BNS模型中保持仿射结构的测度变换

几何现货模型现货价格的第二个模型是几何模型。我们通过s（t）=∧g（t）exp（X（t）），t来定义几何现货价格模型∈ [0，T*], （5.1）其中T*> 0是一个固定的时间范围。假设∧gis过程是确定性的，它解释了在现货价格中观察到的季节性。远期和掉期合约的定义与算术模型类似。提议2。几何现货模型（5.1）中的远期价格FQ（t，t）由FQ（t，t）=∧g（t）expX（t）e给出-α(1-β） （T）-t） +σ（t）e-ρ(1-β） （T）-t） 一,- E-(2α-ρ(1-β） ）（T-t） 2（2α）- ρ(1 - β))!在350磅每平方米300磅每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方米每平方！\"(A)θ=0.3,β=0.050 100 150 200 250 300 350\"4\"224R(B)θ=-0.3，β=0.050 100 150 200 250 300 t“4”224R！\"(C)θ=0.0,β=0.950 100 150 200 250 300 350\"4\"224R!(D)θ=-0.04，β=0.9图1。当L是一个具有指数分布跳跃的复合泊松过程时的风险溢价。取ρ=1.11，α=0.127，λ=2，c=0.4，X（t）=2.5，σ（t）=0.25。×expκL（θ）2ρ（1）- β)1 - E-2α（T-t） 2α- E-ρ(1-β） （T）-t） 一,- E-(2α-ρ(1-β） ）（T-t） （2α）- ρ(1 - β))!!×expθα(1 - β)(1 - E-α(1-β） （T）-t） )×EQ经验E-2αTZTte（2α-ρ(1-β） ）sZstZ∞eρ（1）-β） uzNLQ（du，dz）ds|英尺在特殊情况下，它认为fp（t，t）=∧g（t）expX（t）e-α（T）-t） +σ（t）e-ρ（T）-t） 一,- E-(2α-ρ） （T）-t） 2（2α）- ρ)!×expZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds！。证据用FLTT表示从过程L到时间t生成的西格玛代数。

然后，我们得到了EQ[S（T）|Ft]=∧g（T）EQ[exp（X（T））|Ft]=∧g（T）expX（t）e-α(1-β） （T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （T）-（t）×EQ经验ZTtσ（s）e-α(1-β） （T）-s） dWQ（s）|英尺14 BENTH和ORTIZ-LATORRE=∧g（T）expX（t）e-α(1-β） （T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （T）-（t）×EQ情商经验ZTtσ（s）e-α（T）-s） dWQ（s）|外语教学∨ 英尺|英尺= ∧g（T）expX（t）e-α(1-β） （T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （T）-（t）×EQ经验ZTtσ（s）e-2α（T-s） ds|英尺.另一方面，对于s>t，σ（s）的动力学可以写成σ（s）=σ（t）e-ρ(1-β） （s）-t） +κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β） （s）-t） ）+ZstZ∞E-ρ(1-β） （s）-u） zNLQ（du，dz）。然后，我们得到eq[S（T）|Ft]=∧g（T）expX（t）e-α(1-β） （T）-t） +θα（1）- β)(1 - E-α(1-β） （T）-（t）×EQ经验ZTt{σ（t）e-ρ(1-β） （s）-t） +κL（θ）ρ（1）- β)(1 - E-ρ(1-β） （s）-t） ）+ZstZ∞E-ρ(1-β） （s）-u） zNLQ（du，dz）}e-2α（T-s） ds|英尺= ∧g（T）expX（T）e-α(1-β） （T）-t） +σ（t）e-ρ(1-β） （T）-t） 一,- E-(2α-ρ(1-β） ）（T-t） 2（2α）- ρ(1 - β))!