受限投资组合的信号型绩效归因

约束对价值和动量交易的影响不仅取决于信号强度或目标位置，还取决于之前交易达到的当前位置。回到作为有效风险的一般解释，对于受约束的股票价值和动量信号，风险厌恶情绪明显更高，这意味着即使两个信号中的一个在正确的方向上交易（对于最小仓位约束而言，长期而言），也会受到约束的影响。这与更幼稚的特别贡献形成了对比，例如，它包括计算无约束的信号传输，并只减少短信号传输。但这恰恰是将约束视为预测回报的变化与将（位置）约束视为风险估计的收缩之间的差异。这种直接而准确的信号归因使我们能够跟踪每个预测信号的性能、风险和成本。即使在存在强约束的情况下，我们也能够做出信号加权等决策。我们还能够计算每个预测信号的传输系数，或者丢弃系数太低的信号，这意味着约束太强，无法在存在其他信号的情况下提供性能，或者释放一些约束，让信号更好地“呼吸”。例如，管理者可以调整约束条件，使factoror风格的计时策略真正具有附加值，或者我们运营valueand momentum long-only基金的经理可以意识到，约束条件使得添加（比如）增长策略毫无用处。3.3如何计算有效成本和风险？让我们回到一个更实际的观点。

平方约束的拉格朗日乘子（我们称之为属性乘子，与原始约束的拉格朗日乘子相比）是如何计算的？首先，让我们注意到，我们原则上可以设计一种特殊的惩罚式优化算法，其工作原理如下：如（G–rleanu&Pedersen，2013）中所述，移位α在文献中被称为隐含α计算无约束最优交易o对于违反约束的所有交易（对应头寸），添加惩罚项ηcxtAcxt（分别为ηc（xt-1+ xt）Ac（xt-1+ xt））o计算相应的最优交易o更新ηcuntil约束是充分的，这样一个简单的算法没有收敛边界。由于原始约束问题在大多数情况下都是凸的，所以很遗憾我们不能利用现有的众多alg算法的力量来解决它。特别算法可能感兴趣的一个特殊情况是最小交易规模约束，它不是凸的。这可以通过允许ηcto为负值来处理，也就是说，允许负效应成本。事实上，如果一项非零贸易规模达到最小贸易规模，这相当于计算一项二次成本较小的无约束贸易：因此，负成本被加到了原始二次成本中。我们在这里不追求这个想法，只考虑凸约束。从这一点出发，我们假设约束优化问题已经通过一种算法得到了解决，该算法提供了原始约束的最优交易和拉格朗日乘子λcof。拉格朗日乘子将目标函数的边际变化编码为约束边界的边际变化的最佳值：λc=FMc（35），其中是一个符号，如果约束是上界，则等于+1，且等于-1如果约束是下限。

对于属性乘数，我们有ηc=F（Mc）（36）其中符号总是+1，因为Mc总是上界，我们有相同的Fasit是一个等效的优化问题，导致相同的解决方案。像/（Mc）=1/（2Mc）/Mc，我们得到两个乘数ηc=2Mcλc之间的以下关系。（37）可以检查，在温和的假设下，如果约束重新正确地划分为贸易和头寸约束，ηcis为正。或者，对于非直接的情况，我们可以务实地扭转这种局面，选择将约束视为一种权衡（有效成本）或立场（有效风险）约束，以便相应的乘数为正。要始终做到这一点，约束必须减少交易或头寸，这对于允许空间包含0的所有交易和头寸约束都是如此。这种关系（37）也可以通过与最大化问题对应的给定符号来理解。这让人想起（Jagannathan&Ma，2003）中所做的事情：我们在原始最优性条件中通过使用以下替换1=2v·，引入了贸易约束（以及类似的头寸约束）对贸易的显式依赖xt2Mc，（38），这在约束饱和时为真。例如，上界约束ontrade的原始最优性方程中出现的λcvacterm可以转化为2ηcv 五、xt。如果约束是饱和的，则之前的方程成立，λcη为零。从算法提供的解决方案（我们假设该解决方案提供了德拉格兰杰乘数），可以直接计算属性乘数、建立最优性方程（24）和执行信号型属性。这种关系（37）突出了我们忽略的一个角落案例。如何处理界为零的情况？ηcis在这种情况下是有限的。

但无论从数学角度还是从解释角度来看，这都不是问题。让我们从后者开始。如果将交易设置为0的约束是有效的，那么它确实对应于有限的二次成本。与将头寸强制为0类似，二次风险必须是有限的（或风险规避必须是有限的）。从数学的观点来看，我们将证明极限是完全正则的。这意味着我们应该考虑射影空间的ηcas元素，并找到一种方法来处理最优性方程（24）中的有限值。现在让我们转向数学的观点。在不失去普遍性的情况下，让我们考虑一下贸易限制的情况：v·π6 M.信号属性的最优性方程（24）读数（Q+2ηv 五）xt=Gt- pXT-1.（39）可逆矩阵的秩1更新的逆Sherman-Morrison公式xt=Q-1.-2ηQ-1v v Q-11+2ηvQ-1v（Gt- pXT-1) . （40）将α定义为α=2ηvQ-1v1+2ηvQ-1v，（41）结果可以写成xt=（1）- α） Q-1（Gt）- pXT-1) + αQ-1.-Q-1v v Q-1vQ-1v（Gt- pXT-1) . （42）该结果给出了平方约束影响的几何解释。

