Skorokhod空间中的鞅最优输运

因此，Sτk=~Sτu∏u（S）=u∏u（~S）。这证明γ是渐进可测量的。我们继续估计两个积分的差异。鉴于这些定义，我们对随机积分有以下表示，ZTγu（S）dSu=MXk=1^γ^τk（S）（S∏）Sτk（S）- Sτk-1(S)和zt^γu（S）d^∏u（S）=MXk=1^γ^τk（S）（S））π（n+k）（Sτk（S））- π（n+k）-1） （Sτk）-1（S））.SetI:=ZT^γu（^∏S）d^∏u（S）-ZTγu（S）dSu。由于投资组合^γ以n为界，我们有以下估计| I |≤ 2k^γk∞MXk=1π（n+k）（Sτk（S））- Sτk（S）≤ 2nMXk=1√d 2-（n+k）≤√d n2-n+1。鉴于上述结果和构造，g是有界的，因此，g是有界的∈ L（Rd+；u）。此外，γ被证明是逐步可测量和可预测的∈ [τk，τk+1）Ztγu（S）dSu≥Z^τk^γu（S）d^∏u（S）- 2k^γk∞MXk=1π（n+k）（Sτk（S））- Sτk（S）-nn≥ -C-√d n2-n+1-nn，其中最后一个不等式来自定义3.2意义上的^γ可容许这一事实。因此，随机积分是由下而下的，因此是每个Q的Q超鞅∈ Mu。这些论点暗示，提升的投资组合（g，γ）是一个可能的。上述提升结果提供了V（G）和V（n）（G）之间的直接联系。推论3.7。在定理2.9的假设下，极小超复制满足v（G）≤ V（n）（G）+√d n2-n+1+3mG（3√d 2-n） 。特别是V（G）≤ 林恩芬→∞V（n）（G）。鞅最优运输证明。设φ和φ如引理3.6所示。进一步假设^φ是^D上的超级复制g∈ D.然后，^∏（S）∈^D和^g（^∏T（S））+ZT^γT（^∏S））D^∏T≥ G（^∏（S））。通过定义g和∏，g（ST）=^g（π（n）（ST））=^g（^∏T（S））。然后，根据引理3.6，g（ST）+ZTγt（S）dSt≥ ^g（^∏T（S））+ZT^γT（^∏S））d^∏T-√d n2-n+1≥ G（^∏（S））-√d n2-n+1≥ˇG（S）：=G（S）-√d n2-n+1- 3mG（3√d 2-n） 。因此，φsuper复制了_G。这意味着rgdu≥ V（G）。

由于通过构造rgdu=R^gd^u，且上述不等式适用于每一个超复制^φ，我们得出结论V（_G）≤ V（n）（G）。同样清楚的是V（G）=V（G）+√d n2-n+1+3mG（3√d 2-n）≤ V（n）（G）+√d n2-n+1+3mG（3√d 2-n） 。备注3.8。观察到，由于^g是有界的，所以SO是提升静态对冲g。因此，在定义2.5中，可以使用类H:={H（s）=g（ST）：g∈ L∞（Rd+；u）}。此外，不难构造g，使其与A（n）上的^g一致且连续。这种构造将使我们能够考虑更小的类，其g’s是有界的和连续的。此外，在定义3.2中，随机积分^γudsui被假定为由常数C从下方限定。在上述引理的vie w中，提升的portfoliosatis证明，路径的积分γ通常也由下方限定，可能有一个稍大的常数。这表明，在定义2.5中，考虑γ是很有效的，因此积分从下方有界，而不是假设它们的随机等价物是每个Q的Q超鞅∈ Mu。上述推论是上界证明（在定理2.9的假设下）中唯一一个对可采性的准确定义很重要的地方。因此，上述讨论和备注2.10表明，对于满足定理2.9的次命题的G，如果我们考虑所述较小的可容许策略类（G，γ），G的超级复制成本是相同的。3.4. V（n）（G）的分析。鉴于前面的推论，为了完成（2.9）的证明，我们需要证明以下不等式lim supn→∞V（n）（G）≤ supQ∈MuEQ[G（S）]。这是分两步完成的。我们首先使用一个标准的极小极大定理和[17]的约束对偶结果来得到V（n）（G）的对偶表示（实际上我们得到了一个上界）。