×expκL（θ）2ρ（1）- β)1 - E-2α（T-t） 2α- E-ρ(1-β） （T）-t） 一,- E-(2α-ρ(1-β） ）（T-t） （2α）- ρ(1 - β))!!×expθα(1 - β)(1 - E-α(1-β） （T）-t） )×EQ经验E-2αTZTte（2α-ρ(1-β） ）sZstZ∞eρ（1）-β） uzNLQ（du，dz）ds|英尺现在，考虑到NLQ（du，dz）对Q=P有独立的增量，使用Fubini定理的随机版本和泊松随机测度的指数矩公式，我们得到了经验E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuz~NL（du，dz）ds|英尺= EP经验E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuzNL（du，dz）ds×exp-E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuz`（dz）duds= EP“expZTtZ∞E-ρ（T）-u） 一,- E-(2α-ρ（T）-u） 2（2α）- ρ） zNL（du，dz）#×exp-E-2αTκL（0）2ρZTte（2α-ρ） seρs- eρtds商品BNS模型的计量变化15=expZTtZ∞花费-ρ（T）-u） 一,- E-(2α-ρ） （T）-u） 2（2α）- ρ） z！- 1!`杜！×exp-E-2αTκL（0）2ρe2αT- e2αt2α-e2α-Te-ρ（T）-（t）- e2αt2α- ρ!!= expZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds！×exp-κL（0）2ρ1- E-2α（T-t） 2α+e-2α（T-（t）- E-ρ（T）-t） 2α- ρ!!.在上一个等式中，我们使用了κL（θ）的定义和变量s=T的变化- U

最后，将前面的表达式与Q=P的EQ[S（T）|Ft]的表达式相结合，即β=β=θ=θ=0，我们得到了结果备注5.1。注意，等式[S（T）]可以是有限的。在Q=P的情况下，如果ΘL=∞, 然后EP[S（T）]<∞.然而，如果∞, 然后EP[S（T）]<∞ 如果且只有ifZTκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds<∞. （5.2）条件（5.2）对模型α，ρ和ΘL的参数施加了一些限制。对于α，ρ>0，考虑函数Υα，ρ（t）=e-ρt1-E-(2α-ρ） t2（2α）-ρ） ，t>0。很容易看出，这个函数是严格正的，并且在t时达到最大值*= - 对数（ρ/2α）/（2α）- ρ） 值为α，ρ（t*) =2ρρ2α1.-ρ2α.然后，自然地对模型参数施加以下假设，以确保所有T>0的条件（5.2）都满足：假设2（P）。我们假设α，ρ>0和ΘLsatisfy2ρρ2α1.-ρ2α≤ ΘL- δ、 对于某些δ>0的情况。显然，如果ΘL=∞ 然后假设P满足。假设ΘL<∞, 然后，如果我们选择ρ接近零，α的值必须有界远离零，反之亦然，以满足假设P。几何情况下的风险溢价变成：定理5.2。几何现货模型（5.1）中远期价格的风险溢价RFQ（t，t）为YRFQ（t，t）=EP[S（t）| Ft]nexpX（t）e-α（T）-t） （e）αβ（t-（t）- 1)×expσ（t）e-ρ(1-β） （T）-t） 一,- E-(2α-ρ(1-β） ）（T-t） 2（2α）- ρ(1 - β))- E-ρ（T）-t） 一,- E-(2α-ρ） （T）-t） 2（2α）- ρ)!!×expκL（θ）2ρ（1）- β)1 - E-2α（T-t） 2α- E-ρ(1-β） （T）-t） 一,- E-(2α-ρ(1-β） ）（T-t） （2α）- ρ(1 - β))!!×expθα(1 - β)(1 - E-α(1-β） （T）-t） )×exp-ZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds！16 BENTH和ORTIZ-LATORRE×EQ经验E-2αTZTte（2α-ρ） sZstZ∞eρuzNLQ（du，dz）ds|英尺- 1.证据这紧跟着命题2。几何情况下的风险溢价变得很难分析，因为上一项中存在条件检验，涉及到关于Q的跳跃过程NLQ。

