受限投资组合的信号型绩效归因

我们为每个信号更新交易和头寸，whosesum正是总最优交易和总最优头寸（9）。我们意识到，这种归因已经在（Grinold&Easton，1998）中描述过。我们坚持认为，这仅仅是我们最优性方程线性化的结果，可以应用于任何优化问题，凸或非凸优化问题，其最优性方程是线性的。通过线性化，我们可以直接、明确、准确地归因于各种成分，这些成分加起来可以预测未来的收益。从位置时间序列{xkt}可以直接计算损益，并根据（Litterman，199 6）或（Bruder&Roncali，2012）确定风险和成本：R=xt∑xt=Xk（xkt∑xt）=XkRk（13）。在连续时间设置中，我们将得到一个具有未知函数x（t）的线性一阶微分方程。D的演化方程编码了一个线性指数核算子{xu}u6t将替换运算符Q. 当线性特性应用于得到的最优方程时，它转化为将D分解为K分量Dk。andC=xt∧xt=Xkxkt∧xt=XkCk。（14） 2.3目标函数中的约束和附加项正如（Grinold&Easton，1998）的作者在介绍他们的特征投资组合时所说的那样，最优方程的线性特性确实允许我们将交易和头寸归因于各种约束。并非所有约束都适用于该框架，但投资组合优化中使用的大多数约束都适用。

如果我们撇开组合约束（交易数量、圆形地块等）和非凸约束（例如最小交易规模），通常的怀疑是：o最小和最大交易、最小和最大头寸MI6xt6 Mimi6 xt-1+ xt6 Mi（15），其中通常Mi=-Mi（也就是说，只有交易或头寸规模受到限制），o投资组合6（xt）的最小和最大敞口-1+ xt）·v6 M（16），其中v是编码曝光的向量。例如，对于一个行业风险敞口，属于给定行业的股票v为1，而其他行业的股票v为0。另一个例子可以在最小方差问题的通常公式中找到，其中施加了净风险应为1的约束：v应为1的向量，我们应设置m=m=1（预测G=0）。最后一个例子，强加市场中立性将导致我们选择v作为股票贝塔的向量。投资组合优化问题中普遍存在风险约束。所有这些约束都可以写成f(xt）6 M，其中f是设v为向量，使f(xt）=v·xt。我们将用索引c标记约束，并考虑约束向量vc和边界Mc的集合。现在我们回到我们的优化问题（5），我们添加了约束。对于静态模型来说，这很简单。对于考虑到的动态模型（G–rleanu&Pedersen，2013），仅限制下一步优化XT而对价值函数使用贝尔曼方程的无约束解是一种标准近似（参见Sznaier&Damborg，1987；Skaf&Boyd，2008）。约束动态编程问题是一个众所周知的难以解决的问题，这里不考虑。引入拉格朗日乘子λcas（Gr inold&Easton，1998），最优性方程（8）变得xt+pxt-1=Gt+Xcλct。

（17） 但参见（Bemporad e t al.，2002），其中作者证明了线性约束的控制策略是状态（Gt，xt）的线性函数f（y）=Ay+b-1） ，这让我们认为，当值函数不近似时，本文所描述的也是适用的。λC是我们可以确定交易的其他来源xtand迭代构建前面解释过的K预测信号gk的位置xcta。将绩效、风险和成本贡献给与每个约束或一组约束相关的投资组合是很简单的。将此方法应用于我们的长期型转移价值和动量基金，最优性方程readsQxt+pxt-1=vt+mt+λt（18），其中λ是与纯长约束相关的所有拉格朗日乘子的向量（我们选择将纯长约束作为一个整体考虑，因为涉及属性）。业绩的属性如下：（无约束）价值投资组合的业绩，（无约束）动量投资组合的业绩和仅长约束投资组合的业绩。如上所述，在存在约束的情况下，很难理解哪个信号表现最好。整体表现可能与价值或动量组合相去甚远，这种表现归因于长期约束，对无约束的投资组合表现有很大的负面影响。从这一贡献很难判断哪个预测信号最容易受到约束的影响。更一般地说，区分约束并不总是有意义的。

例如，如果我们考虑二次风险约束而不是固定的风险规避（γ是一个大范围乘数，取决于时间t），我们一方面会得到与风险约束相关的投资组合，另一方面会得到风险无界的完全无约束预测信号投资组合。绩效归因很可能看起来像两次随机游走的总和！在这种情况下，直接（至少在静态模型中）将风险约束的影响包括在信号投资组合中是很简单的，因为最优性方程对于时间依赖性γt是相同的。在转向我们对这个问题的建议解决方案之前，让我们展示一下如何在这个框架中包括其他术语或约束。不可区分的约束条件/术语的处理方式与中的不同（Stubbs&Vandenbussche，2008），其中使用了次梯度，并引入了一些额外的复杂性。我们应该考虑两种类型的术语目标函数中的非二次成本：–LCOST（通常与买卖价差相关）或营业额约束：aterm-λPi|xit |式中λ是与约束相关的成本标准化或拉格朗日乘数，–带有一个术语的平方根影响成本-xt∧1/2(xt）1/2，其中幂是有符号幂（x1/2=sgn（x）p | x |）。注意，在文献中，∧1/2通常被视为与恒等式成比例，术语为-λ1/2|xt | 3/2.oF融资成本或杠杆约束（职位成本）：一个术语-λlPi | xit-1+xit |其中λlis为多头和短头融资f之间的一半差价，或严格市场中性的投资组合，或与约束相关的拉格朗日乘数。请注意，即使问题中没有任何财务成本，L术语也可能出现：它们可以在lassoregression的背景下作为正规化术语引入（Tibshirani，1996）。

