L1滤波器动量策略

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英文标题：
《Momentum Strategies with L1 Filter》
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作者：
Tung-Lam Dao
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this article, we discuss various implementation of L1 filtering in order to detect some properties of noisy signals. This filter consists of using a L1 penalty condition in order to obtain the filtered signal composed by a set of straight trends or steps. This penalty condition, which determines the number of breaks, is implemented in a constrained least square problem and is represented by a regularization parameter ? which is estimated by a cross-validation procedure. Financial time series are usually characterized by a long-term trend (called the global trend) and some short-term trends (which are named local trends). A combination of these two time scales can form a simple model describing the process of a global trend process with some mean-reverting properties. Explicit applications to momentum strategies are also discussed in detail with appropriate uses of the trend configurations.
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中文摘要：
在本文中，我们讨论了L1滤波的各种实现，以检测噪声信号的一些特性。该滤波器包括使用L1惩罚条件，以获得由一组直线趋势或步骤组成的滤波信号。这个惩罚条件决定了中断的数量，它在约束最小二乘问题中实现，并由正则化参数表示？通过交叉验证程序进行估算。金融时间序列通常以长期趋势（称为全球趋势）和一些短期趋势（称为局部趋势）为特征。这两个时间尺度的组合可以形成一个简单的模型，描述具有一些均值回复特性的全球趋势过程。还详细讨论了动量策略的显式应用，以及趋势配置的适当使用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-5-6 00:18:38 上传

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关键词：动量策略 滤波器 Quantitative Applications Optimization

与林培忠资本基金管理公司合作的动量策略。dao@cfm.frMarch18，2014摘要在这篇文章中，我们讨论了滤波的各种实现，以检测噪声信号的一些特性。该滤波器包括使用Lpenalty条件，以获得由一组直线趋势或阶跃组成的滤波信号。这个惩罚条件决定了中断的数量，它在最小平方问题中实现，并由一个正则化参数λ表示，该参数通过交叉验证程序估计。金融时间序列通常以长期趋势（称为全球趋势）和一些短期趋势（称为局部趋势）为特征。这两个时间尺度的组合可以形成一个简单的模型，描述具有一些均值回复特性的全球趋势过程。还详细讨论了动量策略的显式应用，以及趋势配置的适当使用。关键词：动量策略、过滤、过滤、趋势跟踪、均值回复。JEL分类：C01、C60、G11。1简介趋势检测是从数学和财务角度进行时间序列分析的一项主要任务。时间序列的趋势被认为是包含全局变化的分量，与噪声引起的局部变化形成对比。趋势过滤过程不仅涉及去噪问题，还必须考虑基本过程的动态性。这就解释了为什么趋势提取的数学方法有着悠久的历史，而这门学科仍然引起了科学界的极大兴趣。

从投资角度来看，趋势过滤是资产管理行业和对冲基金界为提高业绩和限制投资组合风险而制定的最重要战略的核心。论文的结构如下。在第2节中，我们讨论了时间序列的趋势周期分解，并回顾了土地过滤的一般性质。在第3节中，我们介绍了过滤器及其各种扩展和校准程序。在第4节中，我们将过滤器应用于一些动量策略，并给出了一些S&P 500指数的回溯测试结果。在第5节中，我们讨论了多元情况的可能扩展，并在最后一节中得出结论。有关一般综述，请参见Alexandrov等人（2008年）。具有LFilter2动机的动量策略在经济学中，趋势周期分解在将非平稳时间序列描述为永久性和暂时性随机成分方面起着重要作用。通常情况下，永久性成分被同化为趋势，而临时性成分可能是波动或随机循环。此外，关于商业周期的文献已经产生了大量关于这一主题的实证研究（参见克利夫兰和蒂奥（1976）、贝弗里奇和纳尔逊（1991）、哈维（1991）或霍德里克和普雷斯科特（1997））。随后，这些作者引入了一种新的方法来估计长期GDP的趋势。经济学家广泛使用的方法是基于过滤。最近，Kim等人（2009年）通过用Lpenalty函数替换Lpenalty函数，开发了一种类似的过滤器。让我们考虑一个时间序列yt，它可以由缓慢变化的趋势xt和快速变化的噪声εt过程分解：yt=xt+εt首先提醒我们著名的L滤波器（所谓的Hodrick-Prescott滤波器）。

该方案有助于通过最小化以下目标函数来确定趋势：nXt=1（yt- xt）+λn-1Xt=2（xt-1.- 2xt+xt+1）λ>0的正则化参数，控制xtt的平滑度和剩余yt之间的竞争- xt（或噪声εt）。我们注意到，第二项是趋势Xt的离散导数，它表征了曲线的光滑性。最小化该目标函数可以得到一个解决方案，即数据与其曲率平滑度之间的权衡。在财务方面，该方案没有给出市场趋势的明确标志。相比之下，如果我们用Objective函数中的Lnorm替换Lnorm，我们可以获得更有趣的属性。因此，Kim等人（2009）建议考虑以下目标函数：nXt=1（yt- xt）+λn-1Xt=2 | xt-1.- 2xt+xt+1 |该问题与Tibshirani（1996）的套索回归或Daubechies等人（2004）的规则化最小二乘问题密切相关。在这里，采用Lnorm的事实将施加一个条件，即滤波信号的二次导数必须为零。因此，滤波后的信号由一组直线趋势和突变组成。目标函数中这两个项之间的竞争变成了直线趋势数（或中断数）与原始数据接近度之间的竞争。因此，平滑参数λ对于检测破裂数起着重要作用。在后面的文章中，我们简要介绍了滤波器如何用于趋势检测，并将其扩展到均值回复过程。

