能源期货中的杠杆效应

长时记忆长时记忆（长时记忆、长程依赖）与序列在时域和频域的特定特征有关。在时域中，长期记忆过程具有渐近幂律衰减的自相关函数ρ（k）和滞后k，使得ρ（k）∝ k2H-2关于k→ +∞. 在频域中，长期记忆过程在起始频谱f（λ）处与频率λ发散，使得f（λ）∝ λ1-2Hforλ→ 0+. 在这两种定义中，赫斯特指数H起着关键作用。对于平稳序列，H的标准边界在0和1之间，因此0≤ H<1。没有与H=0.5相关的长期记忆，H>0.5的长期自相关为正，H<0.5的长期自相关为负。赫斯特指数以严格的方式与分数差分参数d相连——H=d+0.5（Beran，1994）。赫斯特指数对我们的进一步分析至关重要。然而，在估计指数本身之前，我们需要测试序列是否具有长程依赖性。研究表明，赫斯特指数的估计器可能会报告不同于0.5的值，从而暗示长期记忆，即使序列不是长程依赖的（塔奎特等人，1995年；塔奎特和特维洛夫斯基，1996年；特维洛夫斯基等人，1999年；伦纳茨和邦德，2009年；巴鲁尼克和克里斯托菲克，2010年；克里斯托菲克，2010年；周，2012年）。为了解决这个问题，在估计赫斯特指数之前，我们首先测试序列中是否存在长期依赖性。我们选择两种测试——修改的重标范围和重标变化。改良重标极差测试（Lo，1991）是传统重标极差测试（Hurst，1951）的调整版，用于控制该系列的短期记忆。

测试统计V定义为VT=（R/S）T√T（2）由于对高频数据的需求，我们不选择已实现方差族测度。此外，我们的研究是对收益率和波动率之间关系的研究，而不是寻找波动率的最佳衡量标准。基于区间的估值器反过来又是一种非常合适的折衷方案，因为这些估值器只需要每日的开盘价、收盘价、高价和低价，几乎所有公开交易的资产都可以自由获得这些估值器。如果将范围R定义为文件最大值和最小值之间的差异（累积的原始序列），则S是这些序列的标准偏差，T是时间序列长度。这里（R/S）是长度T系列的重新缩放范围。为了控制潜在的短期记忆偏差（强短期记忆可能被误认为是长期记忆），标准差S用于其异方差和自相关一致性（HAC）版本。为了达到这些目的，我们使用了以下规格，这些规格后来也用于双变量设置和重标度方差检验：dsxy，q=qXk=-Q1.-|k | q+1cγxy（k）（3）其中cγxy（k）是滞后k处的样本互协方差，q是考虑的滞后数，互协方差用Barlett核权重加权。对于修改后的重新缩放范围，我们设置≡ 自协方差函数是对称的。我们遵循Lo（1991）的建议，根据以下最佳滞后公式使用滞后q:q*=3T[|ρ(1)|1 -dρ（1）！（4） 式中，dρ（1）为样本一阶自相关，bc为下整数算子。在无长程依赖的零假设下，统计分布为Fv（x）=1+2∞Xk=1（1- 4kx）e-2（kx）。（5） Giraitis等人提出了一种替代经修改的重新缩放范围测试的方法。

（2003）提出了重标度方差检验，该检验仅用公式2的方差代替公式2中的范围。然后，将测试统计量M定义为asMT=var（X）ts，其中X是原始序列的曲线，标准偏差S的定义方式与修改后的重新标度范围测试相同。Giraitis等人（2003年）表明，重标度方差检验比Lee和Schmidt（1996年）以及Lee和Amsler（1997年）进一步支持的修正重标度范围具有更好的性能。在没有长期记忆的假设下，统计量分布为fm（x）=1+2∞Xk=1(-1） 柯-2kπx.（6）对于赫斯特指数本身的估计，我们使用了两种频域估计——局部Whittle估计和GPH估计。我们选择频域估计器，因为这些估计器具有明确的渐近性质，并且非常适用于非平稳或边界序列，这是我们目前分析的情况。Robinson（1995）利用K¨unsch（1987）的似然性，提出了局部Whittle估计作为半参数极大似然估计，同时只关注原点附近的一部分谱。作为谱f（λ）的估计器，使用周期图I（λ）。对于时间序列的长度m≤ T/2和λj=2πj/T，赫斯特指数估计为bh=arg min R（H），（7），其中R（H）=logmmXj=1λ2H-1jI（λj）！-2小时- 1mmXj=1logλj.（8）Geweke和Porter Hudak（1983）介绍了一种基于底层过程的全函数描述的估计器，即分数高斯噪声，该估计器在作者之后被标为GPH估计器。基础过程的假设与特定的光谱密度有关，该光谱密度反过来用于以下方程的回归估计：logi（λj）∝ -（H）- 0.5）对数[4 sin（λj/2）]。（9） 这两个估计量是一致的和渐近正态的。

