单调均值方差下的连续时间投资组合选择

在本节中，我们建立了Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程和初始问题鞍点之间的联系。让我们回顾一下（2.6）dXπs=πs（u（Zs）- r） ds+πsσ（Zs）dWs，dYηs=ηs，1YηsdWs+ηs，2YηsdWs，dZs=a（Zs）ds+b（Zs）（ρdWs+？-ρdWs）。考虑Qη-系统动力学（（2.6））是很方便的。应用Girsanov变换后，我们得到了（2.7）dXπs=πs（u（Zs）- r+σ（Zs）ηs，1）ds+πsσ（Zs）dWηs，dYηs=（ηs，1+ηs，2）Yηsds+ηs，1YηsdWηs+ηs，2YηsdWηs，djs=（a（Zs）+b（Zs）ρηs，1+b（Zs）ρs，2）dt b（Zs）（ρdWηs+？）≤ s≤ T）和（Wηs，0≤ s≤ T）Qη-布朗运动定义为（dWηs=dWs）吗- ηs，1ds，dWηs=dWs- ηs，2ds。8 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-ZAWISZALet Lπ，η是给定的微分算子π，ηV（x，y，z，t）：=Vt+π（u（z）- r+σ（z）η）Vx+（η+η）yVy+（a（z）+b（z）ρη+b（z）ρη）Vz+πσ（z）Vxx+（η+η）yVy+b（z）Vzz+σ（z）ηyVxy+πσ（z）b（z）ρVxz+b（z）（η+ρρρρη）ρ）yvyz。我们现在可以建立验证定理。该定理的证明与Mataramvura和Oksendal[27]（定理3.2）或Zawisza[35,36]（分别为定理3.1和定理6.1）的类似定理的证明非常相似，因此在本文中我们省略了它。定理2.3（验证定理）。

支持存在一个函数v∈ C2,2,2,1（R×（0+∞) ×R×[0，T））∩ C（R×[0+∞) ×R×[0，T]）和马尔可夫控制（π）*, η*) ∈ Ax，y，z，t×M，使得lπ*（x，y，z，t），ηV（x，y，z，t）≤ 0，（2.8）Lπ，η*（x，y，z，t）V（x，y，z，t）≥ 0，（2.9）Lπ*（x，y，z，t），η*（x，y，z，t）V（x，y，z，t）=0，（2.10）V（x，y，z，t）=-十、- y（2.11）表示所有π∈ R、 η∈ 兰德（x，y，z，t）∈ R×（0+∞) 和（2.12）Eηx，y，z，T监督≤s≤T | V（Xπs，Yηs，Zs，s）|< +∞总的来说π∈ Ax，y，z，t，η∈ M和（x，y，z，t）∈ R×[0+∞) ×R×[0，T]。那么jπ*,η（x，y，z，t）≤ V（x，y，z，t）≤ Jπ，η*（x，y，z，t），π ∈ Ax，y，z，t，η ∈ MandV（x，y，z，t）=Jπ*,η*（x，y，z，t）。单调偏好下的投资组合选择——随机因素情形9极大极小问题的解。

