内部资金、顺周期杠杆和银行业灾难

最后，银行挤兑是不可能发生的，因为我们假设银行负债是隐性或显性担保的。尽管这些简化的假设使我们的模型在许多方面不切实际，但它们也突显了产生系统性风险所需的复杂性是多么的小；具体而言，内部资金和顺周期杠杆的结合会产生危机。此外，该模型为理解杠杆约束和紧急资产价格支持等政策的影响提供了一个框架。2008年，美联储采取了许多史无前例的行动，试图支持央行无法直接购买的资产价格。通过创建接受这些资产作为抵押品的设施，以换取储备或国债贷款，美联储可能一直在试图将对更乐观均衡的信念与有偿付能力的银行业相协调。这一行动是对危机状况的回应，而危机状况部分是由于杠杆率过高造成的，而反周期资本要求本可以控制杠杆率。我们的模型表明，为了减轻或防止乐观情绪逆转的灾难性后果，这两种政策都是必要的。附录A.投资者需求函数的性质在这里，我们形式化并证明了文中提到的投资者需求函数的性质。引理1表明，在投资者效用函数和代表债券价值信念的随机变量的Milda假设下，投资者需求是单值的。其次，引理2对于具有恒定相对风险规避（CRRA）的特定效用函数获得了更强的结果。引理1-2做出以下假设。（除了假设2和假设3的第二部分，所有四个假设都在正文中提到。）假设1。

投资者效用函数u：（0，∞) → R严格地增加并且严格地保持不变。假设2。投资者的效用函数u（·）是两次连续可微的。假设3。Vt+1是一个绝对连续的随机变量，其密度函数ft+1是[0,1]上的连续函数。假设4。投资者有一些债券（zt>0）、一些存款（yt>0）和一些货币（ct>0）。凸优化中的一些基本结果表明，投资者的需求是单值的，当且仅当价格等于或超过债券的预期价值时，他们才会出售所有债券。引理1（投资者需求为单值且等于-价格π≥ E Vt+1）。在假设1-4下，投资者需求函数为单值函数。此外，Di（π）=-ztif且仅当π≥ E Vt+1。证据假设zt，yt，ct>0（假设4），货币分数为u∈ [0,1）和假设价格π∈ (0, 1). 回想一下，投资者的需求，即正文的等式（1），定义为：arg max（π；ct，yt，zt）：=arg max-zt≤ D≤ yt/[π（1）-u）]E（u[Vt+1（zt+d）+yt+ct- π）。（A.1）为了方便起见，让g（d；zt，yt，ct，π）表示Di（π）的目标函数，即g（d；zt，yt，ct，π）：=e（u[Vt+1（zt+d）+yt ct+ct- πd]）=Zu[v（zt+d）+yt+ct- πd]ft+1（v）dv，g的域是区间[-zt，yt/（π（1）- u））]，这是凸的。u和u（假设2）以及ft+1（假设3）的连续性使我们能够两次使用莱布尼兹积分规则，将导数移到整数符号内，以计算前两个导数Gd=Zu[v（zt+d）+yt+ct- πd]（v）- π） ft+1（v）dv（A.2a）Gd=Zu[v（zt+d）+yt+ct- πd]（v）- π） 英尺+1（v）分。（A.2b）因为u是严格凹的（假设1）和两次可微的（假设2），并且因为它的域（0，∞) 是凸的，我们知道u<0（Boyd and Vandenberghe，2004，第3.1.4节，第71页）。

