具有线性和二次成本的再平衡

[19，第3.1节]）并假设买卖价差为10个基点的流动股票的清算时间在0.08至7.91天之间，相对清算成本在0.13%至3.26%之间。随着时间的推移，这些小成本对等效安全率的影响消失了。此外，较短的清算时间支持恒定最佳报价假设。4数值例子在本节中，我们通过一些数值例子研究了定理3.1中最优再平衡政策的性质。这也使我们能够评估第6节中建立的渐近线的质量，结果证明是非常好的。图1显示了各种交易成本的最佳策略。左面板显示了周转率和相应的非贸易区如何取决于价格影响参数λ。随着后者的减少，在非贸易区边界附近的营业额迅速增加，收敛到仅以比例成本实施的单一控制（“以固定速度推进”）。对于较高的价格影响成本，最优交易率在偏离交易边界时几乎是线性的。此外，在这种情况下，非贸易区的宽度会减小，因为投资者会更早开始交易，以弥补边界处交易速度较慢的影响。然而，这种影响的大小相当小，即最优非贸易区的宽度对二次成本相对不敏感。图1中的右面板绘制了买卖价差不同宽度ε的交易率。随着后者的减少，无贸易区缩小到零，最优政策收敛到只有价格影响的一个，即以与无摩擦默顿投资组合的偏差基本成比例的速度重新平衡[19]。

对于较大的价差，非贸易区迅速扩大，如[19，等式（2.12）]所示，无线性成本的最优营业额u0，λ允许以下渐近展开：u0，λ（y）=σ（γ/2）1/2（y）*- y） λ-1/2+o（λ）-1/2）.0.50.60.70.8-0.4-0.20.20.40.50.60.70.8-0.2-0.10.10.2图2：根据定理3.1（实数）及其渐近展开式（6.15）（虚线），ε=λ=1%（左图）和ε=λ=5%（右图）。模型参数为u=8%，σ=16%，γ=5。最佳再平衡率在交易边界附近的增长速度远快于远离这些边界的增长速度。总之，最优政策规定i）比只考虑比例成本的情况下更早开始交易，ii）比只考虑价格影响的情况下更慢地重新平衡。交易边界附近的换手率增长更快；更进一步说，它只需支付二次成本就可以接近同类产品。作为补充，图2评估了第6节中得出的小成本渐近曲线的质量。在这里，我们比较了两种交易成本组合的最优换手率及其渐近展开式（6.15）。即使对于不现实的大摩擦，近似也提供了极好的结果。因此，计算量可以轻松地找到单尺度函数的根，精度损失很小。5启发式在本节中，我们使用随机控制的参数，以启发式方式推导出长期问题的候选解决方案（2.6）。为此，考虑预期功率利用率u（x）=x1的最大化-γ/(1-γ） 从时间T>0时的终端财富。用V（t，Xt，Yt）表示相应的价值函数，该函数假定取决于当前财富Xt、当前风险权重Yt和时间t。

对于任何给定的策略u，它^o的公式产生：dV（t，Xt，Yt）=Vtdt+VxdXt+VydYt+vxdhxit+VyydhY It+VxydhX，Y It=Vtdt+Vx（uXtYt）- εXt|ut|- λXtut）dt+VxXtYtσdWt+Vy（Yt（1- 钇（u）- Ytσ+ut+εYt | ut |+λYtut）dt+VyYt（1- Yt）σdWt+σVxxTyt+σVyyyyt（1）- Yt）+σVxyXtYt（1）- Yt）dt。根据随机控制的鞅最优性原理，对于任何容许策略，值函数V（t，Xt，Yt）必须是上鞅，对于最优策略，值函数V（t，Xt，Yt）必须是鞅。也就是说，它根据渐近公式（6.16）增长，对应于一个只有二次成本的模型。V（t，Xt，Yt）的漂移不能为正，必须为零。这导致了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程：0=Vt+y（1- y） （u）- σy）Vy+uxyVx+σy（xVxx+（1- y） Vyy+2x（1- y） Vxy）+maxu-λxuVx- εx | u | Vx+Vy（u+εy | u |+λyu）.同感U（x）=x1-幂效用函数的γU（1）和长期效用应以恒定指数速率增长的猜想，激发了长期价值函数的以下假设：V（t，x，y）=x1-γ1 - γe（1）-γ） （β（T-t） +Rypq（z）dz）。（5.1）注意，函数q被定义为任意的p。V的这种定义导致HJB方程的长期运行版本：0=- β+uy-γσy+y（1）- y） （u）- γσy）q+σy（1）- y） （q+（1）- γ） q）+maxu(-λu- ε| u |+（u+ε| u | y+λyu）q）。（5.2）将财富周转率u分解为买卖周转率，即u=u+- U-, HJBequation减少到0=- β+uy-γσy+y（1）- y） （u）- γσy）q+σy（1）- y） （q+（1）- γ） q）+maxu+≥0(-λ（u+）- εu++（u++εu+y+λy（u+）q）+maxu-≥0(-λ（u）-)- εu-+ (-U-+ εu-y+λy（u）-))q） 。（5.3）假设满足“二阶条件”q（y）y<1（这适用于引理7.2中构造的函数q）。然后，在u+（y）=max时达到最大值2λq（y）（1）- yq（y））- ε, 0, （5.4）美国-（y） =最大值-2λq（y）（1）- yq（y））+ε, 0.

