Skorokhod空间中的鞅最优输运

设S=（St）0≤T≤t给定的标准过程St（ω）：=ωt，对于所有ω∈ Ohm.空间上的一个概率测度Q(Ohm, F） 是一个鞅测度，如果正则过程（St）Tt=0是关于Q的鞅，S=（1，…，1），Q-a.S。对于Rd+上的概率测度u，让Mu是所有鞅测度的集合，使得发育迟缓Q的概率分布等于u。请注意，条件rxkdu（x）=1 in（2.4）相当于Mu6=.2.3. 可接受的投资组合。接下来，我们描述标的资产中的连续时间交易。我们基本上采用了[15]中已经使用过的路径方法。然而，目前的设置比人工最优传输7[15]中的设置更微妙。事实上，由于积分器S的不连续性，我们要求交易策略是有界变化且左连续的。实际上，对于任何左连续函数γ：[0，T]→ 有界变差的RDF与ac'adl'ag函数∈ D、 我们可以使用部分积分（见[28]第1.7节）来定义γudSu:=γt·St- γ·S-ZtSu·dγu，其中a，b∈ Rd，a·b是通常的标量积。此外，右上方的las t项是Lebesgue-Stieltjes积分，而不是[15]中使用的标准Riemann–Stieltjes积分。特别是，当γ也是渐进可测的（c.f.，（2.1））时，则对于任意鞅测度Q∈ Mu，随机积分rγ定义良好，路径构造积分和随机积分几乎肯定一致。在续集中，我们反复使用这个等式。这些考虑使我们得出以下定义。定义2.5。

半静态投资组合是一对φ：=（g，γ），其中g∈ L（Rd+，u）和γ：[0，T]×D→ 当reγt（S）表示在t时，在此时进行转让之前，投资组合φ中的股票数量时，RDI是连续的、逐步可测量的、有界的变化。s emi静态投资组合是允许的，如果每个Q∈ Mu随机积分rγudsui是aq超鞅。一个可容许的半静态投资组合称为超复制，ifg（ST）+Ztγu（S）dSu≥ G（S），s∈ D.G的（最小）超级套期保值成本定义为，V（G）：=infZgdu：γ使得φ：=（g，γ）是超级复制的.备注2.6。受理条件取决于所采取的措施。因此，容许控制集和超级回复成本也具有这种依赖性。可以通过考虑连续和有界EDG而不是L（Rd+，u）函数来消除这种依赖性。对于可容许性，不要求随机积分γudsui是每个Q的Q超鞅∈ Mu，我们可以在S.Acaruel中施加一个条件，即该积分从下方一致有界。对Theo-rem 2.9证明的分析揭示了对偶性（在orem 2.9的假设下）适用于此类较小的可容许投资组合，因此超级复制成本不变。见下文备注3.8和2.10。如果usatifies（2.7）Z|x|pdu（x）<∞当指数p>1时，如果存在满足（2.8）Ztγu（S）dSu的C>0≥ -C1+sup0≤U≤t|Su|p,  T∈ [0，T]，S∈ D、 然后，对于每个Q，随机积分是一个Q超鞅∈ Mu由于Doob’sinequality和（2.7）。8 Y.Dolinsky和H.M.SonerIn在续集中，我们通过验证上述条件（当（2.7）成立时p>1，或者再次验证上述不等式，但当我们只有（2.4）时p=0，来检查γ的可容许性。2.4. 空间D上的鞅最优输运。我们继续讨论对偶结果。

