期权定价的高阶紧致差分格式

将方程（15）-（18）代入方程（14）并简化得到误差项τi的一个新表达式，该表达式仅由以下项组成：O（h）阶项，或O（h）阶项乘以u的导数，在九点紧致模板中可近似为O（h）。因此，将新表达式中的导数的中心O（h）近似值替换为误差项，并将其插入（13）中，得到初始偏微分方程（12）的以下O（h）近似值，-h（（vyj）- 2r）- 4ρvr- 2κ（vyj）- θ) - 2v）+12vyjvyjδxui，j-h（2κ（vyj- θ)- κvyj- κθv- v） +6vyjvyjδyui，j-hvyj（1+2ρ）δxδyui，j+h（κ（vyj- θ） +vρ（vyj）- 2r）vδxδyui，j+h（4κρ（vyj- θ） +v（vyj）- 2r）vδxδyui，j-h（κ（vyj）- 2r）（vyj- θ) - κvyjρ- vρ- vr）+6vyjρvyjδxδyui，j+6vyj- 12vyjr-h[v+κ（vyj- θ） ]vyjδxui，j+κ（6vyj- 6vyjθ- h[v+κ（vyj- θ） ]vyjδyui，j=fi，j+hρvδxδyfi，j-h（v+κ（vyj- θ） ）vyjδyfi，j-h（2ρv）- 2r+vyj）vyjδxfi，j+hδxfi，j+hδyfi，j.（19）在网格点（i，j）处考虑的四阶紧致有限差分格式（19）涉及最近的八个相邻网格点。根据计算模板的形状，我们为每个节点引入索引，从0到9，用户界面-1，j+1=uui-1，j=uui-1，j-1=uui，j+1=uui，j=uui，j-1=uui+1，j+1=uui+1，j=uui+1，j-1=u.

（20） 通过这种索引，方案（19）定义为Xl=0αlul=Xl=0γlfl，（21），其中系数α和γLAR由α给出=4κ+v12v-v（2ρ）- 5） 3hyj-κv+2κθ+vr3v+-v+κθ- vrρ+vr3vyj，α1,3=-v+±vκρh+v（ρ- 1） 3hyjκh+κr虚拟现实- κθρ3vh（五）- κθ）h24vyj--2rvρ+κθ+2r- v12vyj，α2,4=-κ6v+±κρvh+v（ρ- 1） 3hyjκh12v+κ（v+4κθ）12vrvρ- κθ3vhκ（v）- κθ）h12vyj+（2κθ+v）（v）- κθ）12vyj，α5,7=-κ±（2ρ+1）（2κ+v）24h-v（ρ+1）（2ρ+1）12hyj+κ（ρv+2r+θ）24v（2ρ+1）（κθ+vr）12vh+vr+vρ- 2rκθ24vyj，α6,8=κ±(2ρ - 1)(-2κ+v）24小时-v（2ρ）- 1)(ρ - 1） 12小时yj-κ（ρv+2r+θ）24v(2ρ - 1） （vr）-κθ）12vh-vr+vρ- 2rκθ24vyj，和γ=，γ=γ=ρ，γ=γ