具有线性和二次成本的再平衡

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英文标题：
《Rebalancing with Linear and Quadratic Costs》
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作者：
Ren Liu, Johannes Muhle-Karbe, Marko H. Weber
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a market consisting of one safe and one risky asset, which offer constant investment opportunities. Taking into account both proportional transaction costs and linear price impact, we derive optimal rebalancing policies for representative investors with constant relative risk aversion and a long horizon.
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中文摘要：
我们考虑一个由一个安全资产和一个风险资产组成的市场，它提供持续的投资机会。在考虑比例交易成本和线性价格影响的情况下，我们得到了代表性投资者的最优再平衡策略，这些代表性投资者具有恒定的相对风险厌恶和较长的投资期限。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Rebalancing_with_Linear_and_Quadratic_Costs.pdf (1.35 MB)

2022-5-5 20:06:31 上传

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关键词：再平衡 Optimization Quantitative proportional Differential

具有线性和二次成本的再平衡*Ren Liu+Johannes Muhle KarbeMarko H.Weber§2017年9月5日摘要我们认为金融市场由一种安全资产和一种风险资产组成，提供持续投资机会。考虑到比例交易成本和线性价格影响，我们得出了代表性投资者的最优再平衡政策，这些代表性投资者具有恒定的相对风险厌恶和长期的投资前景。数学学科分类：（2010）：91G10、91G80JEL分类：G11、G12关键词：价格影响、交易成本、投资组合选择、长期。1简介即使在流动性最强的金融市场中，比例交易成本也无处不在，以价差的形式存在。对于大型机构投资者来说，他们交易的价格影响也是一个关键问题。因此，这两种摩擦都产生了大量文献，分析如何以最佳方式平衡投资组合再平衡的收益和成本。买卖价差导致交易成本与交易金额成线性关系。然后，当不受控制的投资组合位于无摩擦最优值附近的“非贸易区”内时，最好不要进行交易；一旦它的边界被打破，一个人就要进行最少量的再平衡，以保持平衡。相比之下，线性价格影响会导致二次交易成本，对于小型交易来说，二次交易成本不那么严重，但对于大型订单来说，二次交易成本会高得令人望而却步。

因此，与使用比例交易成本的单一控制相比，最优政策通常规定在任何时候，但以固定的绝对连续速率进行再平衡。*作者感谢保罗·瓜索尼（Paolo Guasoni）的富有成效的讨论，以及两位匿名推荐人的评论。+ETH Z–urich，瑞士Z–urich，R–amistrasse 101，CH-8092，Mathematik部门，电子邮件：ren。liu@math.ethz.ch.——卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，邮编15213，电子邮件：johannesmk@cmu.edu.§哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，535G西南Mudd大楼，纽约州纽约市，邮编10027，美国电子邮件：mhw2146@columbia.edu.For小型私人投资者、对每笔交易收取的固定佣金，无论其规模大小，也至关重要（参见[25]和其中的参考文献）。然而，对于大型投资组合，它们的影响变得微不足道[3]，我们在本研究中忽略了它们。参见[27,8,10,11,34,9]了解具有恒定投资机会的模型，[34,20,5,14]了解相应的显式渐近公式，[28,36,32,22,21]了解最近对更一般设置的扩展。最优执行文献中对价格影响进行了广泛研究，例如[4,1,33]。最近，人们越来越关注它对动态投资组合选择的影响[12,13,2,19,7,30]。所有现存文献研究的都是线性或二次交易成本。本文通过分析比例交易成本和线性价格对投资组合再平衡的联合影响，填补了这一差距。为了使模型易于处理，我们关注（如Gerhold et al.[14]resp.Guasoni和Weber[19]中的比例resp.）。

二次成本（单独处理）是指具有恒定投资机会的单一风险资产，以及具有恒定相对风险厌恶度的代表性代理人。代表投资者的财富是市值倍数的代表，而奖金影响被认为与市值成反比。也就是说，与Guasoni和Weber[19]中的讨论相比，随着市场增长，给定规模的交易产生的影响较小。本研究以Guasoni和Weber[19]的研究结果为基础，添加了一个出价askspread。这种价格影响模型会导致稳定的长期行为。最受欢迎的替代方案——如[4,26,1]中所述的固定价格影响——非常适合这些作者心目中的短期最优执行问题。然而，从长远来看，这会导致结果恶化，因为不断增长的基金价值最终会使重新平衡的成本高得让人望而却步。为了弥合不同模型之间的差距，我们认为，对于小成本，我们的结果渐进地扩展到价格影响函数的一般规范。在两种摩擦都存在的情况下，最优策略的形式如下。与比例交易成本一样，存在一个无交易区域，在该区域，只持有当前投资组合是最佳选择。一旦突破界限，价格影响就排除了单一控制；因此，人们开始以一定的利率进行交易，以便将投资组合引导回非交易区域。由于该政策不允许使投资组合一致地接近无摩擦的StarGet，因此交易比仅以比例成本的模型更早开始，也就是说，非交易区域的宽度因额外的价格影响而减小。

