期权定价的高阶紧致差分格式

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英文标题：
《High-order compact finite difference schemes for option pricing in
  stochastic volatility models on non-uniform grids》
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作者：
Bertram D\\\"uring, Michel Fourni\\\'e, Christof Heuer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We derive high-order compact finite difference schemes for option pricing in stochastic volatility models on non-uniform grids. The schemes are fourth-order accurate in space and second-order accurate in time for vanishing correlation. In our numerical study we obtain high-order numerical convergence also for non-zero correlation and non-smooth payoffs which are typical in option pricing. In all numerical experiments a comparative standard second-order discretisation is significantly outperformed. We conduct a numerical stability study which indicates unconditional stability of the scheme.
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中文摘要：
我们推导了非均匀网格上随机波动率模型中期权定价的高阶紧致差分格式。这些格式在空间上是四阶精度的，在时间上是二阶精度的。在我们的数值研究中，我们还得到了期权定价中典型的非零相关性和非光滑收益的高阶数值收敛性。在所有的数值实验中，比较标准的二阶离散化方法的性能明显优于标准的二阶离散化方法。我们进行了数值稳定性研究，结果表明该格式是无条件稳定的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> High-order_compact_finite_difference_schemes_for_option_pricing_in_stochastic_vo.pdf (415.45 KB)

2022-5-6 03:41:22 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Applications Computation correlation

非均匀网格上随机波动率模型期权定价的高阶紧有限差分格式*Michel Fournié+Christof Heuer2014年4月22日摘要我们推导了非均匀网格上随机波动模型中期权定价的高阶紧有限差分方案。这些格式在空间上是四阶精度的，在时间上是二阶精度的。在我们的数值研究中，我们还获得了期权定价中典型的非零相关性和非光滑支付的高阶数值收敛性。在所有的数值实验中，一个比较标准的二阶离散化方法的表现都明显优于传统的二阶离散化方法。我们进行了数值稳定性研究，结果表明该格式是无条件稳定的。1简介金融衍生品（尤其是期权）的有效定价是pics在金融数学中的一个主要问题。为了能够解释现实金融市场中存在的重要影响，例如期权价格的波动微笑（或扭曲），在过去二十年中，人们提出了所谓的随机波动模型。与Black和Scholes[BS73]的开创性论文不同，标的资产的波动性不被假定为常数，而是由随机扩散过程建模。这些随机波动率模型通常基于二维随机扩散过程，具有两个相关系数ρ的布朗运动，即dW（1）（t）dW（2）（t）=ρdt。

在给定的股票价格S=S（t）和随机波动率σ=σ（t）的过滤概率空间中，一个考虑ds（t）=uS（t）dt+pσ（t）S（t）dW（1）（t），dσ（t）=a（σ（t））dt+b（σ（t））dW（2）（t），其中μu是股票的漂移，a（σ）和b（σ）是股票波动率的漂移和扩散系数。应用It^oL emma和标准套利参数表明，任何期权价格V=V（s，σ，t）都可以解以下偏微分方程：（1）Vt+σsσVSS+ρb（σ）√σSVSσ+b（σ）Vσ+a（σ）- λ（S，σ，t）Vσ+rsv- rV=0，其中r是（恒定的）无风险利率，λ（S，σ，t）表示挥发性风险的市场价格。方程（1）必须求解S，σ>0，0≤ T≤ T、 并且受制于最终和边界条件，这些条件取决于价格为d的特定选项。有不同的随机波动率模型，从初始波动率σ（0）>0开始，对于T>0的波动率的演化，有不同的模型选择。这不是最突出的吗*电子邮件：b。during@sussex.ac.uk，英国布莱顿佩文西二期苏塞克斯大学数学系+电子邮件：米歇尔。fournie@math.univ-图卢兹。法国图卢兹大学图卢兹数学研究所（UMR 5219），法国——电子邮件：c。heuer@sussex.ac.uk，苏塞克斯大学数学系，佩文西二期，布莱顿，BN19QH，联合王国，该方向的工作是赫斯顿模型[Hes93]，其中σ（t）=κ*θ*- σ（t）dt+vpσ（t）dW（2）（t）。（2） 其他随机波动率模型包括，例如，GARCH扩散模型[Dua95]，（3）dσ（t）=κ*θ*- σ（t）dt+vσ（t）dW（2）（t），或所谓的3/2模型（参见。

