在Levy跳跃下，对接近货币期权的短期扩张

让我们回顾一下，通过定义概率空间延拓（见[9]第5章），P（δ）下的X定律保持不变。在下面的内容中，所有的期望值都将根据扩展的概率测度P（δ）来计算，因此为了简单起见，我们用E来表示P（δ）下的期望。现在，通过添加所涉及过程的Levy测度，很明显，过程X（δ）t:=^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，2）t+~X（δ，3）t+b（δ）t的规律与过程X的规律一致，因此，价格过程S（δ）：=exp（X（δ））是这样的S（δ）t- eκt+= E（圣- eκt+，（3.5）对于任何t≥ 0.接下来，我们将过程X（δ）的定律近似为下一个过程的定律，再次定义在扩展概率空间上(Ohm（δ） ，F（δ），P（δ））表示每个δ∈ (0, ):X（δ）t:=^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+R（δ）+β（δ）t。在上述情况下，选择β（δ），使得最终的价格过程S（δ）t:=eX（δ）t是P（δ）下的鞅。反过来，由于所讨论的过程的三元组是关于截断函数1{x|≤δ},β(δ):= -锆前任- 1.- x1{|x|≤δ}C（x/| x |）{|x|≤δ} +`q（x）1{|x|≥δ} +e-|x |/δ{124; x|≥}|x|-Y-1dx。对于如上所述的β（δ），关于截断函数1{X，X（δ）的L′evy三重态（0，β（δ），ν（δ））|≤1} 由ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）|x给出|-Y-1\'q（δ）（x）dx:=C（x/|x |）x|-Y-1.|x|≤δ+q（x）1|x|≥δ+e-|x |/δ| x|≥dx，β（δ）=β（δ）+ZRx1{δ≤|x|≤1} ν（δ）（dx）=-锆前任- 1.- x1{|x|≤1}ν（δ）（dx），因此很明显，q（δ）满足条件（1.5-i）和（1.5-iii）。为了证明“q（δ）”也满足（1.5-ii），请注意，由于“q”是有界的，对于某些B∈ (0, ∞) 和|x |≥ ,-δ≤ln\'q（δ）（x）|x|≤B | x |，这显然意味着（1.5-ii）。

由于q（δ）满足（1.5）中的所有条件，我们从引理3.3得知→0tY-1.T-耶S（δ）t- eκt+- D= d（δ），（3.6），其中d:=eE（Z+）与δ无关，且d（δ）：=θ（δ）+~γ(δ)- θeP（Z）≥ 0）带θ（δ）：=C（1）Z∞exq（δ）（x）- q（δ）（x）- 十、十、-Y-1dx，（3.7）～γ（δ）：=β（δ）+C（1）- C(-1） Y-1+C（1）Zx-Y1.- q（δ）（x）dx- C(-1） Z-1 | x|-Y1.- q（δ）（x）dx。（3.8）现在，我们继续比较两种价格过程（S（δ）t）下的接近货币期权价格≥0和（St）t≥0.为此，让我们首先注意以下简单的不等式，它很容易从（3.5）和（a+b）中得出+≤ a++| b |对于任何实数a和b:ES（δ）t- eκt+- ES（δ）t- S（δ）t≤ E（圣- eκt）+≤ ES（δ）t- eκt++ ES（δ）t- S（δ）t. （3.9）从（3.9）开始，它接着是thattY-1.T-耶S（δ）t- eκt+- D- T-1ES（δ）t- S（δ）t≤ 泰-1.T-叶（圣- eκt）+- D(3.10)≤ 泰-1.T-耶S（δ）t- eκt+- D+ T-1ES（δ）t- S（δ）t.我们首先证明了E |S（δ）t-S（δ）t |足够快地收敛到0。事实上，利用所涉及过程的独立性S（δ）t- S（δ）t= Ee^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+b（δ）teX（δ，2）t- eR（δ）t+（？）