Skorokhod空间中的鞅最优输运

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英文标题：
《Martingale optimal transport in the Skorokhod space》
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作者：
Y. Dolinsky and H. M. Soner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The dual representation of the martingale optimal transport problem in the Skorokhod space of multi dimensional cadlag processes is proved. The dual is a minimization problem with constraints involving stochastic integrals and is similar to the Kantorovich dual of the standard optimal transport problem. The constraints are required to hold for very path in the Skorokhod space. This problem has the financial interpretation as the robust hedging of path dependent European options.   In this second version, we included the multi-marginal case.
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中文摘要：
证明了多维cadlag过程Skorokhod空间中鞅最优运输问题的对偶表示。对偶是一个包含随机积分约束的极小化问题，类似于标准最优运输问题的Kantorovich对偶。在Skorokhod空间中的每一条路径都需要约束。这个问题的金融解释是路径依赖型欧洲期权的稳健对冲。在第二个版本中，我们包含了多边缘案例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Martingale_optimal_transport_in_the_Skorokhod_space.pdf (412.49 KB)

2022-5-6 02:53:51 上传

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关键词：skor Quantitative Minimization Optimization Presentation

斯科罗霍德太空中的鞅最优输运Yan DOLINSKY和H.METE SONERHEBREW耶路撒冷大学和苏黎世斯特拉特大学。证明了在多维c’adl’ag过程的Skorokhod空间中鞅最优输运问题的对偶表示。对偶是一个包含随机积分约束的极小化问题，类似于标准优化问题的Kantorovich对偶。在Skorokhodspace中的每一条路径都需要约束。这个问题在财务上被解释为路径依赖型欧式期权的稳健对冲。1.介绍金融市场的独立于模型的方法提供对冲，而不涉及特定的概率结构。它还与一类Monge-Kantorovich最优运输问题密切相关。在本文中，我们证明了这一联系适用于具有c\'adl\'ag（右手连续左手极限）轨迹的多风险集合的相当普遍的金融市场。投资者在投资组合中使用多个资产，并且观察到的股价过程包含跳跃成分[3,4]，这一事实强烈地推动了这种普遍性。主要结果是非异变期权G的超级复制成本的Kantorovich型对偶，它只是整个股票轨迹的非线性函数。有充分的证据表明，这种二元性对于理解金融市场至关重要。特别是，其他几个重要的结果，包括资产定价的基本原理，也由此产生。由于这是这些问题的标准，在[19]之后，我们假设一组线性选项H可用于静态投资，H的已知价格为L（H）∈ H.除了这种静态投资，投资者还可以动态使用其投资组合中的股票。

假设一个可容许的可预测过程γ表示股票中的这个动态位置，其价格过程由S表示，其值为正或正。如果一个投资策略（h，γ）的最终估值日期为2022年3月22日，那么它将复制一个奇异期权。91G10，60G44。多林斯基的研究部分由欧盟职业整合基金CIG618235资助，索纳的研究部分由ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会SNF 200021153555资助。作者感谢Marcel Nutz、Tan小鲁和Nizar Touzi教授的深入讨论和评论。这项工作的一部分是在作者访问新加坡国立大学期间完成的。作者要感谢戴敏教授、寇国文教授、新加坡国立大学数学系和数学科学研究所的盛情款待。在所有可能的情况下，即（1.1）H（S）+ZTγu（S）dSu，Y.Dolinsky和H.M.Sonerat成熟度T支配G≥ G（S）， s∈ D、 其中D是所有股票过程S的集合，这些股票过程S为c\'adl\'ag，S=（1，…，1）且在到期日T时连续。第2节定义2.5讨论了与随机积分和容许策略相关的技术问题。最小超复制代价由v（G）：=inf{L（h）：存在可容许的可预测过程γ，因此t（h，γ）超复制G}。通常，对偶元素是与给定期权数据一致的鞅测度Q。

也就是说，设mld是D上所有测度的集合，使得标准过程S是具有标准滤波F和q[h]的鞅≤ L（h），h∈ H.然后我们得到以下对偶结果，（1.2）V（G）=supQ∈MLEQ[G]。上述结果在定理2.9中得到了证明，对于在Skorokhod拓扑中一致连续且满足一定增长条件的G。在定理2.9中，我们假设（1.3）|G（S）|≤ C（1+| ST |）对于某些常数C>0。然后，在最后一节中，我们将这个条件放宽到（5.1）。在本文中，我们研究了两类配对（H，L）。也就是说，一个和多个边缘病例。在第一种情况下，这一对是通过给定的概率度量来确定的。然后，我们把H作为g（ST）型函数的集合∈ L（Rd+，u）和se t L（g）=Rgdu。nu的唯一假设是rxdu（x）=S=（1，…，1）。在初始部分和定理2.9中，我们证明了单边际情形的对偶性。然后，在第5节中，我们放松了G上的增长假设，并考虑了多边际问题。也就是说，我们确定了一个0<T<T<…<TN=T，概率度量u u ...  u非Rd+，其中表示概率测度上的凸序，即u ν <=>ZΦdu≤ZΦdν， Φco凸，可积。我们将对偶结果（1.2）推广到H是Pni=1gi（STi）类型的所有函数与gi的集合的情况∈ L（Rd+，ui）。然而，对于这个扩展，我们需要假设r|x|pdun（x）<∞ 对于一些p>1的人来说。特别是，我们假设功率选项是静态位置H的s步中的一个元素。我们的方法，如[15,16]所示，依赖于离散化程序。然后，我们使用一个经典的最小-最大定理来进行离散逼近，并使用F¨ollmer和Kramkov[17]的经典约束对偶结果。技术步骤是证明对偶公式两边的近似值收敛。

