关于布朗运动过程的下降频率

假设Xτna+na是一个正rv（而Xτnais不是），我们首先通过推导一个联合拉普拉斯变换的表达式来证明（4.1）τna，Xτna+na. 通过调节FirstDrawdown时间及其相关的价值过程，并利用强马尔可夫性质和（2.3），很明显，对于所有≥ 0，呃-λτna-s（Xτna+na）i=Ehe-λτa-s（Xτa+a）iEE-λτn-1a-sXτn-1a+（n-1） a= Ehe-λτa-sMτaiEE-λτn-1a-sXτn-1a+（n）-1） a=cλbλ+sEE-λτn-1a-sXτn-1a+（n）-1） a=cλbλ+sn、 （4.2）关于s结果的（4.2）拉普拉斯变换-λτna；Xτna+na∈ dyi=（cλ）nyn-1e-bλy（n）- 1)!dy（4.3）代表y≥ 0.从x+na到y的积分（4.3）∞ 收益率（4.1）。让我们→ 0+在（4.2）中，它跟在第[e]位之后-λτna]=（cλ/bλ）n=E[E]-λτa]n、 （4.4）注意，（4.4）和（2.6）表示p{τna<∞} = 1.值得指出的是E-λτna=EE-λτan更普遍地适用于X-ageneral L’evy过程或更新风险过程（也称为Sparre-Andersen风险模型[2]），前提是内部水位下降时间τaτna- τn-1aN≥2.形成i.i.d.rvs序列。同样，让λ→ 0+在（4.1）中，它紧随其后Xτna≥ 十、= E-γ（x+na）eγa-1n-1Xm=0γ（x+na）eγa-1.嗯！，（4.5）对于n∈ N和x≥ -娜娜。正如所料，（4.5）是Erlang rv的生存函数，其平均值为（eγa）-1） /γ和方差n（（eγa）- 1） /γ），后由-na单位。我们现在的目标是将Mτnain纳入第n次水位下降时间的分析中。引理4.1中提供了一个特别有用的结果，它考虑了一个特定的约束拉普拉斯变换，将通过时间转换为x级。引理4.1用于n∈ N和x>0时，T+x的约束拉普拉斯变换与第一次通过时间一起出现在τnai之前-λT+x；T+x<τnai=e-bλxn-1Xj=0cλe-bλajx（x+ja）j-1j！。（4.6）证据。我们用n上的归纳法证明了这个结果。

对于n=1，我们有-λT+x；T+x<τai=Ehe-λT+xi- Ehe-λT+x；T+x>τai=e-β+λx-ZxEhe-λτa；Mτa∈ 迪伊-啊哈-λT+xi=e-β+λx-Zxcλe-bλye-β+λ（x）-y+a）dy=e-β+λx- cλe-β+λae-β+λx- E-bλxbλ- β+λ，我们在第三等式中使用（2.4）。另一方面，使用cλe处的事实th-β+λa=bλ- β+λ，我们有-λT+x；T+x<τai=e-bλx.我们现在假设（4.6）对于n=1，2。。。，K-1表明（4.6）也适用于n=k。事实上，根据总概率公式，Ehe-λT+x；T+x<τkai=Ehe-λT+x；T+x<τai+Ehe-λT+x；τa<T+x<τkai=e-bλx+ZxEhe-λτa；Mτa∈ 迪伊-啊哈-λT+x；T+x<τk-1aidy=e-bλx+Zxcλe-bλ耶和-λT+x-y+a；T+x-y+a<τk-1田园诗。（4.7）在n=k处替换（4.6）- 1到（4.7）yieldsEhe-λT+x；T+x<τkai=e-bλx+cλe-bλ（x+a）k-2Xj=0Zxcλe-bλaj（x）- y+a）（x- y+（j+1）a）j-1j！dy=e-bλx+cλe-bλ（x+a）x+k-2Xj=1cλe-bλajZx（y+（j+1）a）jj！- a（y+（j+1）a）j-1（j）- 1)!!dy= E-bλx1+cλe-bλax+k-1Xj=2cλe-bλajx（x+ja）j-1j！= E-bλxk-1Xj=0cλe-bλajx（x+ja）j-1j！。这就完成了证明。在下一个定理中，我们提供了关于Mτna和Xτna的第n个下降时间τna的分布特征。n的定理4.2∈ N和x>0，我们有-λτna；Mτna>x，xτna∈ dyi=（cλ）ne-bλ（y+na）n-1Xm=0x（x+ma）m-1（y）-x+（n- m） a）n-1.-m{y-x+（n-m） a≥0}m！（n）- M- 1)!（4.8）证明。通过调节下降阶段，漂移布朗运动过程X首次达到X级，然后使用强马尔可夫性质，我们得到了-λτna；Mτna>x，xτna∈ dyi=n-1Xm=0Ehe-λτna；Mτna>x，xτna∈ dy，τma<T+x<τm+1ai=n-1Xm=0Ehe-λT+x；τma<T+x<τm+1aiExhe-λτn-文科硕士Xτn-文科硕士∈ 从引理4.1中，我们知道-λT+x；τma<T+x<τm+1ai=Ehe-λT+x；τma<T+xi-Ehe-λT+x；τm+1a<T+xi=（cλ）mx（x+ma）m-1米！E-bλ（x+ma）。（4.10）根据定理4.1，我们得到-λτn-文科硕士Xτn-文科硕士∈ dyi=（cλ）n-m（y）-x+（n- m） a）n-M-1e-bλ（y）-x+（n-m） a）{y-x+（n-m） a≥0}（n- M- 1)!迪。