[Lew00]），（4）dσ（t）=κ*σ（t）θ*- σ（t）dt+vσ（t）3/2dW（2）（t）。在（2）-（4）中，κ*, v、 θ*分别表示平均重新转换速度、波动率的波动率和σr的长期平均值。对于某些模型，在其他限制条件下，可以通过傅里叶方法获得（1）的闭式解（参见[Hes93，Dür09]）。另一种方法是推导近似解析表达式，参见[BGM10]和其中引用的文献。然而，一般来说，即使在赫斯顿模型中，当参数是非常数时，方程（1）也必须用数值方法求解。此外，许多（所谓的美国）期权都有额外的提前行使权。然后，我们必须解决一个自由边界问题，该问题由（1）和期权价格的早期执行约束组成。同样对于这个问题，人们通常不得不求助于数值近似。在数学文献中，有许多论文考虑了随机波动率模型（即两个空间维度）中期权定价的数值方法。使用的有限差分方法通常是标准的低阶方法（空间中的二阶）。其他方法包括有限元-有限体积[ZFV98]、多重网格[CP99]、稀疏小波[HMS05]或谱方法[ZK10]。让我们回顾一些相关的差异文献。[IT08]对解决赫斯顿模型美式期权定价问题的不同有效方法进行了比较。这篇文章侧重于早期无运动边界的处理，并使用二阶有限差分离散化。在[IHF10]不同的情况下，低阶ADI（交替方向隐式）格式适用于赫斯顿模型，以包含混合空间导数项。

虽然大多数[TGB08]关注标准（一维）情况下的高阶紧致格式，但在ashort注释[TGB08，第5节]中也考虑了随机波动（二维）情况。然而，由于交叉扩散项的低阶近似，最终方案是二阶的。高阶有限差分方案（空间中的四阶）用于确定性（或恒定）波动性的期权定价，即在一个空间维度上，使用紧凑的模板（空间中的三个点），例如，线性问题见[TGB08]，完全非线性问题见[DFJ03，DFJ04，LK09]。最近，在[DF12a]中提出了一种用于随机波动率（二维）期权定价模型的高阶紧有限差分格式。该方案使用了一个统一的网格，在空间上是四阶精度，在时间上是二阶精度。对于消失相关，证明了该格式的无条件（von Neumann）稳定性。[DF12b]对其稳定性的进一步研究表明，非零相关也具有无条件稳定性。一般来说，对于给定数量的网格点扫描，通过考虑非均匀网格，可以大大提高（1）的数值离散精度。这对于（1）中的期权定价问题尤其如此，因为典型的初始条件在其第一个导数atS=K中具有不连续性，这是感兴趣区域的中心（“现金”）。本文的目的是考虑将随机波动率模型（1）的高阶紧致方法推广到非均匀网格。我们方法的基本思想是将偏微分方程从非均匀网格转化为均匀网格（a s，例如[Fou00]）。然后，高阶紧致方法可以应用于这个变换后的偏微分方程。