库存过程的多维性和不连续性带来了几个技术难题。特别地，我们在近似离散市场中引入了适当的por-tfolio约束。离散化的这一新特性对于优化传输3至关重要，它使我们能够控制由于存储过程的多维性和可能的圆盘连续性而产生的误差项。另一个技术难题源于这样一个事实：鞅度量集不是紧的。因此，要想在双面结构中达到极限，就需要概率结构。特别地，我们证明了对偶问题作为概率测度u（带固定G）的函数具有一些连续性。这在第4节定理4.1中得到了证明。对于多边际情形，如何通过概率构造证明定理4.1尚不清楚。相反，我们在离散化程序中使用了一个额外的想法。这个想法基于惩罚技术，要求线性空间H包含一个幂选项。本文研究的结构与[19]和[6,9,10,11,13,14,15,18,21,22,23,24,25,27]的结构相似。我们建议读者参考霍布森[20]的优秀调查，以及我们之前的论文[15,16]和其中的参考文献。相关问题是这些市场中资产定价（FTAP）的基本理论。在[2]、[7]和[16]中研究了离散时间鲁棒设置中的这个问题。[2] 在独立于模型的框架下，用一个包含幂选项的通用H证明了FTAP。[7] 考虑一个离散时间市场，其中假设一组概率测度P。超级复制的定义是要求（1.1）不是每一个路径S，而是几乎肯定每一个路径P∈ P（即P-准sur）。

FTAP a和对偶性（在无ar比特率的假设下）被证明是有限维的，但可能没有幂选项。[2]和[7]中考虑的无套利概念是不同的。在我们之前的工作[16]中，我们证明了具有比例cos ts的离散时间市场的模型独立对偶性。FTAP是二元性的结果。然而，FTAP的形式取决于无障碍的特定概念。[16]中还对不同的概念进行了讨论。在连续时间内，除了[18]中考虑了某一类P之外，一般准肯定设置的理想扩展仍然是开放的。本文的组织结构如下。主要结果将在下一节中阐述。第三节证明了定理2.9。在第4节中，我们证明了dua l pro m依赖于度量u的连续性结果。最后一部分是关于扩展的。符号在结束这篇介绍时，我们列出了本文中使用的一些注释R+：=（0，∞) 是所有正实数的集合N:={1，2，…}是正整数的序列。oD是在t=Tand处连续且也满足S=（1，…，1）的所有Rd+值c′adl′ag过程S的集合；第2节第2节定义了Rdvalued过程的类似集合D（[0，T]；Rd）S是标准过程，F是D上的标准过滤；第2节kSk=sup{| St |：t∈ [0，T]}H是静态可交易期权的se t。

在本文中，它是形式为h（S）=g（ST）的所有函数的集合，其中g∈ L（Rd+，u）表示某些概率测量值u；见第2.1小节d是d，se e第2.4节中的斯科罗霍德度量对于正整数n和S∈ D、 停止时间τk=τ（n）k（S）\'S和随机整数M=M（n）（S）a在第3.1.4小节Y.Dolinsky和H.M.Sonero中定义为正整数n和S∈ D、 第3.3小节将随机时间τk=τ（n）k（S）定义为停止时间τk的函数。o映射∏：D→^D和ˇ∏和∏：D→ D.在第3.3小节中构造。在可能的情况下，我们遵循的约定是，符号^是为可数空间^D上的对象保留的，例如^S是^D中的通用点，而^τk是它的跳时。2.初步情况和主要结果金融市场由一个储蓄账户组成，该账户标准化为unityBt≡ 1.通过价格过程对风险资产进行贴现和减值∈ Rd+，t∈ [0，T]，其中T<∞ 是到期日。在不丧失一般性的情况下，我们将初始股票值设置为1，即S=（1，…，1）。我们假设定价过程的每一个组成部分都是右连续的，具有左极限（即c’adl’ag过程），而在成熟期t=t时也是连续的。D表示所有c\'adl\'ag函数的集合S=（S（1），S（d））：[0，T]→ Rd+，在t=t时是连续的，也满足S=（1，…，1）。那么，任何一个FD元素都可以成为股票价格过程的可能路径。这是我们对金融市场的唯一假设。我们将D（[0，T]；Rd）设为所有c\'adl\'ag过程的集合，这些过程采用从S=（1。

