含税欧米茄风险模型

（23）从（21）和（22）中，我们得到了[f（Xρ）Iρ]=Z∞xf（m）Ex“exp-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#×s′（m）s（m）- s（h（m）- a） 经验-Zmxs′（v）s（v）- s（h（v）- a） dvdm=Z∞xf（m）Ex“exp-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#Px（Xρ∈ dm）。（24）另一方面X[f（Xρ）Iρ）]=Z∞xf（m）Ex经验-qZρUt<-y} dt| Xρ=mPx（Xρ）∈ dm）。（25）从（24）和（25）以及f（·）的任意性，我们得到了经验-qZρUt<-y} dt| Xρ=m= Ex“exp-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#定义Aa，通过：=Rτ-A.∧τ+b{Xt<y}dt，以及ε=（m- x） /N表示大整数N>0。对于i=0，1。。。，N-1，当X从X+iε开始时，条件{τ+m<τh，a}要求每次过程在达到h（X+iε）之前达到水平X+（i+1）ε-a、 从Lebesgue支配的收敛定理、连续性和X的强Markov性质，我们得到了-qZτ+m{Ut<-y} dt！|τ+m<τh，a#=limN→∞N-1Yi=0Ex+iεhe-qAh（x+iε）-a、 x+（i+1）εg（x+iε）-y |τ+x+（i+1）ε<τ+h（x+iε）-ai=limN→∞爆炸-1Xi=0Ex+iεhe-qAh（x+iε）-a、 x+（i+1）εg（x+iε）-y |τ+x+（i+1）ε<τ+h（x+iε）-哎！！=解释→∞N-1Xi=0Ex+iεhe-qAh（x+iε）-a、 x+（i+1）εg（x+iε）-y |τ+x+（i+1）ε<τ+h（x+iε）-人工智能- 1.!= 经验Zmxs′（u）s（u）- s（h（u）- （a）-s′（u）s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-a） 1+s（u）-s（g（u）-y） s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-（a）杜, （26）最后一个等式来自命题4中等式（18）的第二个表达式。张（2014）的第1页。这是因为h（x+iε）- a<g（x+iε）- y6x+iε- 十、- y 6x+iε<x+（i+1）ε-x6y<a。

注意，Zhang（2014）方程（18）中的两个表达式在边界情况下是一致的，因此我们可以将y=-并继续应用方程式（18）的第二个表达式。对于[ρ，τh，a]上的占据时间，我们有经验-qZτh，aρ{Ut<-y} dt| Xρ=m= Em“exp-qZτ-h（m）-a{Xt<g（m）-y} dt！|τ-h（m）-a<τ+m#=limδ→0+Emhe-qAh（男）-a、 m+δg（m）-Yτ-h（m）-a<τ+m+δiPm（τ-h（m）-a<τ+m+δ）=s（m）-s（h（m）-a） Wq（g（m）-y、 h（m）-a） 1+s（米）-s（g（m）-y） s′（g（m）-y） Wq，1（克（米）-y、 h（m）-a） Wq（g（m）-y、 h（m）-a） ，（27），最后一个等式来自张（2014）的（19）的第二部分，因为h（m）-a<g（m）-y 6米-十、-y6m<m+δ。根据命题3.1，{Ut}t∈[0，ρ]和{Ut}t∈[ρ，τh，a]是两个条件独立的过程，因此我们有经验-qZτh，a{Ut<-y} dt| Xρ=m= 前任经验-qZρUt<-y} dt| Xρ=m×Ex经验-qZτh，aρ{Ut<-y} dt| Xρ=m.（28）我们使用（23）中的密度来积分（28），这就完成了证明。备注3.2。u的假设g（u）>h（u）∈ [x，∞) 没有太多限制，因为它包含许多有趣的应用程序。特别是，如果h（·）=g（·），它不限制g（·）的形式。如果g（u）=h（u）=u- x、 然后τu-x、 a=σa′和1{Ut<-y} ={Yt>y′}，其中Yt=Xt-这是缩编过程。然后嘎，你-x、 u-xy=Rσa′{Yt>y′}dt=：Ca′y′，这是张（2014）的等式（21）中的替换y′→ y和a′→ a在那里。注意，通过上述替换，0 6 y′<a′和我们的公式（20）简化为张（2014）定理4.5中的公式。当y=-x和g（u）=u- x、 我们有Ga，h，u-x=Rτh，a{Xt<Xt}dt=τh，a，P-a.s，对于q>0，我们的公式（20）reducetoexE-qτh，a=Z∞xs′（m）Wq（m，h（m）- a） 经验-ZmxWq，1（u，h（u）- a） Wq（u，h（u）- a） 杜dm，（29）与Lehoczky（1977）第601页的公式（21）一致，替换为0→ α、 q→ β和m- h（m）→ u（m）。

