BNS模型中保持仿射结构的测度变换

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英文标题：
《A change of measure preserving the affine structure in the BNS model for
  commodity markets》
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作者：
Fred Espen Benth and Salvador Ortiz-Latorre
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  For a commodity spot price dynamics given by an Ornstein-Uhlenbeck process with Barndorff-Nielsen and Shephard stochastic volatility, we price forwards using a class of pricing measures that simultaneously allow for change of level and speed in the mean reversion of both the price and the volatility. The risk premium is derived in the case of arithmetic and geometric spot price processes, and it is demonstrated that we can provide flexible shapes that is typically observed in energy markets. In particular, our pricing measure preserves the affine model structure and decomposes into a price and volatility risk premium, and in the geometric spot price model we need to resort to a detailed analysis of a system of Riccati equations, for which we show existence and uniqueness of solution and asymptotic properties that explains the possible risk premium profiles. Among the typical shapes, the risk premium allows for a stochastic change of sign, and can attain positive values in the short end of the forward market and negative in the long end.
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中文摘要：
对于Barndorff-Nielsen和Shephard随机波动率的Ornstein-Uhlenbeck过程给出的商品现货价格动态，我们使用一类同时考虑价格和波动率均值反转水平和速度变化的定价措施对远期进行定价。风险溢价是在算术和几何现货价格过程的情况下得出的，并且证明了我们可以提供在能源市场中通常观察到的灵活形状。特别是，我们的定价措施保留了仿射模型结构，并分解为价格和波动性风险溢价，在几何现货价格模型中，我们需要借助于对Riccati方程组的详细分析，我们证明了解的存在性和唯一性，以及解释可能的风险溢价曲线的渐近性质。在典型的形态中，风险溢价允许符号的随机变化，并且在远期市场的短端可以达到正值，在长端可以达到负值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_change_of_measure_preserving_the_affine_structure_in_the_BNS_model_for_commodi.pdf (858.33 KB)

2022-5-6 00:55:19 上传

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关键词：NS模型 SIMULTANEOUS Quantitative derivatives QUANTITATIV

ESPEN BENTH和SALVADOR ORTIZ-LATORREABSTRACT对商品市场BNS模型中保持仿射结构的度量进行了修改。对于BarndorffNielsen和Shephard随机波动率的Ornstein-Uhlenbeck过程给出的商品现货价格动态，我们使用一类同时考虑价格和波动率均值反转水平和速度变化的定价措施对远期进行定价。风险溢价是在算术和几何现货价格过程的情况下得出的，并且证明了我们可以提供通常在能源市场中观察到的灵活形状。特别是，我们的定价方法保留了精确的模型结构，并分解为价格和波动性风险溢价，在几何现货价格模型中，我们需要对Riccati方程组进行详细分析，我们展示了解的存在性和唯一性，以及解释可能风险溢价的渐近性质。在典型的形态中，风险溢价允许符号的随机变化，并且在远期市场的短端可以达到正值，在长端可以达到负值。1.简介Benth和Ortiz Latorre[9]分析了OrnsteinUhlenbeck（OU）过程的一类结构保持定价措施，并将其应用于商品市场的远期定价。特别是，他们考虑了由现货价格动态具有正跳跃（所谓的从属）或布朗运动的L’evy过程驱动的多因素OU模型，并分析了当这些因素过程中的均值回归水平和速度发生变化时的风险溢价。在本文中，我们继续研究由布朗运动驱动的OU过程，但随机波动扰动驱动噪声。

随机波动过程再次被建模为一个输出过程，但由一个从属变量驱动。这类随机波动率模型最初由Barndorff Nielsen和Shephard[1]引入，用于股票价格，后来由Benth[2]在大宗商品市场进行分析。事实上，本文正在考虑一类定价措施，以保持Benth[2]中分析的现货价格模型的精确结构。我们的现货价格动态是Schwartz模型的推广（见Schwartz[23]），用于解释短期波动。Schwartz模型已应用于许多不同的商品市场，包括石油（见Schwartz[23]）、电力（见Lucia和Schwartz[20]）、天气（见Benth和ˇSaltyt˙eBenth[4]）和货运（见Benth、Koekebakker和Taib[8]）。与Lucia和Schwartz[20]一样，我们分析了现货价格演变的几何和算术模型。该模型存在许多扩展，通常允许现货价格动态中的更多因素，以及对便利收益率和利率进行建模（有关此类模型的更多信息，请参见Eydeland和Wolynice[11]和Geman[13]）。在Benth[2]中，具有随机波动性的Schwartz模型已被应用于对天然气价格进行经验建模。在大宗商品市场的背景下，还提出了其他随机波动率模型，如赫斯顿（Heston）模型（有关讨论和进一步参考，请参见Eydeland和Wolynice[11]和Geman[13]）。我们在这里研究的这类定价指标允许（对数）现货价格和随机波动过程的均值回归速度和水平同时发生变化。均值回归水平可以灵活地向上或向下移动，而均值回归的速度可以缓慢。它显著扩展了Esscher变换，该变换只允许均值回归水平的变化。

