单调均值方差下的连续时间投资组合选择

我们首先证明（5.8）Ex，z，t[RT]=Ex，z，tRT= H（z，t）。首先，让我们回顾一下Th是（5.9）Ht+（a（z）的经典解- 2ρb（z）λ（z））Hz+b（z）Hzz- ρb（z）HzH- λ（z）H=0，且rt=expZTtζ（Zs，s）（u（Zs）- r）-ζ（Zs，s）σ（Zs）ds+ZTtζ（Zs，s）σ（Zs）dWs,式中ζ（Zs，s）=-λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）= -λ（Zs）σ（Zs）+ρb（Zs）σ（Zs）Hz（Zs，s）H（Zs，s）和dzs=a（Zs）ds+b（Zs）（ρdWs+？-ρdWs），Zt=z。方程（（5.9））可以重写为ht+（a（z）+ρb（z）ζ（z，t）σ（z））Hz+b（z）Hzz+ζ（z，t）（u（z）-r） H=0，因此该解具有以下形式的Feynman-Kac r表示（例如Heath和Schweizer[16]的定理1）:H（z，t）=ePx，z，t经验ZTtζ（Zs，s）（u（Zs）- r） ds,式中，dzs=（a（Zs）+ρb（Zs）ζ（Zs，s）σ（Zs））ds+b（Zs）d~Ws，Zt=z，（~Ws，t）≤ s≤ T）是关于P的布朗运动，d-Ws=ρd-Ws+？-ρdWs，d-Ws=dWs- ζ（Zs，s）σ（Zs）ds和dPdP=expZTt-ζ（Zs，s）σ（Zs）ds+ZTtζ（Zs，s）σ（Zs）dWs.这就可以得出结论：h（z，t）=Ex，z，t[RT]。现在，请注意rt=expZTt“ρb（Zs）Hz（Zs，s）H（Zs，s）- λ（Zs）#ds-ZTt2ζ（Zs，s）σ（Zs）ds+ZTt2ζ（Zs，s）σ（Zs）dWs,单调偏好下的投资组合选择——随机因素情况19和方程（（5.9））可以重写为asHt+（a（z）+2ρb（z）ζ（z，t）σ（z））Hz+b（z）Hzz+ρb（z）HzH- λ（z）H=0。Feynman-Kac表示法再次保证了以下等式h（z，t）=Ex，z，tRT.最后，让我们回忆一下g（z，t）=-H（z，t），所以使用（（5.8）），我们有1- Ex，z，t[RT]Varx，z，t[RT]=Ex，z，t[RT]·1- Ex，z，t[RT]1- Ex，z，t[RT]=H（z，t）=-G（z，t）。6.一般结果。在本节中，我们用（（1.1））给出的性能函数来解决投资组合优化问题。定理6.1。

