混合市场影响霍克斯价格模型中的动态最优执行

由于该策略对每个市场订单（或至少对触发价格变动的订单）做出反应，其计算时间应显著低于两个订单之间的典型持续时间。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1000-500 0 500最佳策略xtxtowdnt（a）ρ=250.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1000-图1：霍克斯模型中的最优策略，黑色，q=100，T=1，β=20，ιs=16，ιc=2，κ∞= 12，=0.3，ν=0.3，D=0.1，κ+=κ-= 60，m=50，X=-500，u=Exp（1/m），us（y）=1.2×y0。2+0.5×y0。7+14.4×y，φc（y）=1.2×y0。2+0.5×y0。7+0.4×y表示所有y>0。Obizhaeva和Wang模型的策略以蓝色为基准，而（Nt）的跳跃以绿色绘制（两张图的轨迹相同）。在左图中，ιs<β<ρ，该策略基于均值反转：每次N跳，X向相反方向跳。在右图中，ρ=ιs<β，策略是趋势跟踪。让我们就最优策略，以及更准确地说，战略交易者如何对其他交易者发出的指令做出反应，发表一些评论。首先，我们从（20）中观察到，紧接着N跳变的大宗交易随后由连续交易率补偿。当φs=φc时，我们有I≡ 0这些大宗交易，如（14）所示，总是与它们所遵循的市场指令相对立。对于一般功能φ和φc，这些行程的标志取决于最后一次跳跃的大小。例如，在η=νρ的情况下，如果|dNt |>mρ（1），战略交易者进行相反方向的交易-ν） （~ns）- |c）（|dNt |/m），但在其他方面以相同的方式交易。当T-T→ 自ρ（T）起0-t） ×ω（η（t）-t） ）消失。

现在，当交易区间较大时，我们考虑渐近性：在这种情况下，可以假设η>0，这是获得平稳强度κ+和κ所必需的-, 见第2.3.2节。然后，当T- T→ + ∞, Xdyngivenby（14）的跳跃部分可以很好地近似为m2ρ1 +νρη迪特- (1 - ν） dNt。因此，如果|dNt |>m2ρ（1），战略交易者进行相反方向的交易-ν） （1+νρη）（νs）-|c）（|dNt |/m）并以相同的方向交易。在ιc=0和ιs的情况下≡ ι在只有成交量独立的自激情况下，我们可以将这种行为解释为：如果一个市场买单相对较小，它可能是一个大分割订单的一部分，因此随后是其他买单，这将使价格上涨，战略交易者有兴趣跟随这一趋势。然而，如果市场买入或下单相对较大，价格弹性效应可能占主导地位，战略交易者有兴趣以相反的方式进行交易。最后，值得注意的是，最佳策略仅取决于（νs，νc）到Фs-νc.该键自激励功能调整str ategic交易员应对其他市场订单做出反应的方式。备注4.1。η=0的MIH模型包括当β=0且φs=φc时独立泊松过程的特殊情况≡ 0.在这种情况下，如果N在时间τ处跳跃∈ （0，T），我们从（14）（1）中得到- )Xdynτ=-1+ρ（T）- τ） 2+ρ（T）- τ)× (1 - ν) Nτ。由于自激效应被消除，当策略交易者处于被动状态时，价格是一个均值回复过程。因此，每次观察到市场订单时，最佳st策略包括立即向相反方向发布市场订单，以套利价格的弹性。

这种明显的价格操纵策略是不现实的，因此用泊松过程建模订单流是不令人满意的。更多详情请参考第5.2节。备注4.2。在备注2.3之后，一个自然的问题是查看使E[C（X）]+P×X最小化的数量X，即相对于市值的预期清算成本。从定理4.1我们很容易得到，在时间0时，这个量对于x是最小的*=ρT[qD- Gη（T）δmρ]1+ρT.我们可以给x的符号一个简单的启发*: 当D≥ 0和δ≤ 0价格趋势为负，更有利于销售（x≥ 0）因为Gη是非负的。5 MIH模型中的价格操纵策略在本节中，我们在MIH模型的上下文中研究定义2.2中介绍的价格操纵策略（PM）。事实上，定理4.1中给出的值函数即使在x=0时也可以是负的，这将构成PMS。我们首先确定模型参数的必要性和有效性条件，以排除此类策略。然后，我们研究了泊松过程的特殊情况，这似乎很自然地模拟了订单流，但允许在此框架下进行稳健的套利。5.1混合市场影响霍克斯鞅（MIHM）模型定理2.1给出了排除价格操纵策略的必要且有效的条件。在这里，我们应用这个结果来确定霍克斯模型中排除PMS的参数。我们将符号α=ιs重新命名- ιc=ZR+（ιs）- νc）（v/m）u（dv），并定义uS（u）={y的（标准化）支持≥ 0 s.t。ε>0，u（（m×y- ε，m×y+ε））>0}。提议5.1。当且仅当下列条件保持β=ρ，α=（1）时，MIH模型不允许PMS- ν） ρ，~ns（x）- νc（x）=x的αx∈ S（u）（即mI=αN），qD=mρδ，（15）或u=狄拉克（0），D=0。