在本节剩余部分中，我们将利用模型的精细结构来分析风险溢价。5.1. 基于财务结构的风险溢价分析。计算EQ[S（T）|Ft]的另一种方法是使用Z=（Z（T），Z（T））>=（σ（T），X（T））>的精细结构，它可以提供半显式表达式。设∧′θ，′βi（u），i=0，1，2为与备注3.2中的特性相关的L′evy指数，即∧′θ，′β（u，u）=β>u+u>γu+Z（euz+uz）- 1.- 乌兹- uz）~n（dz）=κL（θ）u+θu+Z∞（嗯- 1.- uz）eθz`（dz）=θu+κL（u+θ）- κL（θ）∧′θ，′β（u，u）=β>u+u>γu+Z（euz+uz）- 1.- 乌兹- uz）~n（dz）=-ρ(1 - β） u+u+ρβκL（θ）Z∞（嗯- 1.- uz）zeθz`（dz）=-ρu+u+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ），λ′θ，β（u，u）=β>u+u>γu+Z（euz+uz）- 1.- 乌兹- uz）~n（dz）=-α(1 - β） u.我们发现：定理5.3。设β=（β，β）∈ [0, 1],θ = (θ, θ) ∈“DL。假设存在满足广义Riccati方程ddtψ′θ，βi，i=0，1，2的C（[0，T]；R）函数-ρψ′θ，β（t）+（ψ′θ，β（t））+ρβκL（θ）（κL（ψ′θ，β（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（0）=1，滴滴涕ψ′θ，β（t）=θψ′θ，β（t）+κL（ψ′θ，β（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，β（0）=0，（5.3）和可积性条件∈[0，T]κL（θ+ψ′θ，′β（T））<∞. （5.4）那么，等式[exp（X（T））|Ft]=expψ′θ，′β（T- t） +ψ′θ，′β（t- t） σ（t）+ψ′θ，′β（t）- t） X（t）,andRFQ（t，t）=EP[S（t）|Ft]（5.5）×expψ′θ，’β（t）- （t）-ZT-tκLe-ρs1- E-(2α-ρ） s2（2α）- ρ)!ds+ψ′θ，′β（T- （t）- E-ρ（T）-t） 一,- E-(2α-ρ） （T）-t） 2（2α）- ρ)!σ（t）商品BNS模型中的计量变化17+ψ′θ，′β（T- （t）- E-α（T）-（t）X（t）- 1o。证据这个结果是Kallsen和Muhle Karbe[18]中定理5.1的结果：改变变量t→ T- t、 ODE（5.3）缩减为第2项中的ODE。三,。理论上的。Kallsen和Muhle Karbe[18]中有1例。可积性假设（5.4）包含条件1。

5。，在定理5.1和条件4中。因为σ（0）和X（0）是确定性的，所以同样的定理也很容易满足。因此，Kallsen和Muhle Karbe[18]中定理5.1的结论成立，p=（0，1），我们得到[exp（X（T））|Ft]=expψ′θ，′β（T- t） +ψ′θ，′β（t- t） σ（t）+ψ′θ，′β（t）- t） X（t）, T∈ [0，T]。（5.6）风险溢价的结果现在很容易得出。这里有几句话。备注5.4。如前所述，定理5.3的适用性相当有限。这是因为，如果存在满足方程（5.3）的C（[0，T]；R）的函数ψ′θ，’βi，i=0,1,2，很难先验地看到这一事实。我们必须研究方程（5.3）解的存在性和唯一性，以及将解推广到任意大T>0的可能性。我们在定理5.7中研究这个问题。备注5.5。请注意，以前的自治ODE系统可以有效地简化为一维非自治ODE。对于任何θ，我们都有∈\'DL，\'β∈ [0,1]，第二个方程的解由ψ′θ，′β（t）=exp给出(-α(1 - β） t）。将此解代入第一个方程，我们得到以下方程，用于求解ψ′θ，\'-β（t）ddtψ′θ，\'-β（t）=-ρψ′θ，′β（t）+e-2α(1-β） t+ρβκL（θ）（κL（ψ′θ，’β（t）+θ）- κL（θ）），（5.7），初始条件ψ′θ，′β（0）=0。通过积分∧θ、β（ψθ、β（t）、ψθ、β（t），即ψ′θ、β（t）=Zt{θψθ、β（s）+κL（ψ′θ、β（s）+θ，求解ψ′θ、β（t）方程- κL（θ）}ds=θ1- E-α(1-β） tα（1）- β） +Zt{κL（ψ′θ，′β（s）+θ）- κL（θ）}ds。正如我们已经指出的，我们通常无法找到敖德辛定理5.3系统的显式解，必须依赖数值技术。然而，主要问题是确保全球解决方案的存在性和唯一性。在陈述我们关于这个问题的主要结果之前，我们先介绍一些符号和一个技术引理。引理5.6。

