在Levy跳跃下，对接近货币期权的短期扩张

首先，使用（A.5），概率度量toeP的变化，以及变量‘（t，y，q）=t的变化-1/2eVtEeXt+Vt- eκt-Vt+- d=t-1/2eVtZ∞E-zP*Xt+Vt≥ z+κt-Vtdz- d=eVtZ∞-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψe-√屠-γt+κt-ψtP*T-1/2Vt- ψt≥ U-T-1/2Zt杜- d=eVtZ∞-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√屠-γt+κt-ψ三通E-eUt-ηt{t-1/2（Vt-ψt）≥U-T-1/2Zt}杜- d、 接下来，我们将其分解如下，对于任何w∈ R、 Φ（t，y，q）=e-ηteVtZ∞E-√屠eEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥U-T-1/2Zt}-eEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥u}du+e-ηteVtZ-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tueEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥U-T-1/2Zt}du+eVtZ∞E-√屠-γt+κt-ψtP*T-1/2Vt- ψt≥ U杜- d=：A（t，y，q，w）+A（t，y，q，w）+A（t，y，q，w），（4.17）式中∧ηt:=＠ηy，q，wt=（η+＠γ）t-κt+ψy，q，wt。请注意，Ai对辅助数w的依赖性是因为ψ依赖于w。与（4.14）类似，我们有时会使用符号ηt（ω）：=~ηy·（ω），q·（ω），wt（ω）t。（4.18）我们现在分别考虑（4.17）中的三项。第一项：对于At:=A（t，y，q，w），我们严格遵循[5]中的步骤，并从以下分解开始：At=e-ηteVteEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥0，t-1/2（Vt-ψt）+t-Zt≥0}Zt-1/2（Vt-ψt）+t-Ztt-1/2（Vt-ψt）e-√图杜- E-ηteVteEE-eUt{0≤T-（Vt）-ψt）≤-T-Zt}Zt-（Vt）-ψt）e-√图杜+ E-ηteVteEE-eUt{0≤-T-（Vt）-ψt）≤T-Zt}Zt-（Vt）-ψt）+t-中兴通讯-√图杜=: I（t，y，q，w）-I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w）。（4.19）我们在以下三个部分中分析这些术语。i） 使用（4.15-ii），第一项i:=i（t，y，q，w）可以写成asI=e-ηteVtZ∞J（t，u）e-√星期二-（u）-T-1/2（Vt-ψt））2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du+e-ηteVtZ∞J（t，u）e-√星期二-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du=：I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w），（4.20），其中j（t，u）：=eE{Zt≥-屠}E-eUt- E-（eUt+Zt）√T- T-Zt!, （4.21）J（t，u）：=t-eEZt{Zt≥-屠}= T-eE(-Zt）1{-Zt≥屠}= 泰-eE(-Z）1{-Z≥T-Yu}, （4.22）因为ceee（Zt）=0和Zt是严格Y-稳定的。

可以证明（见[5]中的（B.5）），存在一个常数λ>0，对于任何0<t≤ 1和u>0，（i）tY-1J（t，u）≤ λu1-Yand（二）limt→0tY-1J（t，u）=C(-1） Y-1u1-Y.（4.23）从（4.13）开始，注意-1/2Vt（ω）-ψt（ω）:= T-1/2V1，Y·（ω），Q·（ω）t- ψ1，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）t= T-1/2ρσ（y）Wt（ω）~ N（0，ρσ（y））。（4.24）此外，回想一下0<m≤ “∑t（y）≤ M<∞ 对于P-a.e.ω∈ Ohm,极限→0′σt（Y·（ω））=limt→0tZtσ（Ys）ds=σ（y）=：σ，（4.25），它源自于σ（·）在y附近的连续性。使用之前的关系，我们得到（详情见附录B）limt→0天/2-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））=C(-1） Y-1Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.26）对于（4.20）中的第一个学期，我发现→0天/2-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= 0.