BNS模型中保持仿射结构的测度变换

因此，我们可以再次使用It^o公式来获得以下X和σX（t）=X（s）e的显式表达式-α(1-β） （t）-s） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （t）-s） ）（3.6）6 BENTH和ORTIZ-LATORRE+Ztsσ（u）e-α(1-β） （t）-u） dWQ′θ，′β（u），σ（t）=σ（s）e-ρ(1-β） （t）-s） +κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β） （t）-s） ）（3.7）+ZtsZ∞E-ρ(1-β） （t）-u） z~NLQθ，β（du，dz），其中0≤ s≤ T≤ 我们证明了Q′θ，′β是真概率测度，即E（~Gθ，β+~Hθ，β）（T）是P为T的严格正真鞅≤ T我们有下面的定理。定理3.4。让θ∈\'DL，\'β∈ [0, 1]. 然后E（~Gθ，β+~Hθ，β）={E（~Gθ，β+~Hθ，β）（t）}t∈[0，T]是P下严格正的真鞅。证据E（~Gθ，β+~Hθ，β）是严格正的，这很容易从一个事实出发，即L’evy过程是一个从属过程，因为这会产生~Gθ，β+~Hθ，β的严格正跳跃。根据Protter[21，定理38]中的Yor公式，它认为，[~Gθ，β，~Hθ，β]，~Gθ，β和~Hθ，β之间的二次共变差等于零。因此，我们可以写出（~Gθ，β+~Hθ，β）（t）=E（~Gθ，β）（t）E（~Hθ，β）（t），t∈ [0，T]。（3.8）通过经典鞅理论，我们知道E（~Gθ，β+~Hθ，β）是一个真正的鞅，当且仅当Ep[E（~Gθ，β+~Hθ，β）（T）]=1，使用约尔公式，它等价于表示Ep[E（~Gθ，β）（T）E（~Hθ，β）（T）]=1。设FLT是由L到时间T生成的σ-代数，那么我们得到EP[E（~Gθ，β）（T）E（~Hθ，β）（T）]=EP[E[E（~Gθ，β）（T）|FLT]E（~Hθ，β）（T）]。如果我们证明EP[E（~Gθ，β）（T）|FLT]≡ 1，那么我们就完成了，因为根据Benthand Ortiz-Latorre[9]中的定理3.10，我们得到E（~Hθ，β）是真鞅，因此EP[E（~Hθ，β）（T）]=1。证明的思想基于这样一个事实，即EP[E（~Gθ，β）（T）|FLT]是E（~Gθ，β）（T）的期望值，假设σ（T）是一个确定性函数，除此之外，它的下限是σ（0）E-ρt。