β（δ）-b（δ））t= Ee^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+b（δ）tEeX（δ，2）t- eR（δ）t+（？）β（δ）-b（δ））t≤ EeX（δ，2）t- 1.+ EeR（δ）t+（？）β（δ）-b（δ））t- 1., （3.11）因为e^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+b（δ）t= EeX（δ，2）t-1.≤ E-根据Jensen不等式和∧X（δ，2）是鞅的事实，E∧X（δ，2）t=1。现在，请注意，由（3.1）可知，R（δ）是一个有限的变量过程，因此可以分解为R（δ）t=Xs≤TR（δ）s{|R（δ）s |>δ}+Xs≤TR（δ）s{|R（δ）s|≤δ}- tZ | x|≤δxν（δ）R（dx）=: R（δ，1）t+R（δ，2）t，其中R（δ，1）是一个复合泊松过程，具有L′evy测度ν（δ，1）R（dx）：=C（x/|x |）|x|-Y-1e-|x |/δ{124; x|≥}dx和R（δ，2）thas L′evy三重态（0，0，ν（δ，2）R），关于截断1{x|≤1} 式中，ν（δ，2）R（dx）：=C（x/|x |）（1）-\'q（x））+|x|-Y-1{|x|≤δ} dx。

类似地，由（3.1）可知，~X（δ，2）是一个有限的变化过程，其表示为~X（δ，2）t=Xs≤T~X（δ，2）s- tZ | x|≤δx/ν（δ，2）（dx）。对于（3.11）中的第一项，我们现在有0<t≤ 1，EeX（δ，2）t- 1.= EeX（δ，2）t- 1.{|X（δ，2）t|≤1}+ EeX（δ，2）t- 1.{|X（δ，2）t |>1}≤ 柯~X（δ，2）t+ KEeX（δ，2）t+1P（δ）~X（δ，2）t> 1.≤ 柯~X（δ，2）t+ KP（δ）~X（δ，2）t> 1., （3.12）其中K、K和K是常数，可以独立于δsinceE选择eX（δ，2）t= etR | x|≤δC（x/|x |）（e2x）-1.-2x）（q（x）-1） +|x|-Y-1dx≤ etR | x|≤1C（x/| x |）（e2x）-1.-2x）（q（x）-1） +|x|-Y-1dx<∞.在第一学期（3.12）~X（δ，2）t≤ 前男友≤T~X（δ，2）s+ tZ | x|≤δ| x |ν（δ，2）（dx）=2tZ | x|≤δ| x |ν（δ，2）（dx）=2tZ | x |<δ（\'q（x）- 1） +|x|-对于（3.12）中的第二项，存在0<t≤ 1使得对于任何0<t<tand 0<δ<,P（δ）~X（δ，2）t> 1.≤ P（δ）Xs≤T~X（δ，2）s> 1.-tZ | x|≤δ| x |ν（δ，2）（dx）≤ P()Xs≤T~X(,2） s>= O（t），通过选择足够小的ε（见[15]中的引理3.2或[7]中的备注3.1]），其中最后一个不等式来自以下事实：≤T~X(,2） s{|~X(,2） s|≤δ} 在P之下()与ofPs相同≤T~X（δ，2）s下压（δ）。因此，对于常数K<∞ 独立于δ，lim supt→0t-1EeX（δ，2）t- 1.≤ KZ | x |<δ（\'q（x）- 1） +|x|-Ydx。

（3.13）对于（3.11）中的第二项，对于任何0<t≤ 1和δ∈ (0, ),EeR（δ）t+（b（δ）-β（δ）t- 1.≤ e（b（δ）-β（δ）tEeR（δ，1）t+R（δ，2）t- 1.+e（b（δ）-β（δ）t- 1.≤ e（b（δ）-β（δ）tEeR（δ，2）tEeR（δ，1）t- 1.+ EeR（δ，2）t- 1.+e（b（δ）-β（δ）t- 1.≤ 柯eR（δ，1）t- 1.+ 柯eR（δ，2）t- 1.