在程式化的银行系统中，由于交易对手风险导致的系统性损失

当b等于零时，银行是否陷入困境，主要取决于非银行间资产和负债的分布。因为，变量根据标准正态分布，当a和b等于零时，预计有一半的银行陷入困境。相反，当NB变大时，即当平均银行间贷款总额变大时，或当非银行间资产和负债的差异之和变小时，对于固定a，系统的弹性更强。然而，我们将在第4.4节中看到，存在一个临界值bcat，系统的行为从正常运行银行的平稳下降变为突然下降。参数a是负债和非银行间资产的平均值除以非银行间资产和负债的方差之间的差值。如果a为负值，则非银行间资产的平均值大于负债。a的分母是非银行间资产和负债方差之和的标准差σ。因此，如果a是负的，那么一个小的σ意味着a变得更负，导致一个更稳定的系统。然而，如果a为正，则小σ会导致更不稳定的系统。相反，如果非银行间资产的平均价值足以抵消负债，即 0，一个大的σ意味着对于一些银行来说，它们的非银行间资产不足以满足困境条件5。从今往后，如果银行间贷款不足，这些银行就会面临压力。相反，如果 0，则需要一个较大的σ，因为这意味着对于某些银行来说，其非银行间资产价值高于平均值。因此，这些银行能够满足困境条件5，并将正常运营。4结果4。1固定点研究等式中迭代映射的行为。

9，我们研究当它达到一个固定点p时，p=F（p）。从等式9中，通过使用标准正态分布，我们可以写出：F（x）=1-Φ（a）- bx），（12），其中Φ（x）是x的标准正常CDF∈ [0, 1]. 请注意，以下讨论可以在另一个位置规模分布中重复。0.5100.51a=7.55，b=10F（p）0.51-0.500.51便士- F（p）0.5100.51a=1，b=30 0.51-0.200.2P00.5100.51a=2，b=30 0.51-0.200.2PX1x1W1W3W2x2x1X2W1X2图。2该图的第一行显示了F（p）形式的等式12，与r=0的p相比。。。，100具有参数a和b的各种组合。第二行显示P的曲线图- F（p）。p的极值x和x- F（p）用十字表示，相应的固定点w和p所在的点- F（p）过零。箭头指示从特定p开始到达哪个固定点。为了研究固定点，我们在图2（第一行）中报告了迭代图F（x）的各种曲线图，图中显示了r=0到r=100的a和b的不同值。很明显，给定特定的参数值和相同的起始值，固定点会发生变化。图2的第二行更好地说明了这一点，其中p- F（p）在定点处穿过零。很明显，最多会发生三次定点扫描。也就是说，如果b<bc=√2π，仅出现一个固定点。如果b>bc，则三个固定点w、w、w成为可能。这是因为，每当b>bc时，函数x- F（x）在x1,2=b处有极值-1（a）q2 lnb√bc）（其中xis a最大值和xis a最小值）如果a∈ [a，a]，其中=b+q2 LNBC- bΦ（q2 lnbbc）和a=b-第二季度英国广播公司- bΦ(-问题2（英国广播公司）。注意，w≤ 十、≤ W≤ 十、≤ w、 我们有F（w）<1表示固定点是稳定的。类似地，wis是稳定的，而且由于迭代映射是一维的，wis是不稳定的。

因此，固定点WF形成一个载体。如果a<a，或a>a，那么p=F（p）只有一个解w，这是一个稳定的固定点。考虑以下情况：∈ （a，a）。如果起始值pis位于轨道[0，w]或[w，1]，则吸引固定点分别为wor w。如果p∈ [w，w]，然后wis是排斥固定点，wis是最终到达的吸引固定点。同样，如果p∈ [w，w]，最终到达的执行点为w。如果a=a，则固定点为w，w=x=w。这意味着固定点的左侧w=wis稳定，而固定点的右侧w=wis不稳定。因此，如果轨道中的起始值pis[0，w=w]，则固定点达到w。然而，如果p∈ [w=w，w]，那么到达的固定点是w.Forp∈ [w，1]吸引固定点再次是w。如果a=a，则w=x=w，即wand wmerge，意味着如果p∈ [w，w=w]，然后是吸引固定点。如果p∈ [0，w]或p∈ [w，1]，则到达的固定点分别为w。就模拟银行系统的稳定性而言，我们注意到，当b>bca时，可能会出现由不稳定固定点表示的障碍，这样运营银行的数量不会减少到某个特定值以下（或增加到某个特定值以上）。但是，如果参数值发生变化，则整个系统可能会突然崩溃（或再次完全运行）。因此，对于b<bc，系统是可逆的，但是对于b>bc，会发生滞后循环，因此系统变得不可逆，这取决于它的历史。因此，银行间市场上的大量贷款（即。