，1）并且在T处是连续的。考虑一个欧洲路径依赖选项，其payoff X=G（S），其中G:D（[0，T]；Rd）→ R.虽然只需要G对D的值来确定问题，但从技术上讲，我们需要在更大的s速度D（[0，T]；Rd）上定义G。然而，在大多数情况下，定义在D到D（[0，T]；Rd）上的函数的扩展是简单的；见下文备注2.8。在概率论中，大多数过程要么是渐进可测量的，要么是具有过滤规范的PRE dic表。在本文中，自然过滤是由规范过程产生的规范过滤。然后，我们有以下关于进步可测量性的等效定义。定义2.1。我们说一个过程γ：[0，T]×D→ 对于任何可测量的Rdis∈ D和t∈ [0，T]，（2.1）Su=~Su，U∈ [0，t]=> γt（S）=γt（~S）。众所周知，如果γ是连续的和渐进的可测量的，那么它可以通过对标准过滤的响应来预测。因此，在续集中，我们通过验证（2.1）来检查任何左连续过程的可预测性。鞅最优运输52.1。可交易期权。H代表可用于交易的所有期权的集合。虽然在本文中我们使用了一个特殊的类，但通常假定它是D上实值函数的线性子集。通常假定Hcash，h，高清∈ H、 哈卡什在哪里≡ 1，hk（S）：=S（k）T， k=1，d、 这些期权的价格由运营商给出→ R.L上的必要条件是凸性，适当的连续性a ndL（hcash）=1，L（hk）=S（k）=1， k=1，d、 最后一个条件意味着对偶元素是鞅测度。所以放松它，考虑局部鞅测度，可能会很有趣。例2.2。

在这个例子中，我们讨论了本文研究的两个例子（H，L）。1.设ub e为概率测度，设（2.2）H={H（S）=g（ST）：g∈ L（Rd+，u）}。通过概率度量uby，（2.3）L（g）=ZRd+gdu给出的定价运算符。我们假设usatifies（2.4）Zhkdu=Zxkdu（x）=S（k）=1， k=1，d、 上述线性定价规则相当于假设STisknown的分布等于u.2。Cons IDER a分区0<T<T<…<TN=T，可测量u u ...  u非Rd+。假设r|x|pduN（x）<∞ 对于一些p>1的人来说。我们也认为这是令人满意的（2.4）。Set（2.5）H={H（S）=NXi=1gi（STi）：gi∈ L（Rd+，ui）}。在这种情况下，线性定价规则相当于一个假设，即对于任何k，STK的分布等于uk。我们还假设（2.4），（2.6）Zxkdui（x）=S（k）=1， k=1，d、 i=1，N在本文中，为了简化演示，我们主要考虑第一种情况。也就是说，我们假设（H，L）满足（2.2），（2.3），（2.4）。尤其是在这种情况下，不需要在所有静态位置的空间中存在作为元素的幂选项。在第5节中，我们假设了幂期权的存在性，并将对偶性推广到多边际情形（2.5）。6 Y.多林斯基和H.M.索内雷马克2.3。再次让可交易期权的形式为h（S）=g（ST）。然而，现在假设g是Rd+的有界连续函数。然后，Acaruel分析我们的证明表明，对偶结果定理2.9适用于具有相同对偶问题的这个问题。因此，使用这类可升级选项的超级复制成本等于使用lar ger c CLASS g的超级复制成本∈ L（Rd+，u）。参见下面的备注3.8和备注2.10。接下来我们讨论电源选项的重要性。备注2.4。

下面的示例强调了（2.4）中假设的电源选项的作用，并由Marcel Nutz传达给我们。假设d=1。让h*（S） =χ[0.5，∞)（ST）和H是由H跨越的三维空间*, h、 哈卡什。进一步假设L是H上的线性泛函，L（hcash）=1和L（H*) = 0.对于奇异选项G，V（G）是supe r-replicationcost。设H为扩展市场，其中还包括功率选项，V（G）为相应的超级复制成本。在这两种市场中，投资者都可以购买数字期权h*对于零cos t。显然，这意味着自h以来的某种类型或悲剧*≥ 0和不等同于0。然而，对于市场H，这种套利虽然同意[7]中引入的通知，但与[2]中给出的不一致。另一方面，在H中，在这两种意义上都存在一个错误，并且超级复制成本V（G）=-∞.在较小的市场H中，直接得出V（0）=0。但我们声称，不存在与L一致的martinga le mea sure。事实上，如果存在满足Q[h]的amartingale测度*] ≤ L（h）*) = 0，则发育迟缓者Q的分布uo的支持必须是[0,0.5]的子集。另一方面，由于Q是鞅度量，因此Rxdu（x）=S=1。因此，集合是空的。这意味着二元性（1.2）不适用于H，而适用于包含幂选项的市场。（请注意，按照惯例，空集上的上确界定义为负。）虽然对偶不适用于H和对偶集ML，但在本例中，如果放松对偶集的测度来包括局部鞅测度，它也适用。2.2. 鞅测度。设置Ohm := 设F为σ-代数，由cy-lindrical集合生成。