由于我们的方法依赖于离散化，因此需要奇异选项的规律性。然后，人们可以通过分析方法放松这种规律性，就像我们在[16]中所做的那样。由于本文的重点是stock过程和多维性的可能不连续性，我们不使用G上的最一般条件。我们首先证明了G在Skorokhod拓扑中满足（1.3）且一致连续时的对偶性。然后我们在下面的第5节中放宽这个条件。为了说明G上的条件，回忆一下Skorokho d度量onD（[0，T]；Rd），d（ω，ω）：=infλ∈∧[0，T]supt∈[0，T]（|ω（T）- |ω（λ（t））|+|λ（t）- t |），其中∧[0，t]是函数λ：[0，t]上所有严格递增函数的集合→ [0，T]。假设2.7。我们假设奇异选项：D（[0，T]；Rd）→ R、 满足（1.3）且一致连续，即存在连续有界函数（连续模）mG:R+→ R+使| G（ω）- G（ω）|≤ mG（d（ω，ω）），ω, ~ω ∈ D（[0，T]；Rd）。满足假设2.7的支付示例（对于d=1）包括带固定删除线的回望看跌期权（s）=（K- min0≤T≤TSt）+回望看涨期权，带浮动冲击线- min0≤T≤TSt）+。在最后一节中，我们将上述假设放宽为假设5.1。此扩展允许更多选项，尤其是亚洲类型。备注2.8。出于技术原因，我们假设G不仅定义在D上，而且定义在lar ger空间D（[0，T]；Rd）中。然而，假设G只被赋予它的自然域D，而不是空间D（[0，T]；Rd）。假设G在D上是一致连续的。然后，我们可以将G扩展到更大的空间，仍然满足上述假设，并且主要的对偶结果与所选择的特定扩展无关。事实上，一个直接闭包参数将G扩展到一个定义在D（[0，T]；[0，∞)d） 。

然后，我们定义G（~S）：=G（~S′）代表每一个∈D（[0，T]；Rd），式中<<S′（i）T:=|S（i）T |，i=1。。。，d和t∈ [0，T]。下面的结果是[15]中定理2.7的一个推广，它适用于具有可能跳跃的多维股价过程。其证明在随后的章节中完成。第5节提供了假设2.7的简化。鞅最优运输定理2.9。我们假设（H，L）如（2.2）、（2.3）所示，概率测量满足度（2.4）。然后，对于任何满足假设2的奇异选项。7.我们在定义2.5中定义了最小超级复制成本的双重表示，V（G）=supQ∈MuEQ[G（S）]，其中EQdenotes表示关于概率度量Q的期望。让Q∈ Mu。然后，对于任何可容许策略γ，路径积分γudsuagree与随机积分Q-几乎肯定，并考虑到定义2。5这个积分是一个Q超鞅。现在假设（g，γ）是一个可容许的复制半静态投资组合。然后，EQ“ZTγu（S）dSu#≤ 0，且等式[g（ST）]=Zgdu。我们在超级复制不等式中取期望值，并使用上述观察值得出V（G）≥ supQ∈MuEQ[G（S）]。推论3.7，（2.9）V（G）证明了相反的不等式≤ 林恩芬→∞V（n）（G）≤ supQ∈MuEQ[G（S）]。我们继续执行一个标准步骤，允许我们只考虑有界和非负索赔。减少到有界非负索赔。设C>0为假设（1.3）中的常数，设^G（S）：=G（S）+C“1+dXi=1S（i）T#。然后，V（G）=V（G）+（d+1）C，以及∈MuEQh^G（S）i=supQ∈MuEQ[G（S）]+（d+1）C.因为由（1.3）^G≥ 0，我们可以在不丧失一般性的情况下假设该索赔为非负索赔，并满足假设2.7。接下来，对于任何常数K≥ 0套GK:=G∧ C（dK+1），其中C再次如（1.3）所示。那么，gk是一个有界的非负函数。

那么，根据（1.3），G=GK+（G- C（dK+1））+≤ GK+CdXi=1（S（i）T- K） +。因此，我们有以下不等式，V（GK）≤ V（G）≤ V（GK）+VCdXi=1（S（i）T- K） +！=V（GK）+CdXi=1Z（xi- K） +du（x）.10 Y.多林斯基和H.M.索内拉索（2.4）暗示→∞dXi=1Z（xi- K） +du（x）=0。因此，我们得出结论：V（G）=limk→∞V（GK），如果不等式（2.9）适用于GK，那么它适用于G。我们得出结论，在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设G是满足假设2.7的大量非负函数。备注2.10。在上面的证明中，V（G）的下界来自一个经典的直接参数。对于这一论点，定义2.5中假设了（g，γ）的最小条件。即g关于u的可积性和随机积分的超鞅性。因此，任何较小的clas sof半静态投资组合也会满足下限琐事。3.有界非负G的（2.9）证明。在本节和下一节中，我们假设G是有界非负的，满足假设2.7，并且对（H，L）是s（2.2），（2.3）。3.1。Rd+和停止时间的离散化。在本小节中，我们构造了一系列的停止时间，这将是离散化过程的核心。为了n∈ N和x∈ Rd+定义一个开放集，O（x，n）：=ny∈ Rd+：|y- x|<√d 2-不，是给S的∈ D、 设置τ=0，定义τk+1=τ（n）k+1（S），τk+1:=T∧τk+√d 2-N∧ inf{t>τk:St6∈ O（Sτk，n）}，k=0，1，其中我们设置τk+1=T∧ （τk）+√d 2-n） 如果上述集合为空。为了减轻旋转，当n和S的依赖性很明显时，我们抑制了这种依赖性。SetM=M（n）（S）：=min{k∈ N：τk=T}。因为S是c\'adl\'ag和S∈ Rd+，M<∞. 同样清楚的是，0=τ<τ<…<τM=关于S产生的过滤的皮重停止时间。此外，对于k=0，1。