如果相应的负债值和非银行间资产的平均值为a<a，则p=1时的大b）有助于稳定系统，因为在这种情况下，屏障可防止整个系统故障。4.2由一家银行倒闭引起的存活银行数量的变化对于从PRP到pr+1的微小变化，存活银行数量的变化由M F（pr）给出。注意F（x）是概率密度函数i=a- bx。因此，当一家银行在下一次迭代中从正常运营变为陷入困境时，陷入困境的银行数量为[17]：n=F（x）。（13） 如果n小于1，任何雪崩最终都会停止。然而，如果n≥ 1 onebank违约可能引发整个系统故障。从p=1开始，对于b>bc和x=x，n正好是一。当nx=a/b时，F（x）达到最大值。此时，一家银行在下一次迭代中触发的压力银行的数量为z级，表明最初陷入困境的银行的所有相邻银行也都陷入困境。4.3 a和b之间的关系对于固定资本E（p），参数a和b相互依赖，因此参数a可以用b表示为：a=-E（p）σ+bpr。（14） 式中E（p）=ug+bpσ-uL.因此，只有当外部资本引入系统时，执行点p处给定a固定b的变化才能发生。增加银行资本有多种方法。例如，银行可以通过发行股票筹集资金。在违约的情况下，政府可以通过政府救助向陷入困境的银行注入资本进行干预。

此外，央行通过调整利率和对银行的贷款，或通过公开市场操作购买资产，来使用量化宽松的方法。因此，量化宽松可以确保使用央行贷款减少负债，利率低于银行间市场的其他要求，资产的清算高于市场价值，确保在面临流动性短缺时不需要资本来克服损失。4.4参数分析我们观察到，当b大于临界值bc时，系统从一种可逆的动力学传递到一种不可逆的动力学，其中出现滞后循环。这如图3所示，图中绘制了从b=0。。。，15.蓝色实线表示稳定的固定点，而蓝色虚线表示不稳定的固定点。滞后循环由红色箭头指示。-10-5 0 5 10 1500.20.40.60.81幸存银行的损失，pa=a2≈ 5.04成本B=15b=7b=0a=a1≈ 1.96图。3该图显示了存活银行的比例，作为给定固定值b的参数a的函数。蓝色图是不同b值的迭代函数12的解，其中b=1。。。，15.实线表示稳定的固定点，而虚线表示不稳定的固定点。如果固定点是唯一的，如b=1，2，则减少或增加a时不会出现滞后。对于b>Bc的值，以及三个执行点的特定范围，可能会导致滞后循环。粗蓝线表示b=7的固定点。红色箭头表示b=7时发生的滞后循环。从p=1开始，参数a需要增加到a=a≈ 5.04将整个系统设置为默认。

如果起始值为p=0，则a需要减小为a=a≈ 1.96为即将运营的银行。因此，这条道路取决于历史。我们可以观察到，在b=0时，当银行不相互借贷时，系统对于a的负值是稳定的；资产负债表等式中资产方面的波动可能导致银行倒闭，当a=0时，系统中一半的银行陷入困境。通过从一家银行向另一家银行放贷（b>0），系统变得更加稳定，在a值相同的情况下，陷入困境的银行数量更少。如果a值进一步增加，但b值保持不变，那么随着银行间非银行间资产和负债的差异增加，更多银行倒闭。因此，系统中的资本降低了。如果b低于其临界值，则系统是可逆的，所有固定点都是稳定的。如果b大于临界值bca<a，由于势垒的存在，几乎整个系统是稳定的（ifp=1）。然而，当a增加到a以上时，整个系统突然崩溃。同样，如果a是常数，但b减小，那么突然的跳跃也成为可能。让我们注意到，如果平均银行间贷款zJ减少，或者方差σ=pσg（t）+σL（t）增加，b就会减少。在[36]中，研究表明，在金融危机期间，贷款数量确实有所减少，但贷款利率也有所上升。因此，b减少，a增加。在我们的程式化系统中，这是一种会造成灾难性后果的机制，除非b<bc。为了在崩溃后恢复到正常的操作系统，需要将a至少降低到a。然后，突然的跳跃会使整个系统再次运行。

因此，拯救银行系统的成本由a（b（t））和a（b（t+δt））之间的差值给出，其中b（t）是危机开始时b的值，b（t+δt）是拯救时b的值。更具体地说，让我们在这里讨论案例b=7，并从完全运营的银行（即p=1）开始。在这里，当一个区域发生≈ 5.04. 然而，如果一开始所有银行都陷入困境，那么a需要降到a≈ 1.96，以恢复稳定的系统。在图3中，绿色箭头表示该成本。b最初，所有银行都在运营0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0-2.5-1.5-0.50.51.52.53.5最初所有陷入困境的银行0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0-2.5-1.5-0.50.51.52.53.50.10.20.30.40.50.60.70.80.9所有排不受力A=球排运行所有排运行A=a1a=球排不受力（B）（A）B=bcb=bca=a2Fig。4图中显示了给定a和b的运营银行比例，通过数值求解迭代函数12，从初始值p=1（图a）和p=0（图b）开始计算得出。从A=A时的（A）和A=A时的（B）跳变中可以看出滞后行为。图4是不同参数值下正常运行的气缸组的平衡分数图。该图包含两个图A和B，并描述了当所有银行的初始状态为p=1（图A）或p=0（图B）时，A和B的不同值的等式9的解。每当b=0时，运营银行的比例仅取决于非银行间资产的CDF。在标准正常CDF的情况下，如果a=0，一半的银行预计将承受压力；在a=-2.5运营银行的平衡分数为p≈ 0.9938; 而对于a=2.5，运营银行的均衡分位数为p≈ 0.0062.