（4.27）第（4.27）条的证明也被推迟到附录B中。第（4.26）条和第（4.27）条一起暗示：→0EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））t1-Y/2=C(-1） Y-1Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.28）ii）再次使用（4.15-ii），可以将（4.19）中的术语I:=I（t，y，q，w）写成asI=e-ηteVtZ∞eEE-eUt- 1.{Zt≤-屠}1.- E-√屠√te-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du+e-ηteVtZ∞ePZt≤ -屠1.- E-√屠√te-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du=：I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w）。（4.29）使用以下事实：ZtT≥0是严格Y稳定的，我们有（参见[5]中的（2.18）-（2.19））Zt≤ -屠1.- E-√屠√T≤ κu1-Y、 极限→0tY-1ePZt≤ -屠= 极限→0tY-1ePZ≤ -T-于=C(-1） 于-Y、 对于任何0<t≤ 1和u>0。因此，遵循与（4.26）类似的论点，它遵循thatlimt→0天/2-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）=C(-1） YZ∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.30）对于I，结果是（见附录B的验证）：limt→0tY-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）= 0.（4.31）将（4.30）和（4.31）组合在一起，然后得出结果→0tY-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）=C(-1） YZ∞u1-耶-u2σp2πσdu。

（4.32）iii）仍然需要分析（4.19）中的术语I:=I（t，y，q，w），我们首先将其分解如下：I=e-ηteVtZ∞eEE-eUt{Zt≥屠}1.- E√屠√te-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du+e-ηteVtZ∞eEe-eUt{Zt≥tu}1- E-Zt√TE√星期二-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du=：I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w）。（4.33）为了处理（4.33）中的第一项，让我们首先将其中的期望分解如下：J（t，u）：=eEE-eUt{Zt≥屠}=eEE-eUt- 1.{Zt≥屠}+ePZt≥ 屠=: J（1）（t，u）+J（2）（t，u）。因为（Zt）t≥0是Y-稳定的，我们可以得到估计J（2）（t，u）≤ κt1-于-Y、 对于任何0<t≤ 1和u≥ 0.将其与1.-E√屠√T≤ ue√tu，对于0<t≤ 1，使用类似于（4.26）中的步骤，我们可以显示→0tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞J（2）（t，u）1- E√屠√te-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du= -C（1）YZ∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.34）以下（B.13-B.15）中的相同程序可用于显示0≤ J（1）（t，z）≤ f（t）表示0<t≤ t<1，其中f（t）=o（t1-Y/2），因此对于0<t≤ t:0≤ 泰-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞J（1）（t，u）1.- E√屠√te-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du≤ f（t）tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞ueue-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））duT→0-→ 0.（4.35）要处理（4.33）中的第二项，请注意，（Zt）t的自相似性≥0，J（t，u）：=eEe-eUt{Zt≥tu}1- E-Zt√t=eE{Zt≥图}e-eUt- E-（Zt+eUt）√T- T-Zt+eE泰-Z{728; Z≥T-Yu}=: J（1）（t，u）+J（2）（t，u）。注意，J（2）（t，u）类似于（4.22）中的J（t，u），因此，渐近行为类似于（4.26）。