事实上，它将风险溢价分解为价格和波动性溢价。研究日期：2021 11月8日。我们非常感谢挪威研究理事会资助的“能源市场：建模、优化和模拟（EMMOS）”项目提供的财政支持，该项目由挪威研究理事会资助，资助项目为BENTH、Cartea和Pedraz[7]的多因素模型，在一些商品市场中的BENTH和ORTIZ Latorre进行实证研究。正如我们所展示的，这类定价措施保留了模型的精细结构，但导致了随机波动率的一个更复杂的随机驱动因素。对于算术现货模型，我们可以导出分析性远期价格和风险溢价曲线。另一方面，几何模型要复杂得多，但借助卡尔森和穆勒·卡贝[18]的理论，可以利用精细结构将远期定价降低到求解Riccati方程组。远期价格是现货价格和波动率的函数，当我们远离成熟期时，远期价格具有确定性渐进动态。通过仔细分析相关的Riccati方程组，我们可以研究我们这类度量变化的隐含风险溢价作为其参数的函数。风险溢价定义为远期价格和到期时预测现货价格之间的差异，在商品市场中具有重要意义，因为它衡量的是进入商品远期套期保值头寸的价格（更多信息，请参见Geman[13]）。特别是，在对参数进行相当温和的假设下，我们可以证明，风险溢价可能会随机变化，在短期到期时可能为正，而在到期时间较远时可能为负。这是一份基于经济和经验发现的电力市场风险溢价报告。

杰马南德·瓦西塞克[14]认为，电力市场中的零售商可能会通过进入远期多头仓位来避免价格突然上涨（峰值），从而引发对冲压力。这可能会导致正风险溢价，而生产者在远期曲线的长端会导致负溢价，因为他们通过出售产品进行对冲。这种短线端正溢价的经济观点得到了Benth、Cartea和Kiesel[6]的德国电力市场经验证据的支持。在几何模型中，我们证明了风险溢价的符号明确取决于对数现货价格的当前水平。我们在定价测度的一个特例中恢复了Esscher变换。Esscher变换是在商品市场中引入定价度量的一个重要工具，或者，等效地，用于建模风险溢价。对于风险的恒定市场价格（定义为均值回归水平的变化），我们保留了模型的精确结构以及我们考虑的两个过程的驱动噪声的L’evy性质（实际上，现货价格动态是由布朗运动驱动的）。我们在Lucia和Schwartz[20]、Kolos和Ronn[19]以及Schwartz和Smith[24]中发现了此类定价措施。我们请读者参考Benth、ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[5]对Esscher变换在电力和相关市场中的应用进行详细讨论和参考。我们注意到，Profetcher变换最初被引入并应用于保险业，作为一种工具，用于对覆盖给定风险敞口的保费进行建模，后来被用于不完全金融市场的定价（见Gerberand Shiu[15]）。

在许多方面，在标的商品不可储存（即不能在投资组合中交易）的市场中，远期和期货的定价可以被视为确定保险费的一种做法。我们更普遍的度量变化仍然是结构保持，然而，风险的定价也在某种意义上，即降低均值回归的速度。这种减少使得现货和随机波动在定价措施下的随机波动持续时间比在客观概率下的更长，从而分散风险。虽然我们的分析明确关注电力市场风险溢价的典型事实，但拟议的定价措施类别显然也与其他大宗商品市场相关。如前所述，天气和货运等市场与电力市场有一些相似之处，因为潜在的“现货”是不可储存的。此外，在石油和天然气等更为经典的大宗商品市场中，有证据表明，随机波动和现货价格遵循均值回归动力学，至少作为现货的一个组成部分。此外，在算术情况下，我们的分析涉及到非计划波动性非商品市场的概念，特罗尔和施瓦茨[25]对此进行了广泛研究。远期价格不依赖于随机波动因素，因此不能仅通过远期对冲期权。有趣的是，相应的几何模型实际上会跨越随机波动。我们的结果如下。在下一节中，我们将介绍现货模型，并在第3节之后介绍我们的定价措施，以验证这确实是一个等效概率。第四章推导了算术现货价格模型下的远期价格，并分析了隐含风险溢价。

