购买人寿保险以实现遗赠目标

这些影响的净值是w*随λ增加；也就是说，Premium的额外成本不足以完全消除个人购买su rancenow的更大意愿。（c） r对w有两种影响*. 首先，安全水平HBR+HDR随着r的降低而降低，因此个人不必等待太久才能达到安全水平。第二，如果r增加，那么个人的钱会以更快的速度增加（即r），并更快地达到任何水平。因此，w*随着r降低，因为个体更愿意等待达到安全水平。（d） 我们发现了一些例子，证明w*可能随θ而减小，也可能随θ而增大。θ对w有两种相互竞争的影响*如上文第（b）部分所述：增加安全水平，而不是增加排放量。如果提高保险费的效果大于提高安全水平的效果，那么w*随θ减小，反之亦然。例3.1。为了演示备注3.6中的讨论，我们给出了一个数值例子。对于我们的基本方案，取以下参数值：b=1、r=0.03、λ=0.08和h=（1+0.25）λ=0.10。因此，安全水平等于0.7692，w*= 0.6949.（a） 首先，我们从数值上证明了w*相对于λ增加，同时保持θ=0.25。写w*（λ） 表示w*’在这个例子中，s依赖于λ。我们有w*（0.04）=0.0873，w*（0.05）=0.3323，w*（0.06）=0.5118，w*(0.08) = 0.6949.（b） 接下来，我们用数值方法证明w*相对于r减小。写入w*（r） 表示w*’在这个例子中，s依赖于r。回想一下r<λ，所以我们将考虑r∈ [0,0.08）。我们有*（0.00）=1.0000，w*（0.01）=0.9091，w*（0.02）=0.8333，w*（0.03）=0.6949，w*（0.04）=0.5118，w*（0.05）=0.2864，w*（0.06）=0.0873，w*(0.07) = 0.0030.（c） 最后，我们从数值上证明了w*在保持λfix–th不变的情况下，可能会相对于h减少或增加，也就是说，我们改变了θ。

写w*（h） 表示w*’在这个例子中，s依赖于h。首先，w*（0.08）=0.7054，w*（0.10）=0.6949，w*(0.15) = 0.6197. 那么，w*当λ=0.08时，随h减小。Nex t，设λ=0.12；然后，w*（0.12）=0.7992，w*（0.15）=0.8193，w*（0.20）=0.8101，和W*(0.25) = 0.7838. 那么，w*当λ=0.12时，随着h的增加，第一次增加，然后减少。备注3.7。现在，我们总结一下在本节中所学到的知识，并澄清一些结果。假设个人决定开始购买财富水平低于安全水平的全额保险。如果她在时间τ之前去世，这是一个成功的举动，时间τ是她的财富耗尽到零的时间；另一方面，如果她活到时间τwt，等到达到安全水平后再购买是成功之举。因此，让p（t）=e-λt如果生存到时间t的概率为1，最好的策略是购买全额保险- p（τ）≥ p（τwt），即p（τ）+p（τwt）≤ 1.而赌注策略是等待不平等性的恶化。因此，我们看到*正是r得出的财富水平inp（τ）+p（τ¨wt）=1。从这个方程中我们可以看出，任何导致τ和τw增加的变化都会使概率降低，而t h则会增加w*, 而导致这两个时间减少的变化（例如r的增加）将减少w*. 对于导致两个温度向不同方向移动的变化，其影响可能是不确定的，正如我们在上文中注意到的，h的增加导致τwt增加，但τ减小。3.2终身不可撤销在本节中，我们假设，一旦个人购买了给定金额的保险D，那么她必须在其余生中以hD的费率支付保费。她无法逆转这次购买。财富遵循（3.1）中给出的过程。

表示至少在毁灭前死亡的最大概率为‘φ；其定义如（3.2）所示，但本案中可接受战略差异的定义除外。事实上，一个不安全的采购策略D={D（t）}t≥如果D是一个非负且非递减的过程，则0是允许的。对于连续支付保费的不可逆人寿保险，安全水平取决于现有的人寿保险金额D。实际上，对于给定的财富水平w，个人可以安全地将其投资于无风险资产，并以rw的比率获得投资收益。由于该个人已经拥有D的死亡福利，在安全水平上，该收入必须足以覆盖保险费；是的，rw≥ hD，或相当于w≥hDr。此外，如果D小于RBR+h，则我们得到了第3.1节中的安全水平，即HBR+h。因此，当人寿保险为ir可逆时，安全水平由¨w（D）=max给出hbr+h，hDr=（hbr+h，如果是D≤rbr+h，hDr，如果D>rbr+h。φ的验证引理如下。引理3.8。对于R={（w，D）：0，t\'Φ=\'Φ（w，D）是一个关于w和D的非递减、连续且分段可微的函数≤ W≤ w（D），D≥ 0}. 假设“Φ满足”R:max上的下列变分不等式（rw）- hD）Φw- λΦ - 1{w+D≥b},ΦD= 0，（3.17），如果需要，我们使用单边导数。此外，假设Φ（w（D），D）=1。然后，在R上，φ=Φ。当D≥ b、 最佳的人寿保险购买策略是不购买任何额外的人寿保险，因为D已经满足了目标遗赠。个人的目标不是在支付保险费率的同时毁掉自己。