具体地说，limt→0tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞eE泰-Z{728; Z≥T-Yu}E√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du=C（1）Y-1Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.36）接下来，将J（1）（t，u）分解为：J（1）（t，u）=t-eE{Zt≥tu}ZZt+eutE-十、- 1.dx！=T-Z-∞（e）-十、- 1） ePZt≥ tu，eUt≤ 十、≤Zt+eUtdx+t-Z∞（e）-十、- 1） ePZt≥ tu，eUt≤ 十、≤Zt+eUtdx≤ T-Z-∞（e）-十、- 1） ePeUt≤ 十、dx+t-Z∞（e）-十、- 1） eP十、≤Zt+eUtdx。使用与处理以下（B.4）相关的术语时类似的论点→0tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞J（1）（t，u）e√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ηt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du= 0.（4.37）结合上述结果得出limt→0天/2-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））=C（1）Y（Y）-1） Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.38）最后，（4.19），（4.28），（4.32）和（4.38）屈服极限→0EAt（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））t1-Y/2=C（1）+C(-1） 2Y（Y）-1)σ1-耶|W | 1-Y. （4.39）第二项：对于在（4.17）中的项At:=A（t，y，q，w），通过密度变换ep→P*:At=e-ηteVtZ-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzeEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥Z-T-1/2Zt}dz=e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzP*T-Vt- ψt≥ Z- T-Ztdz=e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ-T-1/2ψte-√tzP*T-Vt- ψt≥ Z- T-Ztdz+e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ-T-1/2ψt-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzP*T-Vt- ψt≥ Z- T-Ztdz=：A2,1t（y，q，w）+A2,2t（y，q，w）。（4.40）第一学期，A2,1t≤ 可Vt-ψt-t1/2~γ-T-1/2ψtE√t|-t1/2~γ-T-1/2ψt|≤ 可Vt-ψt+|ψt|t1/2 |γ|+t-1/2 |ψt|,对于某些常数K，使用（4.9）、（4.13）、柯西不等式和不等式e | x|≤ ex+e-x、 我们有，对于任何p>0和0<t≤ 1，Eep（Vt（ω）-ψt（ω）+ψt（ω）|≤ 柯epρσ（y）（Wt+| Wt |）+pρRtσ（Ys）dWs|≤ K1+Ee4pρσ（y）Wt1/2Ee2pρRtσ（Ys）dWs+ EE-2pρRtσ（Ys）dWs1/2≤ B、 对于常数B<∞ 独立于t。

