新古典增长模型中的近似聚集

Let1- γ（{Y}，Y）：=1+βα1-σEe=0Y1-σ(OhmY） 一,-σ1/σ和for T>2 let1- γT（{Yt}Tt=2，Y）：=1+βα1-σEe=0Y1-σ(OhmY） 一,-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3，Y）σ！！1/σ（23）然后1- γT（ω；Y）≤ 1.- γT（{Yt}Tt=2，Y）。证据在一阶条件（20）中，只取e=0的那些项，我们得到1-σω1-σ(1 - γ)σ≥βαωOhmEe=0V′T-1.αωγOhm; Y.应用引理-σω1-σ(1 - γ)σ≥ βαωOhm1.-σγσEe=0Y1-σ(1 - γT-1(αωγOhm; Y） ）σ。在T=2的情况下，γT-1=γ=0，我们可以像前面的引理一样重新排列。然后归纳并假设- 1节课，我们可以绑定1节课- γT-1先于1- γT-1生活1-σω1-σ(1 - γ)σ≥ βαωOhm1.-σγσEe=0Y1-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3，Y））σ。重新排列最后一个表达式将得到一般结果。Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合在实践中，我们不会直接应用上面的引理，而是参考下面的边界，它来自前两个引理中的术语的重新排列。引理5。我们有1个- γT（ω，Y）=U（1）γT（ω，Y）=U（1），其中隐式常数可以独立于N和ω。4.3储蓄函数的导数我们现在准备证明定理2。让我们≥ 2（在T=1的情况下，没有什么可以证明的）。我们将（20）重新排列为（1）- γ)σ=βαωσOhmY1-σE V′T-1.αωγOhm+ (1 - α） e；Y.与之前一样，这个条件意味着最大化储蓄函数γT=γT（ω；Y）。我们的第一步是隐式区分最后一行与ω的关系。我们得到σγ′T（1）- γT）1+σ=βασωσ-1.OhmY1-σE V′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y+βαωσOhmY1-σαγTOhm+αωγ′TOhmE V′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y.求解γ′T，得到γ′T（ω）=βαωσ-1.OhmY1-σhEσV′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y+αωγTOhmV′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Yihσ（1）-γT）1+σ-βαOhmω1+σY1-σE V′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y我们可以把分子简化一点。

我们让x=αωγTOhm并将其改写为Ohmω1-σY1-σEσV′T-1（x+（1- α） e）+xV′T-1（x+（1- α） （e）（25）引入Random变量y=x+（1）- α） 用引理2重写la stexpression的一个典型术语，得到βαOhmω1-σY1-σσY1-σ（x+（1）- α） e- 圣-1（y）Ohm)σ+σxY1-σ（s′T）-1（y）Ohm- 1） （x+（1）- α） e- 圣-1（y）Ohm)1+σChipeniuk，Katz&Walker：与sT-1是T的简写- 1期决策规则，sT-1（y）=sT-1（y；y）。这将进一步简化为Ohmω1-σY1-σY1-σ(1 - α） e- 圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm（x+（1）- α） e- 圣-1（y）Ohm)1+σ. （26）理解这个表达-圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm, 我们注意到-圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm= -圣-1（y）Ohm+ 不是吗-1（y）Ohm- (1 - α） 埃斯特-1（y）Ohm.然而，我们也有γT的定义-1（y）=sT-1（y）Ohm就你得到γ′T而言，我是如此的不同-1（y）=s′T-1（y）OhmY-圣-1（y）Ohmy、 由此-圣-1（y）Ohm+ 不是-1（y）yOhm= yγ′T-1（y）。所以-圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm= yγ′T-1（y）- (1 - α） 埃斯特-1（y）Ohm. （27）结合方程式（26）和（27），我们可以看到（25）等于βασOhmω1-σY1-σEY1-σ(1 - α） e（1）- 不是-1（y）Ohm) + yγ′T-1（y）（y）- 圣-1（y）Ohm)1+σ,返回到（24），我们得到γ′T=βασOhmω1-σY1-σEhY1-σ(1-α） e（1）-不是-1（y）Ohm)+yγ′T-1（y）（y）-圣-1（y）Ohm)1+σihσ（1-γT）1+σ-βαOhmω1+σY1-σE V′T-1（y；y）值函数的i连续性意味着lastChipeniuk，Katz&Walker:近似聚合表达式分母中的两个项都是正的。用前一项估计它们的和，我们得到γ′T≤2βαOhmω1-σY1-σEY1-σ(1 - α） e（1）- 不是-1（y）Ohm) + yγ′T-1（y）y1+σ（1）- γT-1（y））1+σ值函数的凹性和-1的增加意味着0<1- 不是-1（y）Ohm< 特别是- 不是-1（y）Ohm= O（1）。因此，我们从（4.3）t中看到γ′t是正的。