如果我们进一步取h（u）=u- x、 然后（29）降低了张（2014）的排名3.3。如果g（u）=h（u）=0，那么τ0，a=τ--a、 和Ga，0,0y=Rτ--a{Xt<-y} dt，它在下面重新显示了进程X的占用时间-直到第一次击球时-a从上面传来。从（20）开始，我们有-qGa，0,0y；τ--a<∞] =Z∞xs′（m）Wq(-Y-a） 1+s（米）-s(-y） s′(-y） Wq，1(-Y-a） Wq(-Y-a） ×exp-Zmxs′（u）s′(-y） Wq，1(-Y-a） Wq(-Y-a） 1+s（u）-s(-y） s′(-y） Wq，1(-Y-a） Wq(-Y-a） 杜dm=Z∞xs′（m）Wq(-Y-a） 1+a（s（m）- s(-y） ）1+A（s（x）- s(-y） ）1+A（s（m）- s（y））dm=AWq(-Y-（a）-AWq(-Y-a） 1+a（s（x）- s(-y） ）1+A（s(∞) - s(-y） ）=（s(∞) - s（x））s′(-y） （s）(∞) - s(-y） ）Wq，1(-Y-a） +s′(-y） Wq(-Y-a） ，（30）式中a=Wq，1(-Y-a） s′(-y） Wq(-Y-a） 。注意，（30）与张（2014）的命题4.1的等式（19）中的第二个表达式一致→ ∞ 并替换-A.→ a、 及-Y→ 好的。3.1 Azema-Yor工艺在独立指数时间之前的占用时间y>-x、 考虑一下下面U的占用时间-直到一个独立的指数时间eq，q>0:Oq，gy:=Zeq{Ut<-y} dt。定理3.2。对于所有p，q>0和y>-xEx[e-pOq，gy]=1- 经验-Z∞xWq，2（g（u）- y、 u）+Wq，1（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y） Wq，1（g（u）- y、 u）+Wq（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y） 杜-Z∞xexp-ZmxWq，2（克（u）- y、 u）+Wq，1（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y） Wq，1（g（u）- y、 u）+Wq（u，g（u）- y） φ+′q+p（g（u）-y） φ+q+p（g（u）-y） 杜×pq+ps′（m）φ+′q+p（g（m）-y） φ+q+p（g（m）-y） Wq，1（克（米）- y、 m）+Wq（m，g（m）- y） φ+′q+p（g（m）-y） φ+q+p（g（m）-y） 马克。（31）证据。我们考虑1{Ut<-y} 而不是1{Yt>y}，并且该证明基于张（2014）中定理4.7的类似非平凡改编，替换了g（u）-Y→ U-yand g（男）- Y→ M- 我自始至终都很紧张。注意g（x+iε）- y6x+iε- 十、- y6x+iε<x+（i+1）ε，对于i=0，1。。。，N- 1和ε>0。

