关于布朗运动过程的下降频率

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英文标题：
《On the Frequency of Drawdowns for Brownian Motion Processes》
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作者：
David Landriault and Bin Li and Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Drawdowns measuring the decline in value from the historical running maxima over a given period of time, are considered as extremal events from the standpoint of risk management. To date, research on the topic has mainly focus on the side of severity by studying the first drawdown over certain pre-specified size. In this paper, we extend the discussion by investigating the frequency of drawdowns, and some of their inherent characteristics. We consider two types of drawdown time sequences depending on whether a historical running maximum {is reset or not}. For each type, we study the frequency rate of drawdowns, the Laplace transform of the $n$-th drawdown time, the distribution of the running maximum and the value process at the $n$-th drawdown time, as well as some other quantities of interest. Interesting relationships between these two drawdown time sequences are also established. Finally, insurance policies protecting against the risk of frequent drawdowns are also proposed and priced.
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中文摘要：
从风险管理的角度来看，从给定时间段的历史运行最大值衡量价值下降的支取被视为极端事件。到目前为止，关于这一主题的研究主要集中在严重性方面，通过研究特定预先规定规模的首次下降。在本文中，我们通过调查提取频率及其一些固有特征来扩展讨论。根据历史运行最大值{是否重置}，我们考虑两种类型的下降时间序列。对于每种类型，我们研究了提款的频率、第n$次提款时间的拉普拉斯变换、运行最大值的分布、第n$次提款时间的价值过程，以及其他一些感兴趣的数量。这两个下降时间序列之间也建立了有趣的关系。最后，还提出并定价了针对频繁提款风险的保单。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：布朗运动 Differential Quantitative relationship distribution

布朗运动过程的下降频率*李斌+张鸿忠2014年3月6日摘要从风险管理的角度来看，衡量给定时间段内历史运行最大值的价值下降的提取被视为极端事件。到目前为止，有关该主题的研究主要集中在严重性方面，通过研究特定预先规定的尺寸的RST下降。在本文中，我们通过调查提取频率及其一些固有特征来扩展讨论。根据历史运行的最大值是否存在，我们考虑了两种类型的下降时间序列。对于每种类型，我们研究了水位下降的频率、第n次水位下降时间的拉普拉斯变换、运行最大值的分布、第n次水位下降时间的数值过程，以及其他一些感兴趣的量。这两个下降时间序列之间也建立了有趣的关系。最后，还提出并定价了针对频繁提款风险的保险政策。关键词：下降；频率布朗运动理学硕士（2000）：初级60G40；我们考虑一个漂移布朗运动X={Xt，t≥ 0}，定义在过滤概率空间上(Ohm, {Ft，t≥ 0}，P），其中dynamicsXt=x+ut+σWt，其中x∈ R是初始值，u∈ R、 σ>0和{Wt，t≥ 0}是标准的布朗运动。尺寸a>0的第一次下降时间用τa:=inf{t>0:Mt表示- Xt≥ a} ，（1.1）式中M={Mt，t≥ 具有Mt:=sups的0}∈[0，t]xtx是X的最大运行进程。从现在起，我们遵循inf = ∞ 喝一杯 = 0.提款是共同基金和大宗商品交易顾问最常引用的路径相关风险指标之一（见Burghardt等人[4]）。

从风险管理的角度来看，大额提款应被视为极端事件，其严重性和频率都需要调查。严重性受到了相当大的关注*滑铁卢大学统计与精算科学系，滑铁卢，安大略省，N2L 3G1，加拿大(dlandria@uwaterloo.ca)+通讯作者：加拿大滑铁卢滑铁卢大学统计与精算科学系，邮编N2L 3G1（bin。li@uwaterloo.ca)哥伦比亚大学统计系，纽约，纽约，10027，美国(hzhang@stat.columbia.edu)通过预先指定dr awdowns大小的阈值，n amely a>0，并随后研究与第一次水位下降时间τa相关的各种性质，来解决问题。在本文中，我们通过调查水位下降的频率来扩展讨论。为此，我们推导了漂移布朗运动的n-d拉延时间、运行最大值和拉延时间的值过程的联合分布。利用更新过程的一般理论，我们可以描述在长时间范围内下降事件频率的行为。最后，我们介绍了一些保险政策，以保护与频繁提款相关的风险。这些政策类似于场外交易（OTC）市场中的顺序障碍期权（例如，参见Pfe FFER[16]）。利用本文的主要理论结果，通过卡尔的期限随机化，给出了闭式定价公式。1.1文献综述首次下降时间τa是下降过程的首次通过时间{Mt- Xt，t≥ 0}到级别a或更高。应用概率的文献对其进行了广泛的研究。

