含税欧米茄风险模型

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英文标题：
《Omega risk model with tax》
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作者：
Zhenyu Cui
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we study the Omega risk model with surplus-dependent tax payments in a time-homogeneous diffusion setting. The new model incorporates practical features from both the Omega risk model(Albrecher and Gerber and Shiu (2011)) and the risk model with tax(Albrecher and Hipp (2007)). We explicitly characterize the Laplace transform of the occupation time of an Azema-Yor process(e.g. a process refracted by functionals of its running maximum) below a constant level until the first hitting time of another Azema-Yor process or until an independent exponential time. This result unifies and extends recent literature(Li and Zhou (2013) and Zhang (2014)) incorporating some of their results as special cases. We explicitly characterize the Laplace transform of the time of bankruptcy in the Omega risk model with tax and discuss an extension to integral functionals. Finally we present examples using a Brownian motion with drift.
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中文摘要：
本文研究了在时间齐次扩散环境下，具有依赖盈余的税收支付的欧米茄风险模型。新模型结合了欧米茄风险模型（Albrecher和Gerber and Shiu（2011））和含税风险模型（Albrecher和Hipp（2007））的实用特征。我们明确地描述了Azema-Yor过程（例如，被其运行最大值的泛函折射的过程）的占据时间在恒定水平以下的拉普拉斯变换，直到另一Azema-Yor过程的第一次击中时间或直到独立的指数时间。这一结果统一并扩展了最近的文献（Li和Zhou（2013）和Zhang（2014）），将他们的一些结果合并为特例。我们明确地刻画了含税欧米茄风险模型中破产时间的拉普拉斯变换，并讨论了积分泛函的一个推广。最后我们给出了带有漂移的布朗运动的例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：风险模型 欧米茄 Applications Quantitative Differential

含taxenyu-Cui的Omega风险模型*草案：2021年11月10日摘要本文研究了欧米茄风险模型，该模型在时间同质差异环境下，具有与urplus相关的纳税额。新模型结合了欧米茄风险模型（Albrecher和Gerber及Sh iu（2011））和含税风险模型（Albrecher和Hipp（2007））的实用特征。我们明确地描述了Azema-Yor过程（例如，被其运行最大值的泛函折射的过程）的占用时间的拉普拉斯变换低于恒定水平，直到另一Azema-Yor过程的第一次命中时间或直到独立指数时间。这一结果统一并扩展了最近的文献（Li和Zhou（2013）和Zhang（2014）），将他们的一些结果作为特例纳入其中。我们明确地刻画了含税欧米茄风险模型中破产时间的拉普拉斯变换，并讨论了积分泛函的一个推广。最后我们给出了一个带有漂移的布朗运动的例子。数学学科分类60G44 91B25 91B70关键词：时间同质差异；阿泽马-约尔法；占用时间；拉普拉斯变换；税收风险模型；欧米茄风险模型。*通讯作者。崔振宇（Zhenyu Cui）就读于纽约城市大学布鲁克林学院数学系，地址：美国纽约市布鲁克林贝德福德大道2900号英格索尔大厅，邮编：11210。电话：+1718-951-5600，分机6892传真：+1718-951-4674。

电子邮件：zhenyucui@brooklyn.cuny.edu1简介欧米茄风险模型最早由Albrecher、Gerber和Shiu（2011）提出，它将单位时间（负盈余）与公司破产时间（负盈余占用时间超过宽限期）区分开来。Albrecher和Hipp（2007）首次引入了含税风险模型，其中恒定税率适用于可预测时间的复合泊松风险模型。在时间同质差异背景下，Li、Tang和Zhou（2013）引入了一个含税的差异风险模型，并通过双边退出时间对公司的破产时间进行建模。在有税征税保险模型中，Kyprianou和Zho u（2009）明确获得了双边退出时间、破产前税收的预期现值以及广义的DGERBER Shiu函数。雷诺（2009）获得了公司存续期内纳税分配的明确表述。我们对当前的文献做出了三点贡献。首先，我们得到一个Azema-Yor过程的占据时间在恒定水平以下的拉普拉斯变换，直到另一个Azema-Yor过程的第一次击中时间或直到一个独立的指数时间。这一结果统一并扩展了最近的文献（李、唐和周（2013）、李和侯（2013）和张（201 4）），将他们的一些结果作为特例纳入其中。其次，我们提出了“含税欧米茄风险模型”来模拟保险公司的破产和破产。这为破产建模提供了一个更实际的视角，因为处于困境的保险公司会受到税收的影响，这可能会进一步削弱其偿付能力，并且只有当其剩余价值低于超过“宽限期”的临界水平时，该公司才被视为破产。我们明确描述了破产时间的拉普拉斯变换。