（5.5）具有比例交易成本但没有价格影响的优化器的特点是围绕无摩擦最优y的无交易区间*= u/γσ. 因此，我们推测，在目前的环境下，没有贸易区，ny:u+（y）=u-（y） =0o=ny:-ε<q（y）1- yq（y）<εo，也由某个区间[y]给出-, y+]。将最优周转率（5.4-5.5）替换回（5.3），HJB方程反过来简化为ODE（3.1）。跨越边界实现连续性-, 非贸易区的y+收益率依次为（3.4-3.5）。因为微分方程（3.1）是一阶的，有四个未知量需要确定（β，y-, 值匹配条件（3.4-3.5）不足以表征溶液。作为一种解决方法，我们添加了两个额外的边界条件，当投资者的投资组合接近完全安全（Yt=0）或完全风险投资（Yt=1）时，这些边界条件变得活跃。其理念是，在每种情况下，交易利率（5.4-5.5）应保持不变；此外，在Yt=0时为正，在Yt=1时为负，以保留[0,1]中的风险权重。在y求解常微分方程（3.1）∈ {0，1}导出q的边值的二次方程；选择符号正确的解，依次给出sq（0+）=ε+2pλβ，（5.6）q（1）-) =λd- ε(1 - ε) -pλd（λd）- 2 + 2ε)(1 - ε） ，d=-γσ- 2β + 2u. （5.7）与值匹配条件（3.4-3.5）一起，这产生了定理3.1的表示。为了你*∈ （0,1），这种非正式的推导确实得出了正确的答案（参见第7节中的严格验证定理）。为了你*/∈ （0，1），然而，候选风险权重以正概率爆炸，随之而来的大规模再平衡将相应的财富减少到零（参见引理7.5）。

因此，在这种情况下，我们的候选策略甚至是不可接受的，而一个简单的买入并持有策略反而是最优的（参见命题3.2）。这强调了需要严格的验证定理来补充启发式考虑，否则可能会导致错误的结果。6渐近结果定理3.1中的微分方程（3.1）为Abel型；目前还没有明确的解决方案。然而，无贸易区[y]的渐近展开是可能的-, y+]、tradingrate^u和相应的等效安全率β，因为市场摩擦趋于零。然后，将最优政策和福利的计算从非线性自由边值问题的解简化为非线性函数的根，类似于Korn[25]中关于比例和固定成本的计算。考虑比例交易成本ε和价格影响参数λ均趋于零的限制制度。如果单独考虑这些摩擦，其对等效安全率的主要影响顺序分别为ε2/3和λ1/2（参见[14，公式（2.7）]。[19，公式（2.13）]）。为了得到摩擦均不消失的展开式，我们对它们进行了适当的重新缩放，将它们的渐近贡献放在相同的尺度上：λ=Kε4/3，其中K>0。（6.1）通过这种重新缩放，两次摩擦对等效安全率的联合影响为ε2/3as级：命题6.1。假设λ=Kε4/3，定义c（ε）：=u2γσ-ESRγ（^u），其中^u是定理3.1中定义的长期最优策略。然后0<lim infε→0c（ε）ε2/3≤ lim supε→0c（ε）ε2/3<+∞.证据见第7.2节。回想一下，这是确保偿付能力所必需的，因为涉及空头或杠杆头寸的投资组合以正概率导致破产。找到渐近展开式的问题分为两个区域：靠近非贸易区和远离非贸易区。