为了找到鞍点，我们从分析Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程（2.13）minπ开始∈Rmaxη∈RLπ，ηV（x，y，z，t）=0，即Vt+a（z）Vz+b（z）Vzz+minπ∈Rmax（η，η）∈Rπ（u（z）- r+σ（z）η）Vx+（η+η）yVy+b（z）（ρη+’ρη）Vz+πσ（z）Vxx+（η+η）yVy+y+πσ（z）ηyVxy+πσ（z）b（z）ρVxz+b（z）（ρη+？）= 我们期望V（x，y，z，t）的形式为（2.14）V（x，y，z，t）=-x+G（z，t）y，其中G（z，t）=-1.然后我们有ygt+a（z）yGz+b（z）yGzz+minπ∈Rmax（η，η）∈R-π（u（z）-r+σ（z）η）+η+ ηyG+2b（z）（ρη+’ρη）yGz= （η，η）上的最大值为t（η*(π), η*), η在哪里*（π） =σ（z）2yG（z，t）π- ρb（z）Gz（z，t）G（z，t），η*= -ρb（z）Gz（z，t）G（z，t）。对于（η）*(π), η*) 我们的公式是ygt+a（z）yGz+b（z）yGzz+minπ∈R-π（u（z）-r+σ（z）η*(π))(2.15)+(η*(π))+ (η*)yG+2b（z）（ρη）*(π) + ρη*) yGz= 0.π上的最小值在（2.16）π处达到*= -2yG（z，t）u（z）- rσ（z）-ρb（z）σ（z）Gz（z，t）G（z，t）.值得注意的是，（2.17）η*(π*) = -u（z）- rσ（z），10 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-ZAWISZAso鞍点候选者（2.18）（π）*, (η*(π*), η*))如下所示*= -2yG（z，t）λ（z）σ（z）-ρb（z）σ（z）Gz（z，t）G（z，t）,η*(π*) = -λ（z），η*= -ρb（z）Gz（z，t）G（z，t），其中λ（z）=u（z）- rσ（z）。现在我们将（（2.16））代入（（2.15）），除以y，我们得到形式为（2.19）Gt+（a（z）的最终等式- 2ρb（z）λ（z））Gz+b（z）Gzz- ρb（z）GzG+λ（z）G=0，基本条件为G（z，T）=-1.备注2.4。在第三节中，我们用边界条件g（z，T）=重写方程（2.19）-我们提供了一组假设，确保经典解（C2，1类）的存在。辅助结果。下面的引理将有助于在第4节中证明主要定理，并建立本文与均值-方差优化方法之间的相似性。在这些引理中，我们假设初始条件（x，y，r，t）是固定的。引理2.5。

假设函数V∈ C2,2,2,1（R×（0+∞)（（2.14））给出的×（R×[0，T]）是（（2.13））的经典解*, (η*(π*), η*)) ∈ Ax，y，z，t×M可以用g（（2.18））来确定。然后证明了定理2.3的条件（2.8）-（2.11）是满足的。我们已经知道maxη∈RLπ*,ηV（x，y，z，t）=0，Lπ*,η*V（x，y，z，t）=0和V（x，y，z，t）=-十、- y、 其中包括（（2.8））、（（2.10））和（（2.11））。为了证明（（2.9））使用（（2.15））和（（2.17））以及验证thatminπ是有效的∈RLπ，η*(π*)V（x，y，z，t）=0。引理2.6。假设函数G是方程（（2.19））和（π）的经典解*, (η*(π*), η*)) ∈ Ax，y，z，t×M由（（2.18））给出。然后是2yη*sG（Zs，s）=Xπ*s- x+2yG（z，t），s∈ [t，t]。单调偏好下的投资组合选择——随机因素案例证明。仅证明dxπ是有效的*s=d2Yη*sG（Zs，s）.首先，请注意（（2.18））方程组（（2.6））给出的鞍点的形式为dxπ*s=- 2Yη*sG（Zs，s）λ（Zs）- ρb（Zs）λ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）ds- 2Yη*sG（Zs，s）λ（Zs）- ρb（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）dWs（2.20）和dyη*s=-λ（Zs）Yη*sdWs- ρb（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）Yη*sdWs。使用（（2.19）），我们可以验证dg（Zs，s）=2ρb（Zs）λ（Zs）Gz（Zs，s）+ρb（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）- λ（Zs）G（Zs，s）ds+Gz（Zs，s）b（Zs）ρdWs+’ρdWs.此外，我们已经2Yη*sG（Zs，s）= 2G（Zs，s）dYη*s+2Yη*sdG（Zs，s）+2dG（Zs，s）dYη*s、 因此，通过将适当的动力学代入上述方程，我们得到了（（2.20））的右侧。备注2.7。注意，过程（Yη）*s、 t≤ s≤ T）在金融市场中无法直接观察到，但幸运的是，上述引理确保了在固定初始条件下（x，y，z，T），而不是马尔可夫策略π*s=-2Yη*sG（Zs，s）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]，我们可以使用π*s=-Xπ*s- x+2yG（z，t）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t].3。

