最优宏观审慎政策规则的稳定性与识别

一个非预定变量可以是任意变量的函数Ohmt+1，因此我们可以得出结论，qt+1=tqt+1，前提是在Ohmt+1与他们的期望值相当Ohmt、 政策制定者一阶条件的边界条件是预定变量的给定初始条件，kand Blanchard and Kahn（1980）假设排除了“泡沫”，即w=（k，q，z）预期的指数增长：T∈ Nwt∈ Rk，θt∈ R、 使| Et（wt+1pOhmt） |≤ （1+i）θ行波管，我∈ R+。（4） 根据Levine和Currie（1987）的定义，对规则参数施加限制的政策规则是“准最优”的，即在一般线性反馈规则类中是次优的，但在其自身类中是最优的。更准确地说，中央银行正在寻找这样一种准最优规则，它对与非预定变量相关的系数施加限制。当非预定变量被排除在政策反馈规则之外时，准最优规则是时间一致的，因为在决策者的优化中，与非预定变量（表示为uq）相关的卡尔沃（1978）影子价格不再计算。这些准最优规则自然而然地导致了第三类规则：与自由裁量政策相关的没有预先承诺的最优时间一致性规则，其中政策制定者在每个未来时期递归优化aga（Blake a和Kirsanova（201 2））。定理1（Kwakernaak和Sivan（1972年，第198页））。如果matrixpair（An+m，n+mBn+m，1）是可控的，即如果Kalman（1960）可控矩阵具有满秩：秩B AB AB。。。

安+m-1B= n+m（5）A的ei值- 通过相应地选择策略规则矩阵F，BF可以任意地位于复平面（然而，复特征值出现在复共轭对中）。政策制定者只考虑一组政策规则F（n），例如- BF的nS=n稳定特征值正好等于预定变量的数量，希望得到Blanchard和Kahn（1980）的统一期望解。设M（F）是A的左特征向量的矩阵-BF参数设置为（索引表示块矩阵的维度）：M（F）nnM（F）nmM（F）mnM（F）mm安- Bn1F1nAnm- BN1F1AMN- Bm1F1nAmm- Bm1F1m(6)=∧nnnmmn∧mmM（F）nnM（F）nmM（F）mnM（F）mm（7） 其中∧nnis是稳定根的n×n对角矩阵，严格低于t han1/√β，其中β是决策者的贴现因子，∧mmis am×m不稳定根的对角矩阵。然后，唯一的收敛路径由非预定变量和预定变量之间的线性关系确定（Blanchard和Kahn（1980））：Etqt+1=-N（F）mnkt+1=-M（F）-1毫米（F）mnkt+1和Q=-N（F）mnk=-M（F）-1毫米（F）mnk。这描述了无n个预定变量到由预定变量生成的稳定矩阵的“跳跃”。然后，具有不稳定根的正交化非预定变量（表示为q′t）是具有收敛特征值的正交化预定变量的线性组合（Blanchard和Kahn（1980）方程A6，p.1310）。

McCandless（2008）第6.8节介绍了在包括随机冲击的一般情况下，以及在需要广义Schur方法时，矩阵N（F）的形式推导。如果中央银行对预定变量和非预定变量（F1n，F1m）都定义了一个规则，则该规则在观测上等同于只对具有权重的预定变量进行约束的规则F′1n，01m中央银行对政策反馈规则的系数施加限制，非预定变量的所有权重均为零。具体如下：rt- R*= -F1nkt+1- K*K*- F1mqt+1- Q*Q*(8)= -（F1n）- F1mNmn）|{z}F′1nkt+1- K*K*, （9） F=（F1n，F1m）=（F1n）- F1mNmn，01m）。（10） 决策者只需要控制预先确定的变量：max{Rt}-+∞Xt=0β′t“Q′nnkt- K*K*+ ρ（rt）- R*)#根据以下等式，加权Q′nn仅取决于预定变量的缩减损失函数在观测上等价于取决于非预定变量和预定变量的初始损失函数：Q′nn=Qnn+N（F）TnmQmmN（F）mn+QnmN（F）mn+N（F）tnmqmn受制于预定变量的闭环系统：kt+1=阿恩- Bn1F′1nkt。（11） 根据以下等式：A′nn=Ann- anmnmn和F′1n=F1n- F1mNmn（12）由预先确定的变量组成的闭环系统在观测上等价于非可控闭环系统的分区矩阵的上半部分，也包括非预先确定的变量：kt+1tqt+1=安- Bn1F1nAnm- BN1F1AMN- Bm1F1nAmm- Bm1F1mktqt与（13）kt+1tqt+1=小酒馆-Nmnkt+1kt+1和ktqt=小酒馆-Nmnktkt（14） 以下建议最初由Blake和Kirsanova（2012）为无需承诺的最优政策制定，也适用于有承诺的准最优政策：建议1：（Blake和Kirsanova（2012），第1333页）。