然后，我们用概率技术分析这个对偶。18 Y.多林斯基和H.M.索内尔我们从定义开始。定义3.9。设P是所有概率测度Q的集合，它们在^D=D（n）[0，T]中得到支持。对于c>0，设M（n，c） P是具有以下性质的所有概率度量的集合，Xm∈钕Q^ST=m2-N- ^um2-N≤cnand（3.6）等式“M+1Xk=1等式（^S^τk |F^τk）-) -^S^τk-1.#≤cn，如前所述，τ（^S）<…<^τM（^S）是分段常数过程^S的跳跃时间∈^D和^τ=0，^τM+1=T。关于σ-代数^F^τj的定义，请读者参考[28]第105页-.实际上，对于任何停止时间τ∈ [0，T]，^Fτ-定义为最简单的σ-代数，包含∩ {τ>t}对于所有t∈ （0，T]和A∈^Ft.显然，^Fτ- ^Fτ，τ是^Fτ- 可测量的此外，如果X是一个可预测的过程，那么Xτ就是^Fτ- 可测量（定理8，第106页[28]）。下面的引理是通过使用[17]关于对冲欠约束的结果，并应用经典的极小极大定理而得到的。引理3.10。如果你反对的话≤ G≤ 对于某些常数c>0。那么，V（n）（G）≤“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+，其中，如果M（c，n）为空，我们将右侧设置为等于零。证据我们分几个步骤进行。第一步。考虑到它的定义，对于A（n）上的任何有界函数^g，我们有v（n）（g）≤ V（n）（G） ^g）+Zgd^u，其中g ^g（S）：=g（S）- ^g（ST）对于D上的任意有界可测值函数ξ，V（n）（ξ）=inf（z）∈ R:γ使得|γ|≤ n、 z+ZTγudSu≥ ξ、 P- a、 作为欧洲索赔ξ的“准”超级套期保值价格，在约束条件下，该保单中股票数量的绝对值以n为界。此外，（通常）我们要求存在M>0，使得RTγudSu≥ -M、 每一个t∈ [0，T]。第二步。

在任何条件下∈ P D上的标准过程S是分段常数，跳跃时间为0<^τ<…<^τM<T。很明显，正则过程是一个Q半鞅。此外，它有以下分解n，鞅最优传输19S=MQ- aqt=MXk=1χ[τk，τk+1）（t）kXj=1hS^τj-1.- 方程（S^τj |F^τj）-)我 T∈ [0，T）（3.7）AQT:=limt↑TAQt，一个有界变化的可预测过程，MQt=AQt+St，t∈ [0，T]是一个Qmartingale。然后，根据例子2.3和[17]中的命题4.1，它得出v（n）（ξ）=supQ∈PEQ“ξ- nMXk=1S^τk-1.- 方程（S^τj |F^τj）-)#.第三步。SetZ:={^g:A（n）→ R:k^gk∞≤ n} 。鉴于前面的步骤，V（n）（G）≤ inf^g∈ZsupQ∈PG（^g，Q），其中g:Z×P→ R由g（^g，Q）给出：=EQ“g”- nMXk=1方程（S^τk |F^τk）-) - S^τk-1.#+Z^gd^u- 等式^g（ST）。第四步。在这一步中，通过应用标准的最小-最大定理来交换上确界和内确界的顺序。实际上，考虑所有函数的向量空间RA（n）：A（n）→ R具有逐点收敛的拓扑结构。显然，这个空间是局部凸的。此外，由于A（n）是可数的，Z是RA（n）的一个紧子集。pnset可以自然地看作是向量空间R^D+的凸子空间。为了应用极小极大定理，我们还需要证明连续性和凹性。G在第一个变量中是一个函数，根据有界收敛定理，它在这个变量中是连续的。我们认为G在第二个变量中是凹的。为了达到这个目的，有必要对任何k≥ 1.mapQ→ EQ | EQ（S^τk | F^τk）-) - S^τk-1 |是凸的。集合X=S^τk- S^τk-1，^F:=^F^τk-Y=EQ（X | F）。