得到的方程的经典光滑解。用边界条件G（z，T）解方程（2.19）=-1我们分别考虑以下情况：情况一：ρ6=在这种情况下，进行了以下安萨兹（见Zariphopoulo u[34]）G（z，t）=-Fα（z，t），其中F（z，t）=1和α∈ R\\{0}，12 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAto获得（除以-αFα-1） Ft+（a（z）- 2ρb（z）λ（z））Fz+b（z）Fzz+αλ（z）F+(α - 1) - αρb（z）FzF=0。注意，对于α=2ρ- 1，我们有（3.1）英尺+（a（z）- 2ρb（z）λ（z））Fz+b（z）Fzz+（2ρ- 1） λ（z）F=0。第二种情况：ρ=在这种情况下，如果我们替换eg（z，t）=-eF（z，t），其中F（z，t）=0，我们得到（3.2）英尺+a（z）-√2b（z）λ（z）Fz+b（z）Fzz+λ（z）=0。现在我们给出了一组假设，以确保方程（2.19）在边界条件G（z，T）=-1表示任何ρ∈ [-1, 1].备注3.1。从Heath和Schweizer[16]的定理1可以得出，如果a，b，b·λ，λ是Lipschitz连续的，λ是连续且有界的，且b>>0，则存在唯一的经典解（类C2,1（R×[0，T））∩分别满足Feynman-Kac表示的C（R×[0，T]）和Fto方程（（3.1））和（（3.2））：F（z，T）=EPz，T经验(2ρ- 1） ZTtλ（~Zs）ds,F（z，t）=EPz，tZTtλ（~Zs）ds,式中，dZs=ha（~Zs）- 2ρb（~Zs）λ（~Zs）ids+b（~Zs）dWs，~Zt=zand（~Ws，t≤ s≤ T）是一个布朗运动，对应于P。注意，如果λ是有界函数，那么对于任何ρ，Fand Fare有界且G有界且远离0∈ [-1, 1].引理3.2。假设a，b，b·λ，λ是Lipschitz连续的，λ是连续且有界的，b>>0和F∈ C2,1（R×[0，T））∩C（R×[0，T]）是方程（（3.1））或（（3.2））的有界解。当F的第一个z-导数有界时。单调偏好下的投资组合选择——随机因素案例证明。要得到Fzit的界值，就足以估计Lipschitz常数。

首先，注意对于z，z∈ (-∞, c] 存在Lc>0使得（3.3）|ez- 埃兹|≤ Lc | z- z |。其次，对于（（3.1））的解，利用（（3.3））和λ是Lipschitz连续且有界的事实，我们得到了L>0的存在性，例如t | F（z，t）- F（\'z，t）|≤勒普ZTt~Zs（z，t）-~Zs（`z，t）ds≤它是EP监督≤s≤T~Zs（z，t）-~Zs（`z，t）,从符号学的角度来看，我们写了EPhf（~Zs（z，t））而不是EPz，thf（~Zs）i。现在，使用詹森不等式和Pham[30]中的定理1.3.16，我们得到CT>0:EP监督≤s≤T~Zs（z，t）-~Zs（`z，t）≤ CT | z- “z”，完成第一种情况下的证明。当然，我们可以得到一个类似于（（3.2））的解的估计。4.辅助优化问题的求解。在本节中，我们将解决portfo lio优化问题（（2.5））。定理4.1。假设a，b，b·λ，λ是Lipschitz连续的，λ是连续有界的，b是有界的，b>>0。对于每个初始条件（x，y，z，t），存在一个马尔可夫鞍点（π）*, (η*(π*), η*)) ∈ 问题（（2.5））的Ax，y，z，t×m∈ [t，t]π*s=-Xπ*s- x+2yG（z，t）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）,η*s、 1（π）*) = -λ（Zs），η*s、 2=-ρb（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s），其中G∈ C2,1（R×[0，T））∩ 是（4.1）Gt+（a（z）的有界解- 2ρb（z）λ（z））Gz+b（z）Gzz- ρb（z）GzG+λ（z）G=0，终端条件G（z，T）=-1.14 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAProof。从备注3.1和引理3.2可以看出（（4.1））存在一个经典的有界解，它有界导数Gz。如果我们设置v（x，y，z，t）：=-x+G（z，t）y，则有必要检查函数V和（π）*, (η*(π*), η*)) 满足验证定理的所有条件。由于计算（（2.13））-（（2.19））和引理2.5，条件（（2.8））-（（2.11））已满。