设闭环转移矩阵，其中反馈策略规则F仅依赖于一个预定变量：A- 男朋友=安- BN1F1NANMAN- Bm1F1nAmm具有所有不同的本征值并可对角化（这意味着矩阵对（An+m，n+mBn+m，1）是可控的）。让我们考虑一组策略规则f（nS），以便- BF具有稳定的eige N值（低于1/√β，其中β是决策者的不确定因素）和n- 不稳定的e IGenValue。案例1。根据Blanchard和Kahn（1980），对于政策规则集F（nS），使得nS<n，稳定特征值的数量严格低于预先确定的变量的数量，不存在理性预期均衡。案例2。根据Blanchard and Kahn（1980），对于策略规则集F（nS），使得nS=n，稳定特征值的数量严格等于预定v变量的数量，存在唯一的理性预期均衡。案例3。对于策略规则集F（nS），使得n<nS≤ n+m，在mostnS有！N（ns）-n） !！在一组nsstable特征值或ei g环境中选择n个稳定特征值和特征向量的方法，与非预定变量相关的规则参数限制为等于零f1m=0。因此，基于这些特征向量的矩阵N（F（nS））不是唯一的。它决定了非预定变量与预定变量之间的线性关系：Etqt+1=-N（F）mnkt+1=-M（F）-1mmM（F）mnkt+1，这是一个特殊的非对称Riccati矩阵方程的解。正如Blake和Kirsanova（2012）所强调的，多重平衡可能仍然没有被注意到。使用目前可用的软件编程Blanchard和Kahn（1980）解，为DSGE选择特定的初始条件可能会导致收敛到特定的平衡点，而不会揭示矩阵N（F）mn的不确定性。提议2。

以下结果适用于拟最优规则ifBlanchard和Kahn[1 9 80]条件，即非预定变量的数量等于具有转移矩阵A的受控系统的不稳定特征值的数量- 男朋友=安- BN1F1NANMAN- Bm1F1nAmm.对于给定的矩阵Nm，如果矩阵对（a′nnB′n1）是可控的，即如果下列Kalman（1960）可控矩阵具有满秩：秩B\'nnA\'nnB\'1nA\'2nnB\'n1。。。阿恩-1nnB′n1= n（15）以下结果成立：1。离散代数Ricatti方程有一个唯一的对称正半有限解P′=Q′+βa′TP′a′- βA′TP′B′ρ+βB′TP′B′-1βB′TP′A′。(16)2. 预定义变量F的受限策略规则参数=F′1n，01m由方程F′1n=β唯一确定ρ+B′TP′B′-1B′TP′A′。(17)3. 如果这些规则参数不同于零，则未识别非预先确定变量（如宏观审慎风险变量）的准最优规则参数：F=（F1n，F1m）=（F1n- F1mNmn，01m）。不确定性。根据命题1，在most（n+m）！NM提供矩阵N（F）mn的多重平衡：Etqt+1=-N（F）mnkt+1和Etq=-N（F）mnk5。有界解。对于闭环转移矩阵A′nn的最优策略F′1所有特征值- Bn1F′1绝对小于1/√绝对值β：λi，A′nn-Bn1F′1n< 1/√β, 1 ≤ 我≤ N这就是极限→+∞kt(√β） t.那么，非预定的变量是有界的，因为qt+1=-Nmnkt+1.6。政策利率的最小波动率（ρ>0，Q=0）。在这种情况下，策略规则参数都等于零。开环系统A′nn的所有（稳定）特征值在闭环系统|λi，A中保持不变-BF |=|λi，A |<1（Rojas（2011））.7。

