在Levy跳跃下，对接近货币期权的短期扩张

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英文标题：
《Short-time expansions for close-to-the-money options under a L\\\'evy jump
  model with stochastic volatility》
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作者：
Jos\\\'e E. Figueroa-L\\\'opez and Sveinn \\\'Olafsson
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In Figueroa-L\\\'opez et al. (2013), a second order approximation for at-the-money (ATM) option prices is derived for a large class of exponential L\\\'evy models, with or without a Brownian component. The purpose of this article is twofold. First, we relax the regularity conditions imposed in Figueroa-L\\\'opez et al. (2013) on the L\\\'evy density to the weakest possible conditions for such an expansion to be well defined. Second, we show that the formulas extend both to the case of \"close-to-the-money\" strikes and to the case where the continuous Brownian component is replaced by an independent stochastic volatility process with leverage.
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中文摘要：
在Figueroa-L\'opez等人（2013年）中，针对一大类指数L\'evy模型（有或没有布朗成分）推导了货币（ATM）期权价格的二阶近似值。本文的目的有两个。首先，我们将Figueroa-L\'opez等人（2013年）对L\'evy密度施加的规则性条件放宽到最薄弱的条件，以便更好地定义这种扩展。其次，我们证明了这些公式既可以推广到“接近货币”的情况，也可以推广到连续布朗成分被独立的随机波动过程所取代的情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Short-time_expansions_for_close-to-the-money_options_under_a_Lévy_jump_model_wi.pdf (745.89 KB)

2022-5-6 02:32:32 上传

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关键词：Levy Differential Quantitative Applications Probability

随机波动的L’evy跳跃模型下近货币期权的短期扩张*和Sveinn\'Olafsson+2022年3月24日[Figueroa-L\'opez et al.（2013）[指数L\'evymodels的ATM期权价格的高阶短期扩展]，针对一大类指数L\'evy模型（有或没有布朗成分），推导了货币（ATM）期权价格的二阶近似值。本文的目的有两个。首先，我们将Figueroa-L\'opez等人（2013年）对列维密度施加的监管条件放宽至最薄弱的条件，以便更好地定义这种扩张。其次，我们证明了这些公式不仅适用于“接近货币”罢工的情况，也适用于连续布朗成分被具有杠杆作用的独立随机波动过程所取代的情况。关键词和短语：指数L′evy模型；随机波动模型；短时渐近性；定价；隐含波动性2000主题分类：60G51、60F99、91G20、91G60JEL分类：C61简介近年来，人们对期权价格的渐近行为和各种渐近机制下的隐含波动性进行了大量研究。关于该主题的最新评论，请参考[2]。尽管这一问题在文献中受到了关注，但仍然存在一些重要的开放性问题，例如一类足够广泛的模型的拉科夫精确（即高阶）渐近性，其一般性足以包含资产价格的几种风格化特征，以及在包括即将到期的“接近货币”期权时确定合适的渐近机制。

这两个关键问题在目前的工作中得到了解决。在存在跳跃风险的情况下，直到最近，对于即将到期的现金（ATM）期权，还没有可用的高阶渐近解，更不用说接近现金期权了。在[5]中，我们推导了一类指数L’evy模型的ATM期权价格的二阶近似。更具体地说，时间t的资产价格由t:=SeXt给出，其中X:=（Xt）t≥0是一个具有L\'evy密度s:R\\{0}→ [0, ∞) 形式（x）=|x|-Y-1Cx | x|q（x），（1.1）代表Y∈ （1,2），常数C（1），C(-1) ∈ (0, ∞), 和一个有界可测函数\'q:R\\{0}→ [0, ∞) 这样的限制→0\'q（x）=1。(1.2)*美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907(figueroa@purdue.edu).部分由NSF资助的研究：DMS-1149692.+美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907(sveinno@purdue.edu).条件（1.1）和（1.2）要求过程X的“小”跳跃行为类似于Y-稳定过程，而函数q允许大跳跃的缓和，以便X具有有限的指数矩，这是价格过程成为鞅所必需的。具有满足（1.1）-（1.2）的L’evy密度s的纯跳跃L’evy过程将在下文中被称为回火稳定过程。值得指出的是，金融领域使用的大多数标准L’evy模型都承认形式为（1.1）的L’evy密度。其中包括CGMY模型和[4]中定义的正常回火稳定过程、Meixner过程（[17]）和广义双曲类（[17]）。然而，请注意，在后两种情况下，Y=1。

