内部资金、顺周期杠杆和银行业灾难

资产负债表一致性对我们的分析至关重要的是资产负债表一致性的概念，这意味着一对投资组合和债券的价格，银行和投资者都在最大限度地发挥各自的目标功能，因为他们都相信债券的未来价值。最初，银行和投资者的资产负债表（即t=0时的表1和表2）与对债券价值的普遍看法一致。这种共同的信念不会因为意外的好消息或坏消息的到来而改变很多次。在每个时间点t∈ {1,2，…，T}银行和投资者通过交易恢复其资产负债表与时间T的新信念的一致性，从而产生一组新的投资组合。这种交易也会改变债券价格和货币供应，定义为存款和流通货币的总和（即yt+ct）。在T+1期间，债券价值的不确定性得到解决。为了正式定义一致性，假设银行以π的价格从投资者手中购买d个单位的债券。这项收购将要求银行向投资者转移πd单位的货币（从银行准备金中提取），并通过（1）将投资者的存款账户记入贷方-u）聚合中的πd。表3显示了由此产生的资产负债表变动。请注意，如果银行购买债券（即，如果d>0），那么货币供应量（存款和流通货币的总和）将上升。

相反，如果银行出售债券（即，如果d<0），那么货币供应就会收缩。我们的论点并不依赖于u是固定的，只依赖于u始终远离零，因此银行资产负债表的扩张会导致储备的流失。向一家银行出售债券的投资者可能会将收益存入另一家银行，但在这里，我们在银行业的综合层面上模拟这些变化，忽略银行的身份。银行资产银行负债投资者资产债券+πd存款+（1）- ud）π键-π-dreserves-μπd货币+μπd存款+（1）- u）πd表3：银行在t=0期间以π的价格购买d债券后，资产负债表发生变化。在每个时期∈ {0，1，…，T}，我们假设，当不确定性在T+1期间得到解决时，银行和投资者对每种债券的价值有共同的看法。每个信念Vt都是一个连续的随机变量，其密度为Ft，具有支持度[0,1]和期望值e Vt。银行在其偿付能力概率（当不确定性得到解决时）小于, （0，1）中的固定参数。同时，投资者将其预期效用最大化，并规避风险，其偏好由终端财富u（0，∞) → R.现在我们定义了资产负债表的一致性。定义1。变量（πt、ct、rt、xt、zt、yt）与共同信念Vtif一致，仅与if1一致。银行正根据其破产约束最大化其预期权益，即0=arg max-xt≤ D≤ rt/（μπt）E[Vt（xt+d）+rt- （yt+πtd）]受制于P（资不抵债）≤ ,其中{unsolvent}={Vt（xt+d）+rt- （yt+πtd）<0}；和2。投资者正在最大化他们的预期效用0=arg max-zt≤ D≤ yt/[πt（1-u）]E u[Vt（zt- d） +yt+ct+πtd]。Def中d的约束。

1.如下文所述，只需确保银行和投资者不会出售超过其持有的债券，也不会购买超过其融资能力的债券。下面的数字例子，我们将在整个分析过程中引用，说明了一致性资产负债表的概念。这类破产约束的一个常见实例称为“风险价值”或VaR（Shin，2010）。然而，我们注意到，VaR在银行系统中扮演着双重角色：首先，作为风险评估的工具，它通过估计价值损失来衡量资产负债表的强度，使损失大于其发生的概率不大于固定的小数字，如1%；第二，作为一种风险管理战略[例如，将VaRequal设定为股权会限制人们认为的破产可能性（全球金融体系委员会，2010年）]。在这里，我们在风险管理的后一种意义上调用VaR。例1。表4中的资产负债表与信念V一致~ β（20,2）如果 = 1%（即银行确保破产发生的概率最大） = 1%); 投资者持有10%的货币；投资者将效用函数u（w）=w1最大化-λ/(1-λ） λ=15（即，投资者的偏好满足恒定的相对风险厌恶）。债券价格为π=每单位面值0.87美元。银行资产银行负债投资者资产投资者负债439债券价格$0.87存款$486 611债券价格$0.87股本$1072储备$168股本$62货币$54存款$486表4：示例1中信念和偏好的一致资产负债表。接下来，我们将研究信念的变化如何影响资产负债表和市场清算债券价格。3.3. 信念冲击将一个金融系统视为一对在t时保持一致的资产负债表∈ {0, 1, . . .

T- 1} ，并假设有关债券价值的新信息在t+1期间出现（例如，次级抵押贷款市场中的止赎率高于预期的消息）。我们假设这些信息是公开的，银行和投资者对这些信息的解释是相同的。然而，由于银行和投资者有不同的目标函数，这条消息可能会导致他们进行交易，从而获得一个新的市场清算价格。我们考虑对将概率转移到更高值（正冲击）或更低值（负冲击）的信念的冲击。定义2。当且仅当1时，Vt+1对Vt是正向冲击（或相当于Vt+1是负向冲击）。Vt+1二阶随机支配Vt和2。vt+1>vt，其中vt是第一个-为了确定投资组合的变化和债券价格的变化，从而在冲击后恢复一致性，我们用假设价格π来表示投资者对债券的需求Di（π）和银行对债券Db（π）的需求∈ [0,1]，考虑到t期内资产负债表的一致性，市场清算价格必须使超额需求在总量中消失，因此新市场清算价格πt+1是总需求数据（π）的根≡ Di（π）+Db（π）。银行和投资者在这个价格下的需求决定了他们的新投资组合。二阶随机优势意味着所有x的RxFt+1（x）dx>RxFt（x）dx∈ [0,1]，其中Ft（x）是Vt的DF-Vt的分位数表示为Vt，是Vt的CDF的倒数, F-1t().3.4. 投资者要求在一致性定义（定义1）中，在信念Vt被Vt+1取代后，投资者调整投资组合以最大化其效用的预期价值。

由于投资者在购买债券前后的货币资金比例为u，因此投资者可以使用uπd美元现金和（1）美元购买债券-u）从他们的存款账户中提取πd美元。投资者不能借贷，所以他们的总需求是由他们持有的资金（货币加存款）决定的。也就是说，投资者最多可以要求d≤ yt/[π（1）- u）=ct/（πu）许多键。此外，投资者出售的债券不能超过他们持有的债券，因此他们必须要求至少一笔d≥ -zt。因此投资者要求D（π；ct，yt，zt）：=arg max-zt≤ D≤ yt/[π（1）-u）]E（u[Vt+1（zt+d）+yt+ct- πd]）（1）=arg max-zt≤ D≤ yt/[π（1）-u）]Zu[v（zt+d）+yt+ct- πd]ft+1（v）dv，其中ft+1（·）是Vt+1的概率密度。附录A中的引理1表明，在这里满足的Milda假设下，投资者的需求（1）在所有价格下都是单值的（因此可以表示为函数）。我们考虑了一个特殊的例子，即风险厌恶（β）和效用厌恶（CRR）。也就是说，投资者的效用函数u（w；λ）：=w1-λ/(1 - λ） ，其中λ>0且λ6=1，以及时间t时键值的信念∈{0,1,2，…，T}是Vt~ β（αt，βt）对于某些αt，βt>0。图1说明了在这种情况下，投资者需求函数Di（π）不随价格π增加，并且有一些价格严格低于Vt+1，需求变为负值。附录A中的引理2表明，投资者的需求低于yt+1/[π（1-u）]，即投资者能够以eπt+1的价格提供的最大债券数量≡ （αt+1）- λ） /（αt+1+βt+1）- λ).3.5. 银行需求要求银行在破产约束下最大化其预期权益。考虑一个假设的价格π∈ [0,1]在用Vt+1取代信念Vt的冲击之后。

如果这个假设价格π将使银行资不抵债（即，如果πxt+rt- yt<0），然后银行被迫出售所有债券，因此他们要求Db（π）：=-xt。否则，银行仍有偿付能力，因此他们要求发行大量债券d，以使其在T+1期间的预期权益最大化，使用新的信念Vt+1，et+1=Vt+1（xt+d）+rt- （yt+πd），（2）价格∏-ztDiH∏水平+1EVt∏t+1HALpositiveshockprice∏-ztDiH∏LEVt+1∏t+1HBL负冲击图1：投资者需求函数Di（π）[Eq.（1）]在价格π上不增加。根据Emma 1，我们知道投资者要求Di（π）=-ztif且仅当π≥ E Vt+1。这里，investorpreferences由CRRA效用函数u（w）：=w1表示-λ/(1 - λ） 对于0<λ6=1；对于这种情况，我们通过附录A中的引理2知道，投资者尽可能多地购买，Di（π）=yt/[π（1）- u）]，当且仅当π≤ eπt+1。受制于三个约束D≥ -xt（最多可以卖出他们所有的债券），（3a）dπ≤ rt（不能有负储备），（3b）P（et+1<0）≤  （破产限制）。（3c）因此，银行的需求函数isDb（π；rt，xt，yt）=arg maxd s.t.（3）E et+1ifπxt+rt-yt≥ 0-克斯特尔斯。（4） 接下来，我们将简化破产约束（3c）。将vt+1定义为第一个-信度的分位数vt+1。也就是说，在Vt+1的假设下，债券的终值至少为Tvt+1的概率为1- . 因为Vt+1是连续的，破产约束（3c）相当于Vt+1（xt+d）+rt- （yt+πd）≥ 从（5）中，我们看到银行在-破产概率[即P（破产）=] 按需D=vt+1xt+rt- ytπ- vt+1（6）许多键，前提是π>vt+1。在附录B中，我们将等式（6）与约束条件（3a）和（3b）结合起来；这里我们给出结果。如果vt+1>vt，如发生在正激波中，则分子vt+1xt+rt- ytof等式。

（6） 是积极的，因此银行在冲击后满足了破产约束。然后，银行想要购买price∏-xtDbH∏LEVt+1EVtyt rtxtvt+1HALpositiveshockprice∏-xtDbH∏LEVt+1yt rtxtvt+1hbl负冲击图2：银行需求函数的图解，等式（4），用于正面和负面冲击。在正面冲击[panel（a）]之后，银行立即遵守其破产约束（5）（即vt+1xt+rt）- yt>0）；在这种情况下，如果价格π≤ E Vt+1，前提是银行目前有偿付能力（πxt+rt- yt≥ 0); 银行的需求由式（7a）给出。在负面冲击[panel（B）]之后，银行立即违反了其破产约束（5）（即vt+1xt+rt）- yt<0）；在这种情况下，银行想要出售债券，银行的需求由公式（7b）给出。图中的绘图范围相同。1（A）和2（A）以及图。1（B）和2（B）；这些需求的总和如第3节的图3所示。3.6.根据递减函数Db（π）的键=如果π<vt+11，则为rtπ-urt（vt+1xt+rt- yt）vt+1xt+rt- ytπ- vt+1else（7a），只要银行目前有偿付能力（πxt+rt- yt≥ 0）以及价格π≤ E Vt+1。另一方面，如果vt+1<vt，如在负激波中发生，则分子vt+1xt+rt-公式（6）的ytof为负值，这意味着银行在受到冲击后立即违反了破产约束（5）。然后银行将通过要求db（π）=vt+1xt+rt以任何价格出售债券- ytπ- vt+1（7b），只要银行目前有偿付能力（即πxt+rt- yt≥ 0）以及价格π≤ E Vt+1。请注意，在等式（7）和图2（B）中，对于负面冲击，银行的需求随着价格π的增加而增加。与典型的需求函数不同，银行以更低的价格更积极地销售。这种不断增长的需求函数导致了总需求在面对负面冲击时的非单调性。3.6.

总需求在图3中，我们绘制了总需求函数Dtotal（π）≡ Db（π）+Di（π），其根是新的均衡价格。图3顶行和底行中的绘图范围相同。请注意，在负冲击（图3左上图）的情况下，银行的需求在债券价格中增加，这可以使总需求（图3的右上图）非单调和负冲击价格p-xtDbHpLEVt+1yt rtxtvt+1+price p-ztDiHpLEVt+1pét+1=price pDtotalHpLEVt+1yt rtxtvt+1正冲击价格p-xtDbHpLEVt+1vtyt rtxtvt+1+price p-ztDiHpLEVt+1vt+1=price pDtotalHpLEVt+1vt rtxtvt+1图3：银行需求函数（Dbπ）（左栏）的图示，投资者需求函数Di（π）（中列）和它们的和，负冲击（顶行）和正冲击（底行）的总需求函数Dtotal（π）（右列）。在每一行中，绘图范围都是相同的。左栏和中栏中的图与图相同。1–2.因此有多个根（即多个均衡价格πt+1）。接下来，我们证明，在其中一个多重均衡中，银行是资不抵债的，银行危机可能会“出乎意料”。结果4。1.负面冲击从一对始终如一的资产负债表开始，对信念的轻微负面冲击将导致债券价格略低。我们使用图4（a）中的蓝点来说明市场结算价格。稍强一点的负面冲击可能会产生两个新的均衡价格，图4（B）中以红点和黑圈为标志。这两个新价格出现在价格（yt）的鞍结分叉中-rt）/xt。在另一个鞍结分岔中，更强大的负激波将两个更大的平衡价格湮灭[图4（C）]。图中，D总（π）的稳定根和不稳定根分别用填充圆和空圆表示。

4.价格（yt）-rt）/xt不仅标志着两个新的均衡价格出现的地方，而且标志着银行是否破产，因为银行以假设价格π当且仅当πxt+rt有偿付能力- yt>0。无花果上用红点标出的价格。4（B）–（C）和图4（D）中的红线是导致银行业破产的均衡价格[π<（yt- rt）/xt]，而无花果中的蓝点。4（A）-（C）和图4（D）中的蓝线表示维持偿付能力的价格。∏DtotalH∏LHy0-r0Lx0HAL∏DtotalH∏LHy0-r0Lx0E VtHBL∏DtotalH∏LHy0-r0Lx0E vtcl0。60.70.80.90.870.880.890.90.91Α1均衡价格∏1每种债券的预期收益EV1HΑ0，∏0LHDLΑ1Β11破产均衡1溶剂均衡HΑ0，Β0L3均衡图4：负面冲击的尖点灾难。初始条件是示例1，其中初始信念V~ β（α，β）与（α，β）=（20,2）。在面板（A）-（D）中，我们考虑了负面冲击V~ β（α，β）表示逐渐变小的α，β固定在β=2。面板（A）-（C）显示了总需求函数Dtotal（π），其根源是市场结算价格π；（A）-（C）中的填充圆和空圆分别表示稳定平衡和不稳定平衡；银行在均衡价格π下有偿付能力当且仅当π≥ （y）- r） /x.随着α的降低，出现以下行为：负面冲击变得更加严重，因为债券的预期收益根据EV=α/（α+β）[见（D）的上轴]而降低；当α通过三个平衡区域时，最大平衡值[在（A）-（C）中最右边的根π，在（D）中曲线的最大值]先降低，然后急剧降低[比较面板（B）和（C），注意在（D）中α=16附近的三个平衡区域]；在通过三个均衡区域后，只有一个均衡，银行破产[在（C）中的红点，在（D）中的红曲线]。

（E）中的灰色区域标志着产生三个平衡的信念（α，β）[如（B）]；在该区域上方，价格急剧下降，银行资不抵债，即πx+r- y<0[见（C）]。图4（A）和图4（B）表明，一个小的冲击可以创造一个银行部门破产的平衡[即，在图4（B）中创造一个红点]，即使存在一个接近原始价格的平衡价格，并且银行有偿付能力[即，蓝点存在于图4（B）]。这种均衡的多样性意味着，对危机的普遍恐惧可能会自我膨胀，并导致资产价格崩溃，尽管没有这种恐惧就不会发生危机。央行支持资产价格和遏制恐惧的行动可以有效地协调对更乐观均衡的预期[图4（B）中的蓝点]。然而，如果冲击足够大，如图4（C）所示，那么仅仅协调预期无法防止危机，因为不再存在与偿付方的平衡0。910.920.930.940.95EV1银行债券X10。910.920.930.940.950.860.880.900.920.94EV1EV1bondprice∏1HBL0。910.920.930.940.958.59.09.510.010.5EV1银行的杠杆率∏1x1+r1∏1x1+r1-y1hC图5：积极的信念冲击促使银行购买债券（A），抬高债券价格（B），并通常增加杠杆率（C）。在这里，我们将示例1置于信念冲击中~ β（α，β），对于α∈ （20,42.8]和β=β=2。EV轴=α/（α+β）是正性休克的严重程度。银行业。总之，负面冲击会导致尖点灾难（Rosser，1991）。具体而言，图4（E）中以灰色标记的震惊信念区域（α，β）产生了三个平衡点。