+ Kb（δ）-β(δ)t、 （3.14）式中，K、K和Kare是可独立于δ选择的绝对常数，因为（3.1），EeR（δ，2）t= etR | x|≤δC（x/| x |）-1)(1-\'q（x））+|x|-Y-1dx≤ 呃| x|≤1C（x/| x |）| ex-1||1-\'q（x）|+|x|-Y-1dx<∞,对于任何δ∈ (0, ),b（δ）-β(δ)=锆前任- 1.- x1{|x|≤δ}(ν - ν（δ））（dx）≤ZRC（x/| x |）前任- 1.- x1{|x|≤δ}|x|-Y-1.|q（x）- 1 | 1{| x|≤δ} +e-|x |δ{124; x|≥}dx≤|c/|zrx）前任- 1.- x1{|x|≤}+ |x | 1{| x|≤}|x|-Y-1.|q（x）- 1 | 1{| x|≤}+ E-|x |δ{124; x|≥}dx<∞.（3.14）中的第二项可以用与（3.11）中的第一项类似的方式处理，以获得支持→0t-1EeR（δ，2）t- 1.≤ KZ | x |<δ（1- \'q（x））+|x|-Ydx，（3.15），其中K与δ无关。对于（3.14）中的第一项，通过λ（δ）和ξ（δ）分别表示跳跃强度和R（δ，1）的第一次跳跃，并根据跳跃次数进行调节，我们得到eR（δ，1）t- 1.= E-λ（δ）tλ（δ）tEeξ（δ）- 1.+ o（t）≤ λ（δ）tEeξ（δ）+ 1.+ o（t），因此，lim supt→0t-1EeR（δ，1）t- 1.≤ λ(δ)Eeξ（δ）+ 1.. （3.16）组合（3.11）-（3.16）给予支持→0t-1ES（δ）t- S（δ）t≤ KZ | x |<δ| 1- \'q（x）| | x|-Ydx+λ（δ）Eeξ（δ）+ 1.+b（δ）-β(δ),对于某些常数0<K<∞. 将上述关系与（3.6）和（3.10）结合，我们得到（δ）- r（δ）≤ lim inft→0tY-1.T-叶（圣- eκt）+- D≤ 林监督→0tY-1.T-叶（圣- eκt）+- D≤ d（δ）+r（δ）。（3.17）仍需显示（i）limδ&0d（δ）=d，（ii）limδ&0r（δ）=0。（3.18）第一个极限由θ（δ）得出→~θ, β(δ)→ b、 和∧γ（δ）→ ~γ.

实际上，θ（δ）=C（1）Z∞exq（δ）（x）- q（δ）（x）- 十、十、-Y-1dx=θ+C（1）Zx≥（例如- 1） e-|x |/δx-Y-1dx+C（1）Zδ（ex- 1） （1）- \'q（x））x-Y-1dx，通过支配收敛定理和（3.1）收敛到θ。一个可以类似地显示其他两个极限β（δ）→ b和∧γ（δ）→ ~γ. 对于（3.18-ii），r（δ）的第一部分收敛到零，再次是（3.1）和| b（δ）-β(δ)| → 0以与θ（δ）类似的方式显示→~θ. 最后，λ（δ）Eeξ（δ）+ 1.=Z | x|≥（ex+1）C（x/|x |）|x|-Y-1e-|x |/δdx≤ 2Z | x|≥C（x/|x |）|x|-Y-1e | x|1.-δdx，对于δ<1/2，被积函数由可积函数（C（1）控制∨ C(-1） ）|x|-Y-1{|x|≥}. 因此，优势收敛定理适用，我们得出结论r（δ）→ 0为δ→ 最后，（3.17）和（3.18）证明（3.2）。备注3.4.1。按照惯例，我们可以将扩展（3.2）映射为模型的Black-Scholes隐含波动率^σ（t）的近似货币扩展。具体来说，我们有以下关于^σ（t）的小时间行为：^σ（t）=σtY-+ σt+o（t），t→ 0，（3.19），其中σ：=√2πeEZ+, σ:=√2π~θ + (~γ - θ） eP（Z）≥ 0). （3.20）（3.19）的证明与[5]中推论3.7的证明相同，因此省略。2.同样值得一提的是Z+andeP（Z≥ 0）具有以下显式表达式（参见[5]及其引用）：eEZ+=AYπΓ(-Y）Y余弦πYYcos雅克坦巴丹YπΓ1.-Y1 +文学士棕褐色的πY!2Y，eP（Z≥ 0）=+π雅克坦巴丹Yπ,式中A:=C（1）+C(-1） 和B:=C（1）- C(-1).3.