第三，作为主要结果的应用，我们获得了与（绝对）水位下降和相对水位下降相关的占领时间的L APLACE变换，直到分别达到第一次击中时间或独立指数时间。我们还讨论了通过随机时间变化对积分泛函的扩展。本文的组织结构如下：第二节回顾了theOmega风险模型和含税风险模型的初步结果。第3节给出了主要结果，即Azema-Yor过程占据时间的显式拉普拉斯变换低于常数水平，直到另一个Azema-Yor过程的第一次击中时间或直到一个独立的指数时间。作为应用，我们提出了“含税欧米茄风险模型”，并确定了破产时间的拉普拉斯变换。我们还讨论了其他有趣的应用，包括税前和税后过程的绝对和相对提取过程，以及对更一般的破产函数的扩展。第4节提供了使用带漂移的标准布朗运动的示例。第五部分总结全文，并提出未来的研究方向。2初步最近，有两种文献，一种是关于“破产”的新定义，另一种是考虑一个由其运行的最大值“ta x风险模型”折射出的扩散风险模型。我们在此回顾相关文献，并在第3节中结合它们提出并研究“含税欧米茄风险模型”。2.1欧米茄风险模型经典破产理论假设，当保险公司的剩余价值为负时，破产或破产将首次发生。有关该领域的文献，请参考Gerber and Shiu（1998）。最近，从Albrecher、G erber和Shiu（2011）开始，一系列论文提出并研究了“欧米茄风险模型”。

该模型区分破产（负剩余价值）和破产（停业）。即使在负超额价值期间，该公司仍继续运营，如果该期限超过阈值“宽限期”，则该公司被宣布破产。他们引入了一个破产率函数ω（x），其中x<0表示负urplus值的值，它表示dt时间单位内的破产概率。TheOmega风险模型基于对风险过程占用时间低于常数水平的研究。在L andriault、雷诺和周（2011）（2014））以及洛芬、雷诺和周（2014）中研究了光谱负L evy工艺的占用时间。Renaud（2014）研究了折射Levy过程（Kyprianou和Loe ff en（2010））的占用时间。本文的重点是类似于Li和Zhou（2013）的扩散风险模型。给定一个完整的融合概率空间(Ohm, F、 状态空间J=（l，∞), -∞ 6l<∞, 考虑J值正则时间齐次微分X=（Xt）t∈[0,∞)满足随机微分方程（SDE）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X∈ J、 （1）其中W是Ft布朗运动，u（·）a和σ（·）>0是满足以下条件的Borel函数：存在常数C>0，对于所有x，x∈ J |u（x）- u（x）|+|σ（x）- σ（x）| 6c |x- x |，u（x）+σ（x）6 C（1+x），（2）条件（2）保证SDE（1）具有具有强马尔可夫性质的唯一解（见第40页、第107页、Gihman和Skorohod（1972））。在下面，我们表示Px（·）、P（·| X=X）和Ex[·]、Ex[·| X=X]。假设公司的税前价值由X和SDE（1）建模。

如果我们在同一概率空间上引入一个辅助的“破产监控”过程N（可能会扩大过滤以适应它），并假设条件为X，N允许一个泊松过程，其状态依赖强度ω（Xt）1{Xt<0}，t>0。将破产时间τω定义为泊松过程N的首次到达时间，即τω：=inft>0:Ztω（Xs）1{Xs<0}ds>e, （3） 式中，eis是一个单位速率的独立指数随机变量。与李安周（2013）中的f或λ>0类似，我们可以表示破产时间的L空间变换X[e]-λτω]=Px（τω<eλ）=1- 告密-Reλω（Xs）1{Xs<0}dsi。（4） 2.2有盈余的风险模型——依赖税收的风险模型由Albrecher和Hipp（2007）在恒定税率的情况下引入，后来由Albrecher、Renaud和Zhou（2008）以及Kyprianou和Zhou（2009）扩展到当公司的盈余价值达到最大值时立即支付非负的国家依赖税收的情况。假设公司的税前价值由（1）中的差异X建模。引入一种依赖于州的税收：每当流程Xt与其运行最大值Xt相一致时，企业按照税率γ（Xt）纳税，其中γ（·）：[x，∞) → [0,1）是一个可测函数。税后的价值过程表示为（Ut）t>0，且满足度=dXt- γ（Xt）dXt，U=X=X，t>0，（5）Kyprianou和Zhou（2009）引入了以下函数γ（U）=U-Zuxγ（z）dz=x+Zux（1）- γ（z））dz，u>x.（6）注意x<γ（u）6u。我们有下面的表示离子Ut=Xt- 我们结合“欧米茄风险模型”和“含税风险模型”的实际特点，提出了“含税欧米茄风险模型”，其中我们使用（5）对保险公司的税后剩余价值进行建模。

