单调均值方差下的连续时间投资组合选择

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英文标题：
《Continuous-Time Portfolio Choice Under Monotone Mean-Variance
  Preferences-Stochastic Factor Case》
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作者：
Jakub Trybu{\\l}a and Dariusz Zawisza
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider an incomplete market with a nontradable stochastic factor and a continuous time investment problem with an optimality criterion based on monotone mean-variance preferences. We formulate it as a stochastic differential game problem and use Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs equations to find an optimal investment strategy and the value function. What is more, we show that our solution is also optimal for the classical Markowitz problem and every optimal solution for the classical Markowitz problem is optimal also for the monotone mean-variance preferences. These results are interesting because the original Markowitz functional is not monotone, and it was observed that in the case of a static one-period optimization problem the solutions for those two functionals are different. In addition, we determine explicit Markowitz strategies in the square root factor models.
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中文摘要：
我们考虑了一个具有不可交易随机因素的不完全市场和一个基于单调均值-方差偏好的最优性准则的连续时间投资问题。我们将其描述为一个随机微分对策问题，并使用Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程来寻找最优投资策略和价值函数。此外，我们还证明了我们的解对于经典Markowitz问题也是最优的，对于单调均值-方差偏好，经典Markowitz问题的每个最优解也是最优的。这些结果很有趣，因为原始的Markowitz泛函不是单调的，并且观察到在静态单周期优化问题的情况下，这两个泛函的解是不同的。此外，我们在平方根因子模型中确定了明确的马科维茨策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Continuous-Time_Portfolio_Choice_Under_Monotone_Mean-Variance_Preferences-Stocha.pdf (306.92 KB)

2022-5-5 23:49:41 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 连续时间 均值方差 Optimization

单调变数E偏好下的连续时间投资组合选择——STOCHA STI C因子CASEJAKUB TRYBU LA和DARIUSZ Zawisza第一个arXiv版本：2014年3月13日该版本：接受的手稿最终版本：发表在《数学》杂志上。奥普。第44（2019）号决议，第966-987条https://doi.org/10.1287/moor.2018.0952Abstract.我们考虑了一个不可交易随机因素的不完全市场和一个基于单调方差偏好的具有最优性准则的连续时间投资问题。我们将其描述为一个随机微分对策问题，并使用Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程来寻找最优投资策略和价值函数。此外，我们还证明了我们的解对于经典Markowitz问题也是最优的，对于单调均值-方差偏好，经典Markowitz问题的每个最优解也是等时的。这些结果很有趣，因为原始的Markowitz泛函不是单调的，并且观察到在静态单周期优化问题的情况下，这两个泛函的解是不同的。此外，我们在平方根因子模型中确定了明确的马科维茨策略。1.导言。自从马科维茨发表他的著名论文[26]以来，均值-方差准则已经成为投资文献中非常热门的话题。首先，静态优化框架中的问题已经解决。然后，当允许跨期交易时，它被扩展并在多期框架中得到解决。

在Li和Ng[22]（离散时间设置）以及Zhou和Li[38]（连续时间框架）中可以找到确切的解决方案。另一方面，人们普遍认为，一个适当的决策函数应该反映这样一个事实，即理性投资者的主要动机是赚钱，因此，在两个前景（投资回报）X和Y之间进行选择时，比如X≤ Y，投资者总是会选择Y。这类行为通常以单调条件的形式表述。也就是说，如果关系X≤ Y表示ρ（X）≤ ρ（Y）。请注意，在投资组合优化问题中，使用非单调函数可能导致日期：2020年1月15日。2010年数学科目分类。91G10；91A15；91A23；93E20。关键词和短语。持续优化；随机控制；随机因素模型，赫斯顿模型。历史记录：收到——2015年12月22日；接受——2018年5月20日；在线发布——1992年5月29日，JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ Zawiszal做出了非理性的决定，因为可能会有更好（更大）的前景，而这一前景被职能部门排除在外。因此，这种公理通常包含在大多数现代理性投资者行为理论中（例如，预期效用理论——冯·诺伊曼南和摩根斯坦[32]、对偶选择理论——雅·阿里[33]、最大-最小理论——吉尔博亚和施梅德勒[15]、动态变分偏好理论——麦克切罗尼等[25]、一致性和凸性风险度量——阿尔茨纳等[1]、F¨奥利默和席德[13]). 然而，众所周知，均值-方差泛函不是单调的。因此，麦克切罗尼等人。