利用这个信息，我们可以证明，在知道σ的条件下，E（~Gθ，β）是真鞅，因此EP[E（~Gθ，β）（T）]=1。让我们简略地给出与[9]第3.1节基本相同的证明，但现在，σ是一个函数。首先，我们证明了，在FLT条件下，~Gθ，β是一个平方可积p-鞅，因为[Gθ，β）|FLT]=EP[ZTσ-2（t）（θ+αβX（t））dt | FLT]≤ 2σ(0)-2e2ρTθT+αEP[ZTX（T）dt]< ∞,（见[9]中的提案3.6.）。为了证明E（~Gθ，β）是[0，T]上的P-鞅，我们考虑了停止时间{τn}n的约化序列≥1对于E（~Gθ，β），按照[9]中的定理3.7，我们定义了概率测度序列{Qnθ，β}n≥1氡Nykodim密度由dqnθ，βdP给出Ft，E（~Gθ，β）τn（t），t∈ [0，T]，n≥ 1.做与[9]中定理3.7相同的推理，我们将问题简化为证明SUPN≥1EQnθ，β[ZT[0，τn]（Gθ，β（t））dt]<∞.商品的BNS模型中的一个度量变化7Now，one hasEQnθ，β[ZT[0，τn]（Gθ，β（t））dt]≤ 2σ(0)-2e2ρTθT+αEQnθ，β[ZT[0，τn]X（T）dt].为了约束上一个表达式中的最后一个期望，我们使用了已知X（t）的动力学∈ [0，τn]在Qnθ，β下，这是通过设置s=0和t<τn从方程（3.6）中获得的。因此，我们可以写出Qnθ，β[ZT[0，τn]（t）X（t）dt]≤ 2（EQnθ，β[ZT[0，τn]（t）X（0）e-α(1-β） t+θα（1）- β)1.- E-α(1-β） tdt]+EQnθ，β[ZT[0，τn]（t）Ztσ（s）e-α(1-β） （t）-s） dWQnθ，β（s）[dt]）≤ 2T{（|X（0）|+（|θ|）T）+σ（0）-2e2ρTT}<∞.这里，我们使用函数η（x），（1- E-xa）/x≤ a代表x，a代表≥ 0，这等于θ，β[Ztσ（s）e-α(1-β） （t）-s） dWQnθ，β（s）]= σ(0)-2e2ρTZte-2α(1-β） （t）-s） ds≤ σ(0)-2e2ρTT。定理如下。我们还得到了测量值改变后驱动噪声过程独立性的以下结果：引理3.5。在Q′θ、β下，布朗运动WQ′θ、β和随机测度NLQ′θ、β是独立的。证据

为了证明WQ′θ、’β和NLQ′θ、’β在Q′θ、’β下的独立性，证明eq′θ、’β[exp（ikXj=1）是足够的ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））]EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ξjZtjZ∞对于任意uj，ξj∈ R、 j=1。。。，k和0≤ t<t<··<tk-1<tk≤ 我们将使用以下符号：给定一个进程Z={Z（T）}T∈[0，T]我们将用jZ=Z（tj）- Z（tj-1） ，j=1。。。，k、 其中t=0，按惯例。

我们有等式θ，β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= EP[E（~Gθ，β+~Hθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= EP[EP[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））|FLtk]E（~Hθ，β）（tk）exp（ikXj=1ξjZtjZ∞zNLQθ，β（ds，dz））、8 BENTH和ORTIZ LATORREandEP[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQθ，β（tj））| FLtk]=EP[E（~Gθ，β）（tk）-1） 特快（Ztktk）-1Gθ，β（s）dW（s）-Ztktk-1Gθ，β（s）ds）×exp（ik）-1Xj=1ujWQ′θ，β（tj）+iukWQ′θ，β（tk-1） +iukWQ′θ，β）|FLtk]=EP[E（~Gθ，β）（tk-1） 经验（ik）-1Xj=1ujWQ′θ，β（tj）+iukWQ′θ，β（tk-1） ）×EP[exp（Ztktk-1Gθ，β（s）dW（s）-Ztktk-1Gθ，β（s）ds+iuk千瓦-Ztktk-1Gθ，β（s）ds！）|FLtk∨ FWtk-1] | FLtk]。此外，使用与定理3.4证明中使用的参数类似的参数，我们得到了exp（Zt（Gθ，β（s）+iuk）dW（s）-Zt（Gθ，β（s）+iuk）ds）是一个FLtk∨ FWt鞅，然后我们得到ep[exp（Ztktk）-1Gθ，β（s）dW（s）-Ztktk-1Gθ，β（s）ds+iuk千瓦-Ztktk-1Gθ，β（s）ds！）|FLtk∨ FWtk-1] =e-ukktEP[exp（Ztktk-1（Gθ，β（s）+iuk）dW（s）-Ztktk-1（Gθ，β（s）+iuk）ds）|FLtk∨ FWtk-1] =e-ukkt。因此，EP[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））|FLtk]=E-ukktEP[E（~Gθ，β）（tk）-1） 经验（ik）-1Xj=1ujWQ′θ，β（tj）+iukWQ′θ，β（tk-1） ）| FLtk]。重复前面的调节技巧，我们得到ep[E（~Gθ，β）（tk）exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））|FLtk]=exp-kXj=1kXq=juqjt.因此，等式θ，β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，′β（tj）+ξjZtjZ∞z~NLQ′θ，β（ds，dz）)]= 经验-kXj=1kXq=juqjt等式θ，β[exp（ikXj=1ξjZtjZ∞另一方面，商品9的BNS模型中度量的变化，EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））=EQ′θ，’β[exp（ikXj=1ujWQ′θ，’β（tj））=EQ′θ，’β[exp（ikXj=1kXq=juqjWQ′θ，′β）]=exp-kXj=1kXq=juqjt,我们可以得出证据。电力市场的一个特殊性是，电力是一种不可储存的商品，因此不是一种可直接交易的金融资产。这意味着我们无法从经典的买入并持有套期保值理论中推导出电力的远期价格。

