具有线性和二次成本的再平衡

（6.16）因此，对于与交易边界的较大偏差，我们恢复了财富周转率的领先订单扩张，而无需比例交易成本[19，公式（2.12）]。在接近交易边界时，我们也可以应用泰勒定理得到一阶近似值。为此，我们首先计算相应Whittaker函数的导数。0.550.600.650.700.75-4-20.550.600.650.700.75-4-2图3：定理3.1（实数）中的最优财富周转率^u，以及其分段线性近似值（点），靠近交易边界（6.17），远离交易边界（6.16）。模型参数分别为u=8%，σ=16%，γ=5，λ=0.01%，ε=0.1%（左面板）。ε=0.5%（右面板）。公式（k.2，W.35）的递推关系W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）=W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）W（k+1，-1/4，x）W（k+1，-1/4)-W（k，-1/4，x）W（k，-1/4，x）-十、=W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）“W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）-十、-十、-- （k+1）+-+ （k+1）-xW（k，-1/4，x）W（k+1，-1/4，x）- （2（k+1）x- x） #，其中x=ap2Kγσz。考虑值匹配条件rB（z-) = 1，一个简单的计算得出，接近交易边界y±的财富周转率是由^u（y）=（ε）给出的-1/32K×F×（z）- Z-) + O（1），如果z=（y-Y*)ε-1/3<z-,ε-1/32K×F×（z）- z++O（1），如果z=（y-Y*)ε-1/3>z+，（6.17），其中x-:= ap2Kγσz-,D:=1-p2Kγσz-2a+c2ar2Kγσ!,E:=DD-十、--十、-D-- （k+1）+-+ （k+1）-- （2（k+1）x-- 十、-),F:=2a+c2ar2KγσZ-+p2Kγσ- 2p2Kγσ（D+2ap2KγσEz）-).特别是，对于与交易边界的微小偏差，财富周转率——第一阶——再次是线性的，但斜率不同。如图3所示。如果与价格影响相比，比例成本很小，那么这两个斜率非常相似。

然而，对于更大的价差，与图3中的右图相比，在交易边界附近，成交量增长明显更快。在本节中，我们非正式地提出，在较小的成本限制下，针对特定价格影响模型（2.2）获得的解决方案的结构总体上仍然有效。这与单独处理的线性和二次成本的结果一致[22,30]，为此，考虑一个外生给定的扩散过程ξ，其动态系数ξt=uξ（ξt）dt+σξ（ξt）dWt，（6.18），其中uξ，σξ是光滑函数，因此SDE（6.18）定义良好。例如，这个额外的状态变量可以模拟在市场上交易的其他代理的财富。大投资者的平均执行价格由ST给出1+ε·sgn(θ） +λ（ξt，Xt）StθT.也就是说，价格影响是大投资者财富X和外生过程ξ的一般函数。λ（x.2，如果我们恢复）。It^o引理的简单应用表明，在这种情况下，财富过程X和权重Y满足：dXtXt=Yt（udt+σdWt）- ε| ut | dt- λ（ξt，Xt）xtdtt，（6.19）dYt=Yt（1）- 钇（u）- Ytσ）+ut+ε| ut | Yt+λ（ξt，Xt）XtYtutdt+Yt（1- Yt）σdWt。