M- 1，（3.1）|τk+1- τk |，| St- Sτk|≤√d 2-NT∈ [τk，τk+1）。此外，通过T处S的连续性，上述值保持在闭合区间[τM]内-1，T]。鞅最优运输113.2。近似值。在本小节中，我们将介绍一系列定义在可数概率空间上的超级复制问题。在后面的章节中，我们展示了这个序列近似于原始问题。因为概率空间是可计算的、鲁棒的（或等价的点态），而概率超复制是通过正确选择的概率度量来实现的。这使我们能够利用经典技术来分析近似问题。我们∈ N并定义概率空间序列^D=^D（N）[0，T]。SetA（n）：=-nm:m=（m，…，md）∈ 钕,B（n）：=nk√d 2-n:k∈ 不∪N√d 2-n/k:k∈ 第3.1条定义。一个过程∈ D属于^D，如果存在一个非负整数和一个分区0=t<t=√d2-n<…<tM<T使得^St=M-1Xk=0^Stkχ[tk，tk+1）（t）+^StMχ[tM，t]（t），其中^S=（1，…，1），^ST=^StM∈ A（n）和^Stk∈ A（n+k）， k=1，M- 1，tk- tk-1.∈ B（n+k）， k=2，M由于集合^D是可数的，因此在^D中包含支撑的数据上存在一个概率测度P=P（n），它赋予^D的每个元素正权重Ohm := D、 规范映射S和过滤Fbe如第2.4小节所示。引入一种新的过滤方法^F=（^Ft）t∈[0，T]通过P的空集来完成f。注意，所有的结构都依赖于n，但这种依赖性在我们的符号中被抑制。在测度ep下，正则映射有很多跳跃。设M=M（S）对跳跃和0<^τ<…<^τM<T S的跳跃时间。我们设置^τ=0，^τM+1=T。

我们记得，规范过程S在T是连续的。过滤概率空间上的交易策略(Ohm, {^Ft}Tt=0，P）只是一个关于过滤^F的可预测随机过程^γ。接下来，考虑一个紧张的金融市场，其中交易策略满足约束^γ：[0，T]×D→ [-n，n]。静态可交易期权是A（n）的有界实值函数。我们还通过^u（{m2）定义了a（n）上的概率度量^u-n} ）：=unx∈ Rd+：π（n）（x）=m2-不, M∈ Nd，其中u是定义第2.1小节中运算符L的概率度量，以及（3.2）π（n）：Rd+→ A（n）：=-nk:k=（k，…，kd）∈ 钕由π（n）（x）i:=2给出-N2nxi, i=1，d、 为了一个∈ R+，A. ∈ N是大于或等于a的最小整数。下面我们通过定义集合^D.12 Y.Dolinsky和H.M.SonerDe定义3.2上的概率超级复制问题来总结这一点。（概率）半静态投资组合是一对（^g，^γ），使得^g:A（n）→ R是有界函数，^γ：[0，T]×D→ [-n、 n]是可预测的，并且存在stocastic积分。如果存在C>0且Zt^γud^Su≥ -C、 P- a、 科技部∈ [0，T]。如果（3.3）^g（ST）+ZT^γudSu，s emi静态por-tfolio是P-超复制的≥ G（S），P- a、 s.G的（最小）超级成本定义为，V（n）（G）：=infZ^gd^u：γ使得^φ：=（^g，^γ）是可容许的且是超复制的}。我们注意到（3.3）等价于每个^都有相同的不等式∈^D.备注3.3。我们放在γ上的界n在某种程度上是任意的。事实上，任何与n一致且与n相乘时为零的界-没有必要。这种灵活性在未来可能的扩展中可能很有用。3.3. 举起。