对于概率测度Q，qan和λ∈ （0,1），设置Yi=EQi（X | F）和Q=λQ+（1）- λ） Q.那么，EQ | Y |=EQ（Yχ{Y>0}）- EQ（Yχ{Y<0}）=EQ（Xχ{Y>0}）- 等式（Xχ{Y<0}）=λEQ（Xχ{Y>0}）- EQ（Xχ{Y<0}）+(1 - λ)EQ（Xχ{Y>0}）- EQ（Xχ{Y<0}）= λEQ（Yχ{Y>0}）- EQ（Yχ{Y<0}）+(1 - λ)EQ（Yχ{Y>0}）- EQ（Yχ{Y<0}）≤ λEQ | Y |+（1）- λ） 等式| Y |。这就产生了Q变量中G的凹度。20 Y.Dolinsky和H.M.SonerStep 5。接下来，我们将[31]中的极小极大定理45.8应用于G。结果是inf^G∈ZsupQ∈PG（^g，Q）=supQ∈品脱∈ZG（^g，Q）。结合步骤3，我们得出结论V（n）（G）≤ supQ∈品脱∈ZG（^g，Q）。最后，对于任何度量Q∈ P、 定义总部∈ Z byhQm2-N= c符号Q{ST=m2-n}- ^u{ST=m2-n}, M∈ Nd。然后，通过选择最小-最大公式，我们得到，V（n）（G）≤ supQ∈PG（总部，Q）。此外，ZhQd^u- EQhQ（ST）=-nXm公司∈钕Q^ST=m2-N- ^um2-N.因此，如果Q不属于集合M（c，n），则thenG（hQ，Q）≤ 等式[G（S）]- c、 根据假设，0≤ G≤ 因此，等式[G（S）]≤ c和V（n）（G）≥ 因此，我们可以将最大化限制为Q∈ M（c，n）。此外，如果M（c，n）是空的，那么我们可以得出tV（n）（G）≤ 03.5. （2.9）的证明已完成。为了完成定理2.9的证明，需要建立以下结果。引理3.11。如果你反对的话≤ G≤ c并满足假设2.7。然后（3.8）lim supn→∞“supQ∈M（c，n）等式[G（S）]#+≤ supQ∈MuEQ[G（S）]。证据在没有普遍性的情况下（通过传递到子序列），我们可以假设（3.8）左侧的序列是收敛的。此外，我们可以假设，对于足够大的n，集合M（c，n）不是空的，否则（3.8）是非常满意的。步骤1。选择Qn∈ M（c，n）使得“supQ”∈M（c，n）等式[G（S）]#+≤ 2.-n+EQn[G（S）]。因此，林→∞EQn[G（S）]=lim supn→∞“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+。回想一下引理3.10证明的第二步中给出的分解。设置Mn:=MQn，An:=AQn。

由于G在Skorokhodmetric中是一致连续的，|G（S）- G（Mn（S））|≤ mG（n）-1/2），无论何时∈[0，T]蚂蚁≤ N-1/2.鞅最优运输21因此，sinc e | G（S）- G（Mn（S））|≤ c、 | EQn[G（S）- G（Mn（S））]≤ mG（n）-1/2）+c Qn（监督∈[0，T]蚂蚁≥ N-1/2).我们现在使用Antogether的r e表示（3.7）和马尔可夫不等式。结果是，Qn（supt∈[0，T]蚂蚁≥ N-1/2) ≤ n1/2EQnMXk=1方程n（S^τk | F^τk）-) - S^τk-1.≤ cn-1/2，其中最后一个不等式来自Qn∈ M（c，n）和（3.6）。因此，我们的结论是：→∞“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+=limn→∞方程[G（Mn（S））]。第二步。如第2.2小节所述，让Ohm := D（[0，T]；Rd），~F是由标准过程S生成的过滤。对于Rd上的概率度量，setMu是D（[0，T]；Rd）上的度量Q的集合，使得标准过程S是一个鞅，它启动TS=（1，…，1），并且STunderQ的分布等于。请注意，当Rd+上支持|u时，则支持任何测量e|Q∈因此，在这种情况下，Mu与前面定义的Mu相同。我们设置（3.9）v（)u）：=sup)Q∈~MuEQ[G（~S）]。设Qnbe在Qn下由mn引起的D（[0，T]；Rd）上的测度，即对于anyBorel子集C D（[0，T]；Rd），~Qn（C）：=Qn（{S∈ D:Mn（S）∈ C}）。进一步，让νnbe表示在度量Qn下mnt的分布。由于Mnis Amantigale，很明显∈那么，上一步意味着lim supn→∞“supQ∈M（c，n）等式[G（S）]#+≤ 画→∞v（νn）。第三步。自Qn以来∈ M（c，n），（3.6）意味着等式n | ST- MnT（S）|=等式n | AnT |≤中国。让我们来看看发育迟缓Qn的分布。然后，通过定义M（c，n），un弱收敛到u。然后，上述不等式意味着νnalso收敛到u。由于每个分量S（k）t>0，对于所有t∈ [0，T]和k=1。