因此，我们可以在证明的中间阶段安全地应用张（2014）的推论4.2。备注3.3。如果g（u）=u- x、 然后Oq，u-xy=Req{Yt>y′}dt=:Eqy′，如张（2014）的等式（29）所定义。在这种情况下，我们的公式（31）通过替换y′简化为hisTheorem 4.7的方程式（30）→ 好的。如果y=-x和d g（u）=u- x、 公式（31）简化为Ex[e-pOq，u]=qq+p.另一方面，例如[e]-pOq，u- 十、-x] =Ex[e-pReq{Xt<Xt}dt]=Ex[e-peq]=qq+p。如果g（u）=0，那么y>-x、 Oq，0-x=Req{Xt<-y} dt，代表下面流程X的占用时间-直到一个独立的指数时间。在下文中，表示A=φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） ，注意Wq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） A=Bφ+q（m）+Cφ-q（m），其中b=Aφ-q(-y）- φ-′q(-y） C=φ+′q(-y）- Aφ+q(-y） 。从（31）开始，对于所有p，q>0，wehaveEx[e]-pOq，0y]=1- 经验-Z∞xWq，2(-y、 u）+Wq，1（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） Wq，1(-y、 u）+Wq（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） 杜-Z∞xexp-ZmxWq，2(-y、 u）+Wq，1（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） Wq，1(-y、 u）+Wq（u，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） 杜×pq+ps′（m）φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） Wq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） φ+′q+p(-y） φ+q+p(-y） dm=1- 利木→∞Wq，1(-y、 x）+Wq（x，-y） AWq，1(-y、 u）+Wq（u，-y） A-Z∞xWq，1(-y、 x）+Wq（x，-y） AWq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） A×pq+ps′（m）AWq，1(-y、 m）+Wq（m，-y） Adm=1+pq+pACφ+q（x）- （Bφ+q（x）+Cφ-q（x））利木→∞1+pq+pACφ+q（u）Bφ+q（u）+Cφ-q（u）=1+pq+pACφ+q（x）- （Bφ+q（x）+Cφ-q（x））pq+pABC=1-pq+pφ+′q+p(-y） φ-q（x）φ+′q+p(-y） φ-q(-y）- φ-′q(-y） φ+q+p(-y） ，（32）最后一个等式是由于limu→∞φ+q（u）=∞. 为了与Li和Zhou（2013）中的旋转一致，定义ψ±q（·）=±φ±′q（·）φ±q（·）。如果我们取x=0，y=-x=0，那么（32）变成[e]-pOq，0]=1-pq+pφ+q+p（0）φ-q（0）φ+′q+p（0）φ-q（0）- φ-′q（0）φ+q+p（0）=qq+pψ+q+p（0）+ψ-q（0）ψ+q+p（0）+ψ-q（0），（33）与李和周（2013）的定理3.1一致，替换为p→ λ和q→ 在那里。

我们进一步将Li和Zhou（2013）的推论3.2推广到非零水平，如下所示。提议3.2。一般来说，bExhe-pReq{Xt<b}dti=1-pq+pφ+q+p（b）φ-q（x）φ+′q+p（b）φ-q（b）- φ-′q（b）φ+q+p（b）。（34）对于x<bExhe-pReq{Xt<b}dti=pq+pφ+q+p（x）φ+q+p（b）1-φ+′q+p（b）φ-q（b）φ+\'q+p（b）φ-q（b）- φ-′q（b）φ+q+p（b）+qq+p.（35）证明。对于x>b，取y=-b>-x在（32）中，我们在（34）中得到了期望的结果。对于x<b，从eq的无记忆性和x的强马尔可夫性，我们得到-pReq{Xt<b}dti=Exhe-pτ+b；τ+b<eqiEbhe-pReq{Xt<b}dti+ExE-peq；eq<τ+b= 告密-（q+p）τ+biEbhe-pReq{Xt<b}dti+qq+p1.- 告密-（q+p）τ+bi.（36）然后（35）从ta king y=-方程（32）中的b和x=b，以及张（2014）的引理2.2。备注3.4。如果我们在（34）和（35）中取b=0，那么它们在李和周（2013）的推论3.2中简化为方程（18）和（19）。注意，（34）和（35）在x=b的边界情况下是相等的。现在我们提出了含税的欧米茄风险模型，并假设U是（5）中给出的税后剩余价值过程，这对应于（7）中的Azema-Yor过程，G（U）=U-γ（u）=Ruxγ（z）dz。对于y>0和破产率函数ω（.）>0，将破产时间定义为^τω：=inft>0:Ztω（Us）1{Us<-y} ds>e, （37）式中，eis是一个具有单位费率的独立指数随机变量。现在我们可以给出含税O超风险模型中^τω的空间变换的主要结果。定理3.3。