此外，我们知道（v- π)≥ 当且仅当v=π时，等于0。将这两个结论与等式（A.2b）结合起来，得出Gd<0表示所有d∈-zt，ytπ（1）- u). （A.3）因为g/由于g的域是凸的，我们知道g（d）是严格凹的（Boyd and Vandenberghe，2004，第3.1.3节，第69页）。因此，任何解决方案都是d*对于等式（A.1）中最大化的第一阶（必要）条件，Gd（d）*; zt，yt，ct，π）=0，（A.4）是一个唯一的全局最大值（Boyd和Vandenberghe，2004年，第3.1.3节，第69页）。如果没有解决方案d*如果等式（A.4）存在，则g/d对所有d都是正的，在这种情况下，g（d）有一个唯一的最大值-zt，或g/d对于所有的d都是负的，在这种情况下，g（d）在yt/[π（1）处有一个唯一的最大值- u)].因此，投资者需求函数（A.1）是单值的。此外，目标函数的一阶导数在下限Td=-ztisGd(-zt；zt，yt，ct，π）=（E Vt+1- π） u（yt+ct+πzt）。因为u>0（假设1-2），我们知道Gd(-zt；zt，yt，ct，π）≤ 0当且仅当π≥ Vt+1（A.5）方程（A.5）和（A.3）暗示Di（π）=-ztif且仅当π≥ E Vt+1，这就完成了屋顶。下一个引理对于特定的效用函数u（·）得到了更强的结果，它显示了相对风险厌恶的一致性。具体来说，引理确定了投资者首次开始购买的价格低于他们能提供的最大价格。引理2（投资者需求小于他们所能提供的π>eπt+1）。假设投资者有参数为λ的CRRA效用，并且信念遵循参数为αt，βt的β分布。那么在假设1-4下，我们知道π≤ eπt+1意味着Di（π）=yt/[π（1- u）]，andeπt+1<π≤ E Vt+1模板-zt≤ Di（π）<yt/[π（1）]- u)].证据

我们将证明，在上约束d=yt/[π（1）下，目标函数g（d；zt，yt，ct，π）在Di（π）中的最大化对d的一阶导数- u）]对于π<eπt+1为负，对于π>eπt+1为正。通过引理1，我们知道g（d；zt，yt，ct，π）/d均<0-zt≤ D≤ yt/[π（1）- u)]. 因为这个负二阶导数，我们知道g/D≤ d=yt/[π（1）时为0- u）]意味着Di（π）=yt/[π（1- u）]，以及g/d=yt/[π（1）时d>0- u）]意味着Di（π）<yt/[π（1- 这证明了这一说法。使用u（w）=w-式（A.2a）中的λ，并在d=yt/[π（1）时计算- u）]dg（d；zt，yt，ct，π）d=yt/[π（1-u）]=Zu五、zt+ytπ（1）- u)（五）- π） ft+1（v）dv=zt+ytπ（1）- u)-λZv1-λ- πv-λft+1（v）dv=zt+ytπ（1）- u)-λEh（Vt+1）1-λi- πEh（Vt+1）-λi,当且仅当π>eπt+1时为正≡E（Vt+1）1-λE[（Vt+1）-λ] =αt+1- λαt+1+βt+1- λ因为zt+yt/[π（1- u）]>0，根据假设4。这种等价性证明了这种说法。附录B.银行需求函数的推导在这里，我们从原始定义[Eq.（4）]推导出正面冲击[Eq.（7a）]和负面冲击[Eq.（7b）]的银行需求函数。通过重新安排破产约束，等式（5），我们发现这三个约束（3）相当于-xt≤ D≤ 闵vt+1xt+rt- ytπ- vt+1，rtμπ如果π≥ vt+1；（B.1a）最大值-xt，vt+1xt+rt- ytπ- vt+1≤ D≤如果π<vt+1，则为rtμπ。（B.1b）评估等式中的arg max。