（4.11）将（4.10）和d（4.11）代入（4.9）并简化，很容易得到（4.8）。回想一下，τa=~τa=τa，Xτa=Mτa- a.s。。因此，通过让λ→ 0+和x=a在（4.10）中，对于m=0，1，2，P■τa=τ2+ma= P{τma<T+a<τm+1a}=（m+1）m-1米！γaeγa- 1.我-（m+1）γaeγa-1，（4.12）是广义泊松rv的概率质量函数（例如，参见康索尔和法莫耶[7]的等式（9.1），其中θ=λ=γa/（eγa- 1)). 为了完备性，如果一个rvy的概率质量函数py由py（m）=θ（θ+λm）m给出，那么它有一个广义的poisson（θ，λ）分布-1e-θ-λmm！，m=0，1，2。。。，当θ和λ都大于0时。注意，定理4.3将提出（4.12）的推广。注4.1等式（4.12）可解释为：两次连续开采之间未开采的开采数量遵循广义泊松分布，θ=λ=γa/（eγa）- 1).下面给出了连接两个水位下降时间序列的结果。应该注意的是，rv Naτka- k代表在第一个KD期间，未恢复的提款数与恢复的提款数之比。当k=2时，（4.13）与（4.12）重合。定理4.3对任意k∈ N、 钠τka-k遵循参数θ=（k）的广义泊松分布- 1） γa/（eγa）- 1） λ=γa/（eγa）- 1） ，即，对于m=0，1，2，我们有pn)τka=τk+mao=PnNa)τka=k+mo=k- 1m+k- 1.（m+k）-1） γaeγa-1.嗯！E-（m+k）-1） γaeγa-1.（4.13）证据。很明显■τka=τk+ma对应于在前k次有开采的开采期间，将发生m次无开采的开采，即n)τka=τk+mao=nNa)τka=k+mo。接下来我们证明Na)τka- k服从广义泊松分布。通过注释4.1和X的强马尔可夫性质，我们知道，在任何两次连续的有恢复的下降之间，有恢复的下降的数量是i.i.d。

遵循θ=λ=γa/（eγa）的广义泊松分布- 1). 因此，Naτka- k=kXi=2Na■τia- 钠τi-1a-1.,对应于具有广义泊松分布θ=λ=γa/（eγa）的i.i.d.rv之和- 1).利用Concur和Famoye[7]的定理9.1，我们得到了Na)τka-k服从参数θ=（k）的广义泊松分布- 1） γa/（eγa）- 1） λ=γa/（eγa）- 1).接下来，我们提出了以下推论，可以将其视为泰勒[20]和莱霍茨基[13]的一个延伸，从第t次水位下降到第n次水位下降而不恢复。n的推论4.1∈ N和x>0，我们有-λτna；Mτna>xi=cλbλnn-1Xm=0x（x+ma）m-1bmλm！E-bλ（ma+x）。证据取（4.8）关于y的积分(-不，∞), 我们有-λτna；Mτna>xi=（cλ）nn-1Xm=0x（x+ma）m-1米！（n）-M-1)!Z∞十、-（n）-m） ae-bλ（y+na）（y）-x+（n- m） a）n-M-1dy=（cλ）nn-1Xm=0x（x+ma）m-1米！（n）-M-1)!Z∞E-bλ（z+x+ma）zn-M-1dz=（cλ）nn-1Xm=0x（x+ma）m-1米！（n）-M-1)!E-bλ（x+ma）Z∞E-bλzzn-M-1dz=（cλ）nn-1Xm=0x（x+ma）m-1米！bn-mλe-bλ（x+ma）。这就完成了证据。根据推论4.1，通过让λ→ 0+并随后使用（2.6）。的确，PMτna>x=N-1Xm=0x（x+ma）m-1.γeγa-1.嗯！E-γ（ma+x）eγa-1.（4.14）产量的重新排列Mτna>x=N-1Xk=0Dk，nγxeγa-1.kk！E-γxeγa-1，（4.15），其中D0，n=1，dk，n=n-1Xm=kkmγaeγa-1.M-公里（米）- k） !！E-mγeγa-1a=n-1.-kXm=0k（m+k）γaeγa-1.m（m+k）m！E-（m+k）γaeγa-1，（4.16）对于k=1，2。。。，N- 1.

