新古典增长模型中的近似聚集

我们之所以能找到对可分解近似聚合的严格描述，是因为它只涉及代理的问题，而代理的问题很容易解决，谁的解决方案也很容易分析。3对允许冲击的限制3。1渐近符号由于许多常数将进入我们的讨论，我们将通过使用渐近符号a=o（B）省略该常数。我们引入共形符号，如果A>cB，我们说A是U（B）。（这是低估而不是高估。）奇佩尼乌克、卡茨和沃克：近似聚合3。2总冲击允许总冲击相当普遍。特别是，在给定的时间段内，冲击波的分布取决于之前时间段的输出。然而，我们确实要求aggregateshock的可能值是有界的：zt=O（1）（12），隐式常数与代理数N和财富分布无关。3.3就业冲击我们对就业冲击设置了两个限制，这两个限制都是获得下一节所述汇总结果的关键。我们考虑了失业条件的风险，即ej，t=0的概率至少是一个常数c>0，也与N无关。因此，我们说，对于每个时间段和时间段t，P（ej，t=0）=U（1）（13），换句话说，在每个时间段，每个代理人都有失业的机会。这对于确保代理人必须通过其在每个时期的投资抵消不可保险的失业风险非常重要。具体而言，在这种情况下，零消费效用函数中的渐近线阻止了代理人选择在非终点时段消费他们所有的东西（在这种决定下，他们面临着下一个时段没有东西消费的正概率，这导致-∞ 达到他们预期的效用）。

同样，这也防止了未来工资的借贷。模拟未来前景条件要求将集合{1，2，…，N}细分为a，…，的子集的少量s，对于任何j，k∈ 对于一些l，我们有相同的分布在每个时间t。这一需求，简单地说，来自这样一个事实，即面对非常相似的失业或就业不足前景的代理人不能保证投资类似的金额，即使他们有相同的当前财富。只要不存在太大的不相似性，这些因素仍然可以聚合，以使其超过估计值。在本节结束时，我们将提供一些可以考虑的冲击的基本示例。3.4示例固定工资和统一就业假设在每个时期（1- u） N名代理人被挑选出来就业，每个人都得到同等的报酬- u） N）可获得的工资。剩下的联合国特工都失业了。ClearlyChipeniuk，Katz&Walker：大致合计存在失业风险（非随机面临失业的一小部分），未来前景相似（每个人在每个时期都面临相同的就业和失业机会）。因此，我们可以通过下面的公式得出该模型中的近似聚合。然而，聚合并不完美；即使在两个时期，现在也会出现一个大小为O（1/N）的错误项。请注意，这对于非常富有的人来说微不足道，但对于非常贫穷的人来说却是值得考虑的。克鲁塞尔·史密斯震惊了。假设技术过程遵循两种状态的马尔可夫链，zg>zb（好的状态和坏的状态），具有转移概率pxy，x，y∈ {g，b}。此外，如上所述，代理人要么被雇佣（1），要么失业（0），工资在被雇佣的代理人之间平均分配。

然而，在这种情况下，不同就业状态之间的转换机会不同，而且可能取决于总体冲击的状态。具体地说，让πss′ee′表示从状态（zs，e）到状态（zs′，e′）转变的联合概率。那么πss′ee′/πss′的比值就是从e′转变为就业状态e′的条件概率。对于这个随机过程，只要πss′e06=0，就存在失业风险∈ {g，b}和e∈ {0, 1}. 未来的前景也是有限的：最初受雇的代理人（A）可能会在决策上与最初失业的代理人有所不同（A）如果在不同的就业状态之间转换的机会非常小；然而，不管N.3.5有效变量和未折旧资本的大小，我们都属于这些组中的一个。现在我们回到计算公式（11），在资本总折旧的情况下，我们记下了它。我们希望能够将这一点推广到资本l不完全贬值的情况。为此，我们定义了有效的总Y′t，即可用商品的总数：Y′t:=Yt+（1）- δ)αOhmT-1Yt-1> 嗯。（14） 我们还将劳动冲击改写为一种有效冲击，该冲击是相对于该有效总量进行测量的：e′j，t:=ej，tYtY′t<ej，t.（15）。特别要注意的是，有效就业冲击满足之前讨论的两种条件，前提是真实的冲击。在实践中，它实际上可以变成Chipeniuk、Katz&Walker：近似聚合显著更小；用于从真实冲击中获得它的因子可以重写为1+（1）-δ)αOhmT-1Y1-αt。