，d，EQn[（Mn）（k）T（S））-] = EQn[(-（Mn）（k）T（S））χ{（Mn）（k）T（S）≤0}]≤ EQn[（S（k）T- （Mn）（k）T（S））χ{（Mn）（k）T（S）≤0}]≤ EQn | ST- MnT（S）|=等式n | AnT |≤中国。22 Y.Dolinsky和H.M.Sonernence，对于每个k=1，d、 林恩→∞ZR（xk）-dνn（x）=0。因此，我们可以使用连续性结果，定理4.1将在下一节中证明。这意味着Limn→∞v（νn）=v（u）。由于在Rd+上支持u，如r前面所述，~Mu=Mu。我们现在结合所有这些证明的步骤来得出，lim supn→∞“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+=limn→∞方程[G（Mn（S））]≤ 画→∞v（νn）=v（u）=supQ∈MuEQ[G（S）]。4、对偶关于u的连续性在本节中，我们证明了空间D上一个marting-ale最优运输问题的连续性结果。回顾（3.9）中定义的函数v（|u）和（3.9）中再次定义的可分割度量集|Mν。定理4.1。假设G是有界的，并且满足假设2.7。假设νn弱收敛于Rd+上支持的概率测度u。进一步假设每个组件k=1，d、 林恩→∞Zx（k）dνn（x）=Zx（k）du（x）<∞, 还有limn→∞Z（x（k））-dνn（x）=0。那么，林→∞v（νn）=v（u）。证据为了使用符号，我们取d=1。首先我们证明（4.1）lim-supn→∞v（νn）≤ v（u）。事实上，这就是我们在引理3.11的证明中使用的不等式。每n∈ n选择Qn∈~Mνnsuch thatv（νn）≤ 2.-n+EQn[G（~S）]。第一步。在第一步中，我们构建了一个以Mu为单位的马丁酒测量值，该值“接近”Qn。这个构造使用了我们现在回想的Prokhor-ov度量。

对于R上的任何两个概率测度ν，ρ，Prokhorov距离^d（ν，ρ）被定义为最小的δ>0，因此≤ ρ（Cδ）+δ和ρ（C）≤ ν（Cδ）+δ，对于每个Borel子集C R、 式中cδ：=[x∈C（x）- δ、 x+δ）。鞅最优运输23众所周知，普罗霍罗夫度量中的收敛等价于弱收敛（有关普罗霍罗夫度量的更多详细信息，请参阅[29]，第3章，第7节）。现在我们按照[29]第358页的定理4和[30]中的定理1来构造一个随机变量∧（n），如下所示。首先构造一个概率空间（~Ohmn、 一个鞅M（n）和一个随机变量ξ（n）均匀分布在[0，T]上，使得：a.ξ（n）和M（n）是独立的；b、 M（n）在Pn下的分布等于量度Qnon D（[0，T；R）。特别是，EPn[G（M（n））]=EQn[G（~S）]。我们可以选择过滤系数F为由过程M（n）和ξ（n）t:=ξ（n）生成的最小右连续过滤系数∧t、 回想一下，ξ（n）在[0，t]上均匀分布，与M（n）无关。此外，鉴于[29,30]，存在一个可测函数ψ（n）：R→ R上∧（n）：=ψ（n）（M（n）T，ξ（n））的分布等于u和（4.2）~Pn∧（n）- M（n）T>^d（νn，u）<^d（νn，u）。特别是∧（n）- M（n）t的概率收敛为零。我们设置n（n）t:=EPn[∧（n）| Ft]，t∈ [0，T]。然后，显然N（N）T=∧（N），因此具有分布u。此外，过滤F的正确连续性意味着N（N）有一个c’adl’ag修改（详情见[26]第3章）。然而，N（N）不一定是一个常数，因为fm可能不是微不足道的。所以我们继续修改N（N）来克服这个困难。