还将详细讨论λ参数的校准程序。中断是指信号趋势发生变化的位置。采用过滤方案的动量策略。1在趋势平稳过程中的应用上一节讨论的Hodrick-Prescott方案可以在向量间隔及其Lnorm k·kas:ky中重写- xk+λkdxkw这里y=（y，…，yn），x=（x，…，xn）∈ Rnand运算符是（n- 2） ×n矩阵：D=1.-2 11 -2 1...1.-2 11 2 1（1） 这个估计的精确解由x给出=I+2λD>D-x的显式表达式？允许使用sparsematrix进行非常简单的数值实现。由于L滤波器是线性滤波器，正则化参数λ通过与通常的移动平均滤波器进行比较来校准。校准程序的详细信息见附录A.4。通过使用Lp惩罚条件而不是Lpenalty，可以将L filter的概念推广到一个更大的类，即所谓的Lp filter。Daubechies等人（2004年）关于线性反问题的研究，或Tibshirani等人（1996年）关于套索回归问题的研究，已经讨论了这种推广。如果我们考虑一个滤波器，目标函数变为：nXt=1（yt- xt）+λn-1Xt=2 | xt-1.- 2xt+xt+1 |相当于以下向量形式：ky- Kim等人（2009）证明了xk+λkDxkIt，该滤波器模式的对偶问题是一个具有一些边界约束的二次规划。该推导的详细信息见附录A.1.1。为了优化数值计算速度，我们采用“原始-对偶内点”方法（见附录a.2），遵循Kim等人（2009）。

在下文中，我们将检查该技术在各种趋势平稳过程中的有效性。第一个模型由一组具有白噪声扰动的直线趋势线模拟的数据组成：yt=xt+εtεt~ N0, σxt=xt-1+vtPr{vt=vt-1} =pPrvt=bU[0,1]-= 1.- p（2）带有LFILTER的动量策略如图1所示- T和HP过滤方案。左上角的图形是真实趋势XT，而右上角的图形则表示噪声信号yt。底部的图表显示了L- T和HP过滤器。这里，我们选择λ=5 258作为L- 对于HP过滤，T过滤和λ=1 217 464。λforL的选择- 过滤基于趋势中的中断次数，在本例中固定为10。第二个模型是由以下过程生成的随机游走：yt=yt-1+vt+εtεt~ N0, σPr{vt=vt-1} =pPrvt=bU[0,1]-= 1.- p（3）我们在图2中给出了L- 在第二个模型上进行T过滤和HP过滤。图1:L- 型号（2）500 1000 2000的过滤与HP过滤-50050100信号50010002000-50050100噪声信号500 1000 1500 2000-50050100L1-T过滤器500 1000 1500 2000-50050100HP过滤器3。2均值回复过程的扩展如最后一段所示，在二阶导数上使用Lpenalty给出了信号趋势的正确描述。因此，类似的想法可以应用于其他阶导数。我们在这里介绍了这种过滤技术在均值回复过程中的扩展。如果我们现在对一阶导数施加Lpenalty条件，我们可以期望得到斜率为零的拟合信号。这种惩罚的代价将与跳跃的次数成正比。在这种情况下，我们希望尽量减少以下我们考虑的n=2000个观测值。

模拟参数为p=0.99、b=0.5和σ=15。我们将在下一节讨论如何获得λ。模拟参数为p=0.993、b=5和σ=15。LFilterFigure 2的动量策略：L-T过滤与HP过滤（3）型号500 1000 1500 2000005010001500SignalsT500 1000 1500 2000005010001500Noised SignalsT500 1000 1500 2000005010001500L1-T过滤500 1000 1500 2000005010001500HP过滤目标函数：nXt=1（yt- xt）+λnXt=2 |xt- xt-1 |或矢量形式：ky- D算子为（n）时的xk+λkdxk- 1） x n矩阵，它是一阶导数的离散形式：D=-1 1 00 -1 1 0...-1 1 0-1 1（4） 我们可以采用与之前相同的最小化算法（见附录A.1.2）。为了说明这一点，我们考虑了阶跃趋势线受白噪声过程干扰的模型：yt=xt+εtεt~ N0, σPr{xt=xt-1} =pPrxt=bU[0,1]-= 1.- p（5）LFILTERW动量策略我们使用这个模型来测试L- C过滤和HP过滤适用于FirstDerivative，对应于以下优化程序：minnXt=1（yt- xt）+λnXt=2（xt- xt-1） 在图3中，我们报告了相应的结果。对于第二个测试，我们考虑均值回复过程（Ornstein-Uhlenbeck过程），其均值遵循区域切换过程：yt=yt-1+θ（xt）- yt-1） +εtεt~ N0, σPr{xt=xt-1} =pPrxt=bU[0,1]-= 1.- p（6）这里，u是表征平均值的过程，θ与返回平均值的时间成反比。