在定理4.1的条件下，对于每个初始条件（x，y，z，t），斯托克斯过程（6.1）π*s=-Xπ*s- x+2yG（z，t）λ（Zs）σ（Zs）-ρb（Zs）σ（Zs）Gz（Zs，s）G（Zs，s）, s∈ [t，t]是投资组合优化问题中的一种最优财务策略，其优先准则由（（1.1）给出。此外，对于泛函（（1.1））而言，经典均值方差优化问题的任何最优解都是最优的。证据让我们定义（6.2）\'Vθ（XπT）：=infQ∈“Q”等式[XπT]+2θC（Q | P）.然后很容易检查（6.3）`Vθ（XπT）=-“∧θ（XπT）-2θ.其次，利用Maccheroni等人[25]的定理2.1，我们得到（6.4）Uθ（XπT）≤ Vθ（XπT）≤\'Vθ（XπT），π ∈ Ax，y，z，t，显然我们有（6.5）supπ∈Ax，y，z，tUθ（XπT）≤ supπ∈Ax，y，z，tVθ（XπT）≤ supπ∈Ax，y，z，t′Vθ（Xπt）。定理（4.1）和（（6.3））保证在投资组合优化问题中，对于每个初始条件（x，y，z，t），存在形式为（（6.1））的最优财务策略，20 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-Zawisza的性能函数由（（6.2））给出，从第5节我们知道，它与经典均值-方差优化问题的解决方案一致。而且，对于π*根据（（6.1））我们有θ（Xπ）*T） =Vθ（Xπ）*T） 考虑到（（6.4））和（（6.5）），我们得到了g etsupπ∈Ax，y，z，tVθ（XπT）=Vθ（Xπ*T） 。为了证明这一论断的最后一部分，让我们对经典均值方差优化问题采用任何最优策略^π。考虑到（（6.4）），我们有uθ（Xπ）*T） =Uθ（X^πT）≤\'Vθ（X^πT）≤\'Vθ（Xπ）*T） =Uθ（Xπ）*T） 。因此，\'Vθ（X^πT）=\'Vθ（Xπ*T） 。7.显式求根过程。在前面的章节中，我们充分发展了这一理论，从而对随机f因子模型中的Markowitz最优投资组合有了更深入的了解。在这一部分中，我们考虑一些特定的因素市场模型，这些模型允许显式地解决均值-方差问题。

这类模型的基本例子是Heston-stocha波动率模型。这类模型通常不满足前几节中假设的有界条件，因此验证结果需要单独调整。本节中获得的解可与标准Black-Scholes模型进行进一步比较。这里我们还应该提到，本节中考虑的模型的解决方案是沈和曾[31]之前获得的，即使是在稍微更一般的跳跃-扩散框架中。然而，他们使用的是BSDE方法，他们的公式并不像我们的那么明确。我们在本节中考虑的模型具有以下形式（7.1）（dSt=[r+λZtσ（Zt）]Stdt+σ（Zt）pZtStdWt，dZt=κ（ξ- Zt）dt+bpZt（ρdWt+’ρdWt），2κξ>b，κ>0。我们在这里避免了银行账户的动态，因为我们在框架中使用T-ForwardValue。除了系数的无限性之外，这里的第二个区别是因子过程只取正值。因此，当考虑HJB方程时，我们必须将自己限制在空间R×R+×[0，T]内。

尽管如此，我们还是可以很容易地遵循第5节中的路径，找到最佳的组合指标π*s=-Xπ*s- 十、-θH（z，t）λσ（Zs）-ρbσ（Zs）Hz（Zs，s）H（Zs，s）, s∈ [t，t]，单调偏好下的投资组合选择-随机因素情况21，其中H（z，t）是（7.2）Ht+[κ（ξ）形式的结果方程的解- z）- 2ρbλz]Hz+bzHzz- ρbzHzH- λzH=0，z≥ 0，终端条件H（z，T）=1。继Zeng和Taksar[37]之后，我们假设h（z，t）=eA（t）z+B（t）。将上述ansatz代入方程（7.2），我们得到a′（t）+B- ρbA（t）+(-κ - 2ρbλ）A（t）- λ=0，B′（t）+κξA（t）=0。为了求解这些方程，我们考虑（7.3）形式的二次方程B- ρbx+(-κ - 2ρbλ）x- λ=0，具有以下判别式 = κ+4κρλb+2λb.为了避免奇点和例外，我们总是假设 > 0和ρ6=。在其他情况下，我们必须考虑有关时间范围>0的进一步规定。完整的分析见命题3.1，Zeng和Taksar[37]。上述论文致力于具有风险规避系数α的HARA效用目标。令人惊讶的是，如果我们采用Zeng和Taksar的求积方程，替换α=2并应用它们的结果，那么我们就得到了完全适合我们情况的工具。在我们的条件下，方程（（7.3））有以下两个解y=κ+2ρbλ+√B- 2ρ带y=κ+2ρbλ-√B- 2ρb，so（7.4）A（t）=ep（y）-y） （T）-（t）- 1ep（y）-y） （T）-（t）-yyy，其中p=b- ρbandB（t）=κξZTtA（s）ds。对于进一步的应用，我们需要以下引理。引理7.1。由（（7.4））给出的函数A（t）对于所有t都小于或等于0∈ [0，T]。证据