使用风险中性定价论证（见Benth，ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]），在确定性利率假设下，时间0的远期价格≤ t、 交货期为t，交货期为t≤ T<T*, 由FQ（t，t）给出，等式[S（t）| Ft]。在这里，Q是相当于历史测度P和Ftis的任何概率测度，即截至时间t的市场信息。在下文中，我们将使用上面介绍的概率测度Q=Q′θ，’β，并让现货价格动态根据（2.2）-（2.3）中的过程X（t）和σ（t）给出。这将为我们提供一类参数化的保结构概率测度，扩展Esscher变换，但从定价的角度来看，仍然可以合理地进行分析。我们对定价指标的选择也可以应用于温度期货市场，其中基础“资产”是在某个位置测量的温度指数。温度显然是不可交易的。温度数据中存在均值回归和随机波动的经验证据，见Benth和ˇSaltyt˙e Benth[3]。另一个例子是运价市场，“现货”通常是根据交易者的意见确定的指数。见Benth、Koekebakker和Taib[8]，了解货运率现货数据的随机建模，模型形式为（2.2）-（2.3）。石油和天然气通常可以储存，人们可以通过包括储存和运输成本以及便利收益率（参见Eydeland and Wolynice[11]和Geman[13]）来建立远期定价模型。然而，在这种情况下，我们也可以使用概率度量Q=Q′θ，’β作为定价度量的参数类。首先，在这些市场中，标的现货资产不需要是定价测度下的（局部）鞅，尽管这些资产是可交易的，因为存在产生市场不完整性的摩擦。

其次，概率测度为风险溢价建模提供了一种灵活的方法（我们将在下文中看到），因此可能比直接描述便利收益率动态的模型更具吸引力，例如（此类模型见Eydeland and Wolynice[11]）。请注意，在Benth[2]中，（2.2）-（2.3）给出的现货amodel已被证明能合理地反映天然气价格。我们注意到，在电力市场中，基础电力的输送在一段时间[T，T]内进行，其中0<T<T<T*. 我们称这种合约为交换合约，我们将在时间t表示它们的价格≤ TbyFQ（t，t，t），等式T- TZTTS（T）dT | Ft.我们可以使用随机富比尼定理来关联远期和掉期价格fq（t，t，t），t- TZTTFQ（t，t）dT。具有固定交货时间的远期价格的风险溢价由以下表达式RFQ（t，t），等式[S（t）| Ft]确定：- EP[S（T）| Ft]，以及按SQ（T，T，T）和FQ（T，T，T）计算的掉期价格- EQ[T- TZTTS（T）dT | Ft]10 BENTH和ORTIZ LATORREIt很容易看出rsq（T，T，T）=T- TZTTRFQ（t，t）dT。风险溢价衡量发电商（卖方）必须接受的价格折扣，与预计的现货交货价格相比。我们将使用风险溢价来分析我们的措施变化对远期价格的影响，并结合电力市场的典型事实来讨论这些影响。4.算术现货模型我们有兴趣应用之前的概率度量变化来研究隐含风险溢价。我们要考虑的第一个现货价格模型是算术模型。我们用s（t）=∧a（t）+X（t），t来定义算术现货价格模型∈ [0，T*], （4.1）其中T*> 0是一个固定的时间范围。假设∧ais过程是确定性的，它解释了在现货价格中观察到的季节性。