（4） 请注意，由于需求d的微小增长，银行预期权益的边际变化为德埃特+1=dE[Vt+1（xt+d）+rt- （yt+πd）]=E Vt+1- π.因此，预期权益E et+1与斜率E Vt+1呈线性关系-π、 受约束（B.1）。Vt+1的符号- 因此，π决定了银行需求是（B.1）中的下限约束还是上限约束，以及π的符号- vt+1决定是使用约束（B.1a）还是（B.1b）。注意，如果E Vt+1<π<Vt+1，那么银行的需求是（B.1b）中的较低约束，这简化了-假设πxt+rt- yt≥ 0.总之，银行的demandfunction可以更明确地写成Db（π）=-xtifπxt+rt- yt<0或如果π>E Vt+1，或其他情况下dB（π）=如果π<vt+1min，则为rtμπvt+1xt+rt- ytπ- vt+1，rtμπ其他的（B.2）最后，考虑银行是否在冲击导致等式（7）后立即遵守其破产约束（5）。附录C.资本要求对产生三个均衡的信念区域的影响此处，我们解释了为什么在实施资本要求后，产生三个均衡的信念区域从上方（而非下方）减少，如图10所示。回想一下，当且仅当债券价格π≤ （yt）- rt）/xt。还记得[如图2（B）所示，发生负面冲击时银行的需求]低于价格（yt- 银行被迫出售所有债券；相比之下，高于价格（yt- rt）/XT和belowE Vt+1，银行的需求随着价格而增加。也就是说，银行需求的扭结发生在价格（yt）上- rt）/xt。实施资本要求不会影响这种纠结的位置，因为资本约束Ccap。请求。（π） [式（10）中定义]满足Ccap。请求。[（yt）- rt）/xt]=-xt。

如果存款超过储备rt（通常在实践中发生），则Ccap。请求。（π） 价格在上涨≥ （yt）- rt）/xt，所以价格（yt）仍然会出现扭结- rt）/xt。另一方面，如果储备替代矿床yt（在实践中很少发生），则Ccap。请求。（π） 所有价格π均大于0，因此资本要求对任何价格都不具有约束力，因为银行的需求对负性冲击为负，因此银行需求在价格（yt）上仍有一个扭结- rt）/xt。总之，第一个鞍结分叉（出现两个新的均衡价格）的位置为（yt）- 任何最低资本与资产比率γmint+1的rt）/XT；也就是说，三个平衡区域的下边界[如图4（E）和图10所示]与资本要求无关。虽然资本要求不会改变银行需求中扭结的位置，但资本要求可以约束（从而降低银行的需求）刚好高于发生扭结的价格（yt）- rt）/xt，如图9（A）所示。因此，总需求函数[如图4（A）-（C）所示]中“驼峰”的左侧被截断；有关说明，请参见图9（A）。因此，如图9（B）所示，较轻的负冲击会导致两个较大的平衡值消失。综上所述，银行需求的减少正好高于价格（yt）- rt）/X解释了为什么图10中的三个均衡区域被截短，以及为什么资本要求可以迫使债券价格下降和银行破产。2008年，T.约鲁马泽，V.V.引用萨查里亚。信息传染和银行羊群效应。货币、信贷和银行杂志40（1），215–231。阿德马蒂，A.，密歇根州赫尔维格，2013年。银行家的新装：银行业有什么问题，该怎么办。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。阿德里安，T.，申，H.S.，2010年7月。

流动性和杠杆。《金融中介杂志》19（3），418-437。艾伦，F.，盖尔，哥伦比亚特区，2000年。金融传染。政治经济学杂志108（1），1-33。安南，K.，盖，P.，马西里，M.，2012年。展期风险、网络结构和系统性金融危机。《经济动力与控制杂志》36（8），1088-1100。Battiston，S.，Gatti，D.D.，Gallegati，M.，Greenwald，B.，Stiglitz，J.E.，2012年9月。违约级联：风险分散何时增加稳定性？《金融稳定杂志》8（3），138-149。比安奇，J.，2011年12月。商业周期中的过度借贷和系统外部性。《美国经济评论》101（7），3400–3426。Borio，C.E.V.，Lowe，P.W.，2002年。资产价格、金融和货币稳定：探索thenexus。第114号工作文件之二。博伊德，S.P.，范登伯格，L.，2004年3月。凸优化。剑桥大学出版社，英国剑桥。布鲁纳迈耶，M.K.，佩德森，L.H.，2009年5月。市场流动性和资金流动性。金融研究回顾22（6），2201-2238。卡巴莱罗，R.J.，西梅克，A.，2009年。《复杂模型中的甩卖》，NBER工作文件15479。卡乔利，F.，M.什里斯塔，C.摩尔，J.法默，2012年。重叠投资组合的金融传染稳定性分析，arXiv:1210.5987。全球金融体系委员会，2010年3月。保证金要求和折扣在顺周期性中的作用。技术代表36，国际清算银行。克罗基特，A.，2000年。结合金融稳定的微观和宏观审慎层面。第十一届国际银行监管者会议athttp://www.bis.org/review/rr000921b.pdf.Dang，T.V.，戈顿，G.，霍姆斯特罗姆，B.，2013年。无知、债务和金融危机，未出版的手册，耶鲁大学。Danielsson，J.，Shin，H.S.，Zigrand，J.-P.，2011年。