注意，A（t）可以重写为以下A（t）=ep（y-y） （T）-（t）- 1是（y）-y） （T）-（t）- yyy。22 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAMoreover，我们总是有ep（y）-y） （T）-t） =e√（T）-t） >1，根据Vieta的公式，我们得到yy=-λp.情况I:yy=0意味着A（t）=0。例二：yy<0（p>0）在本例中y>0>并且A（t）的符号是从yy继承的。第三种情况：yy>0（p<0），此时为2ρ>1，同时为κ+2ρbλ-√ > 0，表示y<y<0，yy<1。公式（（7.4））完成了推理。正式证明策略π*如果是最优的，我们应该扩展o-pt ima策略的类别。定义7.2。控制（或策略）π=（πs，t≤ s≤ T）在时间间隔[T，T]上可容许，写成π∈“Ax，z，t，如果它满足以下假设：（i）π是渐进可测量的；（ii）以下等式存在唯一解dxπs=πsλZsσ（Zs）ds+πsσ（Zs）pZsdWs，s∈ [t，t]；（iii）存在停止时间的局部化序列（τn，n∈ N） ，例如h（ZT∧τn，T∧ τn）XπT∧τn是一致可积的andEx，z，tZT∧τnt（Xπs）+1[σ（Zs）+1]Zsds< +∞,其中h（z，t）=eA（t）z+B（t）。注意，ifEx，z，t监督≤s≤T[Xπs]< +∞,然后满足上述条件，因为τnca可以设置为一系列开放和有界子集的第一次退出时间，这些子集耗尽了集合R×R+。定理7.3。在模型（（7.1））中 > 0，b- ρb6=0，对于每个固定的初始条件（x，z，t），随机过程π*s=-Xπ*s- 十、-θe-A（t）z-B（t）λσ（Zs）-ρbA（s）σ（Zs）, s∈ [t，t]是经典均值-方差函数（5.1）的最佳财务策略。单调偏好下的投资组合选择——随机因素案例证明。

记住Zawisza[36]中定理4.1的证明和第5节中的计算，证明所有D∈ R策略πD（x，z，s）=-（十）- D）λσ（z）-ρbA（s）σ（z）,对于问题ex，z，t（Xπt）是最优的- D）→ 最小π∈为了验证这一点，我们可以遵循验证定理的标准证明。也就是说，首先让我们采用任何可接受的策略π，并将It^o公式应用于函数v（x，z，t）=（x- D） H（z，t）和过程Xπsto获得X，z，tV（Xπt）∧τn，ZT∧τn，T∧ τn）≤ Ex，z，t（Xπt）∧τn- D） ，式中（τn，n）∈ N） 是定义7.2中停车时间的本地化顺序。然后，利用族h（ZT）的一致可积性条件，我们可以在预期值下通过极限∧τn，T∧ τn）XπT∧τn以及A（t）≤ 0（见引理7.1），z≥ 0和H（z，t）≤ 1.现在，我们考虑策略π*D.应用It^o公式，我们得到了ex，z，tV（Xπ）*DT∧τn，ZT∧τn，T∧ τn=V（x，z，t），其中τn:=inf{s≥ t:Zs/∈ On}和{On}n∈这是一个使R+耗尽的开集和有界集的增加族。注意xπ*Ds=（x）-D） Rs+D和V（Xπ）*DT∧τn，ZT∧τn，T∧τn）=（x- D） RT∧τnH（ZT）∧τn，T∧τn），式中rs=expZstλσ（Zu）ζ（u）Zu-ζ（u）σ（Zu）Zudu+Zstζ（u）σ（Zu）pZudWu,Rs=expZstλσ（Zu）ζ（u）+ζ（u）σ（Zu）祖都-2Zstζ（u）σ（Zu）Zudu+Zst2ζ（u）σ（Zu）pZudWuζ（u）=-λσ（Zu）-ρbA（u）σ（Zu）.现在，应用Zeng和Taksar[37]中命题A1的证明（α=2）来证明∧τnH（ZT）∧τn，T∧ τn）是一致可积的。然后，我们就能达到极限→ +∞), 到getEx，z，t（Xπ）*DT- D） =Ex，z，tV（Xπ）*DT，ZT，T）=V（x，z，T）。24 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZA定理7.4。在定理7.3的条件s下，e v ery Markowitz最优策略（在类Ax，z，t中）对于单调泛函（（1.1））也是最优的。证据