（6.20）让V（t，Xt，Yt，ξt）表示相应的有限期价值函数，假设该函数依赖于当前财富Xt、当前风险权重Yt、外生状态ξt和时间t。如第5节所述，得出V（t，x，y，ξ）=x1-γ1 - γe（1）-γ） （β（T-t） +Ryy*q（ξ，x，u）du），（6.21）使这些参数严格化需要为出现在本文中的附加状态变量指定合适的可积性和边界条件。其中函数q（ξ，x，y）满足0=- β+uy-γσy+y（1）- y） （u）- γσy）q+σy（1）- y） （qy+（1）- γ） q）+uyxZyy*qx（ξ，x，u）du+σy（1）- y）(1 - γ） xq（ξ，x，y）Zyy*qx（ξ，x，u）du+xqx（ξ，x，y）+σy“2（1- γ） xZyy*qx（ξ，x，u）du+（1）- γ)xZyy*qx（ξ，x，u）du+ xZyy*qxx（ξ，x，u）du#+#ξ（ξ）Zyy*qξ（ξ，x，u）du+σξ（ξ）败走恶犬*qξ（ξ，x，u）du(1 - γ） +Zyy*qξξ（ξ，x，u）du！+σσξ（ξ）y（1）-y）(1 - γ） q（ξ，x，y）Zyy*qξ（ξ，x，u）du+qξ（ξ，x，y）+ σσξ（ξ）y“（1- γ） 齐伊*qξ（ξ，x，u）du+（1）- γ） xZyy*qx（ξ，x，u）duzy*qξ（ξ，x，u）du+xZyy*qξx（ξ，x，u）du#+4λ（ξ，x）x（q）-ε(1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du）1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du，如果y∈ [0，y-（ξ，x）]，0，如果y∈ [y]-（ξ，x），y+（ξ，x）]，4λ（ξ，x）x（q+ε（1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du）1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du，如果y∈ [y+（ξ，x），1]。（6.22）和q（ξ，x，y）-（ξ，x））=ε+εxRy-（ξ，x）y*qx（ξ，x，u）du1+εy-（ξ，x），q（ξ，x，y+（ξ，x））=-ε - εxRy+（ξ，x）y*qx（ξ，x，u）du1- εy+（ξ，x），对于函数0≤ Y-（ξ，x）≤ y+（ξ，x）≤ 1.待定。为了推导相应的小成本渐近性，相应地重新调整交易成本和价格影响：λ（ξ，x）x=K（ξ，x）ε4/3，对于某些函数K。在接近非贸易区时，我们再次应用均匀化方法，定义为：=y- Y*ε1/3，q（ξ，x，y）：=ε×rB（ξ，x，z），y∈ [0，y-（ξ，x）]，r（ξ，x，z），y∈ [y]-（ξ，x），y+（ξ，x）]，rS（ξ，x，z），y∈ [y+（ξ，x），1]，β：=u2γσ- lε2/3，（6.23）对于常数大于0且函数为0≤ Y-（ξ，x）≤ y+（ξ，x）≤ 1，以及待测定的rB（ξ，x，z）、r（ξ，x，z）、rS（ξ，x，z）。

为了确定非贸易区的边界，我们需要额外注意，即使在具有额外状态变量的因子模型中，最佳长期增长率通常是恒定的，请比较[17]。条件为此，我们再次考虑q（ξ，x，y）=ε2/3q*（ξ，x，y）。Asε↓ 0，直接计算表明ODE（6.22）降低到Q*（ξ，x，y）=（2K（ξ，x）γσ）1/2（y）*- y） 。（6.24）如果函数rB、r、rsa足够光滑，则为ε↓ 0转换（6.23）将模式（6.22）还原为0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rB+4K（ξ，x）（rB）- 1） ，z∈ (-∞, Z-（ξ，x）]，（6.25）0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)r、 z∈ [z]-（ξ，x），z+（ξ，x）]，（6.26）0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rS+4K（ξ，x）（rS+1），z∈ [z+（ξ，x）+∞), （6.27）重新调整的买卖界限-（ξ，x）和z+（ξ，x）满足：rB（ξ，x，z）-（ξ，x））=r（ξ，x，z）-（ξ，x））=1，rS（ξ，x，z+（ξ，x））=r（ξ，x，z+（ξ，x））=-1.（6.28）作为z→ -∞ （分别为z）→ ∞ ) 函数rB（ξ，x，·）（分别为rS（ξ，x，·））必须与（6.24）：limz中的相同速率发散→-∞rB（ξ，x，z）-p2K（ξ，x）γσz=1和limz→∞rS（ξ，x，z）-p2K（ξ，x）γσz=1。（6.29）因此，渐近交易边界和交易率仍然由非齐次Riccati方程确定，但对于附加状态变量的每个值，由不同的方程确定。也就是说，更一般的成本结构的渐近解是通过将成本的当前值插入上一节导出的渐近展开式中获得的。7.校对。定理3.1的证明*∈ (0, 1).

