在Levy跳跃下，对接近货币期权的短期扩张

因此，当t和v为Ctv时-Y+1≤ v/4，ePeU（ε）t≥ v/2=eP-eU（ε）t≥ v/2+ePeU（ε）t≥ v/2≤eP-eU（ε）t+EeU（ε）t≥ v/4+ePeU（ε）t- EeU（ε）t≥ v/4接下来，使用中心随机变量的集中不等式（例如，参见[8]，推论1），ePeU（ε）t≥ v/2≤ 2ev4ε-v4ε+tVε日志1+εv4tVε≤ 2.4eVεvv4εtv4ε≤32eVv/4vt，其中Vε：=Var（eU（ε）），在最后一个不等式中，ε=V/4。现在，Vv/4=Var欧盟（v/4）=Z||||（x）|≤v/4а（x）аν（dx）=Z{124; x|≤v、 ||（x）|≤v/4}~n（x）~ν（dx）+Z{124; x|≥v、 ||（x）|≤v/4}~n（x）~ν（dx）≤ M|CZ|x|≤v | x|-Y+1dx+C五、Z | x|≥v | x|-Y-1dx≤ κv2-Y、 对于一些人来说∞, 如上所述，我们设置M:=sup | x |>0 |~n（x）|/|x |，这是（1.5）的定义。因此，无论何时-Y+1≤ v/4（或相当于4Ctv-Y≤ 1） ，tePeU（ε）t≥ v/2≤eVv/4v≤ -κv-Y.此外，对于任何t>0和v>0，tePeU（ε）t≥ v/2=泰普eU（ε）t≥ v/2{4Ctv-Y≤1} +tePeU（ε）t≥ v/2{4Ctv-Y> 1}≤ -κv-Y+4Cv-Y≤ -κv-Y、 结合之前的估计，我们最终得出了TEPeUt≥ 五、≤泰普\'\'eU（ε）t≥ v/2+泰普eU（ε）t≥ v/2≤ -κv-Y.（C.3）对于所有v>0和t>0以及一些常数∞.引理A.3的证明。使用中心随机变量的集中不等式（例如，参见[8]，推论1）给出| P（|ξt |≥ v）≤ 2evR-vR+tVRR日志1+RvtVR= 2evR1.-日志1+RvtVRE-vR+tVRR日志1+RvtVR,式中，VR=V ar（ξ），ande-vR+tVRR日志1+RvtVR≤ E-vRlog1+RvtVR≤ tvRRvVR-虚拟现实。然后通过为VR选择足够大的vbig来建立关系≥ 1和2日志RvVR> k保持。引理4.1的证明。按照[1]的行，定义Zt=u（Yt），其中u（y）=Zyye-RxY2α（z）γ（z）dzdx。（Zt）t≥0是二次变量的局部鞅hzit=Zt（u（Ys）γ（Ys））ds=Zte-4RYsYα（z）γ（z）dzγ（Ys）ds，因此存在布朗运动（Bt）t≥0从Z开始，这样Zt=BhZit。同时确定已停止的流程“Yt=Yt”∧τ和¨Zt=Zt∧τ.

那么，P（τ）≤ t） =Pinfs≤图（Ys）≤ u（a）或sups≤图（Ys）≥ u（b）= Pinfs≤tZs≤ u（a）或sups≤tZs≥ u（b）= Pinfs≤TZ≤ u（a）或sups≤TZ≥ u（b）= 品脱≤赫兹特布斯≤ u（a）或sups≤赫兹特布斯≥ u（b）！≤ 两杯≤β（t）Bs≥ M≤ 4ψMpβ（t）！，（C.4）其中（Bt）t≥0是标准布朗运动，M:=min（u（b）- Z、 Z- u（a）），β（t）是一个确定性函数，例如h′Zit≤ β（t），最后一行来自p（St>z）=2ψ的事实Z√T, z>0，其中sti是标准布朗运动的运行上确界，ψ（z）：=z∞Z√2πe-乌杜。为了证明β（t）的存在，请注意h¨Zit=Zte-4R’YtYα（z）γ（z）dzγ（\'Ys）ds，首先，假设γ（y）6=0，并使用γ（·）在yto find a、\'b和 > 0，以便∈ （\'a，\'b）和|γ（y）|>为了你∈ （\'a，\'b）。然后，利用α（·）和γ（·）是局部有界的这一事实，h′Zit≤ KZteKR‘b’aγ（z）dzds<Kt=：β（t），其中K、K和Kare为正常数。因此，（C.4），也就是P（τ≤ t） ，对于任何k都是O（tk）顺序∈ N.如果γ（y）=0，则设y∈ （a，b）使得γ（y）6=0（如果不存在这样的yexists，那么Yt{a<Yt<b}是确定性的，而p（τ≤ t） =0表示t足够小），定义τ：=inf{t≥ 0:Yt=y}。

ThenP（τ）≤ t） =P（τ）≤ t、 τ≤ τ） +P（τ）≤ t、 τ>τ）≤ P（τ）≤ t |τ≤ τ） +P（τ）≤ t、 τ>τ）≤ P（¨τ）≤ t） +P（τ）≤ t、 τ>τ）=O（tk），t→ 0，其中τ：=inf{t≥ 0:Yt/∈ （a，b）|Y=Y}，因此第一项的顺序来自于γ（Y）6=0的情况，第二项的顺序来自于（Ys）s的事实≤在{τ>t}上是确定的，所以P（τ≤ t、 τ>τ=0，足够小。致谢：作者感谢两位匿名审稿人提供的建设性和有益的评论，这对提高手稿质量做出了重大贡献。参考文献[1]Abundo，M.：关于一维扩散过程最大值的一些评论，概率与数理统计，28（1），107-1202008。[2] 安徒生，L.，利普顿，A.：指数L’evy过程的渐近性及其波动性微笑：调查和新结果。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》第16卷第1期，第1-98页，2013年。[3] Carr，P.，Madan，D.：期权定价的鞍点方法，计算金融杂志，13（1），49-612009。[4] Cont，R.，Tankov，P.：带跳跃过程的金融建模，查普曼和霍尔，2004年。[5] Figueroa-L\'opez，J.E.，Gong，R.，Houdr\'E，C.：指数型evy模型ATM期权价格的高阶短期扩展，发表于《数学金融》，2013年。可从arXiv获得：1208.5520。[6] Figueroa-L\'opez，J.E.，Forde，M.：指数L\'evy模型的小成熟微笑，暹罗金融数学杂志3（1），33-652012。[7] Figueroa-L\'opez，J.E.，Houdr\'E，C.：L\'evy过程、随机过程及其应用的过渡分布的小时间展开，1193862–38892009。[8] Houdr\'e，C.：关于不可完全整除随机向量函数的偏差不等式的评论，概率年鉴，30（3），1223-12372002。[9] 卡伦伯格，O.：现代概率的基础。

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