为了避免由于短期记忆而产生的偏差，我们仅在估计的周期图中靠近原点的部分上估计局部Whittle和GPH估计量（短期记忆存在于高频段，因此远离原点）。具体来说，我们使用m=T0。6.3.3. 非平稳序列的相关系数由于杠杆效应可被视为收益率和波动率之间的相关性，因此需要对潜在非平稳序列之间的相关性进行有效估计。最近，文献中提出了两种方法——去趋势互相关系数（Zebende，2011）和去趋势移动平均互相关系数（Kristoufek，2014a）。Zebende（2011）提出了去趋势互相关系数，作为去趋势互相关分析（DCCA）（Podobnik和Stanley，2008）和扭曲弯曲分析（DFA）的组合（Peng等人，1993年、1994年；Kantelhardt等人，2002年）。去趋势互相关系数ρDCCA（s）用于测量非平稳序列和季节性序列之间的相关性，定义为ρDCCA（s）=FDCCA（s）FDF A，x（s）FDF A，y（s），（10），其中FDCCA（s）是两个序列中基于大小为s的参数之间的去趋势协方差，FDF A，x和FDF A，分别是分离序列中参数的去趋势方差，有关窗口大小s的更多技术细节，请参考Kantelhardt等人（2002）、Podobnik和Stanley（2008）以及Kristoufek（2014b）。换言之，该方法基于计算线性趋势去趋势序列之间的相关系数，而去趋势是在每个长度窗口中进行的。Kristoufek（2014a）介绍了去趋势移动平均互相关系数，作为上述系数的替代方法。

该方法将去趋势移动平均法（DMA）程序（Vandewalle和Ausloos，1998；Alessio等人，2002）与去趋势移动平均互相关分析（DMCA）相结合（Arianos和Carbone，2009；He和Chen，2011）。去趋势移动平均互相关系数ρDM CA（λ）定义为ρDM CA（λ）=FDM CA（λ）Fx、DM A（λ）Fy、DMA（λ），（11），其中FDM CA（λ）、FDM A、x（λ）和FDM A、y（λ）与基于DCCA的系数类似，分别是两个研究序列的参数之间的去趋势协方差和单独序列的去趋势方差，带有移动平均参数λ。与之前基于DCCA的方法相反，DMCA变量不需要框分裂，但只需通过长度λ的移动平均值，即可从文件序列中估算相关性。Carbone和Castelli（2003）表明，居中移动平均线优于后向移动平均线和前向移动平均线，因此我们在分析中应用了居中移动平均线。有关程序的更多详细说明，请参考Alessio等人（2002年）、Arianosand Carbone（2009年）和Kristoufek（2014a）。重标度协方差检验基于单变量序列的重标度方差检验，Kristoufek（2013）提出了重标度协方差检验，它能够区分两个序列之间的长期记忆和短期记忆。与单变量序列类似，长期记忆可以推广到双变量环境，这样长范围的交叉相关（交叉持续）过程的特征是渐近幂律衰减的交叉相关函数和发散的起始交叉谱。

通过对收益率和波动率之间的关系进行检验，我们可以对两个系列之间可能存在的幂律交叉相关关系进行评论，这通常与杠杆效应有关（Cont，2001）。重标度协方差检验的检验统计量定义为asMxy，T（q）=qcHx+cHy-1dCov（XT，YT）T dsxy，q，（12）式中，dsxy，qis是公式3中定义的研究序列协方差的HAC估计量，dCov（XT，YT）是序列各部分之间的估计协方差，chx和chy是单独过程的估计Hurst指数。对于估计的Hurst指数，如果发现过程与范围有关，则使用局部Whittle和GPH估计的平均值。否则，我们将相应的指数设置为0.5。测试的临界值和p值通过移动块引导法获得。更多详情请参考Kristoufek（2013）。数据和结果我们分析了2000年1月1日至2013年6月30日之间布伦特原油、WTI（西德克萨斯中质原油）、取暖油和天然气的期货合约。由于我们对杠杆效应感兴趣，我们关注未来价格的回报和波动性。无花果。1和2，我们根据等式1中给出的Garman-Klass估计量给出收益率和波动率。从收益率图表中，我们观察到，这些行为与波动率聚类和非高斯分布的标准财务收益非常相似。然而，我们也注意到，主要是对于天然气而言，回报率会经历某些季节性模式，这与期货合约前后的滚动有关。这是通过利用为此类季节性构造的去趋势互相关系数和去趋势移动平均互相关系数来处理的。