设∧θ，β，a:[0，ΘL]- θ) → R为∧θ，β，a（u）=-ρu+a+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），（5.8），其中≥ 0, (θ, β) ∈ DL×（0，1）并考虑setDb（a）={（θ，β）∈ DL×（0,1）：U∈ [0，ΘL- θ） s.t.∧θ，β，a（u）≤ 0}.然后，我们有：（1）对于任何（θ，β）∈ DL×（0，1），函数∧θ，β，a（u）存在一个唯一的全局极小值，该极小值在μm（θ，β）处达到=κL-1.κL（θ）β- θ、 （5.9）18 BENTH和ORTIZ LATORREwith值∧θ，β，a（um（θ，β））=-ρκL-1.κL（θ）β- θ+ a（5.10）+ρβκL（θ）（κL）(κL-1.κL（θ）β) - κL（θ））.（2） 函数∧θ，β，a（u）在（0，um（θ，β））中严格递减，在（um（θ，β），ΘL中严格递增-θ).（3） 对于θ∈ DL fixed，有一个是um（θ，β）↑ ΘL- θ当β↓ 0和um（θ，β）↓ 当β↑ 1.（4）集合Db（a）与集合{（θ，β）重合∈ DL×（0，1）∧θ，β，a（um（θ，β））≤ 0}.此外，对于a>0，我们有以下结果：（a）如果θ∈ 是这样的θ>ΘL- a/ρ然后@β∈ （0，1）使得（θ，β）∈ Db（a）。（b） 如果θ∈ d等于θ<ΘL- a/ρ则存在唯一的0<βm<1，使得∧θ，β，a（um（θ，βm））=0，（5.11）和所有β∈ [0，βm]一个人有（θ，β）∈ Db（a）。（5） 对于（θ，β）∈ Db（a），a>0存在∧θ，β，a（u）的唯一零，用ua（θ，β）表示。作为β的函数，ua（θ，β）在[0，βm]上定义得很好，严格地说是递增的，ua（θ，0）=a/ρ，ua（θ，βm）=um（θ，βm）。证据证明1.：根据备注2.2，我们得到了ddu∧θ，β，a（u）=-ρ+ρβκL（u+θ）κL（θ），ddu∧θ，β，a（u）=ρβκL（u+θ）κL（θ）>0，这意味着存在唯一的0<u*（θ，β）<ΘL- θ代表θ∈ DLandβ∈ （0，1）使得∧θ，β，a（u）达到全局最小值。事实上，美国*（θ，β）solves1=βκL（u+θ）κL（θ）。此外，通过注释2.2，我们再次得出，κL（u）是一个严格递增函数，因此，它有一个定义良好的逆（κL）-1（v）分别由方程（5.9）和（5.10）给出，得到um（θ，β）和∧θ，β，a（um（θ，β））。证据2。

：它来自于ddu∧θ，β，a（u）<0，u的事实∈ （0，um（θ，β））和ddu∧θ，β，a（u）>0，（um（θ，β），ΘL- θ).证明3.：它源于κL（u）的单调性和um（θ，β）givenby方程（5.9）的显式表达式。注意，作为β的函数，um（θ，β）是（0，1）中严格递减的连续函数。证据4。和5.：对于任何θ∈ DL，注意- ρu，λθ，0，a（u）≤ ∧θ，β，a（u），β∈ （0,1），u∈ [0，ΘL- θ） 和∧θ，0，a（u）>0如果u∈ （0，a/ρ）。因此，如果θ>ΘL- a/ρ然后∧θ，β，a（u）>0，u∈ [0，ΘL- θ） 任何β∈ (0, 1). 另一方面，如果θ<ΘL- a/ρ我们有a/ρ∈ [0，ΘL- θ). 此外，定义函数F（u，β）=∧θ，β，a（u），并考虑到F（a/ρ，0）=0，uF（u，β）（u，β）=（a/ρ，0）=-ρ+ρβκL（u+θ）κL（θ）（u，β）=（a/ρ，0）=-ρ<0，商品的BNS模型中度量的变化19我们可以将隐函数定理应用于方程F（u，β）=0，以确保存在一个（A/ρ，0）的高阶u，其中我们可以将u=ua（β），F（u，β）=0的根，作为β的函数。