当Qmn6=0和Qnm6=0时，政策无法改变预定变量和非预定变量之间的协方差矩阵，这是根据Blanchard和Khan（1980）的条件确定的：Etqt+1=-N（F）mnkt+1.8。《卡尔沃时代》（1978）。由于拟最优策略规则将非预定变量排除在最优控制问题之外，因此与这些变量（在时间不一致问题的起源处）相关的拉格朗日乘数不会出现在优化中。大多数最近的宏观审慎DSGE模型同时假设（1）由资产价格和私人信贷等非预先确定变量扩充的特别泰勒规则，并将其与无n个扩充泰勒规则进行比较，（2）信贷和资产价格没有资产价格泡沫和庞氏博弈条件，与Blanchard和Kahn（1980）条件进行比较。这些宏观审慎的DSGE模型面临着与预先承诺的“准最优”规则相同的识别问题。当分析所有DSGE参数的识别，而不仅仅是规则参数时，可控性假设也在Komunjer和Ng（2011）附录中的几个演示中得到了验证。规则参数通常出现在特定数据识别分析的最小识别参数列表中，而冲击的自回归成分出现在最佳识别参数列表中，如Caglar，Chadha和Shibayama（2012）。3中央银行对金融稳定的预先承诺的识别和“超s表”规则3总结了中央银行对金融稳定的预先承诺的“超稳定”理性预期最优规则（Levine和Currie（1987）术语）的识别性、确定性和稳定性，其中稳定特征值的数量大于预先确定的变量的数量。

伍德福德（Woodford，2003）关于中央银行利率平滑规则的著名论文是“过度稳定”的理性预期，即承诺下的最优政策利率规则。Ljungqvist和Sarg ent（2012年，第19章）描述了一种四步算法，用于解决承诺下的最优策略。”第一步似乎忽视了问题的前瞻性。如果我们暂时忽略状态的qcomponent y=K-K*K*Q-Q*Q*实际上并不是一个状态向量，那么将Stackelberg问题h作为最优线性调节器p问题的形式进行超级分析”（L jungqvist and Sargent（2012年，第19章，第769页）。第一步得到矩阵P，给出损失函数的最佳值，一个mat r ix Riccati方程的解，以及反馈规则F“仿佛”QT的最佳参数是预先确定的变量。

第2步寻求“过稳定”的解决方案，即包括所有非预定变量在内的YTi的稳定解决方案：+∞Xt=0βtyTtyt<+∞, （18） 求解拉格朗日方程：-+∞Xt=0βtkt-K*K*TQnnkt-K*K*+qt-Q*Q*TQmmqt-Q*Q*+kt-K*K*TQMqt-Q*Q*+qt-Q*Q*TQmnkt-K*K*+ρ（rt）- R*)+ 2βuTt+1（Ayt+B（rt- R*) - yt+1）（19） 其中2β′ut+1是与线性约束相关的拉格朗日乘数。关于rt和yt的一阶条件分别为：0=ρ（rt- R*) + βBTut+1（20）ut=Qyt+βATut+1（21）步骤3使用稳定溶液满足的性质：ut=uk，tuq，t= Pktqt=PnnPnmPmnPmmktqt,T∈ n然后，预定变量、最优策略规则Φ和closedloop系统可以写成预定变量（kt，uq，t）的函数：qt=-P-1mmPmnP-1毫米ktuq，tq=-P-1mmPmnkifuq，t=0=0rt=Φktuq，t= -FInnnm-P-1mmPmnP-1毫米ktuq，tkt+1uq，t+1=InnnmPmnPmm（A）- 男朋友）Innnm-P-1mmPmnP-1毫米ktuq，t为了解释美国利率平滑的经验证据，Woodford（2003）消除了实施拉格朗日乘数uq，t，以将政策规则Φ表示为一个历史依赖项，根据变量（rt）表示政策规则ψ-1，kt，kt-1).提议3。如果矩阵对（An+m，n+mBn+m，1）是可控的，即如果Kalman（1960）可控制矩阵具有满秩：秩B AB AB。。。安+m-1B= n+m（22）以下结果成立：1。离散代数Ricatti方程有一个唯一的对称正半有限解P:P=Q+βATPA- β-ATPBρ+βBTPB-1β′BTPA。(23)2. 所有可控（预先确定和非预先确定）变量的极化规则参数的唯一性ρ+BTPB-1吨/年。(24)3. 确定最佳规则参数。