（16） 在to tal折旧的情况下，这只是1，我们只剩下最初的实际冲击。然而，当δ<1和α<1时，一个足够大的总量可能会使这一点变得非常小：代理人能够主要从未经估值的资本中消费，而就业则成为次要问题。就有效变量而言，我们现在可以按照前面的步骤来编写公式vt（ω；{e′j，t}Tt=2，{z′t}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y=maxs（（ω）- sOhm)Y） 一,-σ1 - σ+βE VT-1[(1 - α） e′+αs；{e′j，t}Tt=3，{z′t}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y′）。（17） 鉴于唯一的变化是将实际变量直接替换为有效变量，在接下来的讨论中，我们将抑制“符号”，同时只需记住，所有聚合变量和劳动变量都是指其有效对应变量。4.近似聚合4。1主要理论的陈述现在确定了以下数量：时间段数T，因子β的折扣，柯布-道格拉经验系数α。让我们注意一下代理的数量，我们认为与t相比，代理的数量是巨大的。让{zt，ej，t}成为总量和就业冲击，让Ohmt、 t=1。。。，T- 1是拍卖师给出的一系列预测。考虑maxs（（ω）给出的相应代理问题（对于jthagent）- sOhm)Y） 一,-σ1 - σ+βE VT-1[(1 - α） e+αs；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y]，其中，如上一节末尾所述，ej和Yt分别为有效就业人数和可用商品总数。可以方便地分析，以savin gsvariableγ=s表示聚合结果Ohm/ω、 哪个储蓄率代表所需的代理周期的1OhmY是那个特工最初的财富ωY。

因此，将代理的问题写成aChipeniuk，Katz&Walker：γ的近似聚合选择，maxγ（（1- γ） ωY）1-σ1 - σ+βE VT-1.αωγOhm+ (1 - α） e；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y. （18） 注意，代理问题的一个解决方案提出了γ，γT（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）。我们将此决策规则称为s函数。对于子集B {1，…，N}，we letYl，1=Xj∈Bωj，1Y。是被B索引的代理人所持有的财富总和的一部分。在这个符号中，我们的主要定理可以写成如下。定理1：假设生产和就业冲击序列{zt，ej，t}满足失业风险和类似的未来前景条件。让>0。然后有一个自然数M=O（1/），这样我们就可以把{1，…，N}分成子类B。。。，BMP与相应的大鼠iosγ。。。，γM∈ （0，1）使得| Xj∈{1，…，N}γj，1ωj，1Y-Xm∈{1241，γ，}≤ Y.为了理解这个定理与加总的关系，看看如果我们能够取M=1会发生什么是有指导意义的（在实际中，当>1时，这是不可能的）。在这种情况下，定理说，如果我们把所有的代理人集合在一起，成为一个拥有财富的实体∈Bωj，1Y=并节省其财富的一小部分γ，因此计算出的总投资与真正的总初始期投资Pjγj，1ωj，1Y之间的误差将至少小到2Y。换句话说，当我们改变代理人之间的财富分配时γ可能会发生变化，但仍将保持在区间[γ- 2, γ+ 2].对于的有意义的值，上述定理稍微弱一点：它说我们可以在O（1/）个箱子中的任何一个箱子内，在代理人之间重新分配财富，而不必大幅改变集合。