为了研究第一种情况，可以使用Soner和Touzi[36]中提到的均质化技术（另见[32,3,30]）。为此，首先推导价值函数V的HJBE方程，并假设适当的渐近展开式。然后，将展开式替换回HJB方程，并收集前导阶项。这反过来又导致了所谓的修正方程。在纯交易成本的情况下，V isV（t，x，y）=V（t，x）的合适值- ε2/3u（t，x）- ε4/3w（t，x，z）+O（ε），（6.2），快速变量z=y-Y*ε1/3. 这里，Vdenotes表示无摩擦价值函数，x表示总财富，y表示投资于风险资产的财富。注意，V的HJB方程是二阶的。因此，取函数w的二阶导数，并将其与ε4/3相乘，产生一个ε2/3级的项，证明展开式中的幂为4/3。我们的长期目标迫使我们使用约化值函数q，即V（t，x，y）=x1-γ1 - γe（1）-γ） （β（T-t） +Rypq（西）dw），p∈ R、 （6.3）因此，均质化方法必须进行如下调整。定义：=y- Y*ε1/3，q（y）：=ε×rB（z），y∈ [0，y-],r（z），y∈ [y]-, y+]，rS（z），y∈ [y+，1]，β：=u2γσ- ε2/3l，（6.4）对于常数0≤ Y-≤ y+≤ 1，l>0，函数rB、r、Rs待定。确定非贸易区的边界-y+我们还需要两个条件。为此，当风险权重y接近完全投资水平0和1时，我们考虑q的极限行为。匹配前导顺序ε2/3we定义q（y）=ε2/3q的项*（y） 。Asε↓ 0，theODE（3.1），然后简化为Q*（y）=2Kγσ1/2（y）*- y） 。

（6.5）该方程描述了q的行为*（并反过来q）远离非贸易区，从而产生确定y所需的条件-和y+。Asε↓ 0，转换（6.4）将ODE（3.1）简化为非齐次Riccati方程：0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rB+4K（rB- 1） ，z∈ (-∞, Z-], (6.6)0 = -γσz+l+σy*(1 - Y*)r、 z∈ [z]-, z+]，（6.7）0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rS+4K（rS+1），z∈ [z++∞), （6.8）重新调整的买卖界限-和z+由以下值匹配条件确定：rB（z-) = r（z）-) = 1，rS（z+）=r（z+）=-1.（6.9）对于小交易成本——无市场价格影响——非贸易区[y]-, y+]包含墨顿y*, 其宽度为ε1/3级，相应的福利效应为ε2/3级，见[20]。考虑到价格影响，非贸易区又是一个区间，其中包含默顿比例，前提是ε与λ相比不是太小（参见引理7.2之后的讨论）。[6]中使用了两种不同扩张的类似“粘贴”来处理小规模的资本利得税。作为z→ -∞ （分别为z）→ ∞), 函数rB（resp.rS）的发散速率必须与我们在（6.5）中的第一次扩展相同：limz→-∞rB（z）-p2Kγσz=1和limz→∞rS（z）-p2Kγσz=1。（6.10）总之，这将导致ODE（6.6-6.8）具有值匹配和增长条件（6.9-6.10）——当前设置中的校正方程。将（6.5）与（6.4）中等效安全率的展开式一起插入（6.3），得到：V（t，x，y）=V（t，x）·e（1-γ)(-ε2/3l·（T）-t） +ε2/3Rypq*（w） dw）=V（t，x）- V（t，x）（1）- γ） （T）- t） l·ε2/3+V（t，x）（1）- γ） Zypq*（w） dw·ε2/3+o（ε2/3）。（6.11）下一个命题（在第7.2节中证明）表明，带有边界条件（6.9-6.10）的ODE（6.6-6.8）允许一个唯一的解。

作为副产品，我们表明，与纯线性成本情况相比，额外的价格影响减少了非贸易区的宽度。提议6.2。这里有独特的z-, z+和l*> 0，使方程（6.6-6.8）具有满足值匹配条件（6.9）和增长条件（6.10）的解。特别是，我*> maxrγKσy*(1 - Y*),rγσy*(1 - Y*)2/3!.还有，如果z-z+是没有价格影响的非贸易区的边界（见[14，公式（2.9）]，然后z-> Z-z+<z+。证据见第7.2节。我们已经用形式参数证明了OREM 3.1中适当重标度的值函数q（y）在增长条件（6.10）下收敛于方程（6.6-6.8）的解r（z）。下一个命题使这些启发性论点变得严格。提议6.3。假设λ=Kε4/3。设qε（y）为方程（3.1）的解，如定理3.1所示。然后ε-1qε（ε1/3z+y）*) 收敛到命题6.2中定义的方程（6.6-6.8）的解。特别是limε→0c（ε）ε2/3=l*, 式中c（ε）：=u2γσ- ESRγ（^u）。证据见第7.2节。为了找到边界条件（6.9-6.10）下ODE（6.6-6.8）的显式解，我们进行如下处理。一个简单的计算表明，线性非齐次常微分方程（6.7）具有显式解r（z）=σy*(1 - Y*)γσz- lz.由于r是一个奇函数，边界条件r（z-) = 1和r（z+）=-1可由R（z）代替-) = 1和r（0）=0。然后，z-= -z+并且它需要确定z-因为常数l与z相连-通过条件r（z-) = 1:l（z）-) =γσz--σy*(1 - Y*)2z-.