[25]创建了一类新的偏好，在其单调性范围内与均值-方差偏好一致，但在均值-方差偏好不单调的情况下不同：（1.1）Vθ（X）：=infQ∈Q等式[X]+2θC（Q | P）, 十、∈ L（P），其中θ>0是风险规避系数，P是给定的概率测度，L（P）是关于测度P的平方可积随机变量集，Q是所有概率测度的类别，例如c（Q | P）：=EP“dQdP#- 1，如果Q<< P、 +∞, 否则此外，他们还表明，与这类优先权相关的泛函是这些单调函数中均值-方差泛函的最佳近似。有关monot-one均值-方差偏好及其相对于均值-方差偏好的其他优势的更多详细信息，请参阅Maccheroni等人[25]。还值得一提的是（（1.1））可以重写为（1.2）Vθ（X）=-∧θ（X）-2θ，其中∧θ（X）：=supQ∈量化宽松-十、-2θdQdP, 十、∈ L（P），因此，进一步研究此类类型性能标准的额外动机在于，上述函数满足以下公理：凸性：Ifα∈ （0，1），然后∧θ（αX+（1）- α） Y）≤ α∧θ（X）+（1）- α）∧θ（Y）。单调性：如果X≤ Y，然后∧θ（Y）≤ λθ（X）。平移不变性：Ifβ∈ R、 那么∧θ（X+β）=∧θ（X）- β.也就是说，∧θ（X）是一个凸风险度量（见F¨ollmer and Schied[13]或Fr it telli a ndRosazza Gianin[14]）。然而，这类度量通常被认为是将风险分配给财务头寸的工具，因此∧θ（X）的最小化可以解释为寻找风险最小化的投资组合。在这种情况下，函数C（Q | P）被称为apenalty函数。基于函数Vθ（X）的投资组合优化问题已由Macheroni et a l[25]在静态环境下解决。

由于该函数从未在单调偏好下的投资组合选择中进行过研究——跨期环境下的随机因素案例3，为了最大化Vθ（X），描述投资者可以遵循的最佳财务策略，并研究在连续时间优化框架中单调和非单调对应物之间是否存在相同的差异，这一点很重要。在本文中，我们假设投资者可以进入市场，在那里他可以自由买卖一种无风险债券和一种风险资产，其价格是受相关的不可测（但可观察）随机事实影响的动态的一种扩散。如今，随机因素模型在连续时间投资组合优化理论中已经非常流行。这种模型可以结合许多关于随机市场回报的经验发现，例如波动的随机性或对超额回报的因素依赖性。许多研究人员都试图调查各种优化标准中，该因素对r isky资产的影响，通常是在双曲/常数绝对r iskaversion效用框架下。除其他外，Kim和Omberg[19]、Campbell和Viceira[5]、Fleming和Hern\'andez[11]、Liu[23]、Taksar和Z eng[37]以及Zariphopoulou[34]对to pic进行了探索。此外，随机因素模型是完全市场模型的基本例子，在这些模型中，检查马科维茨投资组合的各种属性很重要，因为它们可能会导致各种悖论。例如，正如B¨auerle和Grether[3]以及Cui等人[6]所述，它们可能负责产生所谓的自由现金流。寻找一个风险最小化的投资组合的问题，以及对绩效标准（（1.1））的各种修改，被许多作者考虑。