第5节考虑了BNS商品模型3几何现货价格模型中计量变更的相应远期价格和隐含风险溢价。在这里，我们利用模型的精细结构来分析关联的Riccati方程，并深入了解我们的设置可能产生的潜在风险溢价。第4节和第5节都有许多实证例子。2.数学模型假设(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个完整的过滤概率空间，其中T>0是一个固定的时间范围。在这个概率空间中，定义了W，一个标准的维纳过程，以及L，一个具有有限期望的纯跳跃L’evy从属函数，这是一个L’evy过程，具有以下L’evy It^orepresentation L（t）=RtR∞zNL（ds，dz），t∈ [0，T]，其中NL（ds，dz）是一个泊松随机测度，其L′evy测度`满足r∞z`（dz）<∞. 我们假设W和L彼此独立。当我们考虑埃舍尔测度变化和几何现货价格模型时，我们引入以下关于L的指数矩存在的假设。假设1。假设ΘL，sup{θ∈ R+：E[EθL（1）]<∞}, （2.1）是一个严格大于1的常数∞.有几句话是恰当的。备注2.1。在(-∞, ΘL）累积量（或对数矩生成）函数κL（θ），log EP[eθL（1）]是明确定义和分析的。作为0∈ (-∞, ΘL），我有所有命令的时刻。另外，κL（θ）是凸的，这意味着κL（θ）≥ 因此，κL（θ）是非递减的。最后，由于我≥ 另外，我们知道κL（θ）是非负的。备注2.2。由于L的L’evy Kintchine表示，我们可以用L’evy度量表达κL（θ）及其导数。

我们有θ∈ (-∞, ΘL）κL（θ）=Z∞（eθz）- 1） `（dz）<∞,κ（n）L（θ）=Z∞zneθz`（dz）<∞, N∈ N、 事实上，表明κ（N）L（θ）>0，N∈ N.考虑OU进程ESX（t）=X（0）- αZtX（s）ds+Ztσ（s）dW（s）t∈ [0，T]，（2.2）σ（T）=σ（0）- ρZtσ（s）ds+L（t），t∈ [0，T]，（2.3）α，ρ>0，X（0）∈ R、 σ（0）>0。注意，在等式2.2中，X被写成有限变量过程和鞅的和。我们也可以将方程2.3改写为有限变分部分和纯跳跃鞅σ（t）=σ（0）+Zt（κL（0）之和- ρσ（s））ds+ZtZ∞z~NL（ds，dz），t∈ [0，T]，其中NL（ds，dz），NL（ds，dz）- ds`（dz）是NL（ds，dz）的补偿版本。在Shiryaev[22]第669页的注释中，x和σ的可预测特征三元组（关于伪截断函数g（x）=x）由（BX（t），CX（t），νx（dt，dz））给出(-αZtX（s））ds，Ztσ（s）ds，0），t∈ [0，T]，4 BENTH和ORTIZ LATORREand（Bσ（T），Cσ（T），νσ（dt，dz））=（Zt（κL（0）- ρσ（s））ds，0，`（dz）dt），t∈ [0，T]分别。此外，将It^o公式应用于eαtX（t）和eρtσ（t），可以找到以下X（t）和σ（t）X（t）=X（s）e的显式表达式-α（t）-s） +Ztsσ（u）e-α（t）-u） dW（u），（2.4）σ（t）=σ（s）e-ρ（t）-s） +κL（0）ρ（1）- E-ρ（t）-s） ）+ZtsZ∞E-ρ（t）-u） zNL（du，dz），（2.5）其中0≤ s≤ T≤ T.使用Kallsen和Muhle-Karbe[18]中的符号，我们得到过程Z=（Z（T），Z（T）），（σ（T），X（T））具有β给出的精确微分特征=κL（0）, γ=0 00 0, ν（A）=Z∞A（z，0）`（dz），A.∈ B（R）β=-ρ, γ=0 00 1, ~n（A）≡ 0, A.∈ B（R），β=-α, γ=0 00 0, ~n（A）≡ 0, A.∈ B（R）。这些特征是可接受的，对应于R+×R.3中的一个明确过程。测量值的变化我们将考虑一系列参数化的测量值变化，这将允许我们同时修改方程（2.2）和（2.3）中的平均值回复速度和水平。