Y的限制∈ （1,2）实际上是受最近基于高频金融数据的经济计量研究的推动（见[5]中的备注2.2和其中的参考文献）。除了（1.1）-（1.2）之外，在[5]中，对于某些常数M，G>0，还假设‘q满足以下技术条件：（i）1- q（x）~ Mx，x&0；（二）1- q（x）~ -Gx，x%0；（iii）q（x）≤ E-x、 对于所有x>0；（iv）q（x）≤ 1，所有x<0；（1.3）（v）lim sup | x|→∞|ln¨q（x）| | x |<∞; （六）inf | x|<对于任何情况，q（x）>0 > 0.一个自然而重要的问题是，正则性条件（1.3）对于[5]中二阶短期扩张的有效性有多必要。在接下来的内容中，我们展示了它们大多是超丰富的，并且所有需要的是以下可积条件z | x|≤1 | x|-Y | 1- \'q（x）| dx<∞, （1.4）如下所示，这是二阶展开式定义良好的最小可能条件。让我们简要概述一下我们的证明策略。首先，使用类似于[5]的参数，我们证明了类似processeX的回火稳定的结果的有效性，其“q函数”满足以下条件：（i）|1- \'q（x）|=O（|x |），x→ 0; （ii）lim sup | x|→∞|ln¨q（x）| | x |<∞; （三）inf | x|<对于任何情况，q（x）>0 > 0.（1.5）其次，使用与[12]中介绍的方法类似的方法，我们证明了仅满足（1.4）的过程对应的期权价格，可以通过满足（1.5）中所有三个条件的过程对应的期权价格，近似到第二阶。众所周知，指数L’evy模型无法准确捕捉波动率表面的时间动态，并且它们没有考虑资产价格的一些风格化特征，例如波动率聚类和杠杆效应。

对此的一种自然补救方法是，用一个独立的随机波动过程取代L’evy过程的（恒定波动）布朗成分，其形式为dvt=u（Yt）dt+σ（Yt）ρdWt+p1- ρdWt, V=0，（1.6）dYt=α（Yt）dt+γ（Yt）dWt，Y=Y，（1.7）其中（Wt）t≥0和（Wt）t≥0是独立的标准布朗运动。该框架包括最常见的随机波动模型，如均值回复Heston和Ornstein-Uhlenbeck过程。然后，我们将考虑资产价格过程St:=SeXt+Vt，其中X是一个纯跳跃式稳定过程，如上所述，并表明在（1.6）-（1.7）中漂移和波动参数的一些温和条件下，[5]中的二阶展开仍然有效，但布朗分量的波动率σ被即期波动率σ（y）取代。这样做的步骤在精神上与纯跳跃案例中使用的步骤类似。首先，通过调节随机因子Y并利用高斯分布的性质，可以使用类似于[5]中的策略来表明，当σ（·）假定有界于0和0时，展开是有效的∞. 然后，类似于[12]中介绍的方法可以用来证明二阶展开式扩展到了潜在无界σ（·）的情况。上述渐近展开式与ATM期权价格有关，即e（St- Seκ）+κ=0。如上所述，随着到期日接近0，大多数流动性期权的执行价格接近ATM，即κ，这一事实提出了一个具有实际重要性的问题≈ 0（参见[11]）。然而，在存在跳跃的情况下，随着到期日的减少（参见[6,18]），场外期权（κ6=0）的隐含波动率会爆炸，而ATM期权的隐含波动率会收敛到一个固定值（参见[13,18]）。

因此，我们有兴趣看看是否可以扩大货币扩张的范围，以包括执行价格“接近货币”的期权。为了使这个想法正式化，我们遵循[11]的思路，考虑E（St）形式的期权价格- Seκt），其中log-strikeκt现在具有终止性功能，因此κt→ 0，作为t→ 0.换言之，当t>0时，罢工被允许超出货币范围，而当t等于货币罢工时，罢工被允许收敛到货币范围→ 0.事实证明，无论有无连续成分，都存在一个小的到期对数货币制度，这取决于二阶项的顺序，ATM渐近展开确实可以用于包含接近货币期权。本文的其余部分组织如下。首先，第2节介绍了基础资产价格模型和一些有用的符号。接下来，第3节和第4节分别给出了纯跳跃情形和包含连续波动分量情形下的近似货币渐近展开。最后，在第5节中进行了数值分析。引理和其他技术细节的证明请参见附录A-C.2模型和一些相关注释通篇，X:=（Xt）t≥0表示在过滤概率空间上定义的纯跳跃L’evy过程(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）满足通常条件，三重态（0，b，ν）为：（i）Z∞exν（dx）<∞, 及(ii)E前任= 经验b+ZR前任- 1.- x1{|x|≤1}ν（dx）= 1，（2.1）式中，R:=R\\{0}，给出了与截断函数1{x有关的L\'evy三元组|≤1} （见[16]第8节）。注意，我们隐式地假设无风险率r为零，并且P是指数L′evy过程St:=SeXt的鞅测度。