我们可以从（6.5）中推断，我们有能力验证π*s=-Xπ*s- 十、-θe-A（t）z-B（t）λσ（Zs）-ρbA（s）σ（Zs）, s∈ [t，t]是函数（（6.2））的最佳值，当仅在一个度量Qη下取最大值时*.因此，我们将证明π*sis函数ljπ（x，y，z，t）的最小值：=Eη*x、 y，z，th-XπT- Yη*Ti，其中η*由η决定*= -λ（z），η*= -ρb（z）Gz（z，t）G（z，t）和G（z，t）=-H（z，t）。通过对公式应用It^o（如引理2.6的证明），我们可以证明2yη*sG（Zs，s）=Xπ*s- x+2yG（z，t），s∈ [t，t]。H（ZT）的一致可积条件∧τn，T∧ τn）[Xπ*T∧τn]确保Yη*sis是平方可积连续鞅，因此是一致可积鞅。现在，让我们定义V（x，y，z，t）=-x+G（z，t）y。通过直接微分，我们可以很容易地验证合适的HJB方程是满足的。我们首先证明以下不等式（7.5）V（x，y，z，t）≤ Jπ（x，y，z，t），π∈我们可以采用一个可容许策略π并应用It^o规则，以得到v（x，y，z，t）≤ Eη*x、 y，z，tV（xπT∧τn，ZT∧τn，T∧ τn）=Eη*x、 y，z，th-XπT∧τn+G（ZT）∧τn，T∧ τn）Yη*T∧τni=Ex，y，z，t-yYη*T∧τnXπT∧τn+yG（ZT）∧τn，T∧ τn）[Yη*T∧τn],式中（τn，n）∈ N） 是定义7.2中停车时间的本地化序列。最后的等式由关系式ydQη表示*dP=Yη*过程Yη的鞅性*t、 二次函数ua+ua关于一个yieldsua+ua的最大化≤ -u4u，u，a∈ R和u<0。替换u=-yXπT∧τn，u=yG（ZT∧τn，T∧ τn）和a=Yη*T∧τn，我们得到-yYη*T∧τnXπT∧τn+yG（ZT）∧τn，T∧ τn）[Yη*T∧τn]≤4yH（ZT）∧τn，T∧ τn）[XπT∧τn]。单调偏好下的投资组合选择——随机因素情形25策略π是可容许的，因此家族4yh（ZT∧τn，T∧ τn）[XπT∧τn]是一致可积的。