因为N（N）是右连续的，所以δ大于0，所以对于任何t≤ δ△Pn[|N（N）t- N（N）|>^d（νN，u）/2）<^d（νN，u）/2。现在我们定义了c\'adl\'ag鞅{N（N）t}Tt=0by^N（N）t=Rxdu（x）=1表示t<δ/2，^N（N）t=N（N）2t-δ为δ/2≤ t<δ，而^N（N）t=N（N）t≥ δ. 设^F是^N（N）生成的过滤的完成。然后，我们可以直接验证^N（N）是一个^Fmartingale。因此，在^pn下由^N（N）引起的D的测量值是Mu的一个元素。特别是，EPn[G（^N（N））]≤ v（u）。考虑到假设2.7，对于任何>0 | G（^N（N））- G（N（N））|≤ mG（^d（νn，u）+2），在集合An上，其中，：=sup0≤T≤T^N（N）t- N（N）t>^d（νn，u）+2.作者感谢巴黎多芬的X·谭教授指出这一点。24 Y.Dolinsky和H.M.SonerThus从三角洲的选择中我们得到| E＠Pn[G（^N（N））]- |Pn[G（N（N））]≤ mG（d（νn，u）+）+kGk∞~Pn（An，）（4.3）≤ mG（^d（νn，u）+）+kGk∞（^d（νn，u）+Pn（|n（n）-Rxdu（x）|>2）。第二步。根据假设2.7，G（M（n））- G（N（N））≤ mG（），在片场A（n），其中（n）：=sup0≤T≤TM（n）t- N（N）t> .因此，EPn[G（M（n））]- EPn[G（N（N））]≤ mG（）+kGk∞~PnA（n）.第三步。注意limn→∞M（n）=Rxdu（x），因此对于足够大的n{n（n）-Rxdu（x）|>2} A（n）。因此，鉴于步骤1-2，（4.1）将遵循iflimn→∞~PnA（n）= 0，每一个>0。为了实现这个目标，我们首先观察到M（n）和n（n）都是（~Pn，~F）鞅。因此，根据Doob的最大不等式，~PnA（n）≤E~PnM（n）T- N（N）T.回想一下，通过构造M（n）Thas分布ν和n（n）Thas分布u。同样根据假设，在极限范围内，当n趋于等于μ的第一时刻时。因此，林燮→∞EPn | N（N）T- M（n）T |=lim supn→∞h2EPn（N（N）T- M（n）T）+- EPn（N（N）T- M（n）T）i=2直线支撑→∞EPn（N（N）T- M（n）T）+。第四步。鉴于（4.2），N（N）T- M（n）T=∧（n）- M（n）t在概率上收敛于z。因此，上一步为我们提供了（4.1）的最终缩减。

Na mely，toprove（4.1）证明了随机变量序列M（n）T的一致可积性- N（N）T.我们首先回顾一下，M（N）Thas分布νN，N（N）Thas分布u，u由正实线R+和假设imn支持→∞ZR（x）-dνn（x）=- 画→∞Z-∞xdνn（x）=0。为了简洁起见，setXn:=N（N）T，Yn:=M（N）T，并用测量值Pn下的经验表示。我们直接估计χ{Xn-Yn>c}（Xn- （伊恩）+= ENχ{Xn-Yn>c}χ{Xn>-Yn}（Xn）- （伊恩）++ENχ{Xn-Yn>c}χXn<-Yn}（Xn）- （伊恩）+≤ 2Enχ{2Xn>c}Xn+ 2Enχ{2Yn<-c} |Yn|.因此，鞅最优运输是25limc↑∞苏普∈嫩χ{Xn-Yn>c}（Xn- （伊恩）+≤ 2 limc↑∞Z∞c/2xdu（x）+2 limc↑∞苏普∈新西兰-c/2-∞|x | dνn（x）=0。这证明了序列N（N）T的一致可积性- 因此，（4.1）如下。通过替换ν和u的作用，同样证明了相反的不等式。5.延伸本节讨论假设2.7的放松。此外，在本节中，我们考虑多边际情况。因此，让0<T<T<TN=Tandu u ...  uNbe对Rd+的概率度量（2.6）我们还认为，对于某些p>1的情况，uNsatis fies（2.7）。静态位置的空间由（2.5）给出。在这一部分中，我们丰富了一套交易策略，以应对T。。。，TN-1，（TN=T是一个连续点）。如果交易策略的分解为γ=γ（1）+PN，则交易策略γ={γt}Tt=0是可接受的交易策略-1i=1βiχ{Ti}（t），其中γ（1）是一种组合交易策略，满足定义2.5和βiis FTi中的相同假设-可测量且有界。这种交易策略的价值由ZtγudSu=Ztγ（1）udSu+N给出-1Xi=1（STi）- 性病-)βiχ{Ti≤t} 。因此，一个可容许的半静态投资组合是一个向量（g，…，gN，γ），其中对于任何i，gi∈ L（Rd+，ui）和γ为上述形式。