我们方法中的一个重要步骤是将给定的概率半静态投资组合φ=（h，γ）提升为原始金融市场的可接受投资组合φ。我们通过定义第3.1小节中定义的停止时间τk=τ（n）k（S）的近似值来开始该电梯的施工。还记得第3.1小节中定义的随机整数M=M（n）（S）和定义3中定义的集合B（i）。1.设置^τ：=0，^τ=√d 2-n、 ^τM+1:=T.对于k=2，M递归定义，^τk:=^τk-1+ (1 -√d 2-n/T）supnt>0|T∈ B（n+k）和t<τk-1.- τk-2o。我们注意到，由于B（i）的定义，上述集合始终为非空。我们在下面的引理中收集了这些随机时间的一些性质。引理3.4。随机时间^τk满足，0=^τ<√d 2-n=^τ<…<^τM<^τM+1=T和|τk- τk|≤√d 2-n+1， k=0，M.鞅最优运输证明。上述定义得出的结果是：τM=ττ+MXk=2[ττk- ^τk-1]<√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）MXk=2[τk-1.- τk-2]=√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）[τM-1.- τ]<√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）T=T。这证明了0=^τ<√d 2-n=^τ<…<^τM<^τM+1=T。此外，对于任何k=2，M、 ^τk=^τ+kXj=2[^τj]- ^τj-1]<√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）kXj=2[τj-1.- τj-2]=√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）[τk-1.- τ] =τk-1+√d 2-n（1）- τk-1/T）<τk-1+√d 2-n、 ^τ和se t B（i）的定义意味着，对于任何j=2，M、 ^τj- ^τj-1.≥ τj-1.- τj-2.-√d 2-（n+j）。我们用它来估计k=2，M，from如下。^τk=^τ+kXj=2[^τj]- ^τj-1]≥√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）kXj=2[τj-1.- τjτ-2.-√d 2-（n+j）]≥√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）[τk-1.- τ] -√d 2-n=τk-1.-√d 2-nτk-1/T>τk-1.-√d 2-n、 因为τM+1=τM=T，所以=√d 2-n、 τ=0，这证明了|τk- τk-1| ≤√d 2-N k=1，M+1。此外，通过构造n |τk+1- τk|≤√d 2-对于所有k=0，M- 1.这些不等式完成了引理的证明。