然而，事实证明，这个过程并不简单，因为变换的导数出现在截断误差中，并且由于交叉导数项的存在，人们无法以[DF12a]中类似的方式取消截断误差中的项，因此高阶紧致格式的推导变得更加复杂。尽管如此，对于典型的欧式期权定价问题，我们还是能够导出一个简洁的方案，证明其高阶收敛性。据作者所知，这是非均匀网格上随机波动率模型中期权定价的第一个高阶紧致方案。本文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将（1）转换为更方便的形式。然后，我们在第3节推导了一个紧致格式的四个新变量。第5节介绍了在不同初始条件下（我们考虑了欧式看跌期权和欧式幂看跌期权的情况）高阶收敛性的数值实验。第6节结束。2偏微分方程的变换和结论我们将注意力集中在赫斯顿模型（1）-（2），尽管我们的方法也以自然的方式适应了更为有效的随机波动率模型（见第3节末尾的备注2）。通常，我们将自己限制在波动风险λ（S，σ，t）的市场价格与σ成比例的情况下，并选择λ（S，σ，t）=λσ作为某个常数λ。这使得我们可以通过修改参数κ=κ来研究问题*+ λ, θ =κ*θ*κ*+ λ、 这既方便又标准。

出于类似的原因，一些作者将波动风险的市场价格设定为零。然后，赫斯顿模型的偏微分方程由（5）Vt+σSσVSS+ρvσSVSσ+vσvσ+rSVS+κ（θ）给出-σ） Vσ- rV=0，其中S∈0，Smax选择Smax>0时，σ∈ [σmin，σmax]带0≤ σmin<σmax和t∈ [0，T]当T>0时，在Smax处施加一个近似的人工边界条件。一类Black Schole方程的人工边界上施加近似边界条件所引起的误差在[KN00]中得到了严格的研究。最终条件和边界条件（我们将分别讨论）取决于所选选项。对于欧式幂次看跌期权，我们有最终条件v（S，v，T）=max（K- S、 0）p（6）与功率p∈ N.对于本文提出的高阶有限差分格式，走向S=K处最终条件（6）的低正则性在实践中可能会降低数值收敛阶。为了保持高阶收敛，可以小心地平滑初始条件（参见[KTW70]），或移动数值网格，以避免罢工落在网格点上，如[TR00，DF12a]中所建议的那样。

在第5节中报告的数值实验中，我们使用了后一种方法。我们对[DF12a]中的（5）应用以下变换，^S=lnSK, τ=T-t、 y=σv，u=erτVK，其中^S∈h^Smin，^smaxi，选择^Smin<0且^Smax=lnSmaxK.然后，我们引入一个（非常平滑的）缩放函数^S=^（x），用x围绕^S=0进行缩放∈h~n-1.^Smin, φ-1.^Smaxi、 设置f=-uτ我们从（5）下面的二维椭圆问题中得到，（7）φxf=-vy~nxuxx+~nxuyy- ρvy~nxuxy- κθ -vyv k xuy+hvy k xx+vy- R~nxuOx，其中（x，y）∈ Ohm := [xmin，xmax]×[ymin，ymax]，xmin<xmax和ymin<ymax。3.椭圆问题高阶紧致格式s的推导我们首先定义x方向和y方向的均匀网格，G:={（xi，yj）∈ Ohm | xi=xmin+i(x） ，yi=ymin+j(y） ，0≤ 我≤ N、 0≤ J≤ M}，（8）在哪里x=（xmax）- xmin）/N和y=（ymax）- ymin）/M是每个方向的步长。具有o我们确定了网格G的内点。在这个网格上，我们通过（xi，yj）中连续解u的离散近似来表示∈ G.使用标准c中心差分算子Dcxin x方向和Dcyin y方向，以及标准二阶中心差分算子Dx x方向和Dyn y方向，对于k=x，y，我们有UK=DckUij-(k） UKK+O(（k）,（9） 安杜克=DkUij-(k） UKKK+O(（k）,uxy=DcxDcyUij-(x） uxxxy-(y） uxyyy+O(十）+O(十）(y）+ O(y）+ O(十）Y,（10） 在i=0的网格点（xi，yj，…），N和j=0，M我们称之为高阶方案，如果其一致性误差为O阶(十）对于Y∈ O(x） 。如果我们以二阶精度离散（9）和（10）中出现的更高导数uxxx，uyyy，uxxxy，uyyy，uxxx和uyyy，我们得到一个四阶一致的方案，因为它们都乘以二阶因子。