我们顺便注意到，这类模型已被几位作者考虑用于各种能源市场。对于电力市场，我们参考Lucia和Schwartz[20]，对于没有随机波动性的温度衍生品，我们参考Dornier和Querel[10]。最近，Benth，ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]对能源市场中的算术模型进行了一般性讨论（参见Garcia，Kl¨uppelberg和M¨uller[12]对电力市场的讨论），以及Benth，ˇSaltyt˙e Benth[3]对具有随机波动性的温度市场的讨论。为了计算该模型中与之相关的远期价格和风险溢价，我们需要知道在P和Q下S（即X和σ）的动力学。P下X和σ的显式表达式分别由方程（2.4）和（2.5）给出。在本节的其余部分中，Q=Q′θ，’β，’θ∈\'DL，\'β∈ [0,1]由（3.3）定义，Q下X和σ的显式表达式分别在备注3.3、等式（3.6）和（3.7）中给出。提议1。算术现货模型4.1中的远期价格FQ（t，t）由FQ（t，t）=∧a（t）+X（t）e给出-α(1-β） （T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （T）-t） ）。证据通过方程（3.6）并利用条件期望的基本性质，我们得到fq（t，t）=EQ[S（t）|Ft]=∧a（t）+X（t）e-α(1-β） （T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （T）-t） ）+EQ[ZTtσ（s）e-α(1-β） （T）-s） dWQ（s）|英尺]。因此，证明如下：σ（t）eα（1-β） B到L(Ohm ×[0，T]，Q dt）因为Rtσ（s）eα（1-β） sdWQ（s）是一个Q-鞅和Q[ZTtσ（s）e-α(1-β） （T）-s） dWQ（s）| Ft]=e-α(1-β） TEQ[ZTtσ（s）eα（1-β） sdWQ（s）| Ft]=0。利用Q下σ的动力学，见等式（3.7），我们得到等式[σ（t）]=σ（0）e-ρ(1-β） t+κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β） t）+EQ[ZtZ∞E-ρ(1-β） （t）-s） zNLQ（ds，dz）]≤ 商品BNS模型中的σ（0）+κL（θ）tA度量变化11因为∞E-ρ(1-β） sz~NLQ（ds，dz）是一个从0开始的Q-鞅，参见Benth和Ortizlatore[9]中的引理4.3。

因此，EQ[ZTσ（t）e2αtdt]=ZTEQ[σ（t）]e2αtdt≤ZTσ（0）+κL（θ）te2αtdt≤ Tσ（0）+κL（θ）Te2αT<∞,我们可以得出结论。利用前面关于远期价格的结果，我们得到以下风险溢价公式。定理4.1。在算术现货模型（4.1）中，远期价格的风险溢价RFQ（t，t）为YRFQ（t，t）=X（t）e-α（T）-（t）αe（β-（t）- 1.+θα(1 - β)(1 - E-α(1-β） （T）-t） ）。我们现在更详细地分析了各种情况下的风险溢价。4.1. 关于风险溢价的讨论。这种测量变化的第一个显著特点是，它只取决于改变均值回归速度和水平的参数，即θ和β。此外，如果θ=β=0，我们有RFQ（t，t）≡ 无论θ和β的值是多少，这意味着，在算术模型中，我们可以对波动性属性有非常不同的定价措施，并且风险溢价为零。换句话说，存在一个未经规划的波动性成分，仅通过观察远期曲线是无法解释的。其次，只要参数β6=0，风险溢价是随机的。请注意，当β=（0，0）时，我们的度量变化与埃舍尔变换一致。在埃舍尔的情况下，风险溢价有一个确定性的演化过程，给定fq（t，t）=θα（1）- E-α（T）-t） ），（4.2）一个已知的结果，见Benth[2]。从现在起，我们将改写关于到期时间τ=T的风险溢价表达式- 稍微滥用符号，我们将编写RFQ（t，τ），而不是RFQ（t，t+τ）。我们在历史测度P下提取模型的参数，即α和ρ，并根据测度参数的变化研究fq（t，τ）的可能符号，即β=（β，β）和θ=（θ，θ）以及时间成熟度τ。实际上，我们只是改变θ和β，因为风险溢价并不取决于θ和β的值。