此外，假设L’evy测度ν允许密度s:R→ [0, ∞)形式（x）=|x|-Y-1Cx | x|q（x），（2.2）代表Y∈ （1,2），常数C（1），C(-1) ∈ [0, ∞) 使C（1）+C(-1） >0，且有界可测函数\'q:R→ [0, ∞) 这样的限制→0\'q（x）=1。（2.3）正如引言中所解释的，我们还希望在模型中加入一个独立的随机波动成分。为此，我们假设(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）也携带一个过程（V，Y）：=（Vt，Yt）t≥0，独立于X，因此dvt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）ρdWt+p1- ρdWt, V=0，（2.4）dYt=α（Yt）dt+γ（Yt）dWt，Y=Y，（2.5），考虑资产价格过程St:=SeXt+Vt。这里，（Wt）t≥0和（Wt）t≥假设0是独立的标准布朗运动相对于过滤（Ft）t≥0, ρ ∈ [-1,1]和α（·）、γ（·）和σ（·）被假定为一个定义良好的P-鞅。特别是，α（·）和γ（·）使得（2.5）允许一个唯一的强解，而σ（·）使得（2.4）中的积分定义良好。正如在[5]中，我们的证明中的一个重要组成部分是一些合适的概率密度变换。为了定义这些转换，我们进一步假设过滤（Ft）t≥0等于F=∨T≥0英尺。然后，利用鞅条件E提取= 1，概率测度P*在(Ohm, F） 定义为viadP*|FtdP | Ft=eXt，t≥ 0.（2.6）在这个概率测度下，X是一个具有三重态（0，b）的L′evy过程*, ν*) 由ν给出*（dx）：=exν（dx）=exs（x）dx，b*:= b+Z | x|≤1x（ex- 1） s（x）dx，（2.7）（见[16]定理33.1）。一旦测量P*定义后，构造了另一个局部等效度量eP，根据该度量，X的L’evy三重态（0，~b，~ν）的形式为ν（dx）：=|X|-Y-1Cx | x|dx=|x|-Y-1.C（1）1{x>0}+C(-1） 1{x<0}dx，~b:=b*+Z | x|≤1x（~ν）-ν*)（dx）。（2.8）特别是，X在EP下是Y稳定的L’evy过程。

请注意，条件（1.3-vi）确保/ν等于ν*因此，根据[16]中的定理33.1，度量变换P*→如果满足以下条件，eP定义良好：ZRe~n（x）/2- 1.ν*（dx）=ZR1.- E-~n（x）/2νν（dx）<∞, （2.9）式中φ（x）：=lnd/dν*= -ln’q（x）- x、 我们用一些有用的符号来结束这一部分。让我们首先定义中心过程zt:=Xt- tγ，（2.10），其中eγ：=eE（X），这必然是EP下严格Y稳定的过程。第二，用N表示过程X的跳跃度量，用N表示过程ep下的补偿度量（dt，dx），可以得到对数密度过程的以下表示（见[16]中的定理33.2]：Ut:=logdeP | FtdP*|Ft=eUt+ηt（2.11），其中eUt:=ZtZRа（x）N（ds，dx），η：=ZRE-~n（x）- 1+~n（x）如果ZrE-~n（x）- 1+~n（x）νν（dx）<∞. （2.13）在这一点上，值得一提的是，在续集中，条件（2.9）和（2.13）将不会被假定为满足。正如导言中所解释的，这个想法是为了近似满足较弱条件（1.4）的模型的“接近货币”期权价格，以及满足一组更强条件的模型的相应期权价格，特别是意味着（2.9）和（2.13）。3纯跳跃L’evy模型考虑第2节中介绍的纯跳跃指数L’evy模型。在本节中，我们证明了[5]的二阶展开式仅在最薄弱的条件下是有效的，在这种条件下，它被很好地定义。以下定理是本节的主要结果。定理3.1。考虑指数L'evy模型St：=SeXt，其中X：=（Xt）t≥0是一个纯跳L’evy过程，其三重态（0，b，ν）满足（2.1）-（2.2）有界可测函数‘q:R\\{0}→ [0, ∞) 这样limx→0\'q（x）=1和z|x|≤1 | x|-Y | 1- \'q（x）| dx<∞.