此外，将不依赖于N和ω的吸收因子转化为一个常数，我们可以将上述界限改写为γ′T=Oω1-σEe+yγ′T-1（y）y1+σ我们用γT-1是有界的，而agg regateshock是有界的。4.4证明定理2中的主要定理，我们可以继续建立近似的集合估计定理1。我们希望将我们的代理分组到多个容器中，使得单个容器中的任意两个代理具有大致相同的γT值（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）。对于当前的讨论，我们进一步简化我们的符号，将其改为γt（ω）：=γt（ω，Y）。固定时间段T的数量和错误参数>0。任何代理人拥有所有财富的情况都是微不足道的，因此我们可能认为不是。首先，我们使用就业冲击的类似未来前景条件，将代理人分为由A。。。，像 {1，…，N}所以对于j，k∈ 我们发现ej，tand ek，皮重在每个时间段的分布是相同的。接下来，对于集合Al的固定选择，我们估计γTasωrangesa在区间[0,1]上的总变化量。4.4.1我们通过归纳法进行储蓄函数的变化。当T=2时，γT-1= γ≡ 0.在我们的bo中使用这个，我们得到γ′=Oω1-σEey1+σ.Chipeniuk，Katz&Walker：将这个界积分到[0，1]中，我们可以用zγ′（ω）dω=O来定义这个区间上γ的总变化EZeω1-σy1+σdω=OEZeeω1-σy1+σdω+Zeeω1-σy1+σdω.在期望值下的第一项中，我们将y=U（e）绑定，因此贡献率szeeω1-σy1+σdω=OeσZeω1-σ= Oeσeσ= O（1）。在期望值下的第二项中，我们将y=U（ω）定界，给出了ω1-σy1+σdω=OeZeωdω= OEE- 1.= O（1）。结合最后三个计算，我们得到了所需的zγ′（ω）dω=O（1）。

T=2的情况到此结束。设T>2，假设T的总变差界已经建立- 1.我们现在有zγ′T（ω）dω=O简单eω1-σy1+σ+y1-σγ′T-1（y）ω1-σdω.积分下的第一项与T=2情况下的有界表达式相同，我们只需要使用归纳假设来约束第二项。这样做需要我们有一个ωγ′T的估计-1（ω）=O（1）。这是通过另一个直截了当的归纳来实现的，我们现在停下来建立这个归纳。Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合我们有ωγ′（ω）=OEeωσy1+σ= OEeωσ（ω+e）1+σ= O（1）使用简单的界eωσ<（ω+e）1+σ。进行归纳，假设ωγ′T的界-2（ω），我们有ω′T-1（ω）=OEeωσy1+σ+ωσy1-σγ′T-2（y）= OE1+ωσyσ= O（1）在第二行中，我们用诱导束缚了y1+σγ′T-2（y）。现在，在[0，e]范围内，我们应用上面的参数和大小为e阶的界yas，给出zey1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=OE-σZeω1-σdω= O（1）（28）在[e，1]范围内，我们束缚了大小为ω级的yas，给出了zey1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=OZeγ′T-1（y）dω由于我们在γ上有一个U（1）界，并且随着γ的增加，我们在y的导数上也有一个U（1）界，它对应于ω，由α给出Ohm（γT+ωγ′T）。因此，我们可以在最后一行的右侧更改变量，以获取Zey1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=OZeγ′T-1（y）dy= O（1）根据归纳假设。Chipeniuk，Katz&Walker：综合上述计算，我们可以看到t hatZy1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=O（1），因此zγ′T（ω）dω=O（1）。4.5综合之前的计算结果表明，对于固定的Al选择（以及就业冲击的分布），γ′t随着ω范围在区间[0,1]上的变化最多为O（1）。

因此，我们可以将[0，1]细分为子区间Im，l=[am，l，bm，l），m=1，…，m使得m=O（1/）对于每一个l，对于ωj，ωj∈ Im，lwe有|γT（ωj）- γT（ωj）|≤ .其中M不依赖于N或财富的分配。现在把第j个代理人的财富作为ωj，我们把m，l={j∈ {1，…，N}∩ Al：ωj∈ Im，l}γm，l=γT（am，l）Ym，l=Xj∈Bm，lωjY。鉴于这些定义，我们有| Xj∈Bm，lγT（ωj）ωjY- γm，lYm，l |=|Xj∈Bm，l（γT（ωj）- γm，l）ωjY|≤Xj∈Bm，l |γT（ωj）- γm，l |ωjY≤ Ym，l.对m=1求和。。。，M和l，我们得到| Xj∈{1，…，N}γT（ωj）ωjY-MXm=1Xlγm，lYm，l|≤ MXm=1XlYm，l≤ Y.（29）Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合这是对定理的估计。此外，根据需要，代理的分组数量为mostsM=O（1/）。