τa和Mτa的联合变换首先由Taylor[20]f或漂移布朗运动导出。Lehoczky[13]通过扰动近似方法将结果推广到一般时间齐次扩散。Douady等人[8]对标准布朗运动进行了τawas分布的有限级数展开，Magdon等人[14]将结果推广到d裂布朗运动。水位下降的双重因素，即所谓的水位下降，衡量的是在给定时间段内从历史运行最低值开始的价值增加。Hadjiliadis和Vecer[10]以及Pospisil等人[18]随后分别在漂移布朗运动和一般时间均匀扩散过程中研究了拉深自身先于拉深的可能性。Mijatovic和Pistoriu s[15]推导了τa的联合拉普拉斯变换，以及Mτaprior到τa水平的最后一次通过时间，与运行最大值、运行最小值的联合分布，以及在τa F处的超调量有关，这与光谱上的负向evy过程有关。在[24]中，在漂移布朗运动和简单随机游动下，研究了在有限时间范围内，水位下降先于水位上升的概率。最近，[23,25]研究了拉普拉斯变换的下降时间、所谓的市场崩溃速度，以及第一次退出时的各种占用时间和一般时间同质差异过程的下降时间。在定量风险管理中，支取及其后代已成为越来越受欢迎和相关的路径相关风险指标。Grossman和Zhou[9]在Black-Scholes框架下显式地解决了一个限制提取的投资组合优化问题。Hamelink and Hoesli[11]将相对提款作为房地产投资组合优化的绩效指标。切赫洛夫等人。

[6] 提出了一类新的风险度量方法，称为条件提取，并研究了条件提取约束下的参数选择技术和投资组合优化。Vecer[21]引入了一些新的金融衍生工具，以对冲最大的d提取风险。Pospisil和Vecer[17]发明了一类GreekSil，用于研究投资组合对运行最大值和提款的敏感性。后来，Carret等人[5]介绍了一类欧式数字提款保险，并提出了使用障碍期权和普通期权的半静态对冲策略。Zhang等人[26]研究了针对提款的掉期类型保险和可撤销保险。1.2定义虽然可以使用提款过程适当地描述持续下行风险，并且第一次提款时间，但包含更多路径信息的数量更好地描述了经济动荡和市场波动，比如提款的频率。关于第一次水位下降时间τa的现有知识仅提供关于水位下降频率的有限且隐含的信息。为了直接和系统地解决频率问题，我们根据是否需要恢复最后运行的最大值，定义了以下两种类型的下降时间序列。第一个序列{τna，n∈ N} 被称为带恢复的水位下降时间，递归定义为)τna:=inf{t>)τN-1a:Mt-Xt≥ a、 Mt>Mτn-1a}，（1.2）式中∧τa=0。注意，在每一个|τn之后-1a，相应的运行最大值Mτn-1必须在下一次水位下降时间τna之前覆盖。换句话说，只有在重新访问前一个运行最大值时，才会重置和更新运行最大值。因为X的s-sample路径几乎肯定是（a.s.）连续的，所以我们得到了Mτna- Xτna=a a.s。

如果τna<∞.第二个序列{τna，n∈ N} 被称为无恢复的下降时间，递归定义为τna:=inf{t>τN-1a:M[τn-1a，t]- Xt≥ a} ，（1.3）式中τa:=0和M[s，t]：=sups≤U≤tXu。根据定义（1.3），隐含地假设在水位下降时间τna时，运行最大Mτnai“重置”为Xτnai。实际上，τna是与定义为τna的τ相关的所谓的终止时间=τn-1a+τao θτn-1a，当τn-1a和τao θτn-1.你很确定，∞, 否则，（1.4）其中θ是马尔可夫移位算子，因此o θs=Xs+t对于s，t≥ 0.注意，不仅对于漂移布朗运动X，而且对于一般的L’evy过程，τNa和∧τNa都与初始值X无关。从定义（1.3）和（1.2）来看，很明显，以下两种类型的水位下降时间的包容性关系成立：{τna，n∈ N} {τna，n∈ N} 。换句话说，对于每个n∈ N、 存在唯一的正整数m≥ n使得τna=τma（如果τna<∞).我们介绍这两个自己绘制的时间序列的动机如下。恢复{τna，n时的压降时间∈ N} 很容易从X的样本路径通过sear-ching Therunning maxima来识别。此外，它们与第一次下降τ的定义（1.1）一致，即如果未重新考虑运行最大值，则下降可视为不完整。然而，{τna，n也有一些关键的缺点∈ N} 这促使我们在不恢复的情况下引入下降时间{τna，N∈ N} 。首先，覆盖期内的下行风险被忽略。在恢复期可能会出现一次或多次较大的提款。第二，需要对储备进行调整，以便更全面地了解提款的真实性。换言之，选择一个新的目标变得很棘手。第三，复苏的要求太高。