我们现在定义一个映射∏=∏（n）：D→^D by，（3.4）^∏t（S）：=M-1Xk=0π（n+k）（Sτk）χ[τk，τk+1）（t）+π（n）（SτM）χ[τM，t]（t），其中π（n）在（3.2）中定义。14 Y.多林斯基和H.M.索内瑞特通过定义π（n）、τk和定义3.1清楚地表明：∈^D forevery∈ D.我们还注意到，SτM=S在T处是连续的。为了进行比较，我们还定义了ˇ∏t（S）：=M-2Xk=0π（n+k）（Sτk）χ[τk，τk+1）（t）+π（n）（SτM）-1） χ[τM-1，T]（T），πT（S）：=M-2Xk=0Sτkχ[τk，τk+1）（t）+SτM-1χ[τM-1，T]（T）。引理3.5。设d为斯科罗霍德度量。那么，对于每一个∈ D、 D（S，π（S）），D（π（S），ˇ∏（S））≤√d 2-n、 d（ˇ∏S，^∏S））≤ 3.√d 2-n、 假设G满足假设（2.7）。然后G（S）- G（^∏（S））≤ 3mG（3√d 2-n） 。证据鉴于（3.1），我们有，d（S，π（S））≤ kS- π（S）k∞= maxk=0，。。。，M-1上{|街- Sτk |：t∈ [τk，τk+1）]∨ |装货单- SτM-1|≤√d2-n、 接下来我们直接估计d（π（S），ˇ∏（S））≤ k∏（S）-ˇ∏（S）k∞≤ 好的∈Rd+，k≥0 |π（n+k）（x）- x|≤√d 2-n、 定义∧：[0，T]→ [0，T]由∧（0）=0，∧（τk）=τk表示k=1，M- 1，∧（^τM）=[τM-1+T]/2，∧（^τM+1）=∧（T）=τM=T，并在其他点处分段线性。那么，很明显∧是一个递增函数，并且G∏∧（t）（S）=^∏t（S）， T∈ [0，^τM-1).此外，对于t∈ 【^τM】-1，T]，ˇ∏∧（T）（S）=π（n）（SτM-1).因此，通过（3.1）和S a t的连续性，supt∈[0，T]{ˇ∏∧（t）（S）-^∏t（S）} = 监督∈【^τM】-1，T]{ˇ∏∧（t）（S）-^∏t（S）} ≤√d 2-n、 现在，我们在Skorokhod度量的定义中，将上述时间与引理3.4和∧一起使用。结果是（ˇ∏S，^∏S））≤ 监督∈[0，T]{|∏∧（T）（S）-^∏t（S）|+|∧（t）- t |}=√d 2-n+maxk=1，。。。，M-1{|^τk+1- τk |}≤√d 2-n+√d 2-n+1。鞅最优运输假设15G满足假设2.7。我们现在使用上述估计值来获得| G（S）- G（^∏（S））|≤ |G（S）- G（π（S））|+|G（π（S））- G（ˇ∏（S））|+|G（ˇ∏（S））- G（^∏（S））|≤ 2毫克(√d2-n） +mG（3√d 2-n）≤ 3mG（3√d 2-n） 。我们已经准备好定义电梯。

假设^φ=（^g，^γ）是定义3.2意义上的半静态投资组合。为原始问题定义一个组合φ：=ψ（φ）：=（g，γ）（x）：=gπ（n）（x）, 十、∈ Rd+，γt（S）：=M-1Xk=0^γ^τk+1（S）（^∏（S））χ（τk（S），τk+1（S）]（t），t∈ [0，T]。（3.5）观察定义γ=0。下面的引理提供了上述映射的重要性质。引理3.6。对于半静态投资组合，定义3.2中的φ=（g，γ），并将φ=（g，γ）定义为（3.5）。那么，φ在定义2.5的意义上是可容许的，并且具有以下性质，ZRd+gdu=ZA（n）^gdu，ZT^γu（^∏S）d^∏u（S）-ZTγu（S）dSu≤√d n2-n+1， s∈ D.证据。使用^u和g的定义，我们直接计算出thatZRd+gdu=Xm∈Nd^gm2-Nu{x:π（n）（x）=m2-n}=Xm∈Nd^gm2-N^u{m2-n}=ZA（n）^gd^u。由于^φ受定义的限制，如果γ是可测量的，则φ的可容许性也随之出现。我们通过验证（2.1）来说明这一点。朝着这个地方走去∈ D和t∈ [0，T]使Su=suf≤ t、 我们必须证明γt（S）=γt（~S）。由于γ（S）=γ（~S）=0，我们可以假设t>0。让0≤ kt（S）是t的整数∈ （τkt（S），τkt+1（S）]。因为根据假设S和S在[0，t]上一致，所以他们的泵次直到时间t也一致。特别是，kt（S）=kt（~S）=：kt和τi（S）=τi（~S）<t和Sτi（S）=Sτi（~S）， i=1，kt。因为任何k≥ 0，^τk+1直接由τ定义，τk，我们还得出结论：τi（S）=τi（~S）， i=0，1，kt+1。设置θ：=τkt+1（S）=τkt+1（~S）S，使γt（S）=γθ（S）和γt（~S）=γθ（S））。16 Y.多林斯基和H.M.索恩斯，γ是可预测的，为了证明γt（S）=γt（~S），必须证明， u<θ。根据∏的定义，对于任何u<θ，都存在一个整数k≤ kt（对于S和S都相同）so，即∏u（S）=π（Sτk）和∏u（~S）=π（~Sτk）。现在回想一下，S和S在[0，t]和τk上是一致的≤ τkt<t。