交易是无约束交易的加权和，其结果可以大致概括为使用约束1·x=1在最优性方程中引入依赖项x，这种依赖性被解释为来自一个有效的二次风险。实现这一点的一种方法是将相应的ηcto设置为一个非常大的值，这样它们在其他ηC之前就比较大，同时防止线性系统病态。另一个更复杂的方法是明确处理这些约束，这些约束通常是质量约束（零贸易或零头寸）。无约束交易在与v正交的子空间上沿Q方向的投影-1v，考虑了风险和成本（这不是正交预测）。当界M为0和η时→ ∞, 我们看到，项目交易的权重α为1，而无约束交易的权重α为0。该极限被很好地定义，并且很容易被解释为与v正交的子空间上的投影，这与约束条件v·x=0。在这个极限下，我们可以直接猜测结果应该是一个投影，但进行投影的方向并不是微不足道的。对于位置约束，可以进行类似的计算。最佳方程式读数为（Q+2ηv 五）xt=Gt- （P+2ηv） v） xt-1（43），解决方案可以写成xt=（1）- α） Q-1（Gt）- pXT-1) + αQ-1.-Q-1v v Q-1vQ-1v（Gt- pXT-1)- αQ-1v vvQ-1vxt-1.（44）交易是三项的加权和。前两项与贸易约束相同：无约束贸易和预计无约束贸易。第三个是应该进行的交易，以预测初始位置xt-1在沿Q方向与v正交的子空间上-1v。

这再一次与电视·（xt）一致-1+ xt）=在界为0（α）的极限下为0→ 1） .3.4 LConstraints性能属性的解释在本小节中，我们将详细说明LConstraints或术语（差价成本/营业额约束、融资成本/杠杆约束）的处理，并解释此类约束对预测信号的影响。让我们从贸易术语开始。如第2.3小节所述-λPi|通过引入辅助变量si（见（20））将目标函数中的xit |转化为线性项和约束- 带约束的λxisi- si6xi6 si（45）中，我们降低了时间指数。平方约束添加了以下项- ηi(十一）- 硅（46）在增广目标函数中，其临界点是约束问题的最优解。这个临界点是为xiby最优性方程（24）和辅助变量siby- λ+2ηisi=0。（47）对于η和f或其他约束，这是相同的关系（37）：有界mc被有界si替换：ηi=2siλ。（48）这种关系可以是固定的差价成本或阿图诺弗约束的拉格朗日乘数。As si=|xi |，从解算器给出的解计算ηi与计算f或其他约束一样容易。如果交易为零，ηi→ ∞, spreadcosts是一个有限的二次成本效应。由于价差成本可以被视为总预测信号G必须克服的一个阈值，人们可能会想知道，这种阈值行为如何与有效的二次成本一起出现。为了简单起见，我们将只考虑静态模型中的一种股票。优化问题readsmaxxtxtGt- γσxtxt-1.-λxt- λ|xt|-γσxt。（49）由于绝对值函数的不可微性，最优性方程可以写成（γσ+λ）xt=Gt- γσxt-1.- λsgn(xt）。

（50）只有当Gtγσ- xt-1.>λγσ（51），这提醒了为什么可以将差价成本作为预测信号的阈值（例如，关于更好的处理方法，参见De Latailade et al.，2012）。信号的总和必须足够大，以使对马科维茨头寸的交易大于上一个等式右侧给出的大小。让我们看看当差价成本重新表示为有效的二次成本时，这种阈值行为是如何出现的。最优交易验证了以下等式：（γσ+λ+2ηt）xt=Gt- γσxt-1.（52）如果最优交易不是零，约束-s 6x 6 s饱和：|x | s=1。（53）从（47）中，s=λ/（2η），并且可以写出比率|x | s=2ηγσ+λ+2ηGt- γσxt-1|λ. （54）作为η的函数，当η=0时，比值从0增加到|Gt- γσxt-η为1 |/λ时→ ∞. 当且仅当| Gt- γσxt-1 |/λ>1，这是前面显示的阈值条件。综上所述，如果达到阈值，则存在有限的有效二次成本，可以解释差价成本。否则，有效二次成本是有限的，最优交易为0。对于一个位置项，也可以进行类似的分析。我们提醒您，该职位的约束内容如下：- uit6退出-1+ 希提。（55）等式（47）替换为- λl+2ηiui=0。（56）在单一股票静态模型的情况下，通过最优交易验证的方程为（γσ+λ+2ηt）xt=Gt- （γσ+2ηt）xt-1.（57）如前所述，我们计算约束饱和时等于1的rat io:|xt-1+ xt | ut=2ηtγσ+λ+2ηt | Gt+λxt-1 |λl.（58）要使下一步位置xt为非零，我们必须有| Gt+λxt-1 |>λl.（59）如果我们削减头寸产生的成本加上预期回报的两倍大于当前头寸的融资成本，我们将保持头寸。这可以通过将两边乘以| xt来看出-1.：|Gtxt-1+λxt-1 |>λl | xt-1| .