此外，在美国，我们有βua（β）=-βF（ua（β），β）uF（ua（β），β）=-ρκL（θ）（θ+κL（ua（β））- κL（θ））-ρ+ρβκL（ua（β）+θ）κL（θ）=ua（β）RκL（θ+λua（β））dλκL（θ）- βκL（θ+ua（β）），只要β<κL（θ）κL（θ+ua（β））为正。这表明ua（β）是β对β的明确且严格递增的函数∈ [0，βm]，其中βm是方程∧θ，β，a（um（θ，βm））=0的根。此外，ua（0）=a/ρ，ua（βm）=uma（θ，βm）。如果∧θ，β，a（um（θ，β））<0，u（θ，β）的存在性来自Bolzano定理，唯一性来自∧θ，β，a（u）在（0，um（θ，β））中严格递减的事实。现在我们可以陈述我们的主要结果：定理5.7。If（θ，β）∈ Db（1/2）和（θ，β）∈ R×[0，1）然后（ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t））areC（[0，t]；R）对于任何t>0。

此外，（ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t））-→θα(1 - β） +Z∞{κL（ψ′θ，\'-β（t）+θ）- κL（θ）}ds，0,0, T→ ∞,安德特-1日志（ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（t））→ γ、 t→ ∞,式中γ=-α(1 - β） 或γ=-ρ(1 - β） 。证据首先，回想一下备注5.5，即定理5中颂歌系统的存在性和唯一性。3可以简化为一维非自治方程（5.7）的存在性和唯一性。我们必须研究与时间相关的向量场∧θ，β（t，u），-ρu+e-2α(1-β） t+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），β∈ (0, 1),θ ∈“DL。考虑d（∧θ，\'-β），int（{u∈ R:△θ，β（t，u）<∞}) = int（{u∈ R：κL（u+θ）<∞}) = (-∞, ΘL- θ） ，以及定义的int（\\\'\'β∈(0,1)],θ∈\'DLD（∧θ，\'β））=(-∞, ΘL- ΘL/2）=(-∞, ΘL/2）。另一方面，对于u，v∈ D（∧∧θ，\'β），有一个∧θ，β（t，u）-∧θ，β（t，v）≤ ρ| u- v |+ρβκL（θ）Z∞|尤兹- evz | zeθz`（dz），and z∞|尤兹- evz | zeθz`（dz）≤ |U- v|Z∞e（u）∨v+θ）zz`（dz），此外，注意int（{u∈ R:Z∞ze（u+θ）z`（dz）<∞}) = (-∞, ΘL- θ） =D（∧∧θ，β）。20 BENTH和ORTIZ Latorrence，向量场∧∧θ，β（t，u），θ∈\'DL，\'β∈ [0,1]定义明确（即定义明确），局部为Lipschitzin D（∧）。然后，根据Picard-Lindel¨of定理（见Hale[16]第18页定理3.1），我们得到了ψ′θ，′β（t）的局部存在性和唯一性，其中ψ′θ，′β（0）=0∈ D（∧∧）。让我们考虑自治向量场∧∧θ，β（u），-ρu++ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），β∈ (0, 1), θ∈ DL。那么，作为∧∧θ，β（u）-∧θ，β（t，u）=（1）- E-2α（t）≥ 0，为你≥ 0，使用一个比较定理，我们得到与∧θ，β（t，u）相关联的常微分方程的解，从0开始，由与∧θ，β（u）相关联的常微分方程的对应解所限定，我们将用∧θ，β（t）表示。通过外稃5。6，如果（θ，β）∈ Db（1/2）存在唯一的2/ρ<u1/2（θ，β）≤ μm（θ，β），使得∧∧θ，β（u）>0，对于u∈ （0，u1/2（θ，β））和^∧θ，β（u1/2（θ，β））=0。