例如，MataramvuraandOksendal[27]在跳转扩散环境中研究了这个问题，其一般惩罚函数为formC（Q | P）=hdQdP.Elliott和Siu[7]在最优再保险问题的背景下，以及Elliott和Siu[9,8]在制度转换市场的背景下，研究了同样的问题。基于风险的投资组合问题对于不完全市场中的衍生品定价也很有用。也就是说，一种可能性是通过考虑所谓的风险差异价格来确定价值。有关跳跃式差异市场中差异价格的更多信息，请参见Oksendal和Sulem[29]，而对于随机fa-cto r模型，值得阅读Elliott和Siu[10]。值得一提的是，在许多论文中，效用函数被用来考虑投资者对函数（（1.1））的满意度的非线性形式。这种方法被称为稳健效用投资组合优化，并在Hern’andezand-Schied[17]（随机因素模型）、Oksendal和Sulem[28]（跳跃扩散风险）、Bordigioni等人[4]（更一般的半鞅设置）中采用。上述所有论文都研究了这个问题，但没有给出具体选择c（Q | P）的任何详细解决方案，也没有考虑使用公式c（Q | P）=DQDPN的熵分析函数的一个具体例子dQdP.4 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ Zawisza根据我们所知，二次惩罚c（Q | P）=EP“dQdP#- 1从未在动态优化框架中进行过详细研究。最大化（（1.1））问题是一个极大极小问题，因此它自然形成一个随机微分对策。文献中有两种主要的方法来确定这类博弈的解。

第一种方法利用了极大值原理和倒向随机微分方程（BSDE），而第二种方法基于动态规划原理和Hamilto n-Jacobi-Bellman方程（HamiltonJacobi-Bellman-Isaacs用于微分对策）。后者更适合我们的方法。在我们的例子中，通过应用某些变换，相关的HJBI方程可以简化为m的线性方程。为了解释原因，有必要使用验证定理的合适版本。通过这种方法，我们得到了最优策略的一个公式，其特征是上述线性方程。进一步证明了该解在经典的Markowitz框架下是最优的，该框架与单周期设置相反。似乎连续时间交易（即使在不完全的市场环境下）确保了足够的灵活性，能够对变化的条件做出更快的反应，并允许均值-方差投资者“表现得像一个单调的投资者”。应该注意的是，我们的论文并不是第一篇在离散时间模型和连续时间模型之间出现这种定性差异的论文。Cui等人[6]已经证明，一个完整的金融市场在连续时间框架内的效率是时间一致的。还值得一提的是，时间不一致性（例如见Basak and Chabakauri[2]）和缺乏单调性是文献中经常讨论的Markowitz优化的两个主要缺点。此外，Kallsen等人[18]指出，方差最优套期保值问题中的套期保值误差表达式更多地涉及离散时间，而不是连续时间。论文的结构如下。在第2节中，我们描述了问题的设置。我们推导验证定理并推导HJBI方程。

在第三节中，我们将摩尔方程转化为线性形式，并证明其解的一些有用性质。在第4节中，我们解决了一个辅助投资组合优化问题，然后在第5节中，我们将结果与经典均值-方差优化问题的解进行了比较。最后，在第6节中，我们阐述了我们的主要定理。在最后一节中，我们使用前几章中的方法来确定特定随机波动率模型中均值-方差最优组合的显式公式，并将其与Black-Scholes模型进行进一步比较。值得注意的是，在这项工作中，我们在很多地方都会写一些关于PD的文章，并讨论解决方案。在本文中，对于偏微分方程的解，我们总是指经典的光滑解。单调偏好下的投资组合选择——随机因素案例52。一般模型描述。让(Ohm, F、 P）是一个过滤概率空间（Ft，0≤ T≤ T）可能被放大以满足通常的假设，并由两个独立的布朗运动（Wt，0）生成≤ T≤ T），（Wt，0≤ T≤ T）定义于（Ohm, F、 P）。假设一个投资者可以进入市场，在那里他可以自由买卖两种证券：一种债券（Bt，s）≤ T≤ T）和a股（圣路易斯）≤ T≤ T）。我们假设（St，s）的动力学≤ T≤ T）依赖于一个不可转换（但可观察）的外部因素（Zt，s≤ T≤ T）。这个因素可以用来模拟随机波动或其他变化的经济条件。上述过程由系统描述（2.1）dBt=rBtdt，dSt=u（Zt）Stdt+σ（Zt）StdWt，dZt=a（Zt）dt+b（Zt）（ρdWt+？）ρdWt），Zs=z，其中系数σ>0，u，a，b具有所有所需的正则性条件，以确保（（2.1））存在唯一的强解。利率r>0是常数，ρ∈ [-1，1]是一个相关系数，且¨ρ：=p1- ρ.