资产负债表容量和内生风险，金融市场小组讨论文件系列665。戴蒙德，D.W.，Dybvig，P.H.，1983年。银行挤兑、存款保险和流动性。《政治经济杂志》91（3），401–419。Elliott，M.，Golub，B.，Jackson，M.，2012。金融网络和传染病，可从SSRN2175056获得。福斯特尔，A.，吉纳科普洛斯，J.，2008年。杠杆周期和焦虑的经济。《美国经济评论》98（4），1211-1244。弗雷克斯，X.，帕里吉，B.M.，罗切特，J.-C.，2000年。系统性风险、银行间关系和中央银行提供的流动性。《货币、信贷和银行学杂志》32（3），611-638。Gai，P.，南卡帕迪亚，2010年6月。金融网络中的传染。皇家学会会刊：数学、物理和工程科学466（2120），2401-2423。吉纳科普洛斯，J.，1997年。承诺，承诺。摘自：Arthur，W.B.，Durlauf，S.，Lane，D.（编辑），《经济作为一个不断发展的复杂系统2》。马萨诸塞州雷丁：艾迪生·韦斯利，第285-320页。杰纳科普洛斯，J.，2003年。流动性、违约和崩溃：一般均衡中的内生合约。摘自：Dewatripont，M.，Hansen，L.P.，Turnovsky，S.J.（编辑），《经济学和计量经济学的进展：理论和应用》，第八届世界会议（经济学会专著），第2卷。剑桥大学出版社，第170-205页。杰纳科普洛斯，J.，2010年。杠杆周期。NBER宏观经济年报2009。根诺特，G.，利兰，H.，1990年。市场流动性、对冲和崩溃。《美国经济评论》80（5），999-1021。古德哈特，C.，2010年。我们应该如何监管银行资本和金融产品？“生前遗嘱”扮演什么角色？《金融的未来》。《金融的未来》，伦敦，第165-186页。戈顿，G.，2012年。误解金融危机：为什么我们看不到它们的到来。牛津大学出版社，纽约。戈顿，G.，奥多内兹，G.，2014年。附带危机。

《美国经济评论》104（2），343-378。黄，X.，沃登斯卡，I.，哈夫林，S.，斯坦利，H.E.，2013年2月。双向图中的级联故障：系统性风险传播模型。科学报告3。克里希那穆尔西，A.，南卡罗来纳州纳格尔，奥尔洛夫，D.，2012年。评估回购协议。国家经济研究局技术代表。洛伦佐尼，G.，2008年7月。高效的信贷繁荣。经济研究综述75（3），809–833。2010年3月，北卡罗来纳州阿林纳米帕蒂，R.M.五月。系统性风险：模型银行系统的动态。《皇家学会期刊》第7期（46），823-838页。明斯基，惠普，1975年。约翰·梅纳德·凯恩斯。哥伦比亚大学出版社，纽约。明斯基，惠普公司，1986年。稳定不稳定的经济。耶鲁大学出版社，纽黑文，CT。Nier，E.，Yang，J.，Yorulmazer，T.，Alentraft，A.，2007年。网络模型和财务稳定性。《经济动力与控制杂志》31（6），2033-2060。小罗斯，J.B.，1991年。从灾难到混乱：经济不连续性的一般理论。Kluwer学术出版社，马萨诸塞州诺威尔，第2、4-5章。Shin，H.S.，2010年5月。风险和流动性。牛津大学出版社，纽约。瓦茨，哥伦比亚特区，2002年。随机网络上全局级联的简单模型。《美利坚合众国国家科学院院刊》99（9），5766。