为了证明公式（7.5），有必要将Fa t ou引理应用于以下逆不等式-V（x，y，z，t）≥ 前、后、后、后yYη*T∧τnXπT∧τn-yG（ZT）∧τn，T∧ τn）[Yη*T∧τn].法图引理是可能的，因为右边的被积函数被一致可积序列包围。为了完成证明，我们只需要验证v（x，y，z，t）=Jπ*（x，y，z，t）=Eη*x、 y，z，th-Xπ*T+Yη*Ti。这里，我们只需要使用It^o公式v（x，y，z，t）=Eη*x、 y，z，tV（xπ*T∧τn，ZT∧τn，T∧ τn）=Eη*x、 y，z，th-Xπ*T∧τn+G（ZT）∧τn，T∧ τn）Yη*T∧τni=Ex，y，z，t-yYη*T∧τnXπ*T∧τn+yG（ZT）∧τn，T∧ τn）[Yη*T∧τn],式中（τn，n）∈ N） 是一个合适的停车时间定位序列。现在，我们使用下面的对偶yyη*s=G（Zs，s）Xπ*s+G（Zs，s）[-x+2yG（z，t）]=-H（Zs，s）Xπ*s-H（Z，s）[-x+2yG（z，t）]→ +∞), 利用三族h（ZT）的一致可积性条件∧τn，T∧ τn）[Xπ*T∧τn]，H（ZT）∧τn，T∧ τn）[Xπ*T∧τn]和H（ZT）∧τn，T∧ τn）Xπ*T∧τn.第一个已经在定理7.3的证明中进行了注释，其余是它的含义。也就是说，第二个one由条件H（z，t）暗示≤ 最后一个可以用柯西-施瓦茨不等式证明。现在，我们将重点考虑以下两种特殊情况下的解决方案：情况一：波动系数σ（z）=σ是常数。然后π*s=-Xπ*s- 十、-θe-A（t）z-B（t）λσ-ρbA（s）’σ, s∈ [t，t]。2.随机收益率i.但不影响波动率√Z

然后π*s=-Xπ*s- 十、-θe-A（t）z-B（t）λσ-ρbA（s）’σpZs，s∈ [t，t].26 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAIt还值得将上述案例与Black Scholes marketdSt=[r+λ′σ]Stdt+’σStdWt标准进行比较，其中π*s=-Xπ*s- 十、-θeλ（T）-（t）λ′σ，s∈ [t，t]。在所有三种情况下，投资于STI的绝对值按以下方式确定π*s=（Xπ）*s- D（x，z，t））P（Zs，s），因此与当前财富xπ的过剩成正比*在由D（x，z，t）决定的某个目标水平上。术语P（z，s）可以表示为比例值。我们可以看到，

在其他类别的模型中检查这个属性也很有趣，例如injump扩散模型。致谢。我们衷心感谢评委们提供了一份有帮助的评论清单，并仔细阅读了手稿。参考文献[1]P.Artzner，F。德尔伯恩，JM。埃伯·D·希思连贯的风险度量，数学。《金融9》（1999），203-228。[2] S.Basak，G.Chabakauri，《动态平均方差资产配置》，金融研究综述，23（2010），2970–3016。[3] N.Bauerle，S.Grether，复杂市场不允许自由现金流，数学。冰毒。奥普。第81（2015）号决议137-146条。单调偏好下的投资组合选择——随机因素案例27[4]G.Bordigoni，A.Mato ussi，M.Schweizer，鲁棒效用最大化问题的随机控制方法，随机分析和应用。2005年亚伯研讨会。斯普林格2007，125–151。[5] J.Y.Campbell，L.M.Viceira C.消费与投资组合决策，当预期回报率是时变的，Q.J.Econ。114 (1999) 433 – 495.[6] 崔，李，王，朱，优于动态平均方差：时间不一致性和自由现金流，数学。《金融》杂志第22期（2012），345-378页。[7] R.J.Elliott，T.K.Siu，《保险人基于风险的最优投资的BSDE方法》，Automatica J.IFAC，47（2011），253-261。[8] R.J.Elliott，T.K.萧，关于风险最小化的投资组合和马尔可夫地区的黑人-斯科尔斯经济，安。奥普。第17 6（2010）号决议，第271-291条。[9] R.J.Elliott，T.K.萧，投资组合风险最小化和微分博弈，非线性。71 (2009), 2127 – 2135.[10] R.J.Elliott，T.K.萧，随机波动模型下基于风险的差异定价，Common。斯托克。肛门。4 (2010), 51 – 73.[11] 嗯。Fleming，D.Hern\'andez Hern\'andez，一个具有随机波动性的最优消费模型，金融Stoch。7 (2003), 245 – 262.[12] W。