请注意，通过在（4.13）中用k+1替换k，可以得出（4.16）可以写成asDk，n=n-1.-kXm=0Pn＠τk+1a=τk+1+mao，相当于toDk，n=Pn＠τk+1a≤ τnao=PnNaτNa>ko。那么，PMτna∈ dy=nXk=1dk，nγaeγa-1.kyk-1e-γaeγa-1y（k）- 1)!dy，其中{dk，n}nk=1由dk，n给出≡ Dk-1，n- Dk，n=nXj=kk- 1j- 1.（j）-1） γaeγa-1.J-k（j）- k） !！E-（j）-1） γaeγa-11-N-J-1Xm=0（m+1）m-1米！γaeγa- 1.我-（m+1）γaeγa-1.总之，Mτn服从混合Erlang分布，这是风险管理中一个重要的分布类别（参见Willmot和Lin[22]对混合Erlang分布的广泛综述）。备注4.2注意，Mτnadoes的分布并不令人惊讶。事实上，我们可以通过调节NaτNa得到Mτnab分布的结构形式，即在前n次下降（无恢复）中恢复的下降次数。利用过程X和方程（2.7）的强马尔科夫性质，可以得出Mτna~NaτNa=m是一个平均值为meγa的Erlang rv-1γ和方差meγa-1γ对于m=1，2。。。，n、 因此，In（4.15），Dk，nca可以解释为NaτNa的生存函数，即Dk，n=PnNaτNa>ko=Pnτk+1a≤ τnao。下一个推论研究了实际水位下降Mt- Xtat t=τna。a的推论4.2≤ 十、≤ 不，我们有-λτna；Mτna- Xτna≤ xi=（cλ）ne-bλ（na）-x） n-1Xm=0（不适用）- x） mbn-mλm！-{x≤（n）-m） a}（（n）- m） a- x） n-M-1R∞E-bλyy（y+ma）m-1天！（n）- M- 1)!!.证据我们有-λτna；Mτna- Xτna>xi=Z∞-xEhe-λτna；Mτna- Xτna>X，Xτna∈ dyi+Ehe-λτna；Mτna- Xτna>X，Xτna≤ -xi=Z∞-xEhe-λτna；Mτna>x+y，xτna∈ dyi+Ehe-λτna；Xτna≤ -xi=Z∞-xEhe-λτna；Mτna>x+y，xτna∈ dyi+（cλ/bλ）n1- E-bλ（na）-x） n-1Xm=0（bλ（na- x） ）嗯！！，（4.17）如果最后一步是由于（4.1）。

此外，根据定理4.2，（4.17）Z的第一项∞-xEhe-λτna；Mτna>x+y，xτna∈ dyi=（cλ）nn-1Xm=0（n-m） a- x） n-M-1{-x+（n-m） a≥0}m！（n）- M- 1)!Z∞-xe-bλ（y+na）（x+y）（x+y+ma）m-1dy=（cλ）nn-1Xm=0（n-m） a- x） n-M-1{x≤（n）-m） a}m！（n）- M- 1)!Z∞E-bλ（z）-x+na）z（z+ma）m-1dz=（cλ）ne-bλ（na）-x） n-1Xm=0（n- m） a- x） n-M-1{x≤（n）-m） a}m！（n）- M- 1)!Z∞E-bλzz（z+ma）m-1dz。将其替换回（4.17），我们完成了证明。为了完成这一部分，我们考虑了一个数值例子来比较（3.3）和（4.4）中分别给出了拉普拉斯变换的第th次水位下降时间τNa和τNa的分布。我们实现了阿巴特和惠特[1]提出的数值逆拉普拉斯变换方法。为了便于记法，我们分别表示τNa和)τnaby Fn和)Fn的累积分布函数。表4.1 a=0.1和dσ=0.2u=0.1u=0u=0.1u=0u=-（1）Fn（1）0.9779 0.97790.070.700.700.3270.2007万万万万万万0.700.700.3262 0.0000.00020.00020.00020.20.20.410.670.670.2000万0.670.0 0 0.2007 0.2007 0.2007 0 0.0 0 0 0 0.7926 0.7926 0.080 0 0 0.08850.590.590.590.520.520.520.520 0.500.2007 2007 2007 2007 2007万万万万万万万万万万0.520.700.700.520.520.2007 0.2007 2007 2007 2007 2007 2007 0 0.520 0.520 0.2007万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万万0.520 0.520 0.520 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2007在有或没有恢复y的情况下，至少有n次下降的概率对于不同的漂移u值，在时间1之前发生。我们观察到n的Fn（1）>Fn（1）≥ 2.根据（4.13）中τNa和τnagiven之间的关系。此外，它还表明Fn（1）随着ud的增加而增加。然而，当n≥ 2.这是因为之前的运行最大值不太可能在较小的时间内再次出现。由于提款风险原则上是一种下行风险，我们认为s较小的u应导致更高的下行风险。

