Skorokhod空间中的鞅最优输运

根据斯科罗霍德表示定理，我们可以在一个新的概率空间上重新定义上述序列，从而将a.s.表示为（X，…，XN+Θ，Y，…，YN+Θ，Z，…，ZN+Θ，σ，…，σN+Θ）的极限，并引入c\'adl\'ag过程ut=N+Θ-1Xi=0Xiχ[σi，σi+1）（t）+XN+Θχ[t]-δ、 T]（T）.36y.Dolinsky和H.M.sonero观察到，对于任何k，nσ（n）k-σ（n）k-1> δ假设σ（n）k-1<T-δ. 因此我们得到了极限的相同性质，即σk-σk-1> δ假设σk-1<T-δ.我们的结论是ˇS（n）→ 关于空间D上的Skorokhod拓扑的U a.s.因此G（ˇs（n））→ G（U）a.s，从有界收敛定理可以得出（5.23）E[G（U）]=limn→∞EQn[G（ˇS）]。让我们注意到，U不是一个martingale，所以我们修改了U。设G（i）t=u>tσ{Y，…，Yi，σ，…，σi，u是正确的连续过滤∧ σi+1}。介绍c\'adl\'ag流程)Ut=N+Θ-1Xi=0E（Zi+1 | G（i）t）χ[σi，σi+1）（t）+XN+χ[t]-δ、 T]（T）。因为limn→∞EQn | | AQn | | |=0，那么xk=Yk，Zk=Wk，k=0，1。。。，N+Θ，（5.24）和| Wk- Xk-1| ≤ ，k=0，1。。。，Θ.接下来，观察对于给定的n，我们有等式n（Z（n）k+1 |σ（n）。。。，σ（n）k，Y（n）。。。，Y（n）k）=Y（n）k.andEQn（Y（n）k+1 |σ（n）。。。，σ（n）k+1，Z（n）。。。，Z（n）k+1，Y（n）1。。。，Y（n）k）=Z（n）k+1。这个具有均匀可积性的tog醚产生（5.25）E（Zk+1 |σ，…，σk，Y，…，Yk）=Yk和（5.26）E（Yk+1 |σ，…，σk+1，Z，…，Zk+1，Y，…，Yk）=Zk+1。根据（5.25）-（5.26）和条件期望的链式规则，可以得出Uis a martinga le。从（5.24）-（5.25）中，我们得到了Uσk=Yk=Xk=Uσk。观察到，如果σk=T对于一些i，那么对于足够大的n，我们得到了σ（n）i=T。ThusUTi=~UTi=limn→∞^S（n）Ti。这与（5.9）一起给出，对于任何i，U的分布等于ui，我们得出结论，U定律是Mu中的一个元素，。。。，uN.最后，我们估计E[G（U）]-E[G（~U）]。让k<Θ。

关于t事件∈ [σk，σk+1）（这是G（i）t可测量的）我们应用（5.24）-（5.25）来获得|Ut- Ut |=| E（Zk+1）- Yk | Y。。。，Yk，σ。。。，σk）|≤ .因此在∑Θ=T事件上- δ我们得到| | U-~U | |≤ . 我们的结论是（5.27）| EG（U）- 例如（U）|≤ cP（σΘ<T- δ） +mG（）≤ c+mG（），其中最后一个不等式来自（5.20）。通过将（5.23）与（5.27）相结合，我们得到（5.22），并完成证明。鞅最优运输37参考文献[1]B.Acciaio，M.Beiglb–ock，F.Penkner，W.Schachermayer和J.Temme，Doobs鞅不等式的轨迹解释，23/4，1494–1505，（2013）。[2] B.Acciaio，M.Beiglb–ock和W.Schachermayer，《资产定价基本原理和超级复制定理的无模型版本》，预印本。[3] Y.Ait Sahalia和J.Jacod，《离散观察过程中的跳跃测试》，统计年鉴，37/1184-222，（2009年）。[4] Y.Ait Sahalia和J.Jacod，《分析资产回报谱：高频数据中的跳跃和波动成分》，经济文献杂志，501007–1050，（2012）。[5] M.Beiglb¨ock，P.Henry-Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的独立界限：大众运输方法》，金融与随机，17477–501，（2013年）。[6] H.Brown，D.Hobson和L.C.G.Rogers，《障碍期权的稳健对冲》，数学。《金融》，11285-314（2001）。[7] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，预印本，arXiv:1305.6008，（2013）[8]M.Beiglb–ock和P.Siorpaes，Burkholder-Davis-Gundy不等式的路径版本，预印本。[9] P.Carr和R.Lee，连续半鞅上的对冲方差选择，金融学和随机学，14179-207，（2010）。[10] A.M.G.Cox和J.Obloj，《双重不接触期权的稳健定价和套期保值》，金融与随机，15，573–605，（2011年）。[11] A.M.G.考克斯和J。