因此，在这种情况下，“φ”解决了以下BVP：λφ - 1.= （rw）- hD）‘φw，’φhDr，D= 1.我们在下一个命题中给出了该BVP的解决方案；我们留给读者去证明它满足引理3.8的变分不等式（3.17）。提案3.9。关于R={（w，D）：0≤ W≤hDr，D≥ b} ，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，D）=1给出-高清- rwhDλr.（3.18）相关的最佳保险购买策略是不购买任何额外保险。备注3.8。当D≥ 当最初的财富w在0，hDr, 最优控制的财富时间t等于（t）=hDr-hDr- Wert，随时间减少。因此，财富永远不会达到安全水平，相关的命中时间是零财富的命中时间τ，等于τ=rln高清- rw.个人死亡时财富至少等于b的概率是她在t i m eτ或1之前死亡的概率- E-λτ等于（3.18），如预期。D的情况之间有一个有趣的类比≥ b和第3.1节中的情况，其中λ>r和初始值w∈ [0，w*). 事实上，通过用注释3.4中给出的表达式检查上述W（t），我们可以看出，我们可以通过分别用b和r+h替换D和r，从后者中得到前者。0的命中时间和财富达到0之前死亡的概率是一致的。换句话说，我们可以从（3.8）中的第一个表达式得到（3.18），分别用D和r替换b和r+h。从备注3.8中的讨论中，我们得出以下推论。推论3.10。

如果D≥ b、 然后，对于遵循命题3.9中最优人寿保险购买策略的个人，死亡时的预期财富，\'E（w，D）=Ew，D（w（τD）），由\'E（w，D）给出=D1.-hλ-R1.-高清-rwhDλr+λwλ-r、 如果λ6=r，hD-rwrln高清-rwhD+（r+h）wh，如果λ=r.（3.19）备注3.9。如果D≥ b、 然后（3.19）中的“E”唯一地解出以下0的BVP≤ W≤hDr：（λ（\'E）- （w+D））=（rw- hD）\'Ew，\'E（0，D）=0。从今往后，我们假设D<b，并且我们将要求“φ”在D=b之间是连续的。我们提出了以下最佳购买人寿保险的方法，其中w和D分别是初始财富和死亡福利：（a）支持b- D≤ W≤hDrandrbr+h<D<b；然后，假设如果w>b，个人将不购买额外的人寿保险- D.如果财富达到b值- D、 然后，通过对死亡福利的即时控制，财富和死亡福利将保持在w′+D′=b线上，向点（w′，D′）=（0，b）移动。（b） 假设0≤ D<b- w和0≤ W≤hbr+h.（i）假设t h在（w，D）距离线w′+D′=b“足够近”，则个人将购买b的额外人寿保险- 在这条线上，我们希望“D+w”和“D+w”在这条线上跳跃；否则，根据（3.17）中的微分方程，我们得到沿rw′=hD′的φ=0，这是不正确的。（ii）假设如果w“足够接近”安全水平HBR+h，则个人不会购买额外保险，直到其财富达到安全水平。在这部分ansatz中，D<rbr+h是固有的，因此安全水平下的t h等于w=hbr+h。我们将（稍微）滥用下面的符号，将t o′φ作为上述ansatz产生的各种边界值问题的解决方案。