Li、Tang和Zhou（2013）将逃税时间定义为U从恒定边界的双边退出时间。我们将公司破产的时间定义为占用时间首次超过单位费率的指数时间。UTI是在Azema and Yor（1979）中引入的所谓Azema-Yor过程的一个特例，这是一个被其最大运行函数折射的过程（另见Albrecher a and Ivanovs（2014）中的终结论）。我们首先获得Azema-Yor过程在恒定水平以下的占用时间的一般拉普拉斯变换，直到另一Azema-Yor过程的起始时间或直到独立指数时间。据我们所知，这些结果是新的，具有独立的兴趣。作为应用，我们得到了“含税欧米茄风险模型”破产时间的显式拉普拉斯变换。我们的一般公式包含了李和周（2013）以及张（2014）作为特例的一些结果。备注3.1。请注意，（5）中的定义是下文介绍的一般Azema Yor流程的特例，因此我们的策略是首先研究一般Azema Yor流程的占用时间，然后专门研究（5）中的税后流程。在下文中，我们使用相同的符号UTT来表示一般的Azem a-Yor过程，并且无论何时提及（5）中的过程，我们都将明确说明。考虑以下两个一般的Azema-Yor过程：Vt:=Xt- h（Xt）；Ut:=Xt- g（Xt），V=U=x，（7）其中h和g定义为n[x，∞) 满足06h（u）6u- x、 0.6克（铀）6铀- x和h（x）=g（x）=0。请注意，VT和UTA都是使用（Xt，Xt）构造的，但它们可能有不同的h（·）和g（·）。如果h（·）=g（·），那么Vt=Ut，P-a.s.，t>0。在下文中，fix两个常数y和a-x6y<a。

定义y′=y+x和a′=a+x，它们满足0.6y′<a′，并且在以后我们将我们的结果与Zhang（2014）的结果进行比较时很有用。确定V到V的首次命中时间-a作为τh，a:=inf{t>0:Vt6-a} =inft>0:h（Xt）- Xt>a. （8） 我们将介绍一些与Zhang（2014）一致的符号，这些符号将在稍后的证明中使用。定义τ±m:=inf{t>0:XtT m}，m∈ J、 定义φ+q（·）和φ-q（·）分别为Sturm-Liouville微分方程σ（x）f′（x）+u（x）f′（x）=qf（x）的正解的递增和递减。如果我们把x的标度函数定义为s（·），那么存在一个正常数wqs，比如wqs′（x）=（φ+q）′（x）φ-q（x）-（φ+q）′（x）φ+q（x）。定义辅助函数Wq（x，y）：=Wq（φ+q（x）φ-q（y）- φ+q（y）φ-q（x）），Wq，1（x，y）：=xWq（x，y）和Wq，2（x，y）：=yWq，1（x，y）。感兴趣的主要对象是UTC的占用时间-y直到τh，a:Ga，h，gy:=Zτh，a{Ut<-y} dt。（9） 以下是张和Hadjiliadis（2012）的命题1的一个轻微概括，该命题研究UTT的路径分解∈ [0，τh，a]。将X的首次下降时间定义为σa:=inf{t>0:Xt- Xt>a}。如果g（u）=0，h（u）=u- x、 然后Ut=xt和τu，a=σa′，P-a.s，以下结果通过替换a′简化为Zhang和Hadj iliadis（2012）的命题1→ K在那里。提议3.1。（直到Azema Yor停车时间，Zhang和Hadjiliadis（2012）的命题1的推广）的路径装饰位置）对于τh，在（8）中定义，考虑X在τh之前的最后一次通过时间T∈ [0，τh，a]：Xt=Xt. （10） 以Xρ为条件，路径片段{Ut}t∈[0，ρ]和{Ut}t∈[ρ，τh，a]是两个独立的过程。表示Yρt:=Px（ρ>t | Ft）。