在现实世界中，历史最高水位可能永远无法恢复，就像金融泡沫[12]一样。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了漂移布朗运动X的退出时间和第一次下降时间τao的一些初步研究。在第3节中，推导了水位下降的频率率，以及与MτNa和/或XτNa分布相关的τNa的拉普拉斯变换。第4节与第3节平行，但研究了不恢复{τna，n的水位下降时间∈ N} 。这两个时间序列之间建立了有趣的联系。第5节介绍了一些保险合同，以防范频繁支取的风险。4.为了便于记法，我们用Ex[·]=E[·| X=X]表示条件期望，用Px{·}表示相应的概率，用Ex[·；U]=Ex[·1U]表示集合U的指示函数 Ohm. 特别是，当x=0时，我们从条件期望和概率中删除下标xf。为了x∈ R、 设T+x=inf{T≥ 0:Xt>x}和T-x=inf{t≥ 0:Xt<x}是x到[x]中水平的第一个通行时间，∞) 及(-∞, x] 分别为。对于a<x<b和λ>0，已知为-λT-a] =eβ-λ（x）-a） 以及-λT+b]=eβ+λ（x）-b） ，（2.1）式中β±λ=-u±√u+2λ∑∑（例如，参见Borodin和Salminen[3]第295页的公式2.0.1）。b等于λ→ 0+在（2.1）中，我们有pxT+b<∞= E-u+|u|σ（x-b） 和PxT-a<∞= E-u-|u|σ（x）-a） 。我们有LapEhm[2]的LapEhm[2]的拉普拉斯变换，对于LapEhm[2]的拉普拉斯，我们有LapEhm[2]的拉普拉斯变换-λτa-sMτai=cλbλ+s（2.3），其中bλ=β+λe-β-λa-β-λe-β+λae-β-λa-E-β+λA和cλ=β+λ-β-λe-β-λa-E-β+λa.a（2.3）关于s结果的拉普拉斯反演-λτa；Mτa>x]=cλbλe-bλx（2.4）表示x>0。

此外，让x→ 0+在（2.4）中，我们立即得到-λτa]=cλ/bλ。（2.5）第4节末尾将给出通过逆拉普拉斯变换方法对τA（以及更一般的τna和τna）分布函数的数值评估。Douady等人[8]和Magdon等人[14]分别针对标准布朗运动和漂移布朗运动推导的τa分布的其他形式的单位序列扩展。取（2.5）中关于λ的导数，让λ→ 0+，我们有[τa]=σe2ua/σ- σ- 2ua2u。现在需要检查limλ→0+bλ=limλ→0+cλ=γeγa- 1，（2.6）式中，γ=2μσ。在风险理论文献中，常数γ被称为调整系数。特别是，当u=0时，数量γeγa-1被理解为limγ→0γeγa-1=a。由（2.5）和（2.6）得出：∞} = limλ→0+Ehe-λτai=1。此外，我们还有p{Mτa≥ x} =P{Mτa≥ x、 τa<∞} = limλ→0+Ehe-λτa；Mτa≥ xi=e-γxeγa-1.（2.7）这意味着第一次水位下降时间Mτa处的运行最大值符合平均值（eγa）的指数分布- 1） /γ（例如，见Lehoczky[13]）3回收率的下降时间我们从回收率{τna，n的下降时间开始分析∈ N} 考虑到它们的结构比它们的对应物在没有回收的情况下进行更简单的分析。我们首先考虑开采频率随恢复的渐近行为。设Nat=P∞n=1{τna≤t} 是时间t观察到的带恢复的下降次数≥ 0，并定义Nat/t为提取频率。很明显，纳特≥ 0ois是一个延迟的连续过程，其中第一次下降时间以τa的形式分布，而随后的下降时间以T+Xτa+a的形式独立且相同地分布o τa.来自Rolski等人的定理6.1.1。