如果0<b<bc，系统将变得更加稳定，这一点在资产负债表的资产部分增加，银行间贷款作为额外资产时表现得尤为明显。如果a保持不变，则在系统中引入额外资本，或改变值uL、ug、σ和σg，使a保持不变。此外，对于该范围内的b值，正常运行的银行中增加a的部分的下降仍然平稳。当b>bc时，运营银行的比例突然从几乎所有的运营银行跳到几乎所有处于压力中的银行，这是因为出现了第4.1.4.5节“稳定系统的杠杆”（即≈ 1） 当b>bc时，资产和负债之间的比率应确保≤ a、 使用平均场假设，银行的银行间资产是总平均资产的一小部分θ，即zJ=θua（其中ua=ug+zJp）。进一步使用等式14，这意味着杠杆比率——资本与总资产的比率，即γ=ueuA，应满足以下条件，以确保银行系统稳定：γ≥θcbcr2 lnθc+θΦ-r2lnθc, （15） 式中，θc=σbcuA。图5是等式15的曲线图，描绘了给定σ值的银行间资产与总资产之比的最小杠杆值γmin，此时系统作为θ的函数是稳定的。σ的值选择为各图表平均总资产的一小部分，如公司图例所示。我们选择以这种方式表示σ，因为此时等式15变得独立于uA。任何高于并包括γ的杠杆值都可以确保给定特定σ的安全银行体系。很明显，σ越大，θ越大，必须大于θcin，才能观察到跳跃，从而观察到银行系统的全系统故障。

然而，为了使银行体系保持稳定，杠杆率要求也需要显著提高。4.6抵押贷款抵押贷款的影响可通过添加qzJ（1）进行讨论- pt）总资产的总和。参数q∈ [0,1]表示当交易对手无法获得0.20.40.8 100.10.20.30.40.5银行间资产份额、θ杠杆率、γminσ=0.01uaσ=0.04uaσ=0.07uaσ=0.10uaσ=0.13uaσ=0.16uaσ=0.19uaσ=0.22uaσ=0.25uaσ=0.28uAFig时，银行可预期作为抵押品的平均金额。5该图显示了一家普通银行确保银行系统稳定的最低杠杆率γmin，作为银行间资产θ比例的函数。不同的曲线对应不同的σ。从图中，我们可以得出σ越大，发生跳跃所需的θ越大。偿还贷款。对这一术语的另一种思考方式是违约贷款的价值，即在破产程序中任何可能的偿还。术语qzJ（1）-pt）改变了系统故障点，包括抵押贷款在内的变量A和b需要调整为A=uL- ug+qzJσ；（16） andb=zJ（1）- q） σ。（17） 第5.5.5节模拟5中的图10给出了使用A和B的迭代函数12的固定点图。1模拟设置银行间市场的平均场假设意味着每家银行向所有其他银行发放相同金额的贷款。因此，当使用平均场假设时，网络结构是一个完全连通的图。此外，在目前进行的分析中，假设了非银行间资产价值的正常波动。

为了测试不同网络结构和分布的影响，我们使用了类似于[25]中的模拟方法。我们在模拟中建模的银行系统仍然代表着高度类型化的银行系统，因为我们将模拟局限于具有类似规模资产负债表的银行，将异质银行系统的影响留待后期。模拟结果旨在验证，通过使用不同的网络结构以及负债和资产的不同分布，也可以恢复整体行为和滞后效应。与之前一样，该系统由M家银行组成。每个银行i最初使用负债Li（0）和资产Ai（0）进行校准，分别从平均uLand方差σL（负债）和平均uA和方差σA（资产）的分布中得出。对于银行间资产，我们使用分数θ∈ [0，1]银行i的总资产Ai（0），使得银行i的总银行间资产为θAi（0）。银行间借贷结构由networkG={g1]给出≤ij≤M} ，其中，如果i银行向j银行贷款，则gij=1，否则为0。i银行向其相邻银行j发放的个人贷款是银行间总资产除以i银行的zi度，即i银行向j银行发放的贷款金额为θAigi，j/zi。测试的分布为正态分布和学生t分布。用正态分布、随机变量校准总资产和总负债i根据标准正态分布得出；总资产为Ai（0）=uA+σAA总负债为Li（0）=uL+σL锂。类似地，如果用于校准总资产和总负债的分布是学生的t分布，则随机变量tLi、Tai从自由度为ν的标准学生t分布中提取。总资产和负债由Ai（0）=uA+σA和Li（0）=uL+σLtLi给出。