（60）在Gt=0的情况下，如果削减仓位更便宜，然后回购仓位以便隔夜融资，那么乐观者应该削减仓位，以便其他仓位可以获得和融资。如果预测与头寸方向相反，则预测信号通过提前削减头寸，或者如果预期头寸收益充足，则通过维持头寸（尽管存在融资成本）来调节比较。当我们对这些交易进行信号归因时，我们发现，只有当总交易（对应头寸）也非零时，信号交易（对应头寸）才非零。如果信号总和未达到阈值，则没有信号进行交易或维持头寸。这意味着将这些术语/约束解释为投票系统。如果信号之间没有达成“协议”，则什么都不做。这一归因及其解释可以在交易系统中得到很好的应用，因为在高利差成本面前，预测信号相对较小，或者在严格的杠杆约束下运行的交易系统中。或印花税或金融交易税等税费引起的成本，包括130/30等基金，这些基金可以被视为杠杆率为160%，净敞口为100%4结论我们描述了一种新方法，可以直接准确地将约束的影响归因于预测信号投资组合。在所有情况下，如果约束或成本术语的约束组合导致尴尬的解释，这种属性允许清晰地识别约束对信号的影响。根据这种属性，管理者可以根据受干扰的信号性能做出决策，例如，或者可以计算每个信号的传输系数，以评估它们在存在其他信号的情况下的执行情况。

如果我们在一组约束条件下对每个信号的单独文件夹进行次优优化，那么我们得到的结果与我们得到的结果最接近。对于每个信号，这些约束条件将试图模拟全局约束的影响。在这里，我们在优化的同时得到了同样的结果，正确地考虑了约束条件，并在信号之间进行了完美的分割。此外，由于这种归因与Grinold&Easton（1998）的归因完全一致，我们可以想象两个世界都是最好的。例如，让我们想象一个交易系统，在这个系统中，差价成本很高，我们有最大化头寸规模的约束，这些约束起到了保护作用，因此被期望扮演小角色。将差价成本视为有效的二次成本是有意义的，这样我们就可以将其归因于每个信号，同时为参与者确定一个单独的投资组合，以监控其影响和整体效果。在归因上后退一步，只考虑约束与有效风险和成本之间的等价性，我们所展示的分布乘数和原始拉格朗日乘数之间的显式关系概括了边界和收缩之间的等价性，如（Jagannathan&Ma，2003；Roncalli，2011）所述，让我们想想最近关于因子对齐问题的结果（Lee&Stefek，2008年；Bender，Lee&Stefek，2009年；Saxena&Stubbs，20102013；Ceria Saxena&Stubbs，2012年）对依赖于最优投资组合的额外因素设置了明确的约束，这可能比用f因子投影增加二次风险矩阵更容易操作，也更直观，因为f因子投影的权重不容易校准。这种方法也可以看作是自定义风险模型思想的推广。

我们不仅发现了与约束相关的自然定制动态风险因素，还发现了客观函数中自然表达的约束或术语的有效二次成本，这解决了（Ceria Saxena&Stubbs，2012）中提出的关于难以找到正确定制风险因素（例如，仅长期约束）的一些问题。从我们的方法可以看出，这样的因素在时间上确实会有很大的变化，因为在每一个时间步，不同的股票都会受到限制。但是现在可以显式地计算并尝试建模，以便在下一步投资组合优化时，在二次风险模型中添加对它的估计。由于我们在这里集中讨论分配问题，我们将不会继续朝着这个方向前进，而将其留给未来的工作。尽管在上述主题中有潜在的应用，但我们希望读者在注释中把这种信号归因作为一个附加项目来考虑，尽管称为自定义风险模型的技术还包括一个校准部分，这超出了我们的技术范围。绩效分析工具箱，其产生的结果易于理解，尤其是在其他属性无法理解的情况下，其解释可以补充说明约束如何影响投资组合及其驱动因素、预测信号。致谢我们要感谢让-菲利普·布乔德、劳伦特·拉卢克斯、查尔斯·阿尔伯特利哈勒和蒂埃里·隆卡利的评论和富有成效的讨论。幂-3/2成本项幂-3/2成本项可以用与分摊成本类似的方式处理。为了简单起见，我们将考虑一个单一股票的静态模型，但这是可以推广的。