期权定价的高阶紧致差分格式

解方程（17）求uxyyyyyyy=Axxxy~nx-~nxuxxxy=：axyyyy-~nxuxxxy。（18） 最后，表达式axyyyy也可以在紧凑的模具上以二阶离散化。3.2离散方案的推导为了推导圆盘-混凝土方案，我们在偏微分方程（7）中使用方程（9）和（10），给出了φxf=a+ε+vy(x） ~nxuxxxx+vy(y） ~nxuyyy+ρvy(x） ~nxuxxxy+ρvy(y） ~nxuxyy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vuyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） uxxx，（19）其中：-vy~nxDxUij+~nxDyUij- ρvy~nxdcxyuij- κθ-vyv k xDcyUij+vy~nxx+vy- R~nxdcxuij与误差项ε∈ O(十）如果Y∈ O(x） 被使用了。方程（19）是我们不同离散化方案推导的基础。Ais仅使用紧凑型模具。我们有四个四阶导数，即uxxx、uyyy、uxxx和uxxyy不等式（19），它们相互作用，但只有三个辅助关系来代替这些高级导数。

这些关系由（12）、（15）和（17）给出，它们是在第3.1节中推导出来的。这导致了离散方案的四种不同版本。对于第1版方案，等式（11）、（14）和（15）在等式（19）中使用，然后（18）使用d，最后应用（13），这给出了φxf=A+vy[2](x） ~nx-(y） ]24~nxAxxxx+vy(y） ~nxayyy+ρvy(y） ~nxAxyyy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+vy[(y）-(x） ~nx]24~nxuxxxx+ε。（20） 对于第2版方案，等式（19）中使用等式（11）、（14）和（12），然后（17）使用d，最后（16）应用，这将给出φxf=A+vy(x） ~nxAxxxx+vy~nx[2(y）-(x） ~nx]Ayyyy+ρvy(x） νxAxxxy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+vy~nx[(x） ~nx-(y） [uyyy+ε。（21）对于第3版方案，方程式（11）、（14）、（12）和（15）在方程式（19）中使用，然后应用方程式（18），这将给出φxf=A+vy(x） ~nxAxxxx+vy(y） ~nxayyy+ρvy(y） ~nxAxyyy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+ρvy[(x） ~nx-(y） [uxxy+ε。（22）对于第4版方案，方程式（11）、（14）、（12）和（15）在方程式（19）中使用，然后应用方程式（17），这将给出φxf=A+vy(x） ~nxAxxxx+vy(y） ~nxayyy+ρvy(x） νxAxxxy+κ（θ）-（vy）( y） ~nx6vAyyy-[vy~nxx+2（vy-r） ~nx](x） Axxx+ρvyаx[(y）-(x） ~nx]uxyyy+ε。（23）备注1等式（20）-（23）表明，当ρ=0，v=0，或(y）≡ (x） νx.约束(y）≡ (x） 然而，φx意味着函数φ是线性函数，不符合缩放函数的条件。特别是，选择（x）=x将产生[DF12a]中讨论的方案（在统一网格上），因此我们将重点关注一个非线性的Zoom。在方程（20）至（23）中，我们观察到所有这些方案都具有二阶形式的一般一致性误差。但另一方面，每个版本只有一个剩余的二阶项，它与uxxx、uyyy、uxxxy或uxyyy相乘。

所有其他项均以四阶精度离散。我们称之为本质上的高阶光盘重定时。为了通过忽略剩余的二阶项来衡量我们得到的四个离散方案的整体潜力，更好地理解这些项的行为至关重要。为此，我们直接在方程（7）中使用x和y方向上的（二阶）中心微分算子计算数值解，并通过数值微分（近似）获得剩余二阶项中出现的高导数Uxxx、uyyyy、Uxxy和Uxyyyy。图1不带O的剩余项((x） 第1版（左上角）、第2版（右上角）、第3版（左下角）和第4版（右下角）的系数图1显示了方程式（20）-（23）中出现的二阶剩余项，没有((x） ）系数，其中ρ=-0.1，ζ=2.5，p=1，和Smin=49.6694。这些余项的值决定了我们能否达到四阶一致性，至少在给定的最小步长之前是这样。因此，剩余项的低值是有利的。我们观察到，所有图都有一个共同点，即余项的最高值出现在边界X=0附近。在图1左上角的图中，我们看到了版本1的余项。这个术语的绝对值是目前为止最高的。这个余项的l-范数是8.8×10-1.这表明对该格式的数值研究可能不会导致四阶一致性误差。在右上角的图中，我们有版本2的余项，同样没有O((x） ）因素。最高绝对值仅为4×10左右-3，与版本1的剩余项相比，它非常低。