换句话说，我们有近似的聚合。上述理论的一个关键特征是，垃圾箱的数量与代理人的数量以及这些代理人之间的财富分配无关。激励我们将N和分布分离为相关依赖的直觉是Chipeniuk，Katz&Walker：使用极限N的近似聚合势f→ ∞ 以近似KS中概述的连续分布模型。因此，无论我们将N取多大，上述agg r egation结果都是稳健的。接下来的主要理论将是一个分类论证，作为研究储蓄函数的导数相对于代理财富的行为的下列定理的推论。定理2：假设生产和就业冲击序列{zt，ej，t}满足失业风险和类似的未来前景条件。设γ′T表示函数γT相对于其第一个变量（共享变量ω）的部分导数，类似地，也表示γ′T-1.然后γ增加，我们在γ′T（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2）上有一个界{Ohmt} t-1t=1，Y）givenbyOω1-σEej。2yj，2+y1-σj，2γ′T-1（yj，2；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y）.其中，随机变量yj，2i由αωγT给出/Ohm+ (1 - α） e.4.2关于价值和节约函数的引理接下来的两部分将包含我们大部分的技术论证。

在这部分讨论中，我们将简化符号，以便关注我们的价值函数和决策规则最相关的依赖关系。具体来说，我们将为VT（ω；{ej，t}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）sT（ω；Y）对于fT（ω；{ej，t}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）γT（ω；Y）对于γT（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）所有导数都将与第一个变量ω有关，并（分别）用V′T（ω；Y）、s′T（ω；Y）和γ′T（ω；Y）表示，高阶导数的表达式类似。我们始终假设冲击{zt，ej，t}满足前面给出的条件。通过讨论典型代理所面临的问题，并相应地抑制下标1，我们进一步简化了符号≤ J≤ N.就业冲击。在以下论点中，我们经常需要参考Chipeniuk，Katz&Walker的一阶条件：代理问题的近似聚合。为了方便起见，我们在这里一劳永逸地记录它：Y1-σ(ω - sOhm)σ=βαOhmE V’T-1（（αs+）（1- α）e）；Y） （19）就储蓄变量γ而言，Y1-σω1-σ(1 - γ)σ=βαωOhmE V’T-1.αωγOhm+ (1 - α） e；Y. （20） 我们首先证明了代理的有限理性使得解决代理问题变得容易。引理1。代理的问题有一个独特的解决方案。决策规则相对于ω是递增的，相应的值函数严格地与ω有关。莫雷姆ω→0+VT（ω；Y）=-∞ （21）证据。当T=1时，这一点很清楚：决策规则是消耗一切。值函数是u（ω；Y），它作为ω的函数明显地增加并且严格凹，具有给定的渐近线。设T>1，假设T有唯一的解- 具有所述性质的avalue函数的1周期模型。

我们需要证明，对于给定的ω值，有一个唯一的s值∈ (0, ω/Ohm) 令人满意（19）。这个等式的左侧严格地从1开始以s递增-σωσ>0至∞. 作为s→ 0+，右侧接近∞,由于e=0（失业可能性）的正概率；此外，VT的凹度会严格降低-1.从这些事实来看，s的这种价值肯定存在，而且必须是唯一的。从（19）的检查可以看出STI在ω中增加。事实上-从下面可以明显看出，渐近线是从VT继承来的-考虑到失业的可能性。因此，我们只能证明T周期值函数是凹的。在我们简化的符号中，我们有vt（ω；Y）=（ω- sT（ω；Y）Ohm)Y） 一,-σ1 - σ+βE VT-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] 。Chipeniuk，Katz&Walker：关于ωwe haveV′t（ω；Y）=Y1的近似聚合差异-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ+βEαs′T（ω；Y）V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] ，这样我们就有v′T（ω；Y）=-σY1-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ+Y1-σ(-s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ+βE（αs′T（ω；Y））V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] +βEαs′T（ω；Y）V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] 。调用一阶条件，我们可以看到涉及s′Tcancel，leavingV′T（ω；Y）的项=-σY1-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ+βE（αs′T（ω；Y））V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] 。剩下的两个项都是负的：第一项的调查清楚地表明了这一点，第二项的单周期减值函数的凹性也是如此。这就结束了海因特的演绎。在分析γT（ω；Y）的导数时，我们将不得不面对值函数VT的导数-1（ω；Y）在一阶条件下出现。