系数与时间无关，只是为了便于记谱。性能功能。在本文中，我们使用形式（（1.1））的单调均值-方差偏好。然而，由于技术上的困难，我们的问题首先解决了（2.2）“∧θ（X）：=supQ的辅助函数∈“‘量化宽松’-十、-2θdQdP, 十、∈ L（P），其中：o“Q”的形式为（2.3）\'Q：=Q~ P:dQdP=EZηt，1dWt+ηt，2dWtT、 （η，η）∈ M;o E（·）t使多兰-戴德指数上升M是所有逐步可测量的过程η=（η，η）的集合，取inR的值，例如ep“dQηdP#< +∞ 还有EPdQηdP= 1;o Qη表示由η确定的概率度量∈ M.请注意，上述一组假设允许我们通过使用Girsanov定理改变概率测度，并保证我们对Maccheroni型目标函数的修改是明确的。有关更多信息，请参见Hern’andez和Schied[17]。6 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ Zawisza为了简化公式（（2.2）），我们定义了额外的随机过程族（Yηt，s≤ T≤ T）由随机微分方程YηT=ηT，1YηtdWt+ηT，2YηtdWt，Yηs=Y>0，η∈ 那么，很容易看出yηT=ydQηdP，η∈ Mand∧θ（X）=supη∈我η[-十、- YηT]，X∈ L（P），其中Eη表示关于度量Qηandy=2θ的期望。问题的表述。我们假设投资者在任何时候都可以决定投资于风险资产的绝对价值，以及投资于银行账户的价值。设（\'X\'πt，s）≤ T≤ T）是投资者的财富过程，具有以下动态- r） dt+\'πtσ（Zt）dWt，\'X\'πs=\'X>0，其中\'X表示投资者当前的财富，而控制\'πtca可以解释为投资于圣路易斯的绝对值。请注意，\'πtas以及投资组合财富\'X\'π变为负值。

在这项工作中，可以方便地使用‘πtand‘X‘πt的正向值，即设πt:=er（t-t） πtand Xπt:=er（t-t） 我们有（2.4）dXπt=πt（u（Zt）- r） dt+πtσ（Zt）dWt。定义2.1。控制（或策略）π=（πs，t≤ s≤ T）在时间间隔[T，T]上可容许，写成π∈ Ax，y，z，t，如果它满足以下假设：（i）π是渐进可测的；（ii）存在（（2.4））的唯一解和ηx，y，z，t监督≤s≤T | Xπs|< +∞ 总的来说η∈ M.投资者的目标是（2.5）最小化supη∈式中，η（x，y，η）的[-XπT- YηT]。问题（（2.5））是一个假设为市场和投资者之间的零和随机微分博弈问题，控制分别由Qη和π给出。We单调偏好下的投资组合选择-随机因素情况7正在寻找价值函数V（x，y，z，t）和鞍点，即一对（π*, η*) ∈Ax，y，z，t×M，比如jπ*,η（x，y，z，t）6jπ*,η*（x，y，z，t）6jπ，η*（x，y，z，t），π ∈ Ax，y，z，t，η ∈ MandV（x，y，z，t）：=Jπ*,η*（x，y，z，t）。备注2.2。If（π）*, η*) ∈ Ax，y，z，t×M是问题的鞍点（（2.5）），然后是infπ∈Ax，y，z，tsupη∈MJπ，η（x，y，z，t）≤ supη∈MJπ*,η（x，y，z，t）≤ Jπ*,η*（x，y，z，t）≤ infπ∈Ax，y，z，tJπ，η*（x，y，z，t）≤ supη∈Minfπ∈Ax，y，z，tJπ，η（x，y，z，t）。此外，我们总是有SUPη∈Minfπ∈Ax，y，z，tJπ，η（x，y，z，t）≤ infπ∈Ax，y，z，tsupη∈MJπ，η（x，y，z，t）。jπ综述*,η*（x，y，z，t）=infπ∈Ax，y，z，tJπ，η*（x，y，z，t），所以控制π*这是一种最佳财务策略。有关不同游戏的更多信息，请参阅弗莱明和索纳[12]及其参考资料。验证文件。前一节所述的投资问题可以通过应用随机控制理论来解决。