从这个意义上说，我们建议，在没有恢复的情况下，提款时间更好地捕捉提款风险的本质。表4.2当a=0.1且σ=0.12u=0.1u=0u=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n（1）0.1）0.0.0.566 6 6 6 6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.560.560.566 0.6 0.566 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 6 0.6 6 6 0.6 6 6 6 6 6 0.6 0.6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 6.6.6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6.6.波动率较低，σ=0.12。我们注意到，Fn（1）和Fn（1）随着σ的减小而减小。我们还有一个有趣的观察结果，即F（1）的趋势在μ中不是单调的。同样，这是因为n的)τnaf的出现≥ 2需要恢复之前的最大运行时间。较小的漂移确实意味着更高的下降风险，这意味着复苏变得更加困难。5.频繁相对提款的保险在本节中，我们考虑针对频繁提款风险的保险单。我们用S={St，t表示标的资产的价格≥ 0}，其中dynamicSt=rStdt+σStdWQt，S=S，其中r>0是无风险率，σ>0和{WQt，t≥ 0}是arisk中性测度Q下的标准布朗运动。众所周知，st=seXt，（5.1），其中Xt=（r-σ） t+σWQt。在实践中，提款通常以百分比表示。对于固定的0<α<1，我们用ηα（S）=inf表示尺寸α上第一次相对下降的时间T≥ 0:MSt- 圣≥ αMSt,其中MSt=s up0≤U≤Tsu表示时间t时S的运行最大值。通过（5.1），很容易看出几何布朗运动S的相对下降量对应于漂移布朗运动X的实际下降量，即ηα（S）=infT≥ 0:MXt- Xt≥ -日志（1）- α)= τ′α（X），其中′α=-日志（1）- α).

类似地，我们用∧ηnα（S）=inf{t>＠ηn表示有和没有恢复的相对下降时间-1α（S）：MSt- 圣≥ αMSt，MSt>MS~ηn-1α（S）}，ηnα（S）=inf{t>ηn-1α（S）：MS[ηn-1α（S），t]- 圣≥ αMS[ηn-分别为1α（S），t]}。在此之前，我们得到了ηnα（S）=τn′α（X）和ηnα（S）=τn′α（X）。（5.2）接下来，我们考虑两种类型的保单，以防止相对提款。对于第一种情况，我们假设，如果在时间T之前（对于所有k）发生了规模0<α<1的相关提款，卖方在时间T向买方支付k美元。对于没有恢复的d的相对停机时间，由（5.2）得出，风险中性价格由V（T）=e给出-rT∞Xk=1kQn<<N>>αT（X）=ko=e-rTEQ[~N\'αT（X）]，and v（T）=e-rT∞Xk=1kQN′αT（X）=k= E-rTEQ[N′αT（X）]，分别为。对于第二类保单，只要在到期日T之前发生，卖方在每个相对提款时间向买方支付1美元。因此，它们的风险中性价格为V（T）=∞e=1EQ[1EQ-rτkα（X）；ττk′α（X）≤ T]，与v（T）=∞Xk=1EQ[e-rτk′α（X）；τk′α（X）≤ T]，分别为。推论5.1对于λ>0，我们有∞E-λTV（T）dT=λ+r'cλ+r/\'bλ+r1-\'cλ+r/\'bλ+r，r∞E-λTV（T）dT=λ+r'cλ+r/\'bλ+r1-E-\'β+λ+ra\'cλ+r/\'bλ+r，r∞E-λTV（T）dT=λ′cλ+r/’bλ+r1-\'cλ+r/\'bλ+r，r∞E-λTV（T）dT=λ′cλ+r/\'bλ+r1-E-\'β+λ+ra\'cλ+r/\'bλ+r，其中\'bλ=\'β+λe-β-λα-β-λe-β+λαe-β-λα-E-β+λα，\'cλ=\'β+λ-β-λe-β-λα-E-β+λα和β±λ=-r+σ±q（r-σ)+2λσσ.证据我们为∞V（T）e-λTdT-andR∞V（T）e-仅λTdT。其他两个结果可以用类似的方式来描述。