实现严格验证定理的第一步是证明微分方程（3.1）确实允许具有所需性质（3.2-3.5）的解。为此，我们首先改写（3.1）中的坡度场表示法：q=f（y，q）=fB（y，q），q≥ε1+εy，fNT（y，q），-ε1-εy≤ Q≤ε1+εy，fS（y，q），q≤ -ε1-εy（7.1）每h∈ {rB，r，rS}，注意如果hξ（ξ，x，·）是连续的，那么*qξ（ξ，x，u）du=εZyy*hξ（ξ，x，（u）- Y*)ε-1/3）du=ε4/3Zzhξ（ξ，x，s）ds=o（ε2/3）。这将由引理7.2中建立的q的单调性性质进行后验检验。哪里-β+uy-γσy+y（1）- y） （u）- γσy）q+σy（1）- y） （q+（1）- γ） q）+4λ（q）-ε(1-yq）1-yq=：fB（y，q），0=：fNT（y，q），4λ（q+ε（1-yq）1-yq=：fS（y，q）。注意，f（y，q）的定义很好，因为fB（y，q）=fNT（y，q）在q=ε1+ε上，fNT（y，q）=fS（y，q）在q=-ε1-εy.备注7.1。将全部财富分配到无风险资产（即风险资产）是一种不需要交易的允许策略。相应的等效安全率为0（分别为u-γσ). 这提供了最佳等效安全率的自然下限，即β≥最大{u-γσ, 0}. 相反，上界由无摩擦等效安全率u2γσ给出。引理7.2。假设λ和ε足够小。那么，对于一个合适的β∈最大{u-γσ, 0},u2γσ,有一个q=f（y，q）的解，使得q（0+）=b（ε，λ）：=ε+2pλβ，（7.2）q（1）-) = b（ε，λ）：=λd- ε(1 - ε) -pλd（λd）- 2 + 2ε)(1 - ε） ，带d=-γσ- 2β + 2u. （7.3）特别是，存在-, y+∈ [0,1]令人满意（3.1）和q（y）>ε1+εy，如果y∈ [0，y-),-ε1-εy≤ q（y）≤ε1+εy，如果y∈ [y]-, y+]，q（y）≤-ε1-εy，如果y∈ （y+，1]。（7.4）此外，对于所有y，解决方案q full fill q（y）y<1∈ [0, 1].证据首先，请注意，对于每个y∈ （0，1）我们有y>ε1+εy，因此limq→（y）-f（y，q）=limq→（y）-fB（y，q）=-∞. 因此，从曲线下方开始的q=f（y，q）的每个解都必须保持在该曲线下方。

其余的证明如下：（i）对于每一个β>max{u-γσ，0}，在（0，y）上定义了唯一解qβ（y） （0,1）满足y=0时的边界条件（7.2）和（y,1）上定义的唯一解qβ（y） （0,1）满足y=1时的边界条件（7.3）。（ii）如果β>u2γσ，那么qβ（y）>0和0>qβ（y）在各自的定义间隔上。（iii）设置β=u2γσ- c、 c>0时。如果λ和ε足够小，那么（0，y）上的qβ（y）<qβ（y）∩ （y，1）。此外，如果y<1，则为limy→Y-qβ（y）=-∞, 如果y>0，那么→y+qβ（y）=+∞.q=f（y，q）的解连续依赖于β。因此，如果λ和ε足够小，那么就有qβ*≡ qβ*有一段时间*∈最大{u- γσ/2, 0}, u/(2γσ).（i）的证明：这类似于[19，引理A.8（i）]。实际上，将q/4λ替换为（q-ε） /4λ在[19，引理A.8（i）]证明的第一行。然后，进行类似的证明，导致oh（0）=ε+2pλβ，h（0）=-λβ1/2（u+（u+β）h（0））- εh（0）<0。该项为负值，如[19，引理A.8（i）]中首次显示的等式中的相应表达式。因此，剩下的步骤可以原封不动地进行。（ii）的证明：这遵循[19，引理A.8（iii）]中的逐字逐句。（iii）证明：与[19]相比，此处需要额外的工作。证据基于以下观察：备注7.3。关于{（y，q）：y∈ （0，1），q<y}，我们有f（y，q）≤ fNT（y，q）。备注7.4。α，ζ>0，η<0与λ和ε无关，因此f（y，q）≤ fNT（y，q）≤ η<0，在[y]上*- α、 y*+ α] × [-ζ, ζ].备注7.4的证明。在……上-, y+]，等式（3.1）可以改写为asy（1- y） fNT（y，q）=-c+k（y，q）+k（y，q），其中limy→Y*k（y，q）=0和limq→0k（y，q）=0。