（6.12）找到重新缩放的交易边界z-由rB（z）决定-) = 1，首先需要求解带有边界条件（6.10）的Riccati方程（6.6）。方程（6.6）–直到变换[23，变换1.25，1.105，2.220和2.273，公式（9）]–相当于已知显式解（根据惠特克函数）的惠特克方程（参见[35，第1节]）。为了简洁起见，我们省略了对解的推导，只是简单地陈述了最终结果：rB（z，l）：=-Z2a+c2ar2Kγσ+ 1+p2Kγσz-阿兹k+1，-1/4，ap2KγσzWK-1/4，ap2Kγσz, （6.13）式中=2Kσy*(1 - Y*), c=2lσy*(1 - Y*), k=cr2Kγσ，惠特克函数W通过库默函数f（a，b，x）和三角函数U（ξ，η，x）定义[35，第一章]：U（ξ，η，x）：=Γ（1）- η)Γ(1 + ξ - η） F（ξ，η，x）+Γ（η）- 1） Γ（ξ）x1-ηF（1+ξ）- η, 2 - η、 x），W（k，m，x）：=x+me-徐（1/2+m）- k、 1+2m，x）。我们注意到Whittaker方程的通解是由Whittaker函数SM（k，m，x）和m（k，-m、 x）（参见[37，第16节]），其中m（k，m，x）：=x+me-xF（1/2+m）- k、 1+2m，x）。然而，Riccati方程需要用初始条件（6.10）求解。因此，惠特克函数W（k，m，x）是唯一的候选函数，因为它具有正确的渐近增长[37，第16.31节]：W（k，m，x）~ xke-x、 作为x→ ∞. （6.14）事实上，对于任何l∈ R、 （6.13）满足边界条件（6.10）：limz→-∞rB（z，l）-p2Kγσz=limz→-∞-p2Kγσz-Z2a+c2ar2Kγσ+ 1.+p2Kγσ-p2KγσzZ-2zap2KγσzWk+1，-1/4，ap2KγσzWK-1/4，ap2Kγσz= 1，对于b6=0，-1.-2、··，库默函数F（a，b，x）是通过以下绝对收敛级数[35，第1章]：F（a，b，x）定义的：=∞Xn=0a（n）xnb（n）n！。这里，Pochhammer符号a（n）由a（n）给出：=a（a+1）（a+2）·a+n- 1).

对于6=0，-1.-我们可以写出a（n）=Γ（a+n）/Γ（a），其中Γ（x）表示伽马函数。注意Whittaker函数W（参见[35，公式1.7.1]）可以写成W（k，m，x）=πsin（2mπ）-M（k，M，x）Γ（1/2）- M- k） Γ（1+2m）+M（k，-m、 x）Γ（1/2+m）- k） Γ（1）- 2米）.我们在最后一步中使用了（6.14）。现在，我们可以把一切都放在一起了。Z-由rB（z）决定-, l（z）-)) = 1和l（z）-) 从（6.12）开始。因此，增长率β和边界y的渐近展开式-, （6.4）中非贸易区的y+由以下公式给出：β=u2γσ-γσz--σy*(1 - Y*)2z-ε+O（ε），y= Y*±z-ε+O（ε），其中z-是方程rB（z，l（z））=1的根，其中l（z）来自（6.12）。翻转率^u的渐近性可以类似地导出。回想定理3.1，^u（y）=2λq（y）1-yq（y）- ε≥ 0，如果y∈ [0，y-],0，如果y∈ [y]-, y+]，2λq（y）1-yq（y）+ε≤ 0，如果y∈ [y+，1]。使用（6.4）中对y和q的相同变换，一个简单的计算表明^u（y）=2K（rB（z）- 1) ε-+ O（1），如果z=（y- Y*)ε-1/3∈ (-∞, Z-],0，如果z=（y- Y*)ε-1/3∈ [z]-, z+]，2K（rS（z）+1）ε-+ O（1），如果z=（y-Y*)ε-1/3∈ [z++∞),（6.15）其中我们缩写为rB（z）：=rB（z，l（z）-)) 和rS（z）：=rB（z）- 2.综上所述，对于小交易成本，非线性自由边界问题（3.1）的解可以简化为寻找标量函数的根。近似值（6.15）表现得非常好，即使对于相对较大的渐近参数ε，λ，参见图2。此外，它还允许更多地说明交易边界附近和远离这些边界的最优周转率的结构。远离非贸易区，即z→ -∞ 或者，相当于y↓ 0（分别为z→ ∞, i、 e，y↑ 1） 边界条件→-∞rB（z）-p2Kγσz=1，分别为。林茨→∞rS（z）-p2Kγσz=1，意味着^u（y）=2K-p2Kγσz- 1.ε-1/3+O（1）=2Kp2Kγσ（y）*- y） ε-2/3+O（ε）-1/3）=σrγ（y）*- y） λ-1/2+O（λ）-1/4).