该图的l-范数为3.1×10-这表明版本2在数值研究中比版本1产生四阶一致性错误的几率要高得多。左下方的图显示了版本3的剩余期限。此图的值高于版本2，但低于版本1。l-范数为6。6 × 10-3它仍然有机会产生良好的一致性错误。右下角的图显示了版本4的剩余期限。该图的绝对值非常低，仅为5×10左右-3.该余项的l-范数为3.1×10-4.这表明我们很有可能在版本4中生成具有四阶精度的方案。在特殊情况下，则φ（x）=x和x=我们有(y）≡ (x） 和所有四个版本产生完全相同的HOC方案，f=A+vyhaxxx+vyhayyy+ρvyhaxxy+κ（θ-vy）h6vAyyy-vy- RhAxxx+ε，如本例所示，e Axxxy=axyyyy。[DF12a]中讨论了这种没有缩放的特殊方案。备注2本节中方案的推导可以修改，以适应其他随机波动率模型，如GARCH扩散模型（3）或3/2模型（4）。使用这些模型，偏微分方程（1）的结构保持不变，只需相应修改导数的系数。同样，必须修改（11）-（18）中导数的系数。用修改后的表达式中的这些系数代替计算误差，可以得到如上所述的等效近似值。根据图1中的结果，我们的结论是，相对论2和相对论4似乎是获得小误差的最佳选择。版本3的剩余项仍然具有较低的值，而版本1似乎只能生成二阶方案。

我们对四个版本的格式进行的数值实验表明，实际上版本3在精度和稳定性方面取得了最好的结果。因此，在本文的剩余部分中，我们将重点讨论这个特殊的方案。抛物问题的4个高阶紧致格式我们现在考虑f=-uτ，我们用Ui，j（τ）表示其解u（xi，yj，τ）在时间τ的半离散近似。4.1半离散模式在本节中，我们定义了形式为（24）X^z的s emi离散模式∈G[Mz（^z）τUi，j（τ）+Kz（^z）Ui，j（τ）]=0，每个点z的时间τ∈oG、 在哪里oG表示网格G的内点。我们使用x=对于定义为f G的部分h>0，y=h，如（8）所示。

我们发现Kz（^z）和mz（^z）是在z附近的紧凑模板上定义了九个值的运算符∈oG.在z点使用（22）中的中央差分算子∈oG导致^Ki+1，j±1=^x（vy-r） 24小时-vyаxаxx16h+（vy-r） ~nx24h+vy洎xx48h-vy~nx24h-vy~nx24hνxκ（θ）- vy）24小时κПx（θ）-vy）24V±κ（θ）- vy）（vy）-r） ~nx24vy±κ（θ）- vy）~nxx48v（vy）-r） ~nx24y±v~nx±xκ（θ）- vy）（vy）-r） 24伏κ (θ- vy）аxаxx16v+ρvyаxx12h±vаxx-vy~nx6h+ρ±аxаxx（vy）-r） ±vy~nxx（vy）-r） νxx±vyаxxx48аx±-r） 12小时±~nx（vy-r） 12h±vyаxx8hаx±аxκvyаxаxx24小时-νxκ（θ）- vy）6hvvyаxx16аxvy k x4h±v k x24yvyаxаxxxi，（25）^Ki-1，j±1=-^Ki+1，j±1-vy~nx12h-vy~nx12hνxκ（θ）- vy）12vhνxκ（θ）- vy）12vh- ρvy~nx3h+ρ±~nx（vy）-r） 6h±vyаxx4hаx±vyаx（vy-r） 6hvyаxаxx12h,（26）^Ki±1，j=vy~nx12hh~nxx（vy）-r）νx（vy）-r） 12小时±（vy-r） ~nx12h±yhv洎xxxxh~nxxv24y-νxκ（θ）- vy）12vy-5vyаx12h±5vyаxx24h+vаx12y~nxhv24y-νx（vy）-r） 6vy+vy~nxxx±~nxh（vy-r） νxxx±vyаxаxx8h+（vy-r） ~nx~nxxvyhаxxаxxx16аx±hκ（θ）-vy）~nxx24vyνxh（vy）-r） νxx6vy±xhκ（θ）-vy）24vy+ρvy~nx3hxxvy 6h~n+ρv k xx4аxh~nxxvhv~nxx8аx+vаx-νx（vy）-r） 6yh（vy）-r） ~nxx6y±~nxκ（θ）- vy）3hv,（27）^Ki，j±1=аxаxx（vy）-r） ±~nxh（vy）-r） κ（θ）- vy）~nxx4vyνxhκ（θ）-vy）~nxxx8v-5vyаx12h+аxv12y-νxκ（θ）-vy）6yv+vyаx12hνxhκ12y±xhκ（θ）-vy）12vy5κПx（θ）-vy）12vh+vyаxаxx+κаx（θ）-vy）12vy+κφx±φxκ（θ）- vy）12vh±~nxh~nxxκ（θ）- vy）8v-vyаxаxxx+ρvyаx3h+ρ±vyаxаxx12hνx（vy）-r） 6h±h~nxκ（θ）- vy）~nxx4vyvyаxx4hаx+vаxаxxνx（vy）-r） 6h（28）和^Ki，j=vy k xаxxx-~nx~nxx（vy）-r）-vyаxаxx-~nxv6y-νxκ（θ）- vy）6vy-κνx+Пxκ（θ）-vy）3yv+5vyаx6h+5vyаx6h-（vy）-r） ~nx~nxx-vyаxxx+vyаx（vy）-r） 3vy-vаx6y+аxκ（θ）- vy）6vy- ρ2vy~nx3h+ρνx（vy）-r） 3y-vаxx2аx-v~nx-vаxаxx,（29）式中，^Ki，jis是Ui的系数，j（τ）。为了可读性，我们将子索引i分别放在φ的导数上，子索引j放在y上。类似地，我们有^Mi+1，j±1=^Mi-1，j1=±ρаx，^Mi，j±1=аx~nxh12y±~nxhκ（θ）-vy）12vy，^Mi±1，j=Фxνxh（vy）-r） 12vy±~nxh~nxx ρ~nxh12yand^Mi，j=2~nx-~nxh~nxx（vy）-r） 2vy-~nxhаxx+аxаxxxh- ρаxаxxh2y，（30）作为τUi，j（τ）。

