混合市场影响霍克斯价格模型中的动态最优执行

类似的结果在金融数学中是标准的，但据我们所知，在价格影响和价格操纵策略概念的背景下，文献中还没有这样表述。在通常的最优执行中，未受影响的价格被先验地假定为鞅，但这里的情况并非如此。注意，如果P是阿马丁格尔，则最优s策略在不依赖于N的意义上非常稳健，因此与Obizhaeva和Wang模型[32]中对应于N的策略相同≡ 0和D=0。事实上，它既不依赖于也不依赖于ν，只依赖于ρ。定理2.1指出，订单流N的合适模型应该是，当战略交易者不在场时，P通俗地说接近鞅，因此套利机会是短暂的，不太明显。这至少提出了三个问题。哪些“简单”过程N可以导致鞅价格P？当P不是鞅时，我们能刻画最优策略吗？特别是在后一种情况下，最优策略如何考虑其他参与者发布的市场订单？在本文中，我们研究了当N遵循Hawkes定理时的这些问题。备注2.6。该模型可以通过在价格过程P中加入一个cádlág（Ft）-鞅来推广，即如果我们用Pt=St+Dt+St替换（1），用S=0。这并不会改变最佳执行问题，因为使用分部积分，将以下术语添加到costZ[0，T）StdXt中- STXT=STXT- SX-Z[0，T）XtdSt- STXT=-Z[0，T）XtdSt，它的鞅性质的期望值为零。让我们注意到，过程X和SSI之间没有协变量，因为它们不同时跳跃，并且X有界变化。备注2.7。

类似地，当N是cádlág（Ft）-鞅且X是X=X的容许清算策略时，我们得到了[c（X）]=EZ[0，T）DudXu+1- 2qX0≤τ<T(Xτ）- DTXT+1- 2qXT+2qx，因为x=R[0，T+]d[（Xt- 十） ]=2R[0，T）（徐）- 十） dXu+P0≤τ<T(Xτ）- 2（XT）- 十） XT+XT。什么时候∈ [0,1），我们设置Xt=（1）- ）Xtand getE[C（X）]=q（1- ）EZ[0，T）qDud（Xu）+X0≤τ<T(Xτ）- qDTXT+（XT）+2qx。（8） 因此，当且仅当X在=ν=0、q=1且市场订单流入量等于（1）的模型中是最优的时，X才是最优的- ν） N.2.3 MIH模型2。3.1定义和注释我们将介绍MIH（混合市场进口霍克斯）价格模型，其中NT=N+t- N-t、 过程（N+，N-) 是一个对称的二维损伤霍克斯强度过程（κ+，κ-). 进程（N+，N-, κ+, κ-) 是cádlág，当N跳跃时跳跃。我们注意到n+（dt，dv）和n-（dt，dv）与N+和N有关的R+×R+上的泊松测度-变量v s分别代表跳跃幅度，即传入市场订单的数量。我们重新考虑R+上的i.i.d.普通法u不可预测标记的情况，即任何A∈ B（R+）和t≥ 0，κ±tu（A）=limh→0+hE[n±（[t，t+h]，A）| Ft]，其中Ft=σ（n+u，n-u、 u≤ t）=σ（Nu，u）≤ t）如前所述。换句话说，在时间t时，N±的条件瞬时跳跃强度由κ±t给出，跳跃的振幅是与过去无关的lawuw的i.i.d.变量，即Ft-. 我们还定义了k=ZR+vku（dv），k∈ N、 此外，假设m<∞. 我们选择Hawkes核作为指数t7→ 经验(-βt），β≥ 0，所以（N+，N-, κ+, κ-) 他是马尔科夫人。