如果破产率函数ω（·）=ω为正常数ω，那么对于q>0，y>-x、 Omega风险模型中破产时间的Laplace变换E-q^τω= 1.- 告密-ωReq{Us<-y} dsi=exp-Z∞xWq，2（美国）-γ（u）- y、 u）+Wq，1（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y） Wq，1（u）- γ（u）- y、 u）+Wq（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y） 杜+Z∞xexp-ZmxWq，2（u）-γ（u）- y、 u）+Wq，1（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y） Wq，1（u）- γ（u）- y、 u）+Wq（u，u）- γ（u）- y） φ+′q+ω（u）-γ（u）-y） φ+q+ω（u）-γ（u）-y） 杜××ωq+ωs′（m）φ+′q+ω（m）-γ（m）-y） φ+q+ω（m）-γ（m）-y） Wq，1（米）- γ（m）- y、 m）+Wq（m，m）- γ（m）- y） φ+′q+ω（m）-γ（m）-y） φ+q+ω（m）-γ（m）-y） 马克。（38）证据。所需的表达式是定理3.2的一个结果，替换为ω→ 潘杜-γ（u）→ g（u）.3.2主要结果的应用在这一节中，我们看一下下面定理3.1和3.2.3.2.1的一些重要应用-直到X第一次点击-如果h（·）=0.6g（·），那么Vt=xt，τ0，a=τ--a、 P-a.s.因此a，0，gy=Rτ的L空间变换--a{Ut<-y} dt由（20）给出，替换为0→ h（·）。如果我们考虑有税的特大风险模型，并设置g（u）=u-γ（u），那么Ga，0，gy代表以下税后过程u的占用时间-y，直到税前流程X首次点击-一个从上面来的。3.2.2以下U的占用时间-直到你第一次击中-aIf h（u）=g（u），那么Vt=utan和τh，a=inf{t>0:Ut>-a} =：τg，a，P-a.s.因此，Ga，g，gy的拉普拉斯变换=Rτg，a{Ut<-y} dt由（20）和替换g（·）给出→ h（·）。

如果我们考虑带税的欧米茄风险模型，并设置g（u）=u-γ（u），thenGa，g，gy代表以下税后过程u的占用时间-直到它第一次击中-a从上面传来。在定理3.3中，我们没有使用独立的指数随机变量eqas，而是将破产时间定义为该占用时间超过一段时间或该过程发生时的第一个瞬间-a、 由于以下经济动机，一家公司的价值通常被设定为较高：如果其剩余价值低于较低的水平，该公司将被宣布破产-y的宽限期（美国破产法第11章的重组阶段），或当其盈余首次低于非常严重的水平时立即破产-a（《美国破产法》第7章的imm ediate liq uida阶段）。最近的文献中也出现了类似的考虑，即利用这一占用时间来模拟破产，有关文献的指针，请参考Li（2013）及其参考文献。3.2.3在X orU首次命中之前，X的相对缩进超过尺寸α的占用时间-在市场实践中，提款事件通常以百分比而不是绝对意义上的百分比来引用。假设x>0，并确定x在α值上的首次相对下降∈ （0，1）作为ηα：=inft>0:Xt- XtXt>α= inft>0:Xt- (1 - α） Xt6 0, 例如，Hadjiliadis和Vecer（2006年）、Pospisil、Vecer和Hadjiliadis（2009年）、Zha ng和Hadjiliadis（2010年）对其进行了研究，这对“市场崩溃”的建模尤其重要（Zhang和Hadjiliadis（2012年））。有关最新文献的指针，请参考张（2010）及其参考文献。如果h（u）=（1- β） （u）- x） 对于β∈ [α，1]，g（u）=（1）- α） （u）- x） >h（u），y=（1- α） X和a>（1）- α） x，然后是1{Ut<-y} =1{（Xt）-Xt）/（Xt）>α}。

因此，A，h，g（1）的拉普拉斯变换-α） x=Rτh，a{（Xt-Xt）/（Xt）>α}dt由（20）和相应的替换给出。它代表了在税后过程V（恒定税率β）首次命中之前，X相对于尺寸α的相对下降的占用时间-a从上面传来。如果β=1，那么h（u）=0，而Ga，0，（1-α） u（1）-α） xis指在税前流程X首次达到之前，相对于α规模X的相对提款的占用时间-a从上面传来。如果β=α。然后h（·）=g（·），和ga，（1）-α） u，（1）-α） u（1）-α） xis是税前流程x相对于α的相对提取量在税后流程U（税率α不变）首次命中之前的占用时间-一个从上面来的。类似地，如果我们在Albrecher、Cheung和Thonhauser（（2011）（2013））中引入了随机观察的广义风险模型，那么破产时间与占用时间相关，直到一个独立的指数时间q>0。如果g（u）=（1- α） （u）- x） ，y=（1）- α） 然后是Q的拉普拉斯变换（1）-α） （u）-x） y=Req{Ut<-y} dt=Req{（Xt-Xt）/（Xt）>α}dt由（31）和相应的替换给出。它表示在独立的指数时间之前，Xover sizeα相对下降的占用时间。它可以应用于使用双拉普拉斯倒推法（类似于Zhang（2014）第5.2节）对α大小的相对提款过程进行数字看涨定价，其中他考虑了（绝对）提款过程。3.2.4 V在尺寸α上的相对下降直到V firsthits的占用时间-Aasume x>0，并确定尺寸α的第一个相关压降∈ （0，1）对于过程V，作为ηα，h:=inft>0:Vt- vt>a= inft>0:Xt-(1 - α） （Xt）- x） +αh（Xt）<-Y> α,（40）式中y=（1）-α） x>-x、 如果我们取g（u）=（1-α） （u）-x） +αh（u），然后h（u）6g（u）6u-xbecause 0 6小时（u）6小时- 十、