注意，当前时间t只是通过随机分量X进入画面，而不是通过波动过程σ（t）。我们将分别研究θ=0，β=0和一般情况。此外，为了以图形方式说明讨论，我们绘制了假设隶属度L是跳跃强度c/λ>0的复合泊松过程和平均λ的指数跳跃大小的风险溢价曲线。也就是说，L将具有示例3.1中给出的L’evy度量。Weshall测量到期时间τ（以天为单位），并绘制τ的RFQ（t，τ）∈ [0360]，大约一年。我们计算以下参数的值α=0.127，ρ=1.11，c=0.4，λ=2。因子α的平均回复速度产生的半衰期为log（2）/0.127=5.47天，而波动率ρ的平均回复速度产生的半衰期为log（2）/1.11=0.65天（关于半衰期的概念，参见Benth、ˋSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]）。c和λ的值给出了平均值为0.5的跳跃，以及每月波动率出现5次峰值的频率。均值回归速度的值可从Benth[2]对英国天然气现货价格进行的实证分析中获得。下面的引理将有助于讨论。12 BENTH和ORTIZ LATORRELemma 4.2。我们有rfq（t，τ）=X（t）e-ατeαβτ- 1.+θα(1 - β)(1 - E-α(1-β)τ) .此外，limτ→∞RFQ（t，τ）=θα（1）- β） ，和limτ→0τRFQ（t，τ）=X（t）αβ+θ。证据在定理4.1中，很容易得到RFQ（t，τ）的表达式。o 改变均值回归水平（Esscher变换）：设置β=0，概率度量Q只改变因子X的均值回归水平（在历史度量P下假定为零）。另一方面，风险溢价是确定性的，不能随着市场条件的变化而变化。

从方程（4.2）中，我们得到RFQ（t，τ）的符号对于任何时间到成熟度τ都是相同的，并且它等于θ的符号。见图1a和1b改变均值回归的速度：设置θ=0，概率测度Q只改变因子X的均值回归速度。注意，在这种情况下，风险溢价是随机的，它随市场条件而变化。通过引理4.2，我们得到风险溢价由fq（t，τ）=X（t）e给出-ατeαβτ- 1.,带RQ（t，τ）→ 0，因为成熟时间τ趋于完整。另一方面，我们有thatlimτ→0τRFQ（t，τ）=X（t）αβ。因此，风险溢价将在市场长期内消失。在短端，它可以是正的或负的，并且随X（t）随机变化。参见图1c，其中短端X（t）的影响明显表现为（从零）风险溢价的大幅增加。X（t）的负值将导致向下的风险溢价，然后收敛到零同时改变均值回归的水平和速度：在一般情况下，我们可以通过选择θ<0但接近于零，以及β接近于1（假设X（t）为正），在正向曲线的短端获得正值，在长端获得负值的风险溢价。参见图1d。我们从Geman[13]中回忆起，在电力远期市场的短端，存在正风险溢价的经验和经济证据，而在长端，人们预计风险溢价的迹象为负，这是期货市场的典型情况。备注4.3。请注意，为了获得风险溢价的符号变化，必须同时改变均值回归的水平和速度，见图1d。仅使用埃舍尔变换或仅修改因子均值回归的速度，不可能得到符号变化。5.