有关投资组合优化的应用程序，请参见（DeMiguel等人，2009年），其重点是最小方差投资组合，以及最近的（Bruder等人，2013年）。附录中考虑了平方根影响成本。在这里，我们将重点讨论这些限制。当添加这些项时，可以通过引入辅助变量将优化问题（5）转化为更简单的问题。这是isa标准程序（参见Boyd&Vandenberghe（2004）第6.1.1节“绝对残差近似”或（Lobo Fazel&Boyd，2007）中更适用于仅对空头或多头头寸进行约束的变量示例）。优化问题：maxxt-λXi|希特|- λlXi | xit-1+ 希特|-xtQxt- xtP xt-1+ xtGt（19）相当于以下onemaxxt，s，u-λXisi- λlXiui-xtQxt- xtP xt-1+ xtGt-si6希思-ui6 xit+xitui。（20） 额外的约束条件也是线性的这意味着与之相关的拉格朗日乘子ξ将作为线性互易方程Q的额外来源出现xt+pxt-1=Gt+Xcξct（21），其中c对约束类型进行索引，使得ξcti是与应用于每只股票的给定类型的约束相关联的所有拉格朗日乘数的向量。成本归属可以通过以下方式概括：- λ|xt |=-Xkλxktsgn(xt）（22）及- λl|xt-1+ xt |=-Xkλl（xkt）-1+ xkt）sgn（xt）-1+ xt）（23）我们定义sgn（y）=0表示y=0。在更一般的情况下，多头头寸的融资和空头头寸的融资分为两个不同的术语，第一个术语是（xit）的函数-1+ xit）+=max（xit-1+ 退欧，0）=退出-1+ xit+| xit-1+ 退出|第二个是（xit）的函数-1+ （退出）-= 闵（xit）-1+退欧，0）=退出-1+ 退出- |退出-1+ 退出|.

使用这些术语的优化问题也可以转化为更简单的问题，如下所述。由于标准绩效属性将投资组合与每种约束类型相关联，因此很难对这些术语做出清晰的解释。例如，由于存在与差价成本相关的投资组合，P&l中的成本分解将二次成本和差价成本归因于该投资组合，正如它归因于其他投资组合（与信号组件和其他约束相关的投资组合）。对于与差价成本相关的投资组合，二次成本的含义是什么？这些与差价成本组合相关的差价成本是多少？这个问题有意义吗？与差价成本组合相关的风险的解释是什么？对于这个问题，我们可以做出一个有根据的猜测：我们可以把它理解为一种与成本相关的风险降低，这种成本阻止我们进行像不存在这些额外成本时我们所做的那样大的交易。尽管如此，这种分解在分散成本和分散成本之间引入的不对称性是很难证明的。直接获得给定信号的二次成本和传播成本的综合影响更为自然。3约束的信号归因3。1有效二次成本和有效二次风险现在很清楚，我们想要一个准确的属性，不引入约束或转化为约束的条款的额外投资组合。我们将证明，我们能够将上一节中列出的所有约束条件和附加条件表示为有效二次成本和有效二次风险。最优性方程的形式为“Qt”xt+-Ptxt-1=Xkgkt（24），其中唯一的源项是预测信号。

据我们所知，我们将描述的技术是原创的，但将约束的影响视为二次风险的变形的想法已经提出。在（Jagannathan&Ma，2003；Roncalli，2011）中，作者展示了最小和最大位置约束如何被视为优化问题中协方差矩阵的缩小。允许他们这样做的关键因素是限制投资组合的净敞口：1·xt=1。基于这一观点，《德波尔》（de Boer，2012）一书的作者总结了（Jagannathan&Ma，2003）的工作，展示了约束如何暗示回报均值和协方差的“收缩估计”。他的工作允许考虑更一般的约束，但由于使用了相同的数学框架，它克服了相同的缺点。我们通过一种新方法对这些结果进行了概括。首先，我们考虑交易成本，并展示一些非常广泛的约束如何转化为有效的二次成本。此外，在我们的框架中，不需要任何特定的约束条件（如1·xt=1），这在之前的工作中是构建有效风险矩阵的关键。最后但并非最不重要的一点是，我们不影响回报平均值的估计：没有隐含的阿尔法或隐藏的阿尔法这样的概念，因为我们的思维管理者不使用约束来改进回报估计，而是控制错误风险估计的影响（如马科维茨优化问题中所做的逆转错误估计的风险矩阵会引入大量噪音）。