于是，我们开始κ+tκ-T=κ∞κ∞+κ+κ--κ∞κ∞经验(-βt）+ZtZ（R+）exp(-β（t-u） )~ns（v+/m）~nc（v）-/m） ~nc（v+/m）~ns（v）-/m）.n+（du，dv+）n-（杜，dv）-),κ在哪里∞≥ 0是N+和N+的共同基线强度-, 和Фs，Фc:R+→ R+是满足ιs:=ZR+~ns（v/m）u（dv）<∞ , ιc:=ZR+ιc（v/m）u（dv）<∞.除此之外，我们还假设Zr+~ns（v/m）u（dv）<∞,ZR+νc（v/m）u（dv）<∞吃点东西∈[0，t]E[Ns]<∞, 我们注意到，自从我们假设m<∞. 从建模的角度来看，我们可以预期函数а和а不会减少：订单越大，触发的其他订单越多。然而，在数学分析中，我们不需要这种单调性假设。等效地，在这个马尔可夫环境中，强度κ+和κ-t遵循动态cκ+t=-β（κ+t- κ∞) dt+~ns（dN+t/m）+~nc（dN-t/m），dκ-t=-β (κ-T- κ∞) dt+~nc（dN+t/m）+~ns（dN-t/m），（9）其中正式表示，Rtаs（dN+u/m）=RtRR+аs（v/m）n+（du，dv）表示t≥ 0.例如，正如Har diman、Bercot和Bouchaud[2 5]以及Bacry和Muzy[8]所指出的（由于在我们的框架中，N只对市场订单建模，所以在一个稍微不同的上下文中），幂律Hawkes内核更符合市场数据，而不是指数。原则上，在保持马尔可夫框架的同时，可以用多指数近似一个完全单调的衰减核，代价是增加状态空间的维数，参见示例Alfonsi和Schied[3]。这项调查对未来的研究是有益的。注意N+和N-在β=0，φs=φc的情况下，可归结为独立的复合泊松过程≡ 0.参数的含义相当明确：κ+和κ-是指恢复过程，并相应地描述市场购买订单如何增加购买（或出售）订单的瞬时概率。

更准确地说，ι既记录了元订单的拆分，也记录了参与者倾向于跟随市场趋势的事实（这被称为“她定势效应”）。另一方面，ιcd描述了在价格突然上涨（或下跌）后卖出（或买入）的机会主义交易者。函数φ和φCALLOW分别表示或流中的自激励和交叉激励，取决于顺序的体积。例如，对于常数函数φs≡ ιsandιc≡ ιc，该模型可归结为标准的霍克斯模型，其中，当N±跳跃时，κ±会产生恒定大小的跳跃。最近，文献中使用了霍克斯过程来模拟价格。特别是，Bacry等人[6]考虑了一个类似的模型，其中N对所有价格变动进行建模，其中ν=1，ιs=0和确定性跳跃（即u是狄拉克质量）。最近，Bacry和Muzy[8]提出了一个四维Hawkes过程来模拟市场买卖订单以及价格上下事件。相比之下，我们在这里研究的模型决定了订单的价格影响与其规模的函数关系。对于不习惯霍克过程的读者，我们将参考文献[26]、Embrechts等人[18]的论文，了解多变量标记霍克过程的概述，以及Da le y和Vere-J One[15]一书中更详细的描述。备注2.8。如等式（9）所示，战略交易者的指令不会影响跳跃率κ+和κ-（没有dXtterm），而不是由其他交易商发布的市场订单。选择这种建模的第一个原因是易处理性。然而，Tòth等人[37]在经验上发现，有序流自激的主要贡献来自分裂效应。

每个单独的交易者连续发布多个相同性质的订单（买入或卖出），这在交易信号中产生了自相关性，这种影响明显强于不同交易者之间的相互激励。因此，忽略来自战略指挥器指令的激励是可以接受的近似值。当然，未来最好能找到一个易于处理的模型，为实际激励提供一个统一的框架，平等地考虑所有市场订单。2.3.2 MIH模型的平稳性和低频渐近性到目前为止，我们已经提出了没有ass-uming平稳性的MIH模型。在大多数以霍克斯过程为特征的模型中，平稳性是一种先验假设，但在这里，我们不需要它来推导最优策略。然而，如果希望在大时间段内使用具有恒定参数的MIH模型，考虑满足平稳性的参数可能是合理的。这就是为什么我们在这里提出了一些结果，这些结果在霍克斯过程的文学中是一个重新标准。当战略交易者缺席时，我们考虑MIH模型，即X≡ 0.提议2.1。这个过程（κ+t，κ-t） 当且仅当ιs+ιc<β，收敛到平稳律。证据我们可以应用现有文献中关于具有不可预测标记的标记霍克斯过程的结果（例如霍克斯和奥克斯[27]、布雷·莫德和马苏利[12]或戴利和维尔·琼斯[15]），得出（κ+t，κ-t） 如果Zr+×R+exp的最大特征值(-βt）~ns（v/m）аc（v/m）аc（v/m）аs（v/m）dtu（dv）=βιsιcιcιs绝对低于统一。相反，如果ιs+ιc≥ β、 我们有[κ+t+κ]-t] =2βκ∞+ （ιs+ιc）- β） E[κ+t+κ-[t]≥ 2βκ∞而且这个过程不可能是静止的。我们现在研究MIH模型中价格过程sp的低频渐近性。我们考虑序列P（n）t=Pnt/√n换n≥ 1.