另一方面，由于现在有两个摩擦导致总的再平衡成本，总交易率总是低于只考虑价格影响的模型。我们证明了一个严格的验证定理，该定理通过一个非线性自由边值问题的解来识别交易边界、交易率和相关福利，该问题可以通过数值求解。为了便于实现，我们还提出了小线性和二次成本的渐近性，这将减少最优政策和福利的计算，从而找到标量函数的根。由于存在两个相互竞争的摩擦，评估渐近近似的质量尤为重要，因为先验上尚不清楚匹配的重新缩放是否会导致准确的结果。我们的精确公式说明了这一点，并表明小成本近似值表现得非常好。我们的渐近结果的正式扩展表明，与单独考虑比例成本[22]和价格影响[30]类似，最优政策对交易成本的形式是稳健的。也就是说，在第6节中，我们以任意方式考虑了一般价格影响函数，它取决于大投资者的财富和额外的外生状态变量（例如，其他交易者的财富）。然后，得到与我们的基线模型相同的渐近交易率，替换每个时间点的交易成本的当前值。论文的其余部分组织如下。第2节描述了该模型。我们的主要结果见第3节。随后，我们用一些数值例子来说明它们。第5节包含我们主要结果的启发式推导；第6节给出了我们的渐近解。

为了更好的可读性，所有的证据都被委托给第7节。这在复杂性上类似于[25]研究的小固定成本和比例成本的渐近性。2模型考虑一个市场，由一个标准化为一的安全资产和一个风险资产组成，其中间价格遵循几何布朗运动：dStSt=udt+σdWt。（2.1）此处，（Wt）t≥0是标准的一维布朗运动，u>0是预期超额收益，σ>0是波动率。交易不是在理想的最佳报价处结算的。相反，销售只希望更低的出价，而购买则收取更高的要价。此外，交易大额头寸会迅速将价格进一步推向不利方向。也就是说，交易的平均执行价格θ在一段时间间隔内共享是的1+εsgn(θ） +λStθXtT. （2.2）这里，第一项对应于相对的买卖价差ε，即较高的买价（1+ε）和较低的买价（1- ε） 分别用于销售。第二个术语描述快速执行的大型交易的附加（相对）价格影响。这种价格影响与货币交易率成正比θ/t、 与市值成反比，市值由代表投资者的财富代表。周转率中的比例常数λ量化了市场的有限流动性；换句话说，1/λ衡量市场“深度”。对于ε，λ→0，恢复了经典的无摩擦情况，其中θ可以购买，也可以按St的中间价购买θ. 非平凡的买卖价差（ε>0）和有限的市场深度（λ>0）分别导致额外的线性和二次交易成本。具体而言，在双方都存在摩擦的情况下，交易的执行成本θ在一段时间间隔内共享t由t给出θ+εStθTt+λStθXtTt、 （2.3）对于可处理性，我们现在通过连续时间限制。

用θt表示投资者在时间t持有的风险股数量，并替换θ/带˙θt:=limh的tin（2.3）↓0θt+h-θth。然后，投资者的现金头寸Ct=Xt- Stθtevolves asdCt=-标准θt- εSt|˙θt|dt- λSt˙θtXtdt。写出ut:=˙θtSt/xtt表示时间t的财富周转率。用这个符号，直接应用It^o的公式（比较[19，引理a.1]）表明相应的财富过程xt:=θtSt+cT和风险权重Yt:=θtSt/xt具有以下动力学：dXtXt=Yt（udt+σdWt）- ε| ut | dt- λutdt，（2.4）dYt=（Yt（1- 钇（u）- Ytσ）+ut+ε| ut | Yt+λYtut）dt+Yt（1- Yt）σdWt。（2.5）也就是说，利率r设置为零。有关此价格影响模型和相关文献的更多详细信息，请参见[19]。请注意，在我们的模型中，价格影响纯粹是暂时的，因为没有贸易影响后续的影响。有大量关于持续价格影响的最优执行的文献，这些文献只有在每次交易完成后才会逐渐失效（参见[31]以及许多最近的研究）。由于我们研究的时间尺度比本文中的要长得多，因此我们从这个问题中抽象出来，转而假设在一个更明确的“执行时间网格”上，各种“子交易”产生的临时和持续影响成本都被汇总到我们的价格影响成本中。事实上，假设每个微小的子交易都是在Obizhaeva和Wang[31]的背景下执行的。然后，预期的执行成本与我们的模型中的线性二次型相同。由于没有比例交易成本[19]，线性价格影响意味着风险权重不再是投资者可以自由指定的控制变量。相反，它变成了一个状态变量，应用控制u只能影响漂移率。