[19] 因此，概率为1时，limt→∞~Natt=（E[τa]+E[T+a]=2uσ（e2ua/σ）-1） ，如果u>0,0，如果u≤ 此外，我们可以很容易地获得一些中心极限定理f或Rolskiet al.[19]的Natby定理6.1.2。接下来，我们研究了)τna和M)τna的联合拉普拉斯变换。请注意，X碜τna=M碜τna- aa。s、 无论何时∞, 因此，下面的定理足以刻画三重态τna，Mτna，Xτna.n的定理3.1∈ N和λ，x≥ 我们有-λ∧τna；M~τna>xi=cλbλ氖-（n）-1） β+λan-1Xm=0（bλx）mm！E-bλx.（3.1）证明。为了证明这一结果，我们首先确定了第一次下降时间τa的条件，然后确定了过程X恢复其最大运行时间的条件。利用x和（2.3）的强马尔可夫性质，可以清楚地看出-λ∧τna-sM)τnai=Ehe-λ∧τna-sMτna；■τna<∞i=Ehe-λτa-sMτaiEhe-T+aiEhe-λ∧τn-1a-sMτn-1ai=cλbλ+se-β+λaEhe-λ∧τn-1a-sMτn-1ai=cλbλ+sN-1e-（n）-1） β+λaEhe-λτa-sMτai=cλbλ+s氖-（n）-1） β+λa.（3.2）假设（bλ/（bλ+s））是均值为n/bλ且方差为n/（bλ）的Erlang随机变量（rv）的拉普拉斯变换，则（3.2）wrt s的尾部反转产生（3.1）。特别是，让x→ 0+，我们有-λ∧τnai=（cλ/bλ）ne-（n）-1） β+λa（3.3）表示n∈ N.更进一步，让λ→ 0+in（3.3），以及（2.6）和limλ→0+β+λ=-u+|u|σ，我们有p{τna<∞} =1，如果≥ 0，e（n）-1） γa，如果u<0。（3.4）换句话说，如果漂移u<0，历史运行最大值可能永远无法恢复。n的推论3.1∈ N和x>0，我们有M)τna>x，)τna<∞=E-γxeγa-1Pn-1米=0米！γxeγa-1.m、 如果u≥ 0，e（n）-1） γae-γxeγa-1Pn-1米=0米！γxeγa-1.m、 如果u<0。。（3.5）证据。将（3.3）细分为（3.1）产量sEhe-λ∧τna；M)τna>xi=Ehe-λ∧τnain-1Xm=0（bλx）mm！E-bλx.（3.6）当λ→ 0+in（3.6），然后使用（2.6），一个人到达atPM)τna>x，)τna<∞= P{τna<∞}N-1Xm=0（γxeγa-1） 嗯！E-γxeγa-1.

（3.7）将（3.4）替换为（3.7）将导致（3.5）。注意（3.7）表示M|τna>x||τna<∞=N-1Xm=0m！γxeγa-1.我-γxeγa-1，（3.8）适用于所有u∈ R.这个结果可以用概率来解释。事实上，当τna<∞, M~τma-M~τM-1a服从指数分布，平均值为（eγa- 1） /γ对于m=1，2。。。，n、 从strongMarkov性质来看，rv的Mτma- M~τM-1对于所有m=1，2。。。，n都是独立的，并且thusMτna=Pnm=1M~τma- M~τM-1a是一种具有存活功能的E rlang rv（3.8）。特别是当n→ ∞, 检查limn很容易→∞PM~τna>x= P{T+x<∞} 符合（2.2）。为完整起见，我们以（3.1）中的一个结果作为本节的结论，并以M|τna- X)τna=a a.s.无论何时)τna<∞.n的推论3.2∈ N和x≥ - a、 我们有-λ∧τna；X~τna>xi=cλbλ氖-（n）-1） β+λan-1Xm=0（bλ（x+a））mm！E-bλ（x+a）。4没有恢复的水位下降时间在本节中，我们重点讨论了没有恢复的水位下降时间，这比恢复的水位下降时间更难分析。设Nat=P∞n=1{τna≤t} 是时间t前未恢复的dr awdowns数≥ 0.显然，{Nat，t≥ 0}是一个具有独立的内部d拉延时间的连续过程，均以τa的形式分布。根据Rolski等人[19]的定理6.1.1，可以得出结论，概率为1时，limt→∞Natt=E[τa]=2μσe2ua/σ- σ- 2ua，这与我们基于（1.4）的直觉一致。在这里，我们也可以通过应用Rolski等人[19]的定理6.1.2，获得NatalLimit的一些中心定理。接下来，我们描述了τna，Xτna通过推导一个显式表达式-λτna；Xτna>X]。n的定理4.1∈ N和λ，x>0的联合分布τna，Xτna满足感[e]-λτna；Xτna>X]=cλbλ氖-bλ（x+na）n-1Xm=0（bλ（x+na））mm！。（4.1）证据。