资产上，其买卖价差为6阿拉什·法希姆，黄玉瑞∞斜率=a1a2b1b2slope=0Ql-Rk≈ηci（η）图2.2η7图→ ci（η）：a，a。b，b。放置在每个段上表示每个段的斜率，并与卷q、q、。而r，r，分别地可以忽略不计，但对于大交易量而言，交易成本变得非常重要。此外，ci是线性的当且仅当ψican可以以一个单一价格pi（即ci的斜率）以任何单位进行流动交易。请注意，[3]最近考虑了模型不确定性下对冲期权的买卖价差，但不是非线性定价。

在独立于模型的情况下，虽然[15]中使用了对冲期权的非线性定价算子，但非线性并不反映其限额订单中期权的非恒定单价（见[15，（2.3]）；相反，它捕捉到一个市场，其中期权组合的价格可能低于期权各自价格的总和（见[15，引理2.4]证明中的第二行）。2.2约束交易策略定义2.6（交易策略）= {t} t-1t=0是一种交易策略，如果∈ RDI是一个常数，并且t:（Rd+）t7→ Rdis Borel可测量所有t=1，。。。，T- 1.此外，还讨论了关于x=（x，…，xT）∈ （Rd+）斜纹布表示为(o x） t:=t-1.∑i=0xi（x），xi+1- xi），对于t=1，。。。，T、 在上面的右手边，我=(我di），xi=（xi，…，xdi）和“·”表示Rd中的内积。我们将用H表示所有交易策略的集合。此外，对于任何系列J H，我们介绍子集合J∞:= {∈ J:t:（Rd+）t7→ 有界的， t=1，。。。，T- 1} ，J∞c:={∈ J∞:t： （Rd+）t7→ 这是连续的， t=1，。。。，T- 1}.（2.4）在本文中，我们要求交易策略位于H的子集合S中，如下所述。投资组合约束下的模型独立超边际定义2.7（自适应凸投资组合约束）是一组交易策略，例如（i）0∈ s（ii）任何,′∈ S和采用ht的适应过程h∈ [0,1]对于所有t=0，T-1，{htt+（1）- （ht）′t} t-1t=0∈ s（iii）任何∈ s∞, Q∈当ε>0时，存在一个闭集Dε （Rd+）和ε∈ s∞csuch thatQ（Dε）>1-ε和t=εt Dεt=0，。。。，T- 1.定义2.7中的备注2.8，（i）和（ii）是基于[21，第9.1节]，而（iii）是一个技术假设，允许我们在引理3.3中进行连续近似。