通过使用来自鞅条件（2.1）的b的表达式，（3.2）中的二阶项可以写成d=eP（Z<0）C（1）Z∞（exq（x）- q（x）- x） x-Y-1dx-eP（Z）≥ 0)C(-1） Z-∞（exq（x）- q（x）- x） |x|-Y-1dx+θ,它独立于为X.4 L’evy跳跃模型的L’evy三元组选择的截断函数，具有随机波动性。当资产价格过程包含非零布朗成分时，ATM期权价格的二阶近似值如[5]所示。在本节中，我们将展示连续布朗部分可以被一个独立的随机波动过程所取代。如第2节所述，我们考虑资产价格过程St:=SeXt+Vt，其中X是满足定理3.1条件的纯跳跃回火类稳定过程，V的定义如（2.4）-（2.5）所示。此外，假设σ（y）>0，并且存在一个包含y的开区间I，其中α（·）和γ（·）一致有界，σ（·）是Lipschitz连续的。以下结果将用于证明过程（St）t的二阶期权价格近似值≥0.其证明推迟到附录C引理4.1。让（Yt）t≥0be如（2.5）所示，τ：=inf{t≥ 0:Yt/∈ （a，b）}，其中a和b使得a<y<b。那么，对于任何k∈ N、 P（τ）≤ t） =O（tk），作为t→ 0.接近货币期权价格的二阶近似值现在可以表述如下。定理4.2。考虑模型St:=SeXt+Vt，如上所述，让κt:=θt3-Y+o（t3）-Y） ，作为t→ 0，对于某些θ∈ 然后，看涨期权价格的二阶渐近展开式是（St- Seκt）+=dt+dt3-Y+ot3-Y, T→ 0，（4.1），其中d:=σ（y）√2π，d:=θ+-Y+1√πΓ1.-YC（1）+C(-1） Y（Y）-1） σ（y）1-Y.（4.2）备注4.3。根据与备注3.2相同的推理，定理4.2中对数货币性κtchosen的形式是最相关的。

当κt以比t3更快的速率收敛到0ata时，扩展减少到在货币情况下（θ=0）的扩展-特别是，如果κt=θt+o（t），如定理3.1所示，情况就是这样。相反，如果，例如，κt=θtβ+o（tβ），且<β<3-Yandθ6=0，则- Seκt）+=dt+dtβ+ot3-Y, T→ 0，（4.3），其中dis如（4.2）和d:=θ/2。条件β>对于一阶项D如（4.2）所示是必要的（另见[12]中的定理3.1）。粗略地说，（4.3）表示如果κt收敛到0的速度足够快，前导阶项为dt1/2，但比t（3）慢-Y）/2，则二阶项及其阶数由κtand确定，因此，不包含有关基础财务模型的额外信息。备注4.4。相应的波动率（σt）+1（σt）+1(-1))2-YY（Y）-1)Γ1.-Yσ（y）1-Yt1-Y+ot1-Y, T→ （4.4）第（4.4）项的证明与[5]中推论4.3项的证明相同，因此省略。定理4.2的证明。自始至终，我们取S=1，但不失一般性。现在，结果将显示在以下三个步骤中。步骤1）我们首先表明，可以假设X的L′evy密度的形式为s（X）=C（X/| X |）e-|x | | x|-Y-1，（4.5）尤其满足（1.5）中的条件（事实上，它甚至满足（1.3）中更强的条件）。我们使用了一个类似于定理3.1证明的过程。让δ∈ （0，1）是一个固定常数，如inf | x|≤δq（x）>0，且设（0，b（δ），ν）是x关于截断函数1{x的L′evy三元组|≤δ}.然后，定义(Ohm（δ） ，F（δ），P（δ）），原概率空间的一个扩展(Ohm, F、 P），以及独立的L'evyprocess、~X（δ，1）、~X（δ，2）和'X（δ，3），它们也独立于原始过程X和V。