我们有P（n）t=S（n）t+D（n）t，其中我们还设置了S（n）t=Snt/√n和d（n）t=Dnt/√n、 为了研究D（n）的行为，我们需要以下引理。引理2.1。当ιs+ιc<β时，期望E[Dt]收敛到一个确定的正值，即t→ +∞.这个引理的证明相当简单。我们只需要计算E[δt]，E[δtDt]和E[Dt]并检查这些期望值在ιs+ιc<β时收敛。这个结果意味着（D（n）t，D（n）tk）收敛到任意0≤ T≤ ··· ≤ 蒂克。这使得过程D（n）收敛到零。因此，我们关注S（n）t=νqN+nt的c收敛性-N-新界√n、 如果n的跳跃是有界的，即u有界支撑，而v7→ νs（v/m）和v 7→ ηc（v/m）在u的支持下有界（这在实践中是合理的假设），Bacry等人[7]的推论1的直接改编给出了S（n）的收敛定律到具有零漂移的非标准布朗运动。3主要结果既然整个框架已经建立起来，我们将给出本文的主要结果最优执行问题可以在MIH模型中显式求解，最优执行策略是一种非常简单的形式，见定理4.1。当然，这一结果依赖于线性价格影响和指数衰减核的假设，这与经验事实不符，参见Potters和Bouchaud[33]以及Bouchaud等人[11]。我们在这里提到，通过考虑完全单调衰减核（如Alfonsi和Schied[3]），可以保持最优策略的有效结构。

然而，我们认为，至少从定性的角度来看，最优策略是有趣的，因为它清楚地揭示了如何对观察到的市场订单做出最佳反应，以及模型不同参数的作用当市场订单的流量是泊松分布时，价格操纵策略必然出现，而且它们在不知道模型参数的情况下就可以实施的情况下相当稳健。也就是说，该策略包括即时交易每个相反方向的市场订单交易量的一小部分，平均而言是可行的，即命题5.2。这就需要考虑订单到达的更复杂动态即使在非泊松分布的情况下，价格操纵策略也会发生变化。根据模型的参数和每个观察到的市场秩序的大小，一个人要么立即在相反方向上交易以考虑市场弹性，要么在同一方向上交易以利用霍克斯过程的自激特性。然而，我们的fr AMEWORK允许发生一种特殊的平衡，我们称之为混合市场影响霍克斯马尔廷格尔（MIHM）模型，即PM消失的模型在MIHM模型中，一个人特别具有ιs>ιc、ν<1和β=ρ，订单流的自激特性精确地补偿了做市商诱导的价格弹性。由此产生的价格过程即使在高频率下也是一个鞅，在这种情况下，我们发现最优策略和成本函数是Obizhaeva和Wang[32]的最优策略和成本函数。该模型的条件意味着，如果ιc=0，则代表市场内生性比率的霍克斯核的范数ιs/β应等于1，见Filimonovand Sornette[20]- ν、 即。

暂时性的市场影响比例以即时市场指令对其他交易者的市场指令做出反应的事实可能引发连锁反应，并导致市场不稳定。我们表明，在MIH框架中，战略交易者对其他交易作出即时反应的条件与PMS的存在完全等效。尽管该模型显然是对市场的一个简化视图，但在这种情况下，能够在市场稳定性和自由收益之间获得如此清晰的联系是非常重要的。进一步研究这一结论是否仍然适用于一个更一般的模型，将是一件有趣的事情。4.最优策略我们需要引入一些符号来表示最优执行的主要结果。而不是与κ+和κ结合-t、 我们将把eδt=κ+t- κ-tand∑t=κ+t+κ-t满足（9）dδt=-βδtdt+dIt，d∑t=-β∑t- 2κ∞) dt+dIt，（10），其中它=Zt（~ns）- νc）（dN+u/m）- （~ns）- νc）（dN-u/m）,It=Zt（Фs+Фc）（dN+u/m）+（Фs+Фc）（dN）-u/m）. （11） 过程I和I是描述强度跳跃的cádlág过程，它们的跳跃时间为N。在标准的霍克斯框架中，其中的φsandφcare常数为φs≡ ιsandιc≡ ιc，当N跳跃时，I跳跃（ιs）- ιc）sgn(我们注意到（τi）i≥1 N的d阶随机跳跃时间，并设置τ=0。弗特∈ [0，T]，我们还注意到χT在时间0和时间T之间发生的I跳跃总数。