在这两种情况下，最优执行策略由（7）给出。注意，在u=Dirac（m）的情况下，所有跳跃都具有相同的大小，其中一个跳跃具有S（u）={1}，因此为φS-在S（u）和它=αsgn(新界）。如果m=0，我们有N≡ MIH模型不再依赖于参数α和β，而参数α和β可以任意固定。证据从定理EM2.1中，当且仅当价格P是鞅时，当X≡ 0.在这种情况下，我们有来自（1）、（2）、（3）和（10）的dPt=-ρdtdtt+qdNt=q（dNt- δtmdt）+mqδt- ρDtdt。因此，当且仅当mρδt=qDtP-a.s.，dt a.e.这个条件等价于qd=mρδ，qdDt=mρdδt.从（3）和（10）中，后一个条件等价于ρqDt=mρβδtand（1- ν） dNt=mρdIt。使用（11），第二个条件等价于（1）- ν） ρv=m（νs）- uc）（v/m）表示u中的所有v，这意味着us的线性- ~ncon S（u）并导致（15）。相反，（15）意味着mρδt=qDt，那么P是一个鞅。备注5.1。当β=ρ时，α=（1-ν） ρ，和Фs-在S（u）上，我们从前面的计算中得出d（mqδt- ρDt）=-ρ（mqδt）- ρDt）Dt和qδt- ρdt指数收敛到零。条件qD=mρδ意味着模型从这个稳态开始。当（15）成立时，可以直接用定理EM2.1检验定理4.1给出的最优策略及其代价。出于明确的原因，如果满足这些条件，我们将所有混合影响霍克斯鞅（MIHM）模型转换为MIH模型。命题5.1非常有趣，因为它在没有PMS的完美市场中连接了MIH模型的模型参数。首先，条件β=ρ意味着流动性提供者的均值回复行为补偿了流动性接受者交易符号的自相关性；因此，我们得出了类似于Bouchaud等人[11]的结论。

条件α=（1）- ν） β给出了霍克斯核和比例1之间的联系- 短暂的价格影响。当ιc=0时，α/β表示来自一个市场订单的子订单的平均数量，因此与市场中内生订单（即由其他订单触发）的比例相同。我们得到的是这个比率应该等于1- ν、 这是对内生性的一种先验不同度量，因为它给出了不影响低频价格的市场影响比例（见第2.3.2节）。α的积极性反映了这样一个事实，即为避免市场不稳定，决定反向交易的参数应该很小。有趣的是，如果（15）成立，第2.3.2节中导出的平稳性条件ιs+ιc<β相当于2ιc<νρ，这可以作为ιc的合理上限-§C应为线性。让我们回顾一下，аsandаcencode自激（以及交叉激励）效应对传入市场订单量的依赖性。条件（15）意味着它们应该具有大致相同的函数形式，除了线性部分的pt，而线性部分的pt应该更长。然而，我们在此提醒，这些结论是在MIH模型中得出的，应该与市场数据相比较。我们将这项实证研究留待进一步研究。当然，在实践中，如果对真实金融数据的MIH模型进行校准，使参数完全满足要求，那将是奇迹（15）。人们可能更希望这些参数接近，但实际上并不等于MIM模型的参数，原因如下。首先，无法保证将一个模型放在一个没有PMS的市场上会导致一个没有PMS的模型。

其次，MIH模型忽略了市场摩擦，如买卖价差，并为战略交易者提供了一些优势，例如可以在其他交易者之后立即发布订单（有关执行订单的延迟的研究，请参见Stoikov和Waeber[36]）。这些事实使得PMS在模型中比在现实中更可能存在。第三，我们知道，在实践中，临时套利可能以高频率存在。因此，没有理由确定的参数完全遵循MIM条件（15）。这证明了定理4.1给出的策略在估计参数偏离MIHM模型时降低执行成本的潜在实用性。请注意，图1说明了这种情况：所有参数都满足（15），但ρ（应等于β=20）。MIH模型对市场数据的估计留待未来研究。MIH模型的框架也为描述短期套利的存在提供了一些有趣的见解。让我们介绍一下以下定义。定义5.1。我们认为，如果通过发布大宗交易作为对另一交易者发出的市场指令的即时反应，可以降低变现策略的成本，那么市场就可以接受弱价格操纵策略（WPM）。推论5.1。在MIH模型中，当且仅当β=ρ，α=（1）时，市场不承认WPM- ν） ρ和Фs（x）- νc（x）=x的αx∈ S（u）（16）或u=狄拉克（0）。证据定理4.1的证明非常简单。u=Dirac（0）的情况很简单，我们认为它大于0。对于任何τ，策略（14）的跳跃项应等于零∈ [0，T]。通过取τ=T，我们得到φs（x）- νc（x）=（1）- ν） ρx代表x∈ S（u）。将此一致性与u积分，得到α=ιs- ιc=（1）- ν)ρ. 那么，从（14）中，我们应该有（νρ- η） 对于u，xρu×ω（ηu）=0∈ [0，T]为νρ=η。