然而，随着我们的进步，我们将证明“φwe-thusobain”确实是在破坏区域“Ra={（w，D）：b之前达到遗产目标的最大概率- D≤ W≤hDr、rbr+h<D<b}：根据安萨兹法案（a）部分，在破产前获得遗产的最大概率解决了以下BVP：λ(φ - 1） =（rw）- hD）‘φw，’φD（b）- D、 D）=0，\'φhDr，D= 1，limD→B-φ（w，D）=1-血红蛋白- rwhbλr.（3.20）w=b时φD=0的条件- D ari从安萨茨杂志上得知，个人购买的保险将沿着这条线持续下去。最后一个条件是D=b时需要连续性；或者，我们可以简单地要求lim（w，D）→（0+，b）-)？（w，D）=0，然后检查D=b处的连续性。（3.20）的解由φ（w，D）=1给出-（r+h）D- rbhbλr+h高清- rw（r+h）D- rbλr.（3.21）在下一个命题中，我们声明‘（3.21）中的φ等于达到遗赠目标的最大概率；我们可以通过引理3.8证明这个命题。提案3.11。关于`Ra={（w，D）：b- D≤ W≤hDr，rbr+h<D<b}，在毁灭前达到遗赠目标的最大概率由‘φin（3.21）决定。相关的最佳保险购买策略是，当财富达到b时，在ly上购买额外的保险-D、 之后继续购买额外保险，以确保财富和死亡福利之和等于b。备注3.10。对于“Ra”内部的初始财富和死亡收益，时间t等于W（t）=hDr时的最优控制财富-hDr- Wert，随时间减少。因此，财富永远不会达到安全水平，第一个相关的搭便车时间是财富达到b的时间- D、 τb-D、 等于τb-D=rln（r+h）D- rbhD- rw.财富到达b之后- D、 个人持续购买人寿保险，以保持财富加死亡福利等于b。

从备注3.4可知，在时间t=τb时-D+s代表s≥ 0，最优控制财富等式W（t）=hbr+h-D-rbr+he（r+h）s，随时间减小。因此，第二个相关命中时间是零的命中时间，τ=r+hln血红蛋白（r+h）D- rb,我们从时间τb开始测量-D.个人死亡时财富至少为b的概率等于她在时间τb之前死亡的概率-Dplus她在时间τ之前死亡的概率，假设她在时间τb之后死亡-D、 或者1.- E-λτb-D+ E-λτb-D1.- E-λτ= 1.- E-λ（τ+τb）-D） ，与（3.21）中的表达式相同，如预期。从备注3.10中的讨论中，我们得出以下推论。推论3.12。对于（w，D）∈“\'Ra，遵循第3.11条建议的最佳人寿保险购买策略的个人死亡时的预期财富由”\'E（w，D）给出=高清-rw（r+h）D-rbλr（r+h）Dλ-R- Brλ-r+（r+h）D-rbhbλr+h+ Dh1-hλ-ri+λwλ-r、 如果λ6=r，w+D-高清-rwrln（r+h）D-rbhD-rw-高清-rwh血红蛋白（r+h）D-rbhr+h，如果λ=r.（3.22）备注3.11。对于（w，D）∈（3.22）中的‘Ra，’E唯一地解出了以下BVP：（λ（’E）- （w+D））=（rw- hD）Ew，ED（b）- D、 D）=0，\'E（w，b）=\'E（w），其中\'E（w）=B1.-hλ-R1.-血红蛋白-rwhbλr+λwλ-r、 如果λ6=r，hb-rwrln血红蛋白-rwhb+（r+h）wh，如果λ=r。D=b处的边界条件来自于E穿过D=b的连续性；因此，\'e是通过（2.22a）中D=b的表达式获得的。或者，我们可以简单地要求lim（w，D）→（0+，b）-)E（w，D）=0，然后检查D=b的连续性是否保持。区域Rb={（w，D）：0≤ D<b- w、 0≤ W≤hbr+h}：根据《安萨茨法案》第（b）（i）部分，对于（w，D）“足够接近”新的w′+D′=b，个人立即购买额外的人寿保险- （w+D）。Thu s，φ由φ（w，D）=φ（w，b）给出- w） ，其中右侧sid e由（3.21）给出。因此，φ（w，D）=1-血红蛋白- （r+h）whbλr+h。

（3.23）根据安萨茨第（b）（ii）部分，对于w“足够接近”安全水平HBR+h，假设D<rbr+h，“φ”解决以下BVP：λ′φ=（rw）- hD）‘φw，’φhbr+h，D= 1.（3.24）（3.24）的溶质由φ（w，D）给出=rw- hDhrbr+h- Dλr.（3.25）为了得到（3.25），我们假设rw- 当w<hbr+h时，hD>0；否则，如果线rw=hD位于连续区域，则（3.24）中的微分方程意味着沿rw=hD的¨φ=0，这是不正确的。此外，在书面形式（3.25）中，我们的意思是，如果w=hbr+hand D=rbr+hb，则φ=1，因为该点位于安全区域。接下来，我们找到（3.23）中表达的跳跃区域和（3.25）中表达的持续区域之间的边界。事实证明，我们可以将这个边界表示为函数D=Dj（w）；下标j表示跳跃。我们要求φ沿该边界是连续的；也就是说，我们需要e1-血红蛋白- （r+h）whbλr+h=rw- hDj（w）hrbr+h- Dj（西）λr.求解dj的方程≤ w<hbr+HYIELDSDDJ（w）=rhw-hbr+hfj（w）1- fj（w），（3.26），其中fj（w）=“1-血红蛋白- （r+h）whbλr+h#rλ。（3.27）因为fjhbr+h= 1.我们定义Djhbr+h通过连续性；具体来说，设置Djhbr+h=rbr+h。对于后面的情况，理解Djonh0、hbr+hi的图形很重要。下面引理的证明见附录B。引理3.13。