（3.1）在这种情况下，如果相应看涨期权的对数货币性κt的形式为κt:=θt+o（t），则为t→ 0，对于某些θ∈ R、 然后给出了接近货币期权价格的二阶渐近展开式- Seκt）+=dtY+dt+o（t），t→ 0，（3.2）带d:=eE（Z+）和d:=θ+（θγ）- θ） eP（Z）≥ 0），其中，在EP下，Zi是一个严格稳定的r.v.，具有L’evy度量ν（dx）：=C（x/| x |）|x|-Y-1dx和θ：=C（1）Z∞（exq（x）- q（x）- x） x-Y-1dx，（3.3）~γ：=eE（X）=b+C（1）- C(-1） Y-1+C（1）Zx-Y（1- \'q（x））dx- C(-1） Z-1 | x|-Y（1- q（x））dx。（3.4）备注3.2。条件（3.1）是展开式（3.2）有意义的最小条件，否则（3.4）中的积分没有很好的定义。还要注意，定理3.1中对数货币性κtchosen的形式在某种意义上是最相关的。如图所示，如果κt以比t快的速度收敛到0（即定理中的θ=0），则二阶渐近展开式与货币情形中的二阶渐近展开式正好一致。相反，如果κt收敛速度较慢，则二阶项不再包含关于回火函数q的信息，其顺序由κt决定。更准确地说，如果，例如，κt=θtβ+o（tβ），y<β<1，θ6=0（β>确定dt1/y为展开的首阶项），则- Seκt）+=dtY+dtβ+o（t），t→ 0，其中dis如定理中所示，d:=θeP（Z）≥ 0），其中zi仍然是一个严格稳定的随机变量，其l′evy测度~nν（dx）：=C（x/| x |）|x|-Y-1dx。在这一点上，参考[11]的工作也可能是相关的，其中考虑了接近货币渐近状态κt:=θpt ln（1/t），导致期权价格的收敛速度较慢。如引言所述，定理3.1中的结果将通过两个步骤获得，第一个步骤包括放松等式中给出的条件。

（1.3）到式（1.5）中的值。下面的命题给出了这个结果，其证明基于与[5]类似的方法，并在附录A引理3.3中给出。设St:=SeXt，其中Xt是一个纯跳跃L’evy过程，其三重态（0，b，ν）满足（2.1）-（2.2）丰富的可测函数‘q:R\\{0}→ [0, ∞) 满足（1.5）中的条件。然后，二阶渐近展开式（3.2）成立。定理3.1的证明。自始至终，我们假设S=1，并且∈ （0，1）是一个常数，使得inf | x|≤q（x）>0。存在自q（x）起保证→ 1作为x→ 0.这个想法是用满足（1.5）中条件的L’evy过程X（δ）对应的期权价格来近似X对应的期权价格。这里，δ是一个参数，其值用于控制两个模型的期权价格之间的距离。为了确定X（δ），让我们首先看看过程X的L′evy It^o分解，其截断函数为1{X|≤δ} ，foreachδ∈ (0, ) （见[16]）。更准确地说，考虑分解xt=^X（δ）t+\'X（δ）t+b（δ）t:=ZtZ | X |>δxN（ds，dx）+lim↓0ZtZ<|x|≤δx′N（ds，dx）- tZR（前- 1.- x1{|x|≤δ} v（dx），对于任何t≥ 0.下一步，在适当的扩展上(Ohm（δ） ，F（δ），P（δ））(Ohm, F、 P），我们定义了几个独立的L’evy过程，~X（δ，1），~X（δ，2），~X（δ，3）和R（δ），这样它们也独立于原始过程X。具体地说，考虑L’evy度量值△ν（δ）（dx）：=C（X/|X |）1{q（X）≥1，|x|≤δ} |x|-Y-1dx，￠ν（δ）（dx）：=C（x/| x |）（(R)q（x）- 1） +{|x|≤δ} |x|-Y-1dx，ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）1{q（x）<1，|x|≤δ} \'q（x）|x|-Y-1dx，ν（δ）R（dx）=C（x/|x |）(1 - \'q（x））+{|x|≤δ} +e-|x |/δ{124; x|≥}|x|-Y-1dx。然后，关于截断1{| x|≤δ} 当i=1,2,3时，~X（δ，i）的L′evy三重态被设置为（0,0，~ν（δ）i），而R（δ）的L′evy三重态由（0,0，ν（δ）R）给出。