事实上，根据诺维科夫条件和吉尔萨诺夫定理e±2pρRtσ（Ys）dWs≤ e2pρMtEe±2pρRtσ（Ys）dWs-2pρRtσ（Ys）ds= e2pρMt<∞.因此，EA2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= O（t1/2）+Kt-1/2EeVt（ω）-ψt（ω）+ψt（ω）|ψt（ω）|≤ O（t1/2）+Kt-1/2qE（ψt（ω））=O（t1/2），（4.41），因为E（ψt（ω））=O（t）。事实上，0≤ψt（ω）≤ 对于一些K<∞, 由于（4.9），安第斯山脉ψt（ω）= EVt（ω）-ρσ（y）Wt（ω）= EρZt（σ（Ys）- σ（y））dWs-ρZtσ（Ys）ds≤ K中兴通讯（σ（Ys）- σ（y））ds+tZtEσ（Ys）ds≤ K中兴通讯σ（Ys）- σ（y）ds+tZtEσ（Ys）ds第二项显然是O（t），因为（4.9）。第一项也是O（t）级。实际上，我是一个包含y的区间，其中σ（·）是Lipschitz，常数为L，α（·），γ（·）有界，且τ：=inf{s:Ys/∈ 一} 。然后，Eσ（Yt）- σ（y）= Eσ（Yt）- σ（y）{τ>t}+ Eσ（Yt）- σ（y）{τ≤t}≤ 乐（Yt）- y） {τ>t}+ （M）- m） P（Yt）/∈ 一） =O（t），t→ 0，（4.42），其中第二项的顺序遵循引理4.1，andE（Yt）- y） {τ>t}= EZtα（Ys）ds+Ztγ（Ys）dWs{τ>t}！≤ 2EZtα（Ys）1{τ>t}ds+ 2EZtγ（Ys）1{τ>t}ds= O（t），t→ 因此，E（ψt（ω））=O（t），因此，从（4.41）开始，它遵循该极限→0天/2-1EA2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= 0.（4.43）对于（4.40）的第二部分，变量的变化给出了2,2t=e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ-T-1/2ψt-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzE*{t-1/2（Vt-ψt）≥Z-T-1/2Zt}dz=e-~γt+κteVtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√图E*{t-1/2Vt≥U-T-1/2Zt}du=e-~γt+κteVtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√tuB2，2t（y，q，u）du。通过变化概率测度P*→P，B2，2t（y，q，u）=EeVy，qt+Xt{t-1/2Vy，qt≥U-T-1/2Zt},特别是，颠倒（4.12）中的论点B2,2t（Y·（ω），Q·（ω），u）= EEeVt+Xt{t-1/2Vt≥U-T-1/2Zt}Ws，s∈ [0, 1]= EeVt+Xt{t-1/2Vt≥U-T-1/2Zt}= P*T-1/2Vt≥ U-T-1/2Zt,对于最后一个等式，我们使用了概率测度的变化*|FtdP | Ft=eVt+Xt，t≥ 0

（4.44）因此，根据富比尼定理和条件κt:=θt3-Y+o（t3）-Y） ，limt→0tY-1EA2,2t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= 极限→0e-γt+κtκttY-3t-1/2κtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√星期二B2,2t（Y·（ω），Q·（ω），u）du=θlimt→0t-1/2κtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√塔普*T-1/2Vt≥ Z- T-1/2Ztdu=θ，（4.45），我们在这里使用了t-1/2κt→ 0和P*T-1/2Vt≥ Z- T-1/2ZtT→0-→ P*(Λ ≥ z） z→0-→, （4.46）其中∧是一个中心高斯变量。事实上，正如附录B中P*,T-1/2VtD-→ ∧，（4.47）和t-1/Yzt在分布上收敛为Y稳定的随机变量Z，因为由于X和V的独立性，Z在P下的分布*是回火稳定过程（见[14]中的命题1]）。第三项：让σ：=σ（y），注意d=σE（λ）+=R∞P（σ∧≥ z） dz，其中∧是一个标准正态变量，使用（4.15-ii），术语Atin（4.17）可以简单地分解如下：At=z∞eVte-√tz-γt+κt-ψtZ∞Z-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρ′σt（y）φ（x）dx-Z∞z/σφ（x）dxdz=Z∞（eVte-√tz-γt+κt-ψt- 1） Z∞z/σφ（x）dxdz+z∞eVte-√tz-γt+κt-ψtZz/σz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρ′σt（y）φ（x）dxdz=：Jt（y，q，w）+Jt（y，q，w），（4.48），其中φ（x）：=e-十、√2π. 对于Jt，使用符号^Φ（z）：=R∞zφ（x）dx，我们得到：EJt（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））≤ 简单∞eVt（ω）-ψt（ω）e-γt+κt-ψt（ω）e-√tz- 1.^Φzσdz+EZ∞E-γt+κt-ψt（ω）eVt（ω）-ψt（ω）- 1.^Φzσdz+EZ∞E-γt+κt-ψt（ω）- 1.^Φzσdz=O(√t） ，（4.49）作为t→ 0，可以用| |γt |+|κt |+|ψt（ω）|≤ K√t、 a.s.，对于常数K，Vt（ω）-ψt（ω）~N0，ρσt.