根据N′αT（X）的定义，我们有以下关系式N′αT（X）=∞Xk=1QN′αT（X）≥ K=∞Xk=1Qnτk′α（X）≤ 到在（4.4）中，它遵循着z∞V（T）e-λTdT=Z∞E-（λ+r）TEQ[N′αT（X）]dT=∞Xk=1Z∞E-（λ+r）TQnτk′α（X）≤ TodT=λ+r∞e=1EQ[1EQ-（λ+r）τk′α（X）]=λ+r∞Xk=1\'cλ+r\'bλ+rn=λ+r'cλ+r/\'bλ+r1- \'cλ+r/\'bλ+r.ForR∞V（T）e-λTdT，根据Fubini定理和（4.4），我们有∞V（T）e-λTdT=∞Xk=1Z∞等式[e]-rτk′α（X）；τk′α（X）≤ T]e-λTdT=∞Xk=1Z∞中兴通讯-rtQnτk′α（X）∈ d脚趾-λTdT=∞Xk=1λZ∞E-（λ+r）tQ{τn′α（X）∈ d t}=∞Xk=1λ\'cλ+r\'bλ+rn=λ′cλ+r/\'bλ+r1- \'cλ+r/\'bλ+r。这就完成了证明。备注5.1值得指出的是，通过将推论5.1中的随机价格按指数展开，可以获得[5]中所述的半静态对冲组合。此外，还可以使用定理3.1、4.1和推论4.1制定和定价针对提取频率的上限保险合同。最后，我们考虑一下早期提出的四种保险合同的定价示例。应用与上一节相同的数值拉普拉斯变换方法。表5.1当α=15%和r=5%V（T）~V（T）V（T）~V（T）T=1σ=0.1 0.1102 0.1091 0.1120.1108T=2σ=0.10.3011 0.2769 0.3131 0.2885T=3σ=0.10.4743 0.4031 0.5058 0.4318T=1σ=0.21.1777 0.7873 1.2043 0.8081T=2σ=0.22σ=0.3815 1.1842.25722 0.457σ=0.459，表5.1显示，2类合同的价格高于1类合同，因为提前付款（在每个提款时间而不是到期日T的时刻）。它还表明，由于τna，V（T）和V（T）分别低于V（T）和V（T）≤ ττna。cr中的所有价格都随着T的增加或σ的增加而降低。此外，我们可以预期，随着α或r的增加，价格将下降。

后者是由于较高的贴现率，即风险中性措施Q下的无风险利率。作者想向k教授Gord Willmot和一位匿名裁判致意，感谢他们的帮助性评论和建议。感谢加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada）对大卫·兰德里奥（David Landriault）的资助，以及滑铁卢大学（University of Waterloo）对李斌（Bin Li）的创业资助。参考文献[1]Abate，J.和Whitt，W.（2006）。用于数值反转拉普拉斯变换的统一框架。向《华尔街日报》通报计算方面的情况18408–421。[2] 安徒生，S.E.（1957）。关于索赔之间传染的集体风险理论。第X届国际精算师大会的交易2，104–125。[3] Borodin，A.和Salminen，P.（2002年）。布朗运动手册：事实与公式第二版，伯卡豪斯。[4] Burghardt，G.，Duncan，R.和Liu，L.（2003）。破译下降。风险杂志，投资者风险管理5，S16–S20。[5] 卡尔，P.，张，H.和Hadjiliadis，O.（2011）。最高支取保险。国际理论和应用金融杂志141195-1230。[6] Chekhlov，A.、Uryasev，S.和Zabarankin，M.（2005年）。投资组合优化中的缩减措施。《国际理论与应用金融杂志》8，13–58。[7] 领事，P.C.和Famoye，F.（2006）。拉格朗日概率分布。伯卡豪斯。[8] 杜亚迪，R.，希里亚耶夫，A.N.和约尔，M.（2000）。关于标准布朗运动中“下降”的概率特征。概率论及其应用44，29–38。[9] 格罗斯曼，S.J.和周，Z.（1993）。控制drawd拥有的最优投资策略。数学金融3241–276。[10] Hadjiliadis，O.和Vecer，J.（2006）。布朗运动模型中集会前的缩编。定量金融5403-409。[11] 哈梅林克，F。