我们需要公式2。V′T（ω；Y）=Y1-σ(ω - sT（ω；Y）Ohm)σV′T（ω；Y）=σY1-σ（s′T（ω；Y）Ohm- 1)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ.我们注意到，在对数效用的情况下，值函数的导数成为上述表达式的极限σ→ 1.这可以从与下面几乎相同（尽管更简单）的计算中看出。证据价值函数是我们通过将最优决策规则替换为代理人的贴现预期消费而得到的。用Chipeniuk、Katz和Walker区分得到的函数：关于ω的近似聚合，we g etV′T（ω；Y）=Y1-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ+βαs′T（ω；Y）E-YV′T-1（αsT（ω；Y）+（1- α） e；Y） 。使用一阶条件（19），涉及s′Tcancel的项，我们得到v′T（ω；Y）=Y1-σ(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ与上述表达式f或V′不同，我们得到V′t（ω；Y）=σY1-σ（s′T（ω；Y）Ohm- 1)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ.接下来，为了限制γ相对于ω的导数，我们将进行分析，这将借助于我们为依赖于模型参数的表达式编写U（1）和O（1）的能力，使我们能够关注感兴趣的变量。这些表达式中有几个会涉及γ或1的事实r s- γ、 因此，我们提供了以下技术引理序列，其最终结果是一个比0<γT（ω；Y）<1这一事实略强的陈述。我们首先观察到，面临有保障的失业的代理人将比有可能获得工资的代理人投入更大比例的收入。因此我们可以估计- γT（ω；Y）>1-γT（ω；Y），其中γT（ω；Y）是与所有就业冲击等于0的代理问题对应的储蓄函数。从下面的证据中可以明显看出，右手侧独立于ω，这是由于在非就业极端情况下缺乏异质性而应该预料到的。

因此我们可以写- γT（ω；Y）>1- γT（{Yt}Tt=2，Y）。引理3。我们有1个- γ（{Y}，Y）=1+βα1-σEY1-σ(OhmY） 一,-σ1/σChipeniuk，Katz&Walker：近似聚合，对于T>2，我们有递归表达式1- γT（{Yt}Tt=2，Y）：=1+βα1-σEY1-σ(OhmY） 一,-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3，Y））σ1/σ. （22）证明前的备注：注意，在Log效用的情况下，引理给出的不等式简化为非常简单的表达式1-γT=1+β+…+βT-1.证据。proo f只是对一阶条件的重写。我们采用归纳法。当T=2时，代理最大化1-σω1-σ(1 -γ)1-σ1 - σ+βEαωOhmγ1-σY1-σ1 - σ取一阶条件，与γ对应，结果为1-σω1-σ(1 - γ)σ= βαωOhm1.-σγσE Y1-σ.在取消涉及ω的因素、取σth根并重新排列之后，这就给出了1- γ= 1 +βα1-σEY1-σ(OhmY） 一,-σ1/σ，即T=2的估计值。归纳步骤进行得类似。假设我们已经证明了1-γT-1可以表示为（22）的右侧。T期案件的代理人1-σω1-σ(1 -γ)1-σ1 - σ+βE VT-1.αωγOhm; Y.应用引理2，我们可以写出一阶条件（用γ表示）asY1-σω1-σ(1 - γ)σ= βαωOhm1.-σγσEY1-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3；Y））σ。重新安排，我们有γ1 - γσ= βα1-σEY1-σ(OhmY） 一,-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3；Y））σ,Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合，并将归纳假设应用于预期值的每一项中的后一个因素。上述结果的一个兄弟是下面的结果，这将允许我们为γt（ω，Y）本身写U（1）。对于e=0的事件，我们写下随机变量X的期望值Ee=0X。也就是说，Ee=0X=E X1e=0，其中1a表示事件A的特征函数。引理4。