特别是，存在一个负常数η，如果y非常接近y*q到0，我们有fNT（y，q）≤ η.一个简单的计算表明，人们可以选择足够小的λ和ε，使得对于任何λ≤ λ和ε≤ ε：oddy[y（1）- y） （0，y）上的fNT（y，b（λ，ε））]<0*- α);oddy[y（1- y） fNT（y，b（λ，ε））]>0*+ α, 1);o 麦克斯{b，-b} <ζ和η<b（λ，ε）-b（λ，ε）2α<0。从第一点开始- y） fNT（y，b（λ，ε））=0对于y=0，我们得到fNT（y，b（λ，ε））<0on（0，y）*- α). 备注7.3表示f（y，b（λ，ε））在（0，y）上小于0*- α).第二点具有相同的参数，在（y）上得到f（y，b（λ，ε））<0*+ α, 1).现在考虑q=b这条线-b2α（y）- Y*- α） +b.给定一个解q（y），第三点andRemark 7.4意味着如果q（y*- α） <b当q（y）<b-b2α（y）- Y*- α） +bon[y]*- α、 y*+ α].定义以下功能：g（y）=b、 y∈ （0，y）*- α） ，b-b2α（y）- Y*- α） +b，y∈ [y]*- α、 y*+ α] ，b，y∈ （y）*+ α, 1).（7.5）我们刚刚证明了f（y，g（y））<g（y）在（0，1）\\{y上*- α、 y*+ α} 因此，qβ（y）<g（y）在q的定义区间。类似地，qβ（y）>g（y）和so qβ（y）<qβ（y）在其共同的定义区间。这就完成了第（iii）项的证明。我们已经证明，对于β>u2γσ，qβ（y）>qβ（y），对于β=u2γσ，qβ（y）>qβ（y）- c>0，且在公共域上ε和λ非常小。这证明了β的存在*=u2γσ-c（ε，λ）和y∈ （0，1）使得qβ*（\'y）=qβ*（\'y）。因为qβ*（·）和qβ*（·）满足方程（3.1），（qβ*)（\'y）=（qβ*)（`y），因此qβ*（y） =qβ*（y） 在整个时间间隔内（0,1）。因此，我们找到了一个解qβ*（y） 满足条件（7.2）和（7.3）。最后，我们证明了集合{y:-ε<qβ*（y） 一,-yqβ*（y） <ε}是区间[y-, y+]。特别是，它足以证明解qβ*（y） 穿过曲线q=ε1+εyand q=-ε1-εy只有一次，在y中-和y+。方程fNT（y，ε1+εy）=ddy（ε1+εy）有两个解y<yin（0，1）。

特别地，fNT（y，ε1+εy）>ddy（ε1+εy）在（0，y）上∪ （y，1）和（y，y）上的fNT（y，ε1+εy）<ddy（ε1+εy）。自Qβ以来*（0+）>ε和qβ*(1-) <ε1+ε，解qβ*（y） 在y中只穿过一次q=ε1+εy-∈ （y，y）。同样的论点，qβ*（y） 交叉点q=-ε1-εy仅在y+中出现一次。与小比例交易成本[20,14]不同，无摩擦的默顿比例为y*通常不在非贸易区[y]-, y+]在当前设置中。为了看到这一点，来自Guasoni和Weber[19，备注A.13]的Recall指出，在他们的模型中，在价格影响下——但不考虑比例交易成本的情况下——营业额在恰好一个点y+为零，即O（λ1/2）——接近但与y不相同*对于小λ。对于给定的小价格影响λ，交易边界为y-, y+收敛到y+作为ε↓ 0.因此，y*/∈ [y]-, y+]如果交易成本与价格影响相比非常小。然而，数值证据表明，只有当ε/λ的比值非常小时，这种影响才会出现。否则，默顿比例包含在非贸易区，比较图1和图2。如[19，定理2.3]所示，风险资产中的杠杆或空头头寸不能以线性价格影响为准。在目前的情况下，这仍然是正确的，并且有额外的比例成本：Lemma 7.5。让你成为一个可接受的策略。然后，对于非常小的ε和λ，相应的风险权重Dyt=（Yt（1- 钇（u）- Ytσ）+（u（Yt）+εYt | u（Yt）|+λYtu（Yt）））dt+Yt（1）- Yt）σdWt，（7.6）Y=Y∈ （0,1）、（7.7）对所有t.证明采用[0,1]a.s.中的值。经过细微的修改，该断言遵循了[19，引理A.2，引理A.3，引理A.4和定理2.3]的思路。为了完整起见，我们在此简要回顾主要观点。让你成为任何可以接受的策略。首先，验证具有动力学（7.6）和初始值y的随机过程∈ (1, ∞) 响应。