更准确地说，关于1{X，| X的| evy三重态（δ，i）|≤δ} ，由（0，0，|ν（δ）i）给出，对于i=1，2，3，其中|ν（δ）（dx）：=C（x/| x |）1{x|≤δ}E-|x{q（x）≥E-|x |}+\'q（x）1{\'q（x）<e-|x |}|x|-Y-1dx，△ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）{|x|≤δ}q（x）- E-|x|++ 1{|x|≥δ} q（x）|x|-Y-1dx，△ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）{|x|≤δ}E-|x|- q（x）++ 1{|x|≥δ} e-|x||x|-Y-1dx。如前所述，我们将用E表示P（δ）下的期望值。现在，很明显，L’evy过程X（δ）t:=~X（δ，1）t+~X（δ，2）t+b（δ）t的规律与过程X的规律一致，因此，价格过程S（δ）：=exp（X（δ）+Vt）是这样的S（δ）t- eκt+= E（圣- eκt）+，对于任何t≥ 0.接下来，定义过程X（δ）t:=~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+β（δ）t，其中选择β（δ），从而得出的价格过程S（δ）t:=eX（δ）t+Vt是P（δ）下的鞅。注意，X（δ）具有形式为（4.5）的L′evy密度。我们将证明在两种价格过程（S（δ）t）下，接近货币期权价格的二阶项是相同的≥0和（St）t≥0.如（3.9）中所述，它紧随其后-2.T-ES（δ）t- eκt+- D- 泰-3ES（δ）t- S（δ）t≤ 泰-2.T-E（圣- eκt）+- D(4.6)≤ 泰-2.T-ES（δ）t- eκt+- D+ 泰-3ES（δ）t- S（δ）t,对于两种价格过程（S（δ）t）下的期权价格≥0和（St）t≥0若要获得相同的二阶项，则必须S（δ）t- S（δ）t= EeVtEeX（δ）t- eX（δ）= O（t），t→ 0.（4.7）利用相关流程的独立性，我们eX（δ）t- eX（δ）= EeX（δ，1）t+b（δ）tEeX（δ，2）t- eX（δ，3）t+（β（δ）-b（δ））t≤ EeX（δ，2）t- 1.+ EeX（δ，3）t+（β（δ）-b（δ））t- 1., （4.8）因为，根据Jensen不等式和∧X（δ，2）是鞅的事实eX（δ，1）t+b（δ）t= EeX（δ，2）t-1.≤ E-EX（δ，2）t=1，则（4.8）中的项的顺序可以显示为O（t），使用与用于显示（3.11）中的项的顺序类似的参数，并注意到X（δ，2）和X（δ，3）的皮重变化过程是有限的。

事实上，Z | x|≤δq（x）- E-|x||x|-Ydx≤Z | x|≤δ| q（x）- 1 | | x|-Ydx+Z | x|≤δ1.- E-|x||x|-Ydx<∞.从（4.6）和（4.7）中，为了获得（4.1），必须表明→0tY-2.T-ES（δ）t- eκt+- D= d、 因此，从一开始，我们假设X具有如（4.5）中所示的L′evy密度。步骤2）我们现在将展示（4.1）在存在常数m和m且0<m的情况下的有效性≤ σ（y）≤ M<∞, 对于RYT范围内的所有y≤1，（4.9）即RY=∪0≤T≤1支持（Yt），支持（Yt）代表Yt的支持。我们的想法是将问题简化为过程Y具有确定性的情况，通过将期权的收益限制在过程W的实现上。为了形成这个想法，我们需要引入一些符号。关于过滤概率空间（Ohm,F，（Ft）t≥0，P）满足通常条件，我们定义了独立的过程X和W，使得（Xt）定律为0≤T≤根据P与（Xt）的定律相同≤T≤1在P下，和（Wt）0≤T≤这是一个标准的布朗运动。