那么Yρ是一个超鞅，并且具有Doob-meyerdeco s理论Yρt=Mρt- Lρt，（11）其中yρt=Px（ρ>t|Ft）=s（Xt）- s（h（Xt）- a） s（Xt）- s（h（Xt）- a） {t<τh，a}，（12）Mρt=1+Zt∧τh，as′（Xu）σ（Xu）s（Xu）- s（h（Xu）- a） dWu，（13）和lρt=Zt∧τh，as′（Xu）s（Xu）- s（h（Xu）- a） dXu。（14） 证据。这与张和哈吉利亚迪斯（2012）的第74页第1项提案类似，但有些步骤需要进行非琐碎的调整。因此，我们在这里给出了完整性的证明。注意，{ρ>t}意味着，{t<τh，a}成立，X的路径将在到达h（Xt）之前重新确定- a、 所以我们有ρt=Px（ρ>t | Ft）=s（Xt）- s（h（Xt）- a） s（Xt）- s（h（Xt）- a） {t<τh，a}，（15）对于任何t∈ [0，τh，a），应用Ito的lemmadYρt=d[s（Xt）- s（h（Xt）- a） ]s（Xt）- s（h（Xt）- （a）-s（Xt）- s（h（Xt）- a） [s（Xt）- s（h（Xt）- a） [s（Xt）- s（h（Xt）- a） ]。（16） 我们有以下中间计算：d[s（Xt）-s（h（Xt）-a） ]=s′（Xt）σ（Xt）dWt-s′（h（Xt）-a） h′（Xt））dx和d[s（Xt）-s（h（Xt）-a） ]=[s′（Xt）-s′（h（Xt）-a） h′（Xt））]dXt。注意，{t|Xt=Xt}上支持度量dXtis。以上两个表达式加上（16）导致ρt=s′（Xt）σ（Xt）s（Xt）- s（h（Xt）- a） dWt-s′（Xt）s（Xt）- s（h（Xt）- a） dXt。（17） Int egr ate（17）从0到t∈ [0，τh，a），注意Yρ=1和limt↑τh，aYρt=0，然后是（13）和（14）。我们可以得出类似于张和哈德吉利亚迪斯（2012）的命题2和命题4的结果。特别地，在Xρ=m，{Xt}t上有条件地∈[0，ρ]具有与以下SDE的唯一弱解相同的规律，该解在mdZt级别的第一次命中时停止=u（Zt）+s′（Zt）σ（Zt）s（Zt）- s（h（Zt）- （a）dt+σ（Zt）dBt，Z=x.（18）在xρ=m，{m- Xt}t∈[ρ，τh，a]与在水平调整的第一次命中时间停止的下列SDE的唯一弱解具有相同的规律=-u（m）- Jt）+s′（m）- Jt）σ（m）- Jt）s（m）- s（h（m）- （Jt）dt- σ（m）- Jt）dBt，J=0。

（19） 类似于张和哈吉利亚迪斯（2012）命题4的证明，我们有{Xt}t∈[ρ，τh，a]和{Xt}t∈[0，ρ]或等价的Fρ是条件独立的。有条件的onXρ=m，对于t∈ [ρ，τh，a]，我们有Xt=Xρ=m和Ut=Xt-g（Xt）=Xt-g（m），P-a.s.那么我们有{Ut}t∈[ρ，τh，a]和Fρ是条件独立的。对于t∈ [0，ρ]，Ut=Xt- g（Xt）与Fρ相适应，因此{Ut}t∈[0，ρ]和{Ut}t∈[ρ，τh，a]是两个条件依赖的过程。这就完成了证明。现在我们给出这一部分的主要结果：Ga，h，gy的拉普拉斯变换。定理3.1。（两个Azema-Yor过程到达前的占用时间，张（2014）定理4.5的推广）对于q>0，-x6y<a，如果g（u）>h（u）代表u∈ [x，∞), 然后我们有了-qGa，h，gy；τh，a<∞] =Z∞xs′（m）Wq（g（m）-y、 h（m）-a） 1+s（米）-s（g（m）-y） s′（g（m）-y） Wq，1（克（米）-y、 h（m）-a） Wq（g（m）-y、 h（m）-a） ×exp-Zmxs′（u）s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-a） 1+s（u）-s（g（u）-y） s′（g（u）-y） Wq，1（g（u）-y、 h（u）-a） Wq（g（u）-y、 h（u）-a） 杜马克。（20） 证据。该证明类似于张（2014）的定理4.5，但在需要时需要一些非平凡的修改。我们给出了完整性的证明。简介非负有界可选进程it=exp-qZt{Us<-y} ds{t<τh，a<∞}, t>0。根据Protter（2005）的定理15，p.380，结合命题3.1中的分解，我们得到了[0]上的任何正测试函数f（·），∞ )Ex[f（Xρ）Iρ]=ExZ∞f（Xt）ItdLt= 前任Z∞f（Xt）Its′（Xt）s（Xt）- s（h（Xt）- a） dXt.应用变量m=Xt的变化，回想一下{t|Xt=Xt}上支持的度量dxts，thenEx[f（Xρ）Iρ]=Z∞xf（m）Ex“exp-qZτ+m{Us<-y} ds！{τ+m<τh，a}#s′（m）s（m）- s（h（m）- a） 马克。（21）根据Lehoczky（1977）第607页上的方程式（20），用替换v-h（v）+a→u（v），我们有px（τ+m<τh，a）=exp-Zmxs′（v）s（v）- s（h（v）- a） dv, （22）Px（Xρ）∈ dm）=s′（m）s（m）- s（h（m）- a） 经验-Zmxs′（v）s（v）- s（h（v）- a） dv.