在图4中，我们展示了- 与HP过滤器相比，C过滤器可以捕获原始信号。图3:L- C型过滤器与HP型过滤器（5）500 1000 1500 2000-40-200204060800信号500 1000 1500 2000-40-200204060800噪声信号500 1000 1500 2000-40-20020406080L1-C过滤器500 1000 1500 2000-40-20020406080HP过滤器3。3混合趋势和均值回复性质我们现在将上述两种方案结合起来。在这种情况下，我们定义了两个正则化参数λ和λ，对应于两个惩罚条件spn-1t=1 | xt- xt-1 |我们使用术语HP filter来保持同质符号。然而，我们注意到，当外生回归系数只有一个常数时，这个过滤器实际上是卡拉巴和特斯拉夫（1989）提出的FLS过滤器。参数为p=0.998、b=50和σ=8。为了模拟Ornstein-Uhlenbeck过程，我们选择了p=0.9985、b=20、θ=0.1和σ=2的动量策略，并使用LFilterFigure 4:L- C型过滤器与HP型过滤器（6）500 1000 1500 2000-20-10010203040信号500 1000 1500 2000-20-10010203040噪声信号500 1000 1500 2000-20-10010203040L1-C过滤器500 1000 2000-20-10010203040HP过滤器-1t=2 | xt-1.- 2xt+xt+1 |。我们对原始问题的目标函数现在变成：nXt=1（yt- xt）+λn-1Xt=1 | xt- xt-1 |+λn-1Xt=2 | xt-1.- 2xt+xt+1 |可再次以矩阵形式重写：ky- xk+λkDxk+λkDxk，其中，和掺杂器分别为（n- 1） ×n和（n）- 2） 方程（4）和（1）中定义的×n矩阵。在图5和图6中，我们在直线趋势线模型（2）和随机游走模型（3）上测试了混合方案的效率。3.4如何校准正则化参数？如上所示，通过过滤获得的趋势取决于调节程序的参数λ。

对于λ的大值，我们获得数据的长期趋势，而对于λ的小值，我们获得数据的短期趋势。在本段中，我们试图定义一个程序，允许根据趋势提取的需要对平滑参数进行正确选择。对于这两种模型，参数分别为p=0.99、b=0.5和σ=5。带有LFilterFigure 5:L的动量策略- 型号（2）500 1000 2000的TC过滤与HP过滤-100-50050100信号50010002000-100-50050100噪声信号500 1000 1500 2000-100-50050100L1-TC过滤器500 1000 1500 2000-100-50050100HP过滤器图6:L- 型号（3）500 1000 2000的TC过滤与HP过滤-500050010001500Signalt500 1000 1500 2000-500050010001500噪声信号500 1000 1500 2000-500050010001500L1-TC过滤器500 1000 2000-500050010001500HP过滤器与LFilter3的混合策略。4.1初步标记λ的小值，我们恢复信号的原始形式。对于较大的λ值，我们标记存在一个最大值λmax，在该最大值上方，趋势信号具有以下形式：xt=α+βt，其中α和β是两个不依赖于时间t的常数。λmax的值由以下公式给出：λmax=DD>-1Dy∞我们可以用这句话来了解λ的数量级，它应该用来确定某个时间段T的趋势。为了说明这一点，我们需要获取整个时间段T的数据。如果我们想了解这一时期的全球趋势，我们需要确定λ=λmax。这个λ将给出整个时期内信号的独特趋势。

如果需要更详细地了解较短时间内的趋势，我们可以将信号划分为p个时间间隔，然后通过所有λimaxparameter的平均值来估计λ：λ=ppXi=1λimaxIn图7，我们展示了在S&P500指数上p=2（λ=1500）和p=6（λ=75）获得的结果。图7：在平滑参数λ的影响下，此外，布朗运动过程的显式计算给出了平滑参数λmax的缩放规律。对于趋势滤波方案，λmax缩放为5/2，而对于均值回复方案，λmax缩放为T3/2（见图8）。通过对模型（3）的500次模拟，对这些幂次进行滤波计算的数值动量策略与布朗运动的分析结果非常吻合。事实上，我们从经验上得出，L- T filter为2.51，而L- 过滤系数为1.52。图8：平滑参数λmax3的比例幂律。4.2交叉验证程序在本段中，我们讨论如何使用交叉验证方案来校准我们模型的平滑参数λ。我们定义了另外两个表征趋势检测机制的参数。第一个参数是数据窗口的宽度，用于估计目标策略的最佳λ。此参数控制我们校准的精度。第二个参数用于估计主窗口中获得的趋势的预测误差。该参数表征了投资策略的时间范围。图9显示了如何将数据集划分为图9：确定最佳值λ的交叉验证程序|k | t训练集| t测试集| t在交叉验证过程中预测今天的历史数据的不同窗口。为了得到最佳参数λ，我们通过窗口T扫描整个数据后计算总误差。