这就产生了解^ψθ，β（t）的定义∈ [0, +∞) 单调收敛到u1/2（θ，β），这是∧θ，β（u）的一个驻点。因此，解ψ′θ，′β（t）以u1/2（θ，β）为界，并定义为t∈ [0, +∞). 为了证明实际上ψ′θ，’β（t）收敛于零，可以方便地观察二维系统ddtψ′θ，’β（t）=-ρψ′θ，β（t）+（ψ′θ，β（t））+ρβκL（θ）（κL（ψ′θ，β（t）+θ）- κL（θ），ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，′β（t），ψ′θ，′β（0）=1，（5.12）以及相应的向量场∧′θ，′β（u，u）=-ρu+u+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），λ′θ，′β（u，u）=-α(1 - β） 注意，（u，u）=（0，0）是一个驻点，当u>0时，∧θ，’β（0，u）>0，当u>0时，∧θ，’β（u，0）=0，当u>0时，∧θ，’β（u，u）<0。因此，区域S′θ，′β={（u，u）：0≤ u<ΘL- θ, 0 ≤ U≤ 1} 对于这个向量场是不变的，也就是说，一个进入S′θ、β的解不能离开S′θ、β。此外，我们还发现，在u=0线处计算的向量场∧θ，β（u，u）的形式为∧θ，β（u，0）=-ρu+ρβκL（θ）（κL（u+θ）- κL（θ）），即∧θ，β（u，0）=∧θ，β，0（u）。通过引理5.6，可以得出∧θ，β（u，0）=∧θ，β，0（u）<0，对于u∈ （0，um（θ，β））。另外，如果（θ，β）∈ D（1/2），我们有u1/2（θ，β）<um（θ，β）。这意味着∧′θ，’β（u，0）<0表示u∈ （0，u1/2（θ，β）），可以扩展到（u，u）∈（0，u1/2（θ，β））×（0，δ），R′θ，′β（δ），对于某些0<δ<1。注意，R′θ，′β（δ）在驻点（0，0）的吸引域内。作为ψ′θ，′β（t）=e-α(1-β） tandψ′θ，β（t）<u1/2（θ，β），我们有（ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（t））∈ 对于t>-对数（δ）α（1）-β） 因此，当t趋于一致时，它收敛到（0，0）。

注意，我们可以将系统（5.12）视为一个扰动线性系统，即ddtψ′θ，′β（t）=-ρ(1 - β） ψ′θ，β（t）+G（ψ′θ，β（t），ψ′θ，β（t）），ψ′θ，β（0）=0，滴滴涕ψ′θ，β（t）=-α(1 - β） ψ′θ，’β（t）+G（ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t）），ψ′θ，’β（0）=1，其中G（u，u）=u+ρβκL（θ+λu）dλdλ）u，G（u，u）=0，商品BNS模型中的度量变化21andlim（u，u）→（0,0）（G（u，u），G（u，u））pu+u=（0,0）。因此，（ψ′θ，’β（t），ψ′θ，’β（t））以指数速度收敛到零，符合定理3.1。（i） ，第七章，哈特曼[17]。另一方面，通过注释5.5和单调收敛定理，我们得到了这个限制→∞ψ′θ，′β（t）=limt→∞θ1 - E-α(1-β） tα（1）- β） +Zt{κL（ψ′θ，′β（s）+θ）- κL（θ）}ds=θα（1）- β） +Z∞{κL（ψ′θ，′β（s）+θ）- κL（θ）}ds<∞.为了证明前面的积分是有限的，首先请注意，当ψ′θ，′β（t）<u1/2（θ，β）且函数κL（u）增加时，我们得到了κL（ψ′θ，′β（t）+θ）≤ κL（u1/2（θ，β）+θ）。但是，根据定义0=-ρu1/2（θ，β）++ρβκL（θ）（κL（u1/2（θ，β）+θ）- κL（θ）），它产生κL（u1/2（θ，β）+θ）=κL（θ）ρβ（ρu1/2（θ，β）-) + κL（θ），有界。因此，有必要证明κL（ψ′θ，’β（t）+θ）- κL（θ）比t更快收敛到零-（1+ε），对于某些ε>0，当t趋于一致时。我们有这个限制→∞t（1+ε）（κL（ψ′θ，’β（t）+θ）- κL（θ））=limt→∞t（1+ε）ψ′θ，β（t）ZκL（θ+λψ′θ，β（t））dλ=极限→∞t（1+ε）ψ′θ，′β（t）极限→∞ZκL（θ+λψ′θ，′β（t））dλ= κL（θ）limt→∞t（1+ε）ψ′θ，’β（t）=0，因为ψ′θ，’β（t）以指数速度收敛到零，且极限为→∞RκL（θ+λψ′θ，′β（t））dλ=κL（θ）有界收敛。