为了使这个精确，fix是一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 （F）t≥0，P）支持布朗运动（Wt）t≥0，其中FTI是W产生的过滤的增强。然后，我们根据控制变量（ut）t定义策略≥0.为了排除倍增策略，我们将重点放在具有正财富过程的可接受策略上：定义2.1。一个可接受的策略是一个适应的过程（ut）t≥0，这是平方可积的（即RTutdt<∞ a、 （2.4）在[0]上有唯一的强解，∞)对任何人来说∈ [0, 1]. 对于任何此类可接受的策略，相应的财富过程是xut=XexpZTuYt-σYt- ε| ut |- λutdt+ZTσYtdWt.正如[11,15,16]中所述，代表性投资者具有恒定的相对风险厌恶，并在长期内最大化其终端财富预期效用的增长率。换言之，她最大化了“等效安全率”，在这个“等效安全率”下，完全安全的投资产生的效用与在原始市场的最优投资相同：定义2.2。容许策略（ut）t≥0被称为长期最优，如果它使等效安全率ESRγ（u）：=lim infT最大化→∞Tlog E（XuT）1-γ1.-γ（2.6），其中0<γ6=1表示投资者的相对风险厌恶。3主要结果我们的主要结果可以总结如下：定理3.1。在存在非平凡的买卖价差ε和有限的市场深度1/λ的情况下，相对风险厌恶度为0<γ6=1的投资者交易以最大化等效安全率（2.6）。

那么，如果*:= u/γσ∈ （0，1）和交易成本ε，λ非常小：i）存在常数β∈ [max{0，u- γσ/2}，u/2γσ]和0≤ Y-≤ y+≤ 1，以及交流功能q:[0,1]→ 求解ODE0的R=-β+uy-γσy+y（1）- y） （u）- γσy）q+σy（1）- y） （q+（1）- γ） q）+4λ（q）-ε(1-yq）1-yq，如果y∈ [0，y-],0，如果y∈ [y]-, y+]，4λ（q+ε（1-yq）1-yq，如果y∈ [y+，1]，（3.1）如果y*:= u/γσ∈ （0，1），即无摩擦目标投资组合既不规定杠杆也不规定卖空，引理7.5表明，几乎可以肯定的是，YT对所有t的估值为[0，1]。尤其是RTYtdt<∞ 因此，在这种情况下，流程是明确的。边界条件sq（0+）=ε+2pλβ，（3.2）q（1）-) =λd- ε(1 - ε) -pλd（λd）- 2 + 2ε)(1 - ε） ，其中d:=-γσ- 2β+2u，（3.3）q（y）-) =ε1+εy-, （3.4）q（y+）=-ε1 - εy+。（3.5）ii）长期最优策略^u是保持不活动，而相应的风险权重位于非贸易区[y]-, y+]，如果没有，则按以下财富周转率重新平衡：^u（y）=2λq（y）1-yq（y）- ε≥ 0，如果y∈ [0，y-],2λq（y）1-yq（y）+ε≤ 0，如果y∈ [y+，1]。iii）最大等效安全率为β。常数y*= u/γσ是无摩擦的风险权重[29]。因此，y*∈ （0，1）意味着无摩擦最优策略既不做空也不杠杆风险资产。正如Guasoni和Weber[19，定理2.3]所示，对于风险厌恶型投资者来说，杠杆或空头头寸不能被允许具有线性价格影响，因为它们不能被足够快地清算，从而产生不利的价格波动。这只会因为额外的线性交易成本而加剧。因此，买入并持有策略是y的最佳选择*/∈ （0，1），如[19，定理2.3]：命题3.2。

在定理3.1的假设下：（i）如果u/γσ≤ 0，则所有t的Yt=0和^ut=0是长期最优的，ESRγ（^u）=0。（ii）如果u/γσ≥ 1，则所有t的Yt=1和^ut=0是长期最优的，ESRγ（^u）=u-γσ/2.目标函数（2.6）使用纸面财富，而不是投资组合的清算价值。对于信托基金和大学捐赠等旨在独立运营的长期投资而言，这似乎更为合理。然而，与[19，引理2.4]中的纯二次成本类似，可以证明这种选择几乎没有什么意义。也就是说，假设一个恒定的最佳报价（如果投资组合很快被出售，这是合理的），以恒定的换手率出售的政策在短时间内以投资组合价值的一小部分完成清算。形式上：引理3.3。让我们≡ t保持不变≥ T然后，清算时间L（u）=inf{t≥ 0:θT+T=0}不变销售策略ut≡ u<0，等于l（u）=-日志1+（ε| u |+λu）YTuε| u |+λu~ -YTu。相应的相对清算成本为xt- XT+L（u）XT=εYT- λuYT。在[19，引理2.4]的证明中，使用（2.4-2.5）代替[19，等式（2.4）和（2.5）]。其余的校样照样进行。0.50.60.70.8-6-4-20.50.60.70.8-6-4-2图1：左面板：最优财富周转率^u（虚线：λ=0.001%，实线：λ=0.01%，虚线：λ=0.1%）与ε=0.1%固定的风险权重Y对比。右图：财富周转率^u（虚线：ε=0.01%，实线：ε=0.1%，虚线：ε=1%）与风险权重Y之比，λ=0.01%固定。模型参数为u=8%，σ=16%，γ=5。例如，ifu=-λ-1/2自年初至今，清算时间小于λ1/2年∈ [0, 1].此外，相应的清算成本小于终端财富的（ε+λ1/2）倍。使用[10]的估计区间-3, 10-7] 对于λ（cf。