使用z∈oG我们有kz（^z）=^Kn，nas以及Mz（^z）=^Mn，n（31）表示^z=（xn，yn）和n∈ {i-1，i，i+1}和n∈ {j-1，j，j+1}。因此（24）对应于平面上的线性系统oG.4.2边界条件的处理第一个边界是边界x=xmin，对应于原始问题S=0处的边界。对于这个界限，我们必须将时间T的期权价格折扣到适当的时间。考虑到变换τ=T- t和u=erτV/K这导致所有τ的狄里克莱边界条件u（xmin，y，τ）=u（xmin，y，0）∈ [0，τmax]和所有y∈ [ymin，ymax]。我们讨论的下一个边界是边界x=xmax，它对应于原始问题的S=smaxo处的边界。对于幂p的幂，我们有lims→∞V（S，σ，t）=0，我们在艺术边界Smaxby VS（Smax，σ，t）=0，VSS（Smax，σ，t）=0，VSσ（Smax，σ，t）=0，Vσ（Smax，σ，t）=0以及Vσ（Smax，σ，t）=0。使用（5）中的这些近似值- rV=0。使用τ=T- t和u=erτV/K产生uτ=0，因此对于所有τ，Dirichlet边界条件u（xmax，y，τ）=u（xmax，y，0）∈ [0，τmax]和所有y∈ [ymax，ymax]。（32）要讨论的第三个边界是y=Ymin和x的边界/∈ {xmin，xmax}，对应于σ=σmins的边界/∈ {Smin，Smax}。我们将使用方程（25）到（29）来处理这个边界，就像处理计算域的内部一样。这需要使用ghost points Ui-1.-1、用户界面，-1和Ui+1，-1在点（xi，y）处离散时∈ G fori=1，N- 1.所以我们需要一个四阶精确表达式来表示ghost points Ui，-1fori=0，N.我们使用以下外推公式，-1=4Ui，0- 6Ui，1+4Ui，2- 用户界面，3+O(y）对于i=0，N