波动率动力学再次提醒人们，其他金融资产的标准波动率具有明显的持续性，这将在后面讨论。天然气系列再次以更频繁的波动性跳跃和更不稳定的行为脱颖而出。在标签上。1.我们总结了标准的描述性统计和测试。所有收益率序列都遵循非常标准的特征，如过度波动性、负偏态（本例中与天然气不同）、非高斯分布和渐近平稳性。对于每个序列，我们也会发现显著的自相关。之后，我们测试这些是否可以作为长期的治疗。除了对数形式的收益率和波动率，我们还关注标准化收益率。请注意，按波动率标准化的回报率通常接近正态分布，一般来说，它们更适合进行统计分析。从这一点开始，我们只关注标准化收益率和对数波动率之间的关系。因此，如果提及收益率和波动率，我们将使用转换后的序列。标准化收益率都近似对称，不超过正态分布的峰度。此外，通过四分之三系列的标准化，自相关系数已被过滤掉。对于波动性，我们强烈反对分布的正态性，并发现非常强的自相关。此外，我们拒绝序列的单位根和平稳性行为。这将引导我们检查分析系列中潜在的长期记忆。在标签上。2.我们展示了修改后的重标范围和重标方差测试的结果。根据公式4选择了最佳滞后时间。我们发现，尽管天然气的测试统计数据接近临界水平，但这两个返回序列都不是长程自相关的。

正如预期的那样，即使在控制了相当多的滞后（15到20之间）之后，所有挥发性序列的长期记忆都被识别出来。因此，长期记忆测试的结果给出了预期的结果——结果没有长期记忆，波动性序列的长期记忆具有统计学意义。基于之前的测试，我们认为收益序列不是长期依赖的，因此它们的赫斯特指数等于0.5，这将在以后的重标度协方差测试中使用。对于波动率序列，我们使用局部Whittle和GPH估计量估计Hurst指数H。估算汇总在表1中。3.我们观察到，两个指数给出了类似的结果——所有四个研究系列的波动性赫斯特指数估计在H=1左右。根据报告的标准误差，我们无法区分赫斯特指数是否低于或高于单位值。因此，我们很难确定波动率序列是平稳的长期相关还是非平稳的长期相关，但仍然是均值回复。尽管如此，这并不影响以下任何仪器和测试。由于波动率序列是长期相关的，我们需要应用能够处理此类序列的相关度量。Kristoufek（2014b）表明，标准相关系数无法做到这一点。因此，我们采用了去趋势的互相关系数和去趋势的移动平均互相关度量，这些度量不仅能够在长期记忆甚至非平稳性条件下工作，而且还能过滤出明确的趋势。在研究期货的情况下，交易月的滚动期是确定的，因此我们可以设置s=λ=20，并且方法可以过滤季节性。标签。4报告了每种研究商品的收益率和波动率之间的估计相关系数。

我们发现，这两种原油的部分驱动力来自与收益率和波动率之间负相关的标准杠杆效应。对于加热油，估计的相关性也为负，但在1%的水平上不具有统计学意义。然后，天然气的特点是反向杠杆效应，即收益率和波动率之间的正相关性。请注意，尽管发现一些相关性在统计上具有显著性，但与股票或股票指数的标准报告值相比，这些水平相当弱。标签。5然后总结了重标度协方差检验的结果，该检验检验了可能的长程互相关。我们使用的滞后数与表中的单变量波动率测试相同。3.根据报告的p值，我们发现在双变量环境中没有长程依赖的迹象。这与上面发现的相当弱的相关性密切相关。尽管这一系列可能相互关联，产生杠杆效应或反向杠杆效应，但影响还不足以转化为长期联系。5.结论在本文中，我们建议全面处理杠杆效应，重点关注能源商品期货，即布伦特和WTI原油、天然气和取暖油。在估计波动过程而不假设其行为的任何特定形式后，我们发现波动率与赫斯特指数长期相关，处于平稳和非平稳的边缘。通过使用去趋势互相关系数和去趋势移动平均互相关系数，我们发现了这两种原油的标准杠杆效应。

对于热油，影响不是统计学意义上的。使用傅里叶随机化生成的10000个序列构造值，这确保了自相关结构保持不变，但互相关被消除。重要的是，对于天然气，我们发现了反向杠杆效应。这表明，在构建任何特定模型之前，需要对杠杆效应的存在进行初步测试，以避免无效的估计，甚至是有偏差的结果。最后，我们还表明，收益率和波动率之间的任何影响都不是长期的相互关联影响。因此，作为交易量最大的期货之一，原油期货的动态更接近股票和股票指数，而不太受欢迎的取暖油和天然气则与标准行为有所不同。这些发现可进一步用于增强预测模型，主要用于风险管理和投资组合多元化。确认导致这些结果的研究已收到欧盟第七个框架计划（FP7/2007-2013）的资助，资助协议号为FP7-SSH612955（FinMaP）。感谢捷克科学基金会在第P402/11/0948号和第14-11402P号项目下提供的支持。参考Agnolucci，P.（2009）。原油期货的波动性：GARCH和隐含波动率模型预测能力的比较。能源经济学31316–321。Alessio，E.，A.Carbone，G.Castelli和V.Frappietro（2002年）。随机时间序列的二阶移动平均和标度。《欧洲物理杂志》B27197-200。Aloui，C.和R.Jammazi（2009年）。原油对股市行为的影响：一种制度转换方法。能源经济学31789–799。Arianos，S.和A.Carbone（2009年）。长程相关序列的互相关。