此外，对于某些确定性函数sy:=（ys）s∈[0,1]和q:=（qs）s∈[0,1]属于[0,1]上的连续函数类C（[0,1]），let（Vy，qt）0≤T≤1定义为Vy，qt=-Ztσ（yu）du+ρqt+p1- ρZtσ（yu）dWu。（4.10）有了这个符号，我们考虑一个函数Φ：[0，1]×C（[0，1]）×C（[0，1]）→ R+定义为Φ（t，y，q）：=EeXt+Vy，qt- eκt+. （4.11）那么很明显，对于任何∈ [0,1]，E（圣- eκt）+Ws，s∈ [0, 1]= Φt、 （Ys）s∈[0,1]，（Qs）s∈[0,1], （4.12）式中：∈ [0, 1].以下术语也将在续集中使用：V1，y，qt:=-ρZtσ（ys）ds+ρqt，V2，y，qt:=-(1 - ρ） Ztσ（ys）ds+p1- ρZtσ（ys）dWs，ψy，q，wt:=ψ1，y，q，wt+ψ2，yt，ψ1，y，q，wt:=V1，y，qt- ρσ（y）w，ψ2，yt:=1- ρZtσ（ys）ds，（4.13），其中w∈ R是一个辅助常数。稍后，我们将用Wt（ω）代替w，在（Ws）0条件下≤s≤1，显然是常数。注意Vy，qt=V1，y，qt+V2，y，qt。

为了便于记法，除非明确需要，否则我们通常在上述过程中删除依赖项y、q和w。此外，由于符号的某些滥用，我们有时使用以下简写符号：Vt（ω）：=V1，Y·（ω），Q·（ω）t，ψt（ω）：=ψY·（ω），Q·（ω），Wt（ω）t，ψt（ω）：=ψ1，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）t，ψt（ω）：=ψ2，Y·（ω）t，（4.14），其中ω∈ Ohm 和往常一样，Y·（ω）和Q·（ω）在C（[0，1]）中被视为随机元素。与纯跳跃情况一样，我们将使用两种概率变换。首先，定义P*关于（Ohm,F）比亚迪P*|FtdP | Ft=eXt+Vt，t≤ 1.低于P*, （X）t≤1有L’evy三联体（0，b*, ν*) 由（2.7）给出。类似地，根据Girsanov的布朗运动定理，（Vt）0≤T≤1具有代表性dVt=（1）- ρ） σ（yt）dt+p1- ρσ（yt）dW*,2t，V=0，代表0≤ T≤ 1，其中（W*,2t）0≤T≤这是一个P*-维纳过程。接下来，定义（2.11）和（2.12）中所述的概率度量，但将过程X的跳跃度量N替换为X的跳跃度量。特别是，在EP下，X具有由（2.8）给出的Levy三元组。与（2.10）类似，我们定义了中心过程Zt:=Xt- t~γ，式中~γ：=eEX. 注意（Vt）t的定律≤1 Underep保持不变。还需要指出的是，在这两种情况下P*安第普（i）t-1/2Vt~ NT-1/2ψt（1）- ρ） “∑t（y）, （ii）t-1/2Vt- ψt~ NT-1/2Vt- ψt, (1 - ρ） “∑t（y）（4.15）其中，对于t∈ （0,1]，\'σt:C（[0,1]）→ R+由‘∑t（y）定义：=stZtσ（ys）ds∈ [m，m]。（4.16）为了找到展开式的二阶项，我们研究了tY/2的极限-1Rtas t→ 0，其中，对于0<t≤ 1，我们设置：=t-1/2E（圣- eκt）+- d、 根据函数Φ，可以表示为RT=ET-1/2E（圣- eκt）+Ws，s∈ [0, 1]- D= ET-1/2Φt、 （Ys）s∈[0,1]，（Qs）s∈[0,1]- D=: EΦt、 （Ys）s∈[0,1]，（Qs）s∈[0,1].我们将展示这个极限→0天/2-1Rt=d，用于定理陈述中定义的常数dde。