让函数D=Dj（w）由方程（3.26）和（3.27）定义为0≤ w<hbr+h，以及定义Djhbr+h=rbr+h.（a）Dj（w）≤rwh，仅在w=0和w=hbr+h时相等。（b）如果λ≤ r、 那么Dj（w）从0增加到br+has w从0增加到hbr+h。（c）如果λ>r，那么Dj（w）≤ 0换0≤ W≤ W*, Dj（w）从0增加到br+从w增加到w*tohbr+h，其中w*是命题3.4中（3.9）表达式的唯一零。从引理3.13中，我们看到有两种情况需要考虑：λ≤ r和λ>r，如第3.1节中的问题。在接下来的两个命题中，我们证明了（3.23）和（3.25）中给出的“φ”沿D=Dj（w）拼接在一起，满足引理3.8的条件。首先，我们考虑λ≤ R第二，λ>r.命题3.14。假设λ≤ r、 关于Rb={（w，D）：0≤ D<b- w、 0≤ W≤hbr+h}，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由‘（w，D）给出=rw-hDh（rbr+h）-D）λr，如果0≤ D≤ Dj（w），1-血红蛋白-（r+h）whbλr+h，如果Dj（w）<D≤ B- w、 （3.28）相关的最优保险购买策略如下：（a）如果0≤ D≤ Dj（w），则在财富达到安全水平HBR+h之前不要购买额外保险，此时，购买BRR+h的额外保险- D.（b）如果Dj（w）<D≤ B- w、 然后立即购买b的附加保险- （w+D）然后继续购买额外的保险，以确保财富和死亡福利的总和等于b。函数“φi”在w和D中是递增的，并且是分段可微分的，在w=hbr+h时它等于1。回想一下，当w=hbr+hand D=rbr+h时，我们将（3.25）中的“φ”定义为等于1。从dj（w）的定义，我们知道（3.28）中的“φ”在“Rb”中是连续的；它也与（3.21）中给出的穿过线w+D=b的“φ”连续。

仍需证明“φ”满足变分不等式（3.17）。如果0≤ D≤ Dj（w），然后（rw）- hD）φw- 通过推导（3.25）中的表达式，λ′φ=0。“质量”φD≤ 0在这个次区域上保持不变，因为在内部，\'φD（w，D）∝rbr+h- D-人权观察- hD为负值，因为w<hbr+h，rw>hD，D<rbr+hwhen D<Dj（w）。如果Dj（w）<D≤ B- w、 很明显，φD=0。不平等（rw）- hD）φw- λφ ≤ 0仅当且仅当ifD≥ （b）- w）- B血红蛋白- （r+h）whb1.-λr+h=：D（w）。（3.29）因此，足以证明D（w）≤ Dj（w）。这个不等式在w=0和w=hbr+h时成立，所以我们只需要在0<w<hbr+h时显示它=血红蛋白-（r+h）whbλr+h，不等式d（w）≤ 0<w<hbr+hbecomes（1）的Dj（w）- z） 一,-rλ- 1+hr+hz≥ 0表示0<z<1。这个不等式成立是因为z=0的左边等于0，而λ的左边增加了（0，1）≤ r、 因此，我们已经证明（3.28）中的“φ”满足引理3.8的条件，因此我们得出结论，“φ”是在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率。备注3.12。如果λ≤ r，然后在¨rbf的子区域上≤ D≤ Dj（w），时间t的最优控制财富等于w（t）=hDr+rw- hDrert，向安全水平hbr+h增加。hbr+hequalsτhbr+h=rln的命中时间Hrbr+h- Drw- 高清.个人死亡时财富等于b的概率是她在时间τhbr+h或e后死亡的概率-λτhbr+h，等于（3.25）中的表达式，如预期。关于Dj（w）<D的¨rbf的子区域≤ B- w、 个人立即购买b的额外保险- （w+D），然后继续购买保险，以保持在w′+D′=b线上。从备注3.4中可以看出，时间t的最优控制财富等于w（t）=hbr+h-hbr+h- We（r+h）t，它不断减小，在个体死亡之前可能达到零。