对于>（1）- α） x，我们有ga，h，gy=Zτh，anVt-VtVt>αodt=Zτh，a{Xt-((1-α） （Xt）-x） +αh（Xt））<-y} dt，（41），其拉普拉斯变换由（20）和替换（1）给出-α） （u）-x） +αh（u）→ g（u）和（1）- α） x→ 好的。上述结果适用于Azema-Yor过程，一般为（·）。如果我们考虑带有税收和集h（u）=u的欧米茄风险模型-γ（u），然后（41）表示税后过程V oversizeα“相对下降”的占用时间，直到V fir first hits-a、 3.2.5假设X>0，假设h（u）=（1），则X在尺寸α上的第一个相对dr awdown之前的下降时间- α） （u）- x） a=（1）- α） x代表α∈ （0，1），然后τh，a=ηα。如果我们取g（u）=u- x>h（u），那么对于-x 6 y<（1- α） x，G（1）的拉普拉斯变换-α） x，（1）-α） 你，你-xy=Rηα{Xt-Xt>y}dt由（20）给出，并有相应的替换。它代表Yun以上X的水位下降过程的占用时间，直到X的第一次相对水位下降超过α。符号Cay:=Rσa{Xt-Zhang（2014）的Xt>y}不等式（21）衡量了（绝对）下降过程完成从y到a的“最后一次旅行”所需的时间-α） x，（1）-α） 你，你-XY测量绝对下降量大于y的占用时间，直到第一次相对下降量超过α∈ (0, 1). 这提供了另一种风险函数来衡量绝对和相对提款风险。3.2.6在假设x>0 a的情况下，直到尺寸α上的第一次相对压降之前，V下降的占用时间，并考虑Azema-Yor过程V的功能h（·）。因为vt=Xt-h（Xt），P-a.s.，我们有Vt-Vt=Xt- Xt，P-a.s.，V和X有相同的下降过程。如果我们取h（u）=（1- α） （u）- x） +αh（u）和a=（1- α） x f或α∈ （0，1），然后τeh，a=ηα，h。

如果我们取g（u）=u- x>~h（u），然后-x 6 y<（1- α） x，G（1）的拉普拉斯变换-α） x，~h，u-xy=Rηα，h{Xt-Xt>y}dt=Rηα，h{Vt-Vt>y}dt由（20）给出，并有相应的替换。如果我们取h（u）=u-γ（u），然后它代表税后过程V在y以上的提取过程的占用时间，直到V在α上的第一次相对提取。3.3通过时间变化扩展到积分泛函使用Cui（2013b）定理1（或博士论文Cui（2013a）中的定理3.2.1）中的结果，我们可以将定理3.1扩展到更一般的积分泛函。该方法基于随机时间变化和下面列出的关键步骤。如果我们定义了一个北方可测函数b（x）>0，且φt=Rtb（Xs）ds，t>0在无条件下是一致的，并且假设了一些技术假设（恩格尔伯特-施密特条件），那么从Cui（2013b）的定理1（i）中，我们有以下随机表示xt=SRtb（Xs）ds=S~nt，P-a.S。，（42）过程S是一个时间齐次微分，满足以下条件：SDEdSt=u（St）b（St）dt+σ（St）b（St）dBt，S=X=X。（43）让τ表示St的Ft停止时间，根据Cui（2013b）的定理1（iii），我们得到了τ：=Rτb（Xs）ds是Gt停止时间，τS=ττ，P-a.S，其中τ是St的相应停止时间，Gt=F~nt。我们有xt:=max06u6tXu=max06u6tS~nu=max06u6~ntSu=：Sаt，P-a.S.，第二个等式是由于（42），第三个等式是由于连续性。与第（7）条类似，如果我们定义V*t=St- h（St）和U*t=St- g（St），那么Vt=V*νt，P-a.s.，和Ut=U*如果我们定义了停止时间τ，则为t，P-a.s*h、 a:=inf{t>0:V*t6-a} 从Cui（2 013b）的定理1（iii）中，我们得到了τ*h、 a=τh，a，P-a.s.定义以下积分函数ga，h，g，by:=Rτh，ab（Xt）1{Ut<-y} dt。