从（10）中，我们得到了δt=δexp(-βt）+χtXl=1exp(-β（t- τl）Iτl=δexp(-βt）+exp(-βt）Θχt，其中我们定义Θ=0和Θi=iXl=1exp（βτl）Iτl=X0<τ≤τiexp（βτ）我τ，我≥ 1.对我来说≥ 0和t∈ [τi，τi+1]，我们通过整数i=χt得出δtexp（βt）=δ+Θ依赖于t。我们引入了有用量α=ιs- ιc，η=β- α、 两个连续可微函数ζ，ω：R→ 由ζ（0）=1和y6=0，ζ（y）=1- 经验(-y） y，（12）ζ′（0）=-1/2和y6=0，ζ′（y）=（1+y）exp(-y）- 1y=exp(-y）- ζ（y）y，ω（0）=1/2和y6=0，ω（y）=exp(-y）- 1+yy=1- ζ（y）y，（13）ω′（0）=-1/6和y6=0，ω′（y）=2（1）- 经验(-y） )- y（1+exp）(-y） ）y=2ζ（y）- 1.- 经验(-y） y.两个函数均为非递增函数，分别为+∞ t为负，在正时消失。现在，我们要知道最优执行问题的主要定理。定理4.1。让我来∈ [0,1]最优策略X*这使得清算xassets的可允许策略中的预期成本E[C（X）]最小化是明确的。它是（x，D，δ，I，N）的线性组合，可以写成asX*= XOW+Xtrend+Xdyn，其中oXOWis是Obizhaeva和Wang[32]模型中的最优策略，由定理2.1中的（7）给出，oXtrend是“趋势策略”，由（19）给出xDyn是（20）给出的“动态策略”。该策略XOWis是x的线性函数，xTrend是（D，δ）的线性函数，xDyn是过程I和N的线性函数。xdyn的不连续时间是N的不连续时间，如果N在时间τ处跳跃∈ （0，T），我们有（1-)Xdynτ=1+ρ（T- τ） 2+ρ（T）- τ)mρIτ- (1 - ν) Nτ+m2ρ（νρ）-η） ρ（T）- τ） ×ω（η（T）- τ） ）2+ρ（T）- τ)我τ。（14） 附录A给出了所有显式公式。

问题的值函数由q×C（t，x，d，z，δ，∑）给出-q（z+d）x+1.- 2+ρ（T）- t） +x+ρ（T）- t） 2+ρ（t）- （t）量子点- Gη（T）- t） δmρ十、-1.- ×ρ（T）- t） /22+ρ（t）- （t）量子点- Gη（T）- t） δmρ+ ^cη（T）- （t）δmρ+ e（T）- t） ∑+g（t- t） ，你在哪里∈ [0，T]，Gη（u）=ζ（ηu）+νρuω（ηu），^cη（u）=1- × (η - νρ）ρuω′（ηu）ζ（ηu）。函数e和g是微分方程（32）和（33）的唯一解，e（0）=g（0）=0。这个定理的证明在附录B中给出。让我们在这里提到，函数e和g允许通过指数积分函数的平均值进行明确的形式，这非常麻烦。它们可以通过使用Mathematica等形式演算软件获得。由于它们在确定最佳策略时不起任何作用，并且需要显示多个页面，所以我们不给出这些明确的公式。注意，在η=0的情况下，它们更简单，其中显式公式由等式（38）和（39）给出。最优策略X*图1显示了两组不同的参数。值得注意的是，该策略与x、D、δ、I和N呈线性关系。这种特性是由于模型的有效结构和二次成本造成的。特别是，最优策略对其他交易的反应并不取决于x。策略xtrend是策略的一部分，与dδ成正比，它利用了时间0时已知的临时价格趋势。战略xDyn与过程I和N成比例，并描述了对观察到的价格上涨的最佳反应。最后，让我们强调，有一个明确的最优策略公式是在实践中使用它的一个重要特点。