Y∈ (-∞, 0）具有正概率的有限爆炸时间τ，即P[τ<∞] > 0.在第二步中，证明相应的财富过程Xu满足，{τ<∞} θτ>0 a.s.这反过来意味着任何可接受的策略都必须满足∈ [0,1]a.s.对于所有t.接下来，验证定理3.1中的候选策略^u是可容许的。在[19，引理A.2]的证明中，使用-(1 - εy）/4λ代替-1/4λ的定义为|u；然后，证据可以按照同样的思路进行。在引理7.5的证明中，我们类似于[19，定理2.3]，比例转移成本导致[19，引理4]中分析的表达式的分子中有一个额外的termRT |˙θt | dt。然而，后者仍然通过与[19，引理A.4]证明中相同的参数收敛到零。引理7.6。定义β，q，y-, 引理7.2中的y+和集^u（y）=2λq（y）1-yq（y）- ε, 如果∈ [0，y-),0，如果y∈ [y]-, y+]，2λq（y）1-yq（y）+ε, 如果∈ （y+，1）。然后，对于足够小的ε和λ，SDEdY^ut=（y^ut（1- Y^ut）（u- Y^utσ）+（Y^u（Y^ut）+εY^ut（Y^ut）|+λY^ut^u（Y^ut）））dt+Y^ut（1）- Y^ut）σdWt，Y^u=Y∈ （0，1）有一个唯一的强解，它取所有t的[0，1]a.s.值。特别是，策略^uis是可容许的。证据引理7.2表明^u（y）是[0,1]上的一个有界连续函数，满足^u（0）>0和^u（1）<0，即策略以完全投资购买，以零投资出售。此外，请注意，过程Y^ui的标度函数由s（x）=Zxcexp给出-2Zycz（1）- z） （u）- zσ）+^u（z）+εz |^u（z）|+λz^u（z）z（1）- z） σdzdy，为c∈ (0, 1). 对于足够小的ε和λ，^u（1）+ε|u（1）|+λu（1）<0。直接计算表明s（0+）=-∞ 和s（1）-) = ∞, 因此[24，命题5.5.22]接受了第一个断言。

最后，由于^u和Y^uare都有边界，因此策略的可接受性如下。函数q，常数β和边界y-, 对于手边的非贸易区，我们现在可以使用Guasoni和Roberton[17，定理7]验证论证的变体来计算任何可接受策略的等效安全率的上界：引理7.7。让我来∈ （0，1）是初始风险权重，定义β，q如引理7.2所示，setQ（ξ）=Rξq（z）dz。然后，任何给定可接受策略的终端财富XuTof满足：E[（XuT）1-γ]1-γ≤ XeβT+Q（y）E^Puhe-(1-γ） Q（是的）i1-γ、 （7.8）其中^Pu | FTdP | FT=EZ·（1）- γ） Yus（1+q（Yus）（1）- Yus）σdWsT.（7.9）此外，引理7.6中的策略^u在（7.8）中是平等的。证据修正一个可接受的策略u，省略u-为了证明其余部分的稳定性，对X，Y，和^P的依赖性。引理7.2、引理7.5和Novikov条件意味着（7.9）右侧的stochastic指数是真鞅，因此是^pu关于P的密度过程。证明中使用的验证参数是Guasoni和Robertson[17，定理7]在一般马尔可夫无摩擦环境中首次使用的。反过来，Guasoni和Weber[19，引理A.7]将其改编为具有二次交易成本的Black Scholes模型。在这里，我们将其扩展到具有二次和线性交易成本的设置，这导致HJB方程（7.14）中的额外非线性。现在，我们可以很容易地检查断言是否遵循fromlog XT- 对数X-1.- γlogd^PdP！≤ βT- Q（YT）+Q（y）。（7.10）为了验证（7.10），从（2.4-2.5）中回忆财富过程X和风险权重Y的动力学，并将其^o公式应用于Q（YT）和log（XT），得到：Q（YT）- Q（y）=ZTq（Yt）（Yt（1- 钇（u）- Ytσ+ut+ε| ut | Yt+λYtut）dt+ZTq（Yt）Yt（1）- Yt）σdt+ZTq（Yt）Yt（1）- Yt）σdWt，（7.11）对数XT- 对数X=ZT钇u- ε| ut |- λut-σYtdt+ZTσYtdWt。