现在，我们只需要证明（π）*, (η*(π*), η*))属于集合Ax，y，z，t×M，条件（（2.12））保持：1。从引理3.2和备注3.1我们知道函数Gz/G是有界的，所以（η*(π*), η*) ∈ M.2。因为G是有界的，Yη*作为一个有界系数的随机线性方程的解，利用H¨older不等式，我们得到ηx，y，z，t监督≤s≤TG（Zs，s）Yη*s≤“乌特普”dQηdP#·sEPx，y，z，t监督≤s≤TG（Zs，s）Yη*s< +∞,总的来说η∈ M.3。用Xπ证明这一点*对于固定的初始条件（x，y，z，t），我们使用fr-om引理2.6和备注2.7这一事实，即策略π*smight可以改写为π*s=-Xπ*s- x+2yG（z，t）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]。现在，让我们定义ζ（Zs，s）：=-λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]。注：tζ·（u-r） ζ·∑是边界函数，因为λ和b是有界的。因此，借助于方程（（2.20）），我们得到过程k:=Xπ*s- x+2yG（z，t），s∈ [t，t]是以下等式的解dks=ζ（Zs，s）（u（Zs）- r） Ksds+ζ（Zs，s）σ（Zs）KsdWs。这是一个系数有界的线性随机方程，这意味着eηx，y，z，t监督≤s≤T | Xπ*s|≤sEηx，y，z，t监督≤s≤T | Xπ*s|≤“乌特普”dQηdP#·sEPx，y，z，t监督≤s≤T | Xπ*s|< +∞, η ∈ M.这意味着（（2.12））满足并确认π的可采性*s单调偏好下的投资组合选择——随机因素案例155。均值-方差优化问题。由于我们的目标函数的大部分起源于均值-方差优化，因此值得将我们的结果与后者的解进行比较。

为了解决均值方差优化问题，我们考虑以下函数luθ（X）：=E[X]-θE（十）- E[X]）, 十、∈ L（P），其中θ>0是风险规避系数，E表示对度量P的期望。投资者的目标是（5.1）使Iπ（x，z，t）在可容许策略类Ax，z，t上最大化，其中Iπ（x，z，t）：=Ex，z，t[xπt]-θEx，z，t（XπT）- Ex，z，t[Xπt]）.我们再次使用随机控制方法来获得解决方案。也就是说，我们可以使用标准的拉格朗日乘子技术（参见Zhou和Li[38]，了解在相同的二次控制问题中使用的另一种方法）。注意supπ∈Ax，z，tIπ（x，z，t）=supπ∈Ax，z，tEx，z，t[Xπt]-θEx，z，t（XπT）- Ex，z，tXπT）= 苏帕∈Rsupπ∈“Ax，z，tA.-θEx，z，t（XπT）- （A）= 苏帕∈RA.-θinfπ∈“Ax，z，tEx，z，t（XπT）- （A）,（5.2）式中，\'Ax，z，t={π∈ Ax，z，t:Ex，z，t[Xπt]=A}，A∈ R.这样我们就用二次目标的约束最大化来代替无约束均值-方差优化问题。使用拉格朗日方法，可以有效地最小化函数π（γ）（x，z，t）：=Ex，z，tXπ（γ）T- A.- 2γEx，z，thXπ（γ）Ti=Ex，z，tXπ（γ）T- （A+γ）- 2Aγ- γ、 （5.3）在可容许控制类π上∈\'Ax，z，t，确定解π*（γ） 发现γ*,这就是x，z，thXπ*(γ*)Ti=A。有关更多信息，请参见定义2.1.16 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ Zawisza。我们可以在这里使用Zawisza[36]的结果，其中稳健二次函数lxπT的最小化→ supQ∈QEQx，z，t[Xπt- D] ，D∈ R、 被考虑（另见Laurent和Pham[21]）。也就是说，如果我们假设Q={P}，根据Zawisza[36]中的定理4.1，我们得到泛函（（5.3））的最优策略是由π给出的*s（γ）=-Xπ*（γ） s- （A+γ）λ（Zs）σ（Zs）+ρb（Zs）σ（Zs）Hz（Zs，s）H（Zs，s）, s∈ [t，t]，其中H满足t+（a（z）- 2ρb（z）λ（z））Hz+b（z）Hzz- ρb（z）HzH- λ（z）H=0，终端条件H（z，T）=1。