那么，对于Jt，J=e-γt+κte-ψteVt-ψtZ∞E-√tzZz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρσz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρ′σt（Y）φ（x）dxdz+e-γt+κte-ψteVt-ψtZ∞E-√tzZz/σz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρσφ（x）dxdz=：J2,1t（y，q，w）+J2,2t（y，q，w）（4.50）对于第一项，回想一下（4.13）-（4.14）中的Vt（ω）-ψt（ω）=ρσWt，soJ2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））≤ 克∑WtZ∞Z- ρσWt√Tσ-“∑t（Y）√2πe-Z-ρσWt/√T√1.-ρMdz≤ Keρ∑Wt1 +Wt√Tσ-“∑t（Y）,对于一些常数K，K，因此，EJ2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= O（t），因为¨σt（Y）- σ)≤（E）2米“∑t（Y）- σ≤（2m）tZtEσ（Ys）- σ（y）ds（4.51）的阶数为O（t）乘（4.42）。最后，对于J2,2t，我们有J2,2t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= E-γt+κtEZ∞E-√tzeρσWt-ψt（ω）- 1.+E-√tz- 1.+ 1.Zz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz。（4.52）第二项是O(√t） 从0开始≤ 1.- E-√tz≤√z>0和sup0<t时的tz≤1EZ∞zZz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz< ∞, （4.53）如附录B所示。柯西不等式可用于证明第一项也是O(√t） ，因为，由于ψt>0的偏差E-ψt（ω）eρσWt- 1.≤ 2EE-2ψt（ω）eρσWt- 1.+ 2EE-ψt（ω）- 1.≤ 2EeρσWt- 1.+ 2E1.- E-ψt（ω）≤ 2.e2ρσt- 1.- 4.eρσt- 1.+ 2Eψt（ω）= O（t），t→ 0和SUP0<t≤1EZ∞E-√tzZz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz< ∞,这可以类似于（4.53）所示。最后，第三项可以显示为零。事实上，根据富比尼定理，我们有Z∞Zz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz=Z∞z=0Z∞u=-∞Zz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（u）φ（x）dxdudz。

（4.54）现在，对于任意的K∈ (0, ∞), 注意zkz=0Z∞u=-∞Zz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（u）φ（x）dxdudz=ZKz=0Z∞u=-∞Zz/σx=-∞φ（u）φ（x）dxdudz-ZKz=0Z∞u=-∞Zz-ρσu√1.-ρσx=-∞φ（u）φ（x）dxdudz=ZKz=0Zz/σx=-∞φ（x）dxdz-ZKz=0Z∞u=-∞Zz/(√1.-ρσ）s=-∞φ（u）φs-ρup1- ρ!dsdudz。最后一个表达式中的第二项可以进一步操作如下：ZKz=0Z∞u=-∞Zz/(√1.-ρσ）s=-∞φ（u）φs-ρup1- ρ!dsdudz=ZKz=0Z∞u=-∞Zz/√1.-ρσs=-∞E-（u）-ρs√1.-ρ)2(1-ρ） p2π（1）-ρ） r1- ρ2πe-(1-ρ） SDUDZ=ZKz=0Zz/√1.-ρσs=-∞r1- ρ2πe-(1-ρ） SDZ=ZKz=0Zz/σx=-∞φ（x）dxdz。因此，对于任何K∈ (0, ∞),ZKz=0Z∞u=-∞Zz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（u）φ（x）dxdudz=0，表明（4.54）中的期望值等于0。因此，（4.48）-（4.52）表明→0EAt（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））t1-Y/2=0。