通过充分利用优化问题的数学特性，我们开发了一种原始方法，该方法不太依赖于问题的某些特定特征，并允许更直接和自然的归因。我们在上一节中考虑的所有约束和术语都可以放在线性约束形式v·下xt6 M（25），在某些情况下，以引入辅助变量为代价。我们将明确区分贸易限制和立场限制-1+ xt）6 M（26）我们将描述位置约束技术。适应贸易限制很简单。一般来说，约束将成对出现：m6v·（xt-1+ xt）6 M（27）以下约束之一（v·（xt-1+ 上午6点（v·（xt）-1+ xt））6 M（28）相当于前一个：当定义了上限和下限时，同时只有一个边界处于活动状态。现在让我们为等效约束引入拉格朗日乘子η。最优性的KKT条件有助于确定增广目标函数的临界点FF=-xtQxt- xtP xt-1+ xtGt- η（xt）-1+ xt）v v（xt）-1+ xt）（29）在静态模型中，Q是二次成本∧和惩罚二次风险γ∑之和，P是惩罚二次风险，很明显，在这种形式下，头寸约束相当于额外的二次风险2η/γvv、 因此，有效二次风险为∑+2η/γv v、 解释如下：如果违反了约束，我们会在风险模型中添加一个因子，我们会调整其强度，将风险降低到授权水平。如果约束是一个简单的最小或最大位置m 6 xt6 m，那么它引入的有效风险就是股票的特殊风险。

如果我们只对头寸有限制，很容易看到我们有效地向对角风险矩阵收缩。我们得到的结果与（Ja g annathan&Ma，2003）中的解释相同。此外，正如我们所展示的，添加约束相当于在风险模型中添加因素，我们可以对f因素对齐问题有新的认识：逆转过程，我们可以试着去理解《圣经》中提倡的解决方案（Lee&Stefek，2008年；正如下文所述，有效风险矩阵是正定义的，并将原始的平方风险矩阵缩减为诊断风险矩阵，这一点也很简单。Bender，Lee&Stefek，2009；Saxena&Stubbs，20 10，2013；Ceria Saxena&Stubbs，2012年）关于不一致部分的约束最佳投资组合。消除贸易约束将导致有效的二次成本，其解释更为直接。在动态交易框架中，头寸（对应交易）约束也会导致有效的二次风险（对应成本），但将有效的二次风险（对应成本）表示为原始二次风险（对应成本）的函数，并在一般情况下难以确定约束引入的授权条款。这可能是未来工作的目的。在所有约束条件下，最优性方程读数为（Q+XcuctAc+Xc′ηc′tAc′）xt+（P+Xc′ηc′tAc′）xt-1=Xkgkt（30）是我们之前宣布的形式（24），提供了一个定义“Qt”和“PTA”Qt=Q+XcuctAc+Xc′ηc′tAc′Pt=P+Xc′ηc′tAc′（31）作为注释、c指数交易约束、c′指数头寸约束。u注意与平方贸易约束相关的拉格朗日乘数，而ηc′是与平方头寸约束相关的拉格朗日乘数。矩阵定义为2 vc vc。

例如，在股票i的最小或最大交易或头寸约束的简单情况下，Acis是一个矩阵，其对角线元素i，i等于1，其所有其他元素均为0.3.2属性。我们建立了一个线性方程（24），其唯一的源项是预测信号。如第2.2小节所述，我们可以直接将交易和头寸归因于K信号。我们获得K个投资组合，每个信号一个，包括约束和成本条件的影响。风险和成本归因现在只适用于预测信号投资组合，这避免了我们前面提到的一些不一致。让我们明确地给出我们的长期风格转换价值和动量基金的运行示例。在没有仅多头约束的情况下，所有空头头寸的风险都会有效地增加，直到它们等于0。让我们将C称为仅长期约束有效的股票集合，并定义其对角线元素i，i等于2ηitif i的ρt对角矩阵∈ C其他0。最佳方程式（24）读数（Q+ρt）xt+（P+ρt）xt-1=vt+mt（32）让我们提醒一下，p位置高于基准，所以长期限制实际上是等于减去基准位置的较低的值。为了简单起见，我们假设成本与风险成正比，风险是诊断性的∑=σ，并且我们使用的是静态模型。在这种情况下，在没有约束的情况下：xt=γσγσ+λ（xt- xt-1） （33）式中，Xt是马科维茨解Gt/（γσ）。在存在约束的情况下，我们的归因技巧产生了价值和动量的两种交易xv，t=γσ+ρtγσ+ρt+λ（xv，t- xv，t-1)xm，t=γσ+ρtγσ+ρt+λ（xm，t- xm，t-1） （34）在xv，tand xm，t的表达式中，γσ替换为γσ+ρt。如果股票受到约束，其目标位置x的绝对值将减少，交易将趋向于更接近该修正目标，从而满足约束。