这意味着G=-他的a解是T+（a（z）- 2ρb（z）λ（z））Gz+b（z）Gzz- ρb（z）GzG+λ（z）G=0，其中G（z，T）=-1.此外，我们还有（5.4）π*s（γ）=-Xπ*（γ） s- （A+γ）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]，这表明二次优化与单调优化是一致的，具有合适的cho sen A和γ（例如。

备注2.7）。现在我们找到γ*, 这就是x，z，thXπ*(γ*)Ti=A。让我们定义（5.5）Ps:=Xπ*(γ*)s- （A+γ）*), s∈ [t，t]回想一下，在定理4.1的证明中，我们设置ζ（Zs，s）=-λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）.自ζ·（u）- r） ζ·σ是有界函数，是随机线性方程有界系数dps=ζ（Zs，s）（u（Zs）的解- r） Psds+ζ（Zs，s）σ（Zs）PsdWs。这意味着ps=（x- （A+γ）*)) Rs，其中：=expZstζ（Zu，u）（u（Zu）- r）-ζ（Zu，u）σ（Zu）du+Zstζ（Zu，u）σ（Zu）dWu.单调偏好下的投资组合选择——随机因素情况17利用（（5.5）），我们得到了xπ*(γ*)T=（x）- A） RT+A+γ*(1 - 然后很容易看到（5.6）γ*（A） =（A）- x） Ex，z，t[RT]1- 如果Ex，z，t[RT]6=1。最后，请注意-θEx，z，tXπ*(γ*)T- A.= A.-θEx，z，th（十）- A） RT+γ*（A） （1）- （右）i、 因此，A上的最大值在（5.7）A处达到*= x+θ·Ex，z，t[~nt]，式中，ηt:=RT- Ex，z，t[RT]1- Ex，z，t[RT]。替换Tinto（（5.7））和A*进入（（5.6）），我们得到*= x+θ·（1）- x，z，t[RT]）Varx，z，t[RT]和γ*（A）*) =θ·(1 - exz，t[RT]）exz，t[RT]Varx，z，t[RT]，其中Varx，z，t[RT]：=exz，t，t（RT）- Ex，z，t[RT]）.考虑到（（5.4）），我们得出结论，均值-方差最优策略是由π给出的*s=-Xπ*s- 十、-θ·1 - Ex，z，t[RT]Varx，z，t[RT]λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]，而初始条件（x，y，z，t）的单调最优策略如下π*s=-Xπ*s- x+2yG（z，t）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]。在下一个引理中，我们证明了如果θ=2y，这两种策略是完全相同的。引理5.1。在定理4.1的条件下，对于每个初始条件（x，y，z，t），我们有1- x，z，t[RT]Varx，z，t[RT]=-G（z，t）。18 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAProof。