混合市场影响霍克斯价格模型中的动态最优执行

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英文标题：
《Dynamic optimal execution in a mixed-market-impact Hawkes price model》
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作者：
Aur\\\'elien Alfonsi and Pierre Blanc
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study a linear price impact model including other liquidity takers, whose flow of orders either follows a Poisson or a Hawkes process. The optimal execution problem is solved explicitly in this context, and the closed-formula optimal strategy describes in particular how one should react to the orders of other traders. This result enables us to discuss the viability of the market. It is shown that Poissonian arrivals of orders lead to quite robust Price Manipulation Strategies in the sense of Huberman and Stanzl. Instead, a particular set of conditions on the Hawkes model balances the self-excitation of the order flow with the resilience of the price, excludes Price Manipulation Strategies and gives some market stability.
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中文摘要：
我们研究了一个包含其他流动性接受者的线性价格影响模型，这些接受者的订单流要么遵循泊松过程，要么遵循霍克斯过程。在这种情况下，最优执行问题得到了明确的解决，封闭式最优策略特别描述了一个人应该如何对其他交易者的指令做出反应。这个结果使我们能够讨论市场的可行性。研究表明，在Huberman和Stanzl的意义上，订单的泊松到达导致了相当稳健的价格操纵策略。相反，霍克斯模型中的一组特定条件平衡了订单流的自激性和价格的弹性，排除了价格操纵策略，并提供了一定的市场稳定性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Dynamic_optimal_execution_in_a_mixed-market-impact_Hawkes_price_model.pdf (451.29 KB)

2022-5-6 02:35:39 上传

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关键词：manipulation Quantitative QUANTITATIV agent-based Strategies

混合市场中的动态最优执行影响Hawkesprice模型Aurélien Alfonsi，Pierre Blanc*2018年10月29日摘要我们研究了一个线性价格影响模型，包括其他流动性接受者，他们的订单流动遵循霍克斯过程。在这种情况下，最优执行问题得到了明确的解决，closedformula最优策略特别描述了一个人应该如何对其他交易者的指令做出反应。这个结果使我们能够讨论市场的可行性。研究表明，在Huberman和Stanzl[29]的意义上，订单的泊松到达导致了相当稳健的价格操纵策略。相反，霍克斯模型中的一组特定条件平衡了订单流的自激性和价格的灵活性，排除了价格操纵策略，并提供了一定的市场稳定性。关键词：市场影响模型，最优执行，霍克斯过程，市场微观结构，高频交易，价格操纵。AMS（2010）：91G99、91B24、91B26、60G55、49J15。杰尔：C02，C61，C62。1简介在对一项资产的价格进行建模时，我们通常会区分至少三种不同的时间尺度。在较低的频率水平上，价格通常可以通过不同的过程很好地近似。另一方面，在处理非常高的频率时，必须对限制订单簿（LOB）动力学的一些关键特征进行建模。在这两者之间，价格影响模型考虑的是一天内的介观时间，有些时间介于秒和小时之间。它们通常忽略大多数LOB事件（限价订单、取消、mar KETORDER等），并侧重于描述交易的价格影响。他们的目标是比高频模型更容易处理，并在诸如最佳执行策略等实际问题上带来定量结果。

Gathereal[22]详细描述了通常的设置，他定义了价格过程S asSt=S+Ztf（˙xs）G（t- s） ds+ZtσdZs，*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MATHRISK ENPC-INRIA-UM LV，布莱斯-帕斯卡大道6号和8号，法国Cedex 2号马恩-拉瓦莱77455号，电子邮件：alfonsi@CERMICS。enpc。神父，blancp@cermics.enpc.fr.P.Blanc感谢Natixis基金会授予他的博士学位。这项研究还得益于“Risque主席金融家”Risque基金会的支持。式中˙xs是清算代理在时间s<t时的交易率，f（v）代表以速度v交易的代理的瞬时价格影响，G称为“decay核”，Z是噪声过程。量f（v）G(+∞) 通常被称为“永久性影响”，f（v）G（0）为“直接影响”，f（v）[G（0+）-G(+∞)] “瞬间冲击”。Be rtsimas和Lo[10]以及Almgrenand Chriss[5]的开创性价格影响模型考虑了线性影响，具有即时和永久部分（cor响应tof（v）=αv，G（0）>0，G（0+）=G）(+∞) > 0（使用前面的符号）。这些模型忽略了影响的过渡部分，这是由于市场的弹性，在频繁交易时不能忽略。为此，Obizhaeva和Wang[32]考虑了一个模型，该模型还包括指数衰减的线性瞬态影响（即f（v）=αv，G（u）=λ+（1）-λ） 经验(-ρu），0≤ λ ≤ 1, ρ > 0).然而，市场数据的经验证据表明，价格影响不是t线性的，而是波动的，参见Potters和Bouchaud[33]，Eisler等人[17]，Mastromatteo，tóth和Bouchaud[31]，Donier[16]，以及最近的Farmer，Gerig，Lillo和Waelbroeck[19]。

Alfonsi、Fruth和Schied[2]、Predoiu、Shaikhet和Shreve[34]、Gatheral[22]和Guéant[24]等提出了包括非线性价格影响的Obizhaeva和Wang模型的扩展或替代方案。类似地，在市场数据上并没有真正观察到瞬时影响的指数衰减，人们应该考虑更多的果仁。Alfonsi、Schied和Slynko[4]以及Gathereal、Schied和Slynko[23]考虑了当瞬态碰撞具有一般衰变核时，Obizhaeva和Wang模型的扩展。这些模型的另一个简化模型是，它们通常假设当清算交易者处于被动状态时，价格按照连续鞅移动，该鞅总结了其他参与者发出的所有订单的影响。然而，如果人们想更频繁地使用这些模型，他们自然会想知道如何在策略中考虑这些订单（至少是最大的订单），以及是否可以放松价格的鞅假设。这是本文的贡献之一。另一方面，高频价格模型旨在重现对市场数据进行的一些统计观察，如交易迹象的自相关、波动性聚类效应、价格的高频弹性等，并获得与持续差异一致的低频渐近性。在非常高的频率下，一个人必须描述LOB动态，或其中的一部分。Abergel和Jedidi[1]、Huang、Lehalle a和Rosenbaum[28]、Cont和de Larrard[13]、Garèche等人[21]等提出了此类模型。然而，正如[13]所强调的，LOB事件比价格变动更频繁。因此，以稍低的中点价格变化频率对价格进行建模可能是相关的。

例如，Robert和Rosenbaum[35]提出了一个基于扩散的模型，该模型具有触发价格变化的不确定性区域。最近，Bac ry等人[6]提出了一个基于霍克斯过程的滴答价格模型，该模型很好地再现了市场数据的一些经验事实。Bacry和Muzy[8]对该模型进行了丰富，共同描述了订单流量和价格变动。事实上，最近有一篇非常活跃的文献关注在高频价格模型中使用相互激励的霍克斯过程。在这里，我们不厌其烦地提到了达·丰塞卡和扎托尔[14]、郑、鲁伊夫和阿伯格尔[38]、菲利莫诺夫和索内特[20]以及哈迪曼、贝科特和布乔德[25]的作品。Bacry等人[7]以及Jaisson和Rosenbaum[30]最近对此类模型的渐近和低频行为进行了研究。本论文是对这篇同样令人兴奋的文献的贡献。它的主要目标是在高频价格模型和最佳执行框架之间架起一座桥梁。一方面，霍克斯希望自己足够富有，能够满意地描述市场订单的流动。另一方面，价格影响模型易于处理，设计良好，可以计算交易成本。我们模型的目的是掌握这两个特征。因此，我们考虑了Obizhaeva和Wang框架，其中其他交易者发布的市场买卖订单通过Hawke过程建模。这使我们能够进行定量计算，并明确地解决最优执行问题。我们对霍克斯模型的参数获得了一个必要且有效的条件，以排除可被视为高频套利的价格操纵策略。同时，我们还讨论了用泊松过程建模订单流必然导致套利的方式。论文的结构如下。

在第二节中，我们建立了模型，并给出了排除价格操纵策略的一般标准。第3节总结了我们的主要结果。第4节给出了最优执行问题的解决方案，以及关于最优策略的一些评论和见解。最后，我们在第5节分析了我们模型中价格操纵策略的存在性，并给出了它们不可能存在的条件。附录中收集了繁琐的明确公式和技术证明。2模型设置和最佳执行问题2。1一般价格模型我们从描述价格模型本身开始，不考虑执行问题。我们考虑一个单一资产，并用时间t的Ptits价格表示。我们假设我们可以把它写成一个“基本价格”分量的和，代表一个“介观价格偏差”Dt:Pt=St |{z}基本价格+Dt |{z}。介观价格偏差（1）通常，这些数量分别与市场订单的永久性和暂时性影响有关。我们现在指定模型，并考虑Obizhaeva和Wang[32]的框架，其中这些影响是线性的。设Nt为从时间0到时间t之间，账面上过去市场订单的签署量之和。按照惯例，买入订单在N中正计数，而卖出订单使N减少，此外，我们假设N是一个cádlág（左限右连续）过程。我们假设anorder会根据其大小按比例修改价格，这将对应于一个块状的限价订单。比例∈ [0,1]的价格影响是永久性的，而剩余的比例为1- ν是瞬时的，速度ρ>0呈指数衰减。这种均值回归效应可以被视为市场庄家的反馈，他们通过限购和取消来影响价格。

也就是说，我们考虑了S和D的以下动力学：dSt=νqdNt |{z}市场顺序SDDT=-ρdtdtdt |{z}市场弹性+1- νqdNt |{z}，q>0的市场秩序。应该注意的是，在这个模型中，资产基本价值的变化通过过程S反映在其价格中。事实上，我们假设，通过过程N建模的每个传入市场订单的影响包含“真实”或“外生”信息的比例ν，以及剩余的比例1- ν是内源性的，随着时间的推移会消失。备注2.1。该模型假设线性价格影响具有指数弹性。正如引言中所提到的，这些假设受到了经验事实的挑战，考虑非线性价格影响和更普遍的影响衰减来丰富模型无疑是有意义的。然而，与最优执行相关的文献相比，该模型的新特点是增加了由其他交易者发布的市场指令流。这就是为什么我们努力做出这些简化假设，以提供分析可处理性，这对于实时计算最佳执行策略非常重要。因此，该模型旨在通过价格驱动的逐点过程构成动态优化执行的第一步，我们计划在未来的工作中将其与市场数据进行对比。像往常一样，我们考虑(Ohm, F、 P）概率空间，其中P加权市场事件的概率。我们假设这个过程（Nt）不是≥0具有有界变化且是平方可积的，即sups∈[0，t]E[Ns]<∞无论如何≥ 0，我们定义（Ft）t≥0 N的自然过滤，Ft=σ（Ns，s≤ t） 对于t≥ 0.我们将在第2.3节中详细说明本文中考虑的N的动力学。2.2最佳执行框架我们现在考虑一个特定的交易者，他想在时间间隔[0，T]内买卖给定数量的资产。

通过本文，我们将把所有这些交易者称为“战略交易者”，以区分他的市场指令和所有其他市场指令，这些指令由N描述。我们将用XT表示在时间t时str-ategic交易者拥有的资产数量。我们假设这个过程是（Ft）自适应的，有界变异和cáglád（左连续右限），这意味着战略交易者观察市场上的所有信息，并能立即对其他交易者发布的市场指令做出反应。此外，在[0，T]上清算xassets的策略应该满足X=X且XT+=0:X>0（resp.X<0）对应于卖出（resp.buy）程序。定义2.1。针对X位置的清算策略X∈ 如果[0，T]上的R是（Ft）自适应的，cáglád，平方可积的，有界变差且X=X和XT+=0，a.s.备注2.2，则R是可容许的。容许策略X在[0，T]上有一组可数的不连续时间，并且可以有一个非零连续部分Xct=Xt-Pτ∈DX∩[0，t）（Xτ）+- Xτ），t∈ [0，T]。然后必须明确战略交易者如何调整价格，以及由其交易策略引起的成本。同样，我们将考虑O bizhaeva和Wang型号[32]，其价格影响与上述相同。然而，我们让这个比例∈ [0,1]战略交易者的永久影响可能不同于其他交易者，我们注意到∈ [0, 1]. 当然，一个合理的选择是将=ν设置为c，同时平等地考虑所有订单，但该模型允许更多的通用性。然后我们假设下面的dynamicSt=q（νdNt+dXt），（2）dDt=-ρdtdtt+q（1- ν） dNt+（1）- ）dXt）。（3） 在N和X的假设下，价格过程P、S和D有左极限和右极限。

更准确地说，如果时间t不连续，（2）和（3）必须在这里读作以下内容- 圣-=νq（Nt）- 新界-), 圣+- St=q（Xt）+- Xt），Dt- Dt-=1.- νq（Nt）- 新界-), Dt+- Dt=1- q（Xt）+- Xt）。仅出于可操作性的考虑，我们假设为一个块形极限订购本。因此（参见[32]），当策略交易者在时间t下一个大小为v的订单时∈ R（v>0表示购买订单，v<0表示后续订单），其成本πt（v）=ZvPt+qydy=当前价格下的Ptv |{z}成本+v2q |{z}影响成本。由于Pt+=Pt+vq，该成本相当于以平均价格（Pt+Pt+）/2交易所有资产。我们在此强调，如果订单刚刚发生，即Nt-新界-6=0，PTI的值与Pt不同-并考虑了这一订单对价格的影响。因此，可容许策略X的代价由c（X）=Z[0，T）PudXu+2qXτ给出∈DX∩[0，T）(Xτ）- PTXT+2qXT（4）=Z[0，T）PudXcu+Xτ∈DX∩[0，T）Pτ(Xτ）+2qXτ∈DX∩[0，T）(Xτ）- PTXT+2qXT，因为在时间T时，所有剩余资产都必须清算。这里，求和得到了X的不连续时间dx和跳跃时间Xτ=Xτ+- 对于τ，Xτ6=0∈ DX。我们注意到，由于X和N的平方可积性的假设，所有与cost函数有关的项都是可积的。以初始市场价格Ptaken为参考，-P×xis是市场清算成本。因此，C（X）+P×X可以被视为额外的流动性成本，因为它是正的。如果为负值，则其绝对值可视为与策略X相关的增益。备注2.4。价格模型（1）、（2）和（3）中（4）定义的成本是（Xt）t的确定函数∈[0，T]，（Nt）T∈[0，T]、S和参数q、ν和。在这句话中，我们用C（X，N，S，D，q）来表示这个函数。从（2）、（3）和（4）中，我们得到了简单的性质C（X，N，S，D，q）=C(-十、-N-s-D、 q）。

（5） 观察qC（X）=R[0，T）qPudXu+P0≤τ<T(Xτ）- （qPT）XT+（XT），并指出qS和qD在q=1时满足（2）和（3），我们也得到qc（X，N，S，D，q）=C（X，N，qS，qD，1）。（6） 备注2.5。由于X是一个cáglád过程，而N是一个cádlág过程，因此我们必须使用ládlág（具有有限的右手和左手限制）过程。当Z是一个ládlág过程时，我们设置-Zt=Zt- Zt-和+Zt=Zt+-Zt表示Z的左右跳跃，Zct=Zt-P0≤τ<t+Zτ-P0<τ≤T-Zτ是Z的连续部分。我们还设置Zt=Zt+-Zt-并使用简写符号dZt=dZct+Zt。如果dZt=dzt用于其他一些ládlág过程Z，这意味着dZct=dztandZt=~Zt。特别是，当Z是cádlágand＠Z是cáglád时，这意味着Zt- Zt-=~Zt+-在跳跃时间。然后，最优执行问题在于找到一个可接受的策略X，该策略使给定初始位置X的预期成本E[C（X）]最小化∈ R.x=0的问题与价格操纵策略的存在直接相关，如下所述。定义2.2。Huberman和Stanzl[29]认为的价格操纵策略（PMS）是一种允许的st策略X，对于某些T>0和E[C（X）]<0，X=XT+=0 A.s。下面的结果为排除PMS提供了必要和充分的条件。定理2.1。当且仅当过程P是（Ft）-鞅whenX时，该模型不允许PMS≡ 0.在这种情况下，最优策略XOWis与Obizhaeva和Wang[32]模型中的相同。由它给出XOW=-x2+ρT，XOWT=-x2+ρT，dXOWt=-ρx2+t的ρTdt∈ （0，T），（7）且具有预期成本E[C（XOW）]=-Px+h1-2+ρ（T）-t） +ix/q.这个定理在附录C中得到了证明。