Obloj，双触式障碍期权的稳健对冲。暹罗J.金融数学。，2, 141–182, (2011).[12] A.M.G.Cox和J.Wang，根障碍：方差期权的构造、最优性和应用，应用概率年鉴，23/3859–894，（2013）。[13] M.H.A.戴维斯和D.霍布森。交易期权价格的范围，数学。《金融》，2007年1月17日至14日。[14] M.H.A.Davis，J.Obloj和V.Raval加权方差价格的套利界限WAPS，数学金融，即将出版（2013年）。[15] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《稳健套期保值和鞅最优运输不连续时间》，概率论和相关领域，160/1-2391–427，（2014）。[16] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《按比例交易成本的稳健对冲》，金融与随机，18/2327–347，（2014年）。[17] H.Folmer和D.Kramkov，《概率论及相关领域》，第109页，第1-25页（1997年）。[18] A.Galichon，P.Henry Labord`ere和N.Touzi，《边缘无轨道giv边界的随机控制方法及其在回望期权中的应用》，2014年12月24日，第312–336页。[19] D.霍布森，《回望期权的稳健对冲》，金融与随机，2329–347，（1998）。[20] D.Hobson，《斯科罗霍德嵌入问题与期权价格的模型独立界限》，巴黎s–普林斯顿数学金融讲座，斯普林格，（2010年）。[21]D.Hobson和M.Klimmek，《方差互换的模型独立对冲策略》，金融随机，16611–649，（2012年）。[22]D.Hobson，P.Laurence和T.H.Wang，篮子期权的静态套利最优sup复制策略，保险。数学经济部。37, 553–572, (2005).[23]D.Hobson，P.Laurence和T.H.Wang，《证券期权价格的静态套利上界》，定量金融5，329–342，（2005年）。[24]D.Hobson和A.Neuber-ger，前向启动选项的鲁棒边界，数学。《金融》，第22、31–56页（2012年）。[25]D.霍布森和J.L。

Pedersen，给定初末律的连续鞅的最小极大值，Ann。Probab。，30, 978–999, (2002).[26]R.S.Liptser和A.N.Shiryayev，《随机过程统计》，第一卷，纽约斯普林格，（1977年）。[27]J.Obloj，P.Henry-Labor d`er e，P.Spoida和N.Touzi，给定边值的鞅的最大值，预印本，（2013）。38 Y.Dolinsky和H.M.Soner[28]P.Protter，随机积分和微分方程，斯普林格，纽约，第二版（第三次印刷，版本2.1），（2005年）。[29]A.N.Shiryaev，《概率论》，斯普林格·维拉格，纽约，（1984年）。[30]A.V.Skorokhod，关于随机变量的表示，Probab理论。应用，21628-632，（1976年）。[31]H.Strasser，数理统计理论，德格鲁伊特数学研究7，柏林，1985年。以色列耶路撒冷希伯来大学统计系。电子邮件：燕。DOLINSKY@MAIL.HUJI.AC.ILDEPARTMENT苏黎世和瑞士金融学院数学系。电子邮件：HMSONER@ETHZ.CH