这些测度变化的密度过程将由某些鞅的随机指数决定。为此，考虑以下核函数族：θ，β（t），σ-1（t）（θ+αβX（t）），t∈ [0，T]，（3.1）Hθ，β（T，z），eθz1+ρβκL（θ）zσ（t-), T∈ [0，T]，z∈ R.（3.2）参数β（β，β）和θ（θ，θ）将取以下集合β的值∈ [0, 1],θ ∈\'DL，R×DL，其中DL(-∞, ΘL/2）和ΘLis由等式（2.1）给出。根据假设1和假设2.1和假设2.2，这些内核定义良好。例3.1。“，ΘLand dls的典型例子如下：（1）有界支撑：L有一个大小为a的跳跃，即，`=δa。在这种情况下，ΘL=∞ 有限活度：L是一个具有指数跳跃的复合泊松过程，即，`（dz）=ce-λz（0，∞)对于某些c>0和λ>0。在这种情况下，ΘL=λ和DL=(-∞, λ/2).（3） 有限活动：L是一个稳定的从属关系，即，`（dz）=cz-（1+α）e-λz（0，∞)对于某些c>0，λ>0和α∈ [0，1）。在这种情况下，也可以是ΘL=λ和DL=(-∞, λ/2).接下来是‘β’∈ [0, 1],θ ∈定义以下维纳和泊松积分族Gθ，β（t），ZtGθ，β（s）dW（s），t∈ [0，T]，~Hθ，β（T），ZtZ∞（Hθ，β（s，z）- 1） NL（ds，dz），t∈ [0，T]，分别与核Gθ、β和Hθ、β相关。商品5的BNS模型中的度量变化我们提出了一系列由Q′θ，′β给出的度量变化~ P、 β∈ [0, 1],θ ∈\'DL，带dq\'θ，\'βdPFt，E（~Gθ，β+~Hθ，β）（t），t∈ [0，T]。

（3.3）让我们假设E（~Gθ，β+~Hθ，β）是一个严格正真鞅（这将在下面的定理3.4中得到证明）：然后，根据Girsanov的半鞅定理（Shiryaev[22]第702页和703页定理1和3），过程X（t）和σ（t）变成comex（t）=X（0）+BXQ′θ，\'（t）+σ（t）+WQ′θ∈ [0，T]，σ（T）=σ（0）+BσQ′θ，\'β（T）+ZtZ∞z~NLQ′θ，′β（ds，dz），t∈ [0，T]，其中bxq′θ，′β（T）=Zt（θ- α(1 - β） X（s））ds，t∈ [0，T]，（3.4）BσQ′θ，′β（T）=Zt（κL（0）- ρσ（s））ds+ZtZ∞z（Hθ，β（s，z）- 1） `（dz）ds（3.5）=Zt{（κL（0）- ρσ（s））+Z∞z（eθz）- 1） `（dz）+ρβκL（θ）Z∞zθz`（dz）σ（s）-)}ds=ZtκL（θ）- ρ(1 - β） σ（s）ds，t∈ [0，T]，其中WQ′θ，’β是一个Q′θ，’β-标准维纳过程，σ（和L）的Q′θ，’β-补偿器测度是vσQ′θ，’β（dt，dz）=vLQ′θ，’β（dt，dz）=Hθ，β（T，z）’dt。总之，X和σ在Q′θ下的半鞅三元组分别由（BXQ′θ，’β，R·σ（s）ds，0）和（BσQ′θ，’β，0，vσQ′θ，’β）给出。备注3.2。在Q′θ，′β下，过程Z=（σ（t），X（t））由β给出微分特征=κL（θ）θ, γ=0 00 0, ν（A）=Z∞A（z，0）eθz`（dz），A.∈ B（R），β=-ρ(1 - β), γ=0 00 1, ν（A）=Z∞A（z，0）ρβκL（θ）zeθz`（dz），A.∈ B（R），β=-α(1 - β), γ=0 00 0, ~n（A）≡ 0, A.∈ B（R）。这些特征是可接受的，并对应于R+×R中的一个明确过程。备注3.3。在Q′θ、β下，σ仍然满足具有不同参数的朗之万方程，也就是说，测量变化保留了σ方程的结构。然而，过程L不是Q′θ、’β下的L′evyprocess，但它仍然是一个半鞅。在新的度量下，X的方程是相同的，但参数不同。