如果闭环传递矩阵A- BF具有所有不同的特征值，表示为λi，A-BF1≤ 我≤n+m，在闭环矩阵λi，a的distincteigen值集之间存在唯一的极点配置关系-以及“仿佛q是预先确定的”线性二次调节策略规则F的参数集的唯一解。“仿佛q是预先确定的”政策规则F的所有系数——既与预先确定的变量有关，也与非预先确定的变量有关——都可以确定。然后，如果Pmmis可逆，则应用于预定义变量（kt，uq，T）的规则Φ的参数也都被识别。相比之下，应用于变量（rt）的政策规则ψ的历史相关表示的参数-1，kt，kt-1） 通常不确定，因为其总数2n+1可能不同于不同特征值序列的数量和状态变量的数量n+m。4。这是一个学期。Kalman的可控性条件是假设在初始日期uq，t=0=0时，与非预定项变量相关的拉格朗日乘数R应全部等于零的前提（Bryson andHo（1975），p.55-59；谢（1997）提供了一个反例，其中K a l人的可控制性条件不满足）。由于拉格朗日乘子rs与最优价值函数矩阵的关系如下：uz，t=Pzt，非预定变量的初始值是预定变量初始值的线性函数（Ljundqvist和Sargent\'s（201 2，第19章），Jensen（2011））：q=-P-1mmPmnkifuq，t=0=0。(25)5. 有界解。对于该策略规则F，闭合环转移矩阵A的所有特征值-BF（定义受控系统的进化）严格小于1/√β的绝对值。这就是极限→+∞kt(√β） t=limt→+∞Et-1qt(√β） t=0。

因此，政策反应函数确保了有限的损失，我们可以忽略Bl anchard和Kahn（1980）关于非预定和预定变量上无泡沫的条件（Levine和Currie（1987）“过稳定”反馈规则和Woodford（2003））6。政策区间利率的最小波动率（ρ>0，Q=0）。因此，开环系统的稳定特征值与闭环系统中的|λi，A相同-BF |=|λi，A |<1，开环系统的不稳定特征值（以i′为索引）由闭环系统中的稳定特征值（其模为|λi′，A-BF |=1/|λi′，A |<1（Rojas（2011））.7。当政策制定者的偏好为Qmn6=0和Qnm6=0.8时，政策降低预定变量和非预定变量之间协方差矩阵的能力。《卡尔沃时代》（1978）。当系统可控制且无预承诺约束时，再次在t+1期间进行优化的决策者将选择初始条件uq，t+1=0，而不是t日确定的最优路径uq，t+16=0。如果决策者选择uq，系统将保持有界和稳定，t+k=0在以下所有时期（k>1）：政策制定者在促进预先确定的变量的稳定性的意义上不是时间不一致的，而是它们的稳定性。4结论在中央银行承诺金融稳定的最优政策规则中，金融不稳定变量的参数是可以识别的，而“准最优”规则并非如此。此外，Ka-lma n（1960）的可控性条件是承诺下最优策略规则的确定性和稳定性的充分条件。在金融稳定的承诺下，许多最优规则的扩展是可行的。