因为η=β- α = β - (1 - ν） ρ，我们得到β=ρ。相反的含义是显而易见的。根据注释5.1，条件qD=mρδ意味着模型已经达到平衡，这基本上是一段时间后的情况。因此，MIH模型中排除WPM和PM的条件完全相同。这是两种不同观点之间有趣的联系。“无经前综合症”意味着没有自由收入来源。“无WPM”的条件反而带来了市场稳定，因为它排除了来自对其他交易的反应的交易量。推论5.1是我们特定模型中这种联系的数学公式。5.2泊松模型在排队论中，泊松过程通常用于模拟顾客的到达。因此，使用它们来模拟市场订单的流动是很自然的，正如B ayrakta r和Ludkovski[9]或Cont和de Larrard[13]在不同的框架中所做的那样。这里，在泊松模型中，N+和N-是两个i.i.d.独立的复合泊松过程，分别为常数跳跃率κ+和κ-, 用同样的跳跃定律。当β=0时，这是MIH模型的一种特殊情况≡ 0和φc≡ 0，这意味着η=0。因此，在这种情况下，最优策略和价值函数可以从定理4.1中推导出来（另见备注4.1）。首先，让我们注意到，泊松模型不能满足条件（15），除了ρ=0的情况，在这种情况下，只有永久性的价格影响，这与本文无关。因此，我们先验地知道经前综合症是可能的。然而，我们在下文中规定，订单流量上的POIS产生非常简单的套利。

首先，我们把κ+6=κ的情况放在一边-价格上的趋势导致明显的经前综合症，现在考虑更有趣的情况是κ+=κ-, 我们用κ表示公共强度。获得PMS的自然选择当然是考虑定理4.1给出的最优策略，当液化x=0资产时。在泊松情形下，这种优化策略的一个显著特点是，它只依赖于过程N，而不直接依赖于跳跃规律及其强度。然后，在应用最优策略时，主要需要知道两个量：qd和ρ。我们用byC（D）表示最优策略的成本，并从定理4.1中得到：- ）q×C（D）=-ρT/22+ρTqD- (1 - ν） 2κmT-ρln1+ρT. （17） 事实上，PM在这个框架中非常健壮。下面的命题表明，即使qd和ρ未知，也可以构建这样的策略。这表明，在我们具有线性价格影响和指数弹性的框架中，复合泊松过程不适合建模订单流。提议5.2。设κ+=κ-= κ> 0和λ∈ (0 , 1). 以下往返策略Xλ=XλT+=0由Xλτ定义+- Xλτ=-1.- ν1 - ×λ（Nτ）- Nτ-)N的每一次跳跃都是一个PMS。其平均成本由[C（Xλ）]=2λ（1）给出- λ） κm（1）- ν） 问题（1）- )1.- 经验(-ρT）ρ- T< 0，最好的选择是取λ=1/2。证据从备注2.7中可以看出，有必要将重点放在ν==0和q=1的情况。在这种情况下，我们有c（X）=Z[0，T）DudXλu+X0≤τ<T(Xλτ）- DTXλT+（XλT），其中Dt=D+Rtexp(-ρ（t）-s） ）dNs+Rtexp(-ρ（t）-s） ）dXλs.FromR[0，T）DudXλu=-λP0≤τ<TDτ-Nτ+(Nτ）,我们得到E[R[0，T）DudXλu]=-λE[P0≤τ<T(Nτ）]=-2λκmT。