当使用（30）中的等式时，相同的程序用于矩阵MH的重影点。我们讨论的最后一个边界是边界y=ymax和x处的边界/∈ {xmin，xmax}，对应于σ=σmaxs的边界/∈ {Smin，Smax}的未翻译问题。我们将该边界视为Ymin处的边界，并使用方程（25）至（29）。然后，当在点（xi，yM）处离散时，该方案使用∈ G表示i=1，N- 1、鬼点界面-1，M+1，Ui，M+1和Ui+1，M+1，对于i=1，N- 1.这意味着我们必须为重影点Ui，M+1，i=0，N.我们再次使用外推法，Ui，M+1=4Ui，M来近似这些重影点的值- 6Ui，M-1+4Ui，M-2.- Ui，M-3+O(y）对于i=0，N同样，在使用（30）中的方程时，同样的程序e用于矩阵MH的重影点。4.3时间离散化根据前面章节的结果，我们得到了形式为（33）P^z的半离散系统∈G[Mz（^z）τUi，j（τ）+Kz（^z）Ui，j（τ）]=g（z）对于网格g的每个点z，其定义见（8）和x=y=h，对于某些情况，使用h>0。函数g（z）在xmin和xmax的边界处只有非零值。我们使用表格的时间网格τ,τ,3τ, τ, 2 τ, 3τ, . . .,第一次的步长有步长τ和以下公式τ . 对于这前四个时间步，我们使用隐式Euler格式，得到p^z∈GMz（^z）+τKz（^z）Un+1i，j=P^z∈GMz（^z）Uni，j+对于每个网格点z，n=0,1,2,3的τg（z）∈ G.[Ran84]在处理非光滑初始条件时建议使用这种方法。在下面的时间步中，我们使用Crank-Nicolson typetime离散化，领先于toP^z∈GMz（^z）+τKz（^z）Un+1i，j=P^z∈GMz（^z）-τKz（^z）Un+1i，j+(τ） 带n的g（z）≥ 4在网格G的每个点z上。

我们观察到，由于Mx（^x）和Kx（^x）具有此属性，因此在紧凑计算模板上只有非零值。对于Crank-Nicols on时间离散化，对于φ（x）=x和ρ=0，该紧致格式在时间上具有二阶一致性，在空间上具有四阶一致性，否则在空间上具有本质上的高阶紧致性。5数值实验在本节中，我们使用（25）-（30）给出了紧凑s模式的数值实验结果，其边界条件在第4.2节中推导。如果没有另外说明，我们将使用以下默认模型参数κ=1.1，θ=0。15，v=0.1，r=ln（1.05），K=100，T=0.25。如第2节所述，转换后的欧洲（电力）的初始条件为givenbyu（x，y，0）=Kp-1最大值1.- e~n（x），0p、 （34）初始条件的不可微分点为xK=~n-1（0）。5.1缩放函数的选择在我们的数值实验中，我们使用缩放函数^S=^（x）=sinh（cx+c（1）- x） [TGB08]中提出的ζ，（35），其中c=asinh（ζ^Smin），c=asinh（ζ^Smax）和ζ>0。因此，初始条件的不可微分点为atxK=~n-1（0）=asinh（0）- 复写的副本- c=-asinh（ζ^Smin）asinh（ζ^Smax）- asinh（ζ^Smin）。使用cand的定义，可以将其重新排列为^Smin=sinhxKxK-1自（ζ^Smax）ζ.（36）因此，可以通过选择xKin合理界限以及选择Smax来设置^sminca，对于给定ζ，Smax给出了^Smax。选择XKC非常有帮助，因为如果非微分点在网格上，数值收敛阶在实践中可能会降低到2。因此，我们选择网格，使点xKin位于网格上两个连续gr id点的中间。

例如，在[TR00]中，已经提出了移动网格的程序。在报道的数值实验中，我们选择了最小值=Ke^Smin，Smax=2K，σmin=0.05，σmax=0.25。图2显示了参数ζ对放大方程（35）的影响，同时考虑了两种变换，^S=ln（S/K）和x=ν-1（^S）。与方程式（36）相比，xK的不同值（取决于ζ）的选择方式应确保S=0附近的值不会太明显。我们观察到，对于ζ>0的较小值，空间较小。那么ζ呢→ 0缩放功能正在接近线性变换^（x）=（^Smax）-^Smin）x+带x的^Smin∈ [0, 1]. ζ的值越大，我们就越关注围绕精确价格K的感兴趣领域。目的是为ζ找到一个“最佳”值，以便在实际计算中使用。ζ越大，K附近的误差越小，但另一方面，当缩放更大时，域的其他部分的误差会增加，因为K周围区域中网格点的数量增加会自动导致其他区域中网格点的数量减少，反之亦然。在areaaround K中的错误和err或域的其他部分之间必须有一个平衡。为了达到这一平衡，并因此获得ζ的go od值，应考虑收敛的总体顺序。我们预计数值收敛或阶数会随着ζ的增加而增加，然后在达到一定的“最佳”缩放强度后再次降低。0.2 0.4 0.6 0.8 1050100150200xSζ=2.5（xK=231.5/320）ζ=5（xK=223.5/320）ζ=7.5（xK=215.5/320）ζ=10（xK=211.5/320）图2 K=100.5.2数值收敛的不同缩放示例我们现在研究离散化为h的数值误差→ 抛物线网格比为0τ/h，使用ζ和ρ的不同值。