如果这可以通过使用紧凑的九点计算模板实现，用户界面-1，j+1Ui，j+1Ui+1，j+1Ui-1，瑞，瑞+1，瑞-1，j-1Ui，j-1Ui+1，j-1.,3.1高阶导数的辅助关系我们继续给出（9）和（10）中出现的三阶和四阶导数的辅助关系。高阶导数的表达式可以通过以形式化的方式对偏微分方程（7）进行微分而不引入额外的误差来获得。关于x的微分方程（7），然后求解uxxx=-6аxаxxvyf-2~nxvyfx+~nxxx~nx+（vy）-r） ~nxxvyux+（vy）-r） ~nxvyuxx- xuxyy-6κθ-vyvyаxаxxuy-h4ρПxx+2κθ-vyvy~nxyy- 2ρаxuxxy- 3xxxuyy=：Axxx。（11） 利用该方程，我们可以仅使用九点模板的点，使用中心差算子计算Axxx的离散化，其一致性误差为二阶。对偏微分方程（7）进行两次微分，分别对应于x，然后求解uxxxx，我们得到uxxxx=vy~nxxxx+4（vy-r） [~nxаxxx+аxx]vyаxux+~nxxx~nx+（vy）-r） ~nxxvyuxx+（vy）-r） ~nxvy-~nxx~nxuxxx- 6аxаxxuxyy- ~nxuxxyy-6κ(θ-vy）[2аxx+аxаxxx]vyuy-h4ρ~nxxx+~nxx+12κ(θ-vy）аxаxxvyiuxy-h8ρПxx+2κ（θ）-vy）~nxvyiuxy- 2ρφxuxxxy-3аxаxxx+6аxx乌伊-12uxx+6uxuxxxvyf-12аxаxxvyfx-2~nxvyfxx=：Axxxx- 2ρxuxxxy。（12） 如果使用方程式（11）和中心差分算子，则术语axxxx可以在紧凑模板上以二阶展开。

求解方程n（12）得到uxxyy=2ρk xAxxxx-2ρxuxxxx。（13） 为了找到uyyy的方程，我们首先将偏微分方程（7）与y进行一次微分，然后求解uyyy，这导致Touyy=-~nxuxxy-y~nxuxx-2ρаxuxyy-2κ(θ-vy）+vvyuyy+2κvyuy+~nxx~nx+（vy）-r）-2ρvvy~nxuxy+аxx+аxyаxux-vyfy=：Ayyy。（14） 术语Ayyy可以使用中心微分算子以紧凑的方式离散为二阶。对方程（7）进行两次关于y的微分，然后求解uyyyy=-~nxuxxyy-yxuxxy-2v+2κ（θ）-vy）vyuyyy-2ρ~nxuxyyy+4κvyuyy+2аxx+2аxyаxuxy+~nxx~nx+（yv-r）-4ρvyvаxuxyy-vyfyy=：Ayyyy-2ρ~nxuxyyy。（15） 使用方程式（14）和中心差算子，可以在紧凑模板上以二阶离散术语Ayyyy。等式（15）相当于touxyyy=~nx2ρayyy-νx2ρuyyy。（16） 对偏微分方程（7）进行一次关于x的微分，一次关于玩具的微分，然后求解uxxyLeads touxxxy=hаxxxyаx+2аxxyiux+аxyuxx-yuxxx-h6κ（θ）-vy）Фxаxxvy+3аxаxxyiuy+6κаxаxxvyuy- 3аxаxxuyy+~nxxx~nx-4ρ~nxxy+（vy-r） νxxvy+2κνxvy奢华的-2ρИxuxxyy-h2κ（θ）-vy）φxvy+4ρφxx+φxyiuxy- ~nxuxyyy+（vy）-r） ~nxvy-2ρxyuxxy-6аxаxxvyfy-2~nxvyfxy=：Axxxy- ~nxuxyyy。（17） 使用方程式（11）和（14）以及x方向和y方向的中心差分算子，可以在紧凑型模具上按二阶展开AxxYat。