因为XλT=-λn和DT=D+（1-λ） RTexp(-ρ（T）- s） ）dNsa。s、 ，我们有E[（XλT）]=2λκmT and[-DTXλT]=λ（1）- λ） E“NTZTexp(-ρ（T）- s） ）dNs#=2λ（1）- λ） κm1- 经验(-ρT）ρ。这最终使[C（Xλ）]=-2λκmT+λκmT+2λ（1- λ） κm1- 经验(-ρT）ρ+λκmT=2λ（1）- λ） κm1.- 经验(-ρT）ρ- T.最优策略的一个显式公式我们使用函数l（r，λ，t）：=rZtexp（λs）2+rsds=exp(-2λ/r）Eλr（2+rt）- E2λr, （18） 其中E（y）=-R+∞-耶-uudu是y的指数积分，如果y>0，则表示柯西主值。因为我们只考虑差异E（y）-E（y′）当y，y′>0或y，y′<0时，我们只考虑p积分。函数E是标准的，并在许多软件包中实现，比如Boost C++库。因此，L可以作为一个封闭公式来计算。ζ和ω的定义参见（12）和（13）。辅助功能：用于0≤ s≤ T≤ T，φη（T）=2（2+ρ（T- t） ）×h1+exp(-η（T）- t） ）+νρ（t- t） ζ（η（t）- t） ）+βρ[2+ρ（t- t） ×{1+ζ（η（t- t） ）+νρ（t- t） ω（η（t）- t） [i，Φ（s，t）=βρ+ν-βρ×exp(-βs）- 经验(- βt）β+（1- ν)1.-βρ×exp(-βT）ρ×L（ρ，β，T-（s）- L（ρ，β，T）- t） ]+ν[（t）- s） 经验(-βs）- （T）- t） 经验(-对于η6=0，Φη（s，t）=ρ+νη×[exp(-βs）- 前任警察(-βt）]+exp(-βT）2ρ×1 +ν(ρ - 2β)η+βη1.-νρη×[L（ρ，β，T-（s）- L（ρ，β，T）- t） ]+exp(-βT）2ρ×1.-νρη-βη1.-νρη×[L（ρ，α，T- （s）- L（ρ，α，T）- t） ]。现在我们给出了整个最优策略的显式公式。

它们适用于所有η∈ R.趋势策略：（1）- )Xtrend=δm2ρ×[2+ρT×{1+ζ（ηT）+νρTω（ηT）}]- [1+ρT]qD2+ρT，（1- )XtrendT=δm2ρ×2+ρT×{1+ζ（ηT）+νρTω（ηT）}2+ρT- 2ρΦη（0，T）- 2经验(-βT）+qD2+ρT，（19）和，on（0，T），（1）- ）dXtrendt=δm2ρ×2+ρT×{1+ζ（ηT）+νρTω（ηT）}2+ρT- 2ρΦη（0，t）- t（exp）2ηφ(-βt）ρdt+qD2+ρTρdt。动态策略：（1）- )Xdyn=0，（1- )XdynT=- m“ΘχTΦη（τχT，T）+χT-1Xi=1ΘiΦη（τi，τi+1）#+X0<τ≤T（1）- ν) Nτ2+ρ（T）- τ） +m2ρ×X0<τ≤T2+ρ（T）- τ） ×{1+ζ（η（T- τ） ）+νρ（T- τ） ω（η（T）- τ） ）}2+ρ（T- τ)Iτ-mρχTexp(-βT），（20）和，在（0，T），（1）上- ）dXdynt=- mφη（t）Θχtexp(-βt）dt+X0<τ≤t（1）- ν)Nτ2+ρ（T）- τ)ρdt+X0<τ≤t2+ρ（T）- τ） ×{1+ζ（η（T- τ） ）+νρ（T- τ） ω（η（T）- τ） ）}2+ρ（T- τ)Iτmdt-ΘχtΦη（τχt，t）+χt-1Xi=1ΘiΦη（τi，τi+1）#ρmdt+1+ρ（T- t） 2+ρ（t）- （t）mρdIt- (1 - ν） dNt+m2ρ（νρ）- η） ×ρ（T）- t） ×ω（η（t）- t） ）2+ρ（t）- t） 迪特。B最优控制问题的证明（定理4.1和附录A的结果）B.1符号和方法过程的跳跃强度（Nt）由（10）定义的cádlág Mar kovian过程（δt，∑t）表征，取R×R+的值。问题的状态变量为（Xt，Dt，St，δt，∑t），控制变量为Xt- x、 也就是战略转移的位置变化∈[0，T]是定义2.1中描述的可接受策略。因此，控制程序在所有可容许策略上最小化E[C（0，X）]，其中t和t之间策略X的成本C（t，X）由C（t，X）=Z[t，t）PudXu+2qXt给出≤τ<T(Xτ）- PTXT+2qXT。t=t时的最终值是已签署数量的市场订单的成本XT=-XT（所以XT+=XT+XT=0）。在时间t，价格ptt取决于dt和stu，而dt和stu又取决于（Xu）∈[0，t]。让我们用t定义[t，t]上的一组可接受策略∈ [0，T]。