（4.55）最后，结合（4.17），（4.39），（4.43）和（4.55），给出（St）t的期权价格的二阶项≥0:limt→0天/2-1Rt=θ+C（1）+C(-1） 2Y（Y）-1） σ（y）1-耶|W | 1-Y=θ+-Y+1√πΓ1.-YC（1）+C(-1） Y（Y）-1） σ（y）1-Y.其中，最后一步来自高斯随机变量的中心矩的众所周知的公式（例如，参见[16]中的（25.6））。这表明二阶展开式（4.1）在条件（4.9）下成立。步骤3）我们现在将证明，当σ（·）不再被假定满足（4.9）时，展开式将扩展到这种情况。为此，定义一个流程（\'St）t≤1形式“St:=eXt+”Vt，其中“V”定义如（2.4）-（2.5）所示，但用“σ（y）”替换σ（y）：=σ（y）1{m<σ（y）<m}+m1{σ（y）≤m} +M1{m≤σ（y）}。这里m和m是这样的，0<m<σ（y）<m<∞. 在这种情况下，通过上面的第2步，我们知道→0tY-1.T-E圣- eκt+- D= d、 dand das（4.2）。

另一方面，使用身份（a+b）+≤ a++| b |之后是E圣- eκt+- E圣-圣≤ E（圣- eκt）+≤ E圣- eκt++ E圣-圣.因此，对于两个过程（St）t下的接近货币期权价格≥0和（\'St）t≥0若要获得相同的二阶项，则必须满足以下条件：→0tY-3E圣-圣= 0.为了说明后者，首先请注意圣-圣= E提取EeVt- e’Vt= EeVt- e’Vt,我们使用了X和V的独立性。因为1<Y<2，所以必须证明eVt- e’Vt= O（t），t→ 0.（4.56）定义概率测量(Ohm, F） bydbP | FtdP | Ft=eVt，0≤ T≤ 1.根据Girsanov定理，以下表达式适用于P：dVt=σ（Yt）dt+σ（Yt）ρdcWt+p1- ρdcWt,d’Vt=-\'\'σ（Yt）dt+\'\'σ（Yt）σ（Yt）dt+\'\'σ（Yt）ρdcWt+p1- ρdcWt,dYt=（α（Yt）+ρσ（Yt）γ（Yt））dt+γ（Yt）dcWt=：bα（Yt）+γ（Yt）dcWt，其中（cWt）t≥0和（cWt）t≥0是独立的BP布朗运动。然后，自从eVt= Ee’Vt= 1，EeVt- e’Vt= EeVt- e’Vt+-EeVt- e’Vt= EeVt- e’Vt+=是1.- e’Vt-及物动词+=Z∞E-ybP及物动词-“Vt≥ Y注意到-\'Vt=0表示t<t:=inf{t≥ 0：σ（Yt）≤ m或σ（Yt）≥ M} 给出：EeVt- e’Vt≤bP（T≤ t） Z∞E-ydy=bP（T≤ t） 。由于y处σ（·）的连续性，我们可以选择mY和mY，例如mY<y<MYandT≥ TY:=inf{t≥ 0:Yt≤ mYor Yt≥ MY}，因此，通过引理4.1，EeVt- e’Vt≤英国石油公司泰≤ T= O（t），t→ 因此，（4.56）是令人满意的，正如上文所解释的，这反过来意味着限制→0tY-1.T-东南（圣- （S）+- D= d、 在（4.2.5）的数值例子中，我们对具有随机波动性的纯跳跃CGMY模型进行了数值分析。在GMY模型下，L’evy测度由ν（dx）=x给出|-Y-1q（x）dx=|x|-Y-1.总工程师-Mx{x>0}+CeGx{x<0}dx，（5.1）以及相应的参数C、G、M>0和Y∈ (1, 2).

鞅条件（2.1）意味着M>1，注意第2节中的常数η和γ可以写成（见[5]）η=CΓ是有用的(-Y）（M）- 1） Y+（G+1）Y, ~γ = -CΓ(-Y）（M）- 1） Y+（G+1）Y- 我的- GY.对于连续分量，我们将考虑Heston随机波动率模型，其中（2.4）-（2.5）的漂移和波动参数由σ（y）给出=√y、 α（y）=κ（θ）- y） ，γ（y）=√y、 所有系数严格为正，且满足Feller条件2κθ-> 0.在[5]中，证明了纯跳跃CGMY模型中的二阶项由byd=CΓ给出(-Y）（M）- 1） Y- 我的- （G+1）Y+GY,而在带有随机波动成分的CGMY模型中，C（1）=C(-1） =C，因此，d=Cσ（y）1-Y1-YY（Y）-1)√πΓ1.-Y.为了估算期权价格，我们将使用基于蒙特卡罗的方法。首先，使用第2节中介绍的两个度量转换，我们得到外线+外线- 1.+= E*E-Xt外线+外线- 1.+=eEE-美国犹他州eVt- E-Xt+. （5.2）然后，使用（2.10）-（2.12）和（5.1），可以看到Utand XT在EP下有以下表示，Ut=（M- 1） \'U+t+（G+1）\'U-t+ηt，Xt=\'U+t-“U”-t+~γt，图1：蒙特卡罗计算的ATM看涨期权价格与一阶和二阶近似值的比较。该模型为纯跳跃CGMY，参数C=0.5，G=2，M=3.6。图2：蒙特卡罗计算的ATM看涨期权价格与一阶和二阶近似值的比较。纯跳跃部分是参数C=0.5、G=2、M=3.6的CGMY，连续部分是y=θ=0.4、κ= = 或σ=0.4的布朗运动。其中“U+tand”U-皮重独立的Y-稳定随机变量，其比例、偏度和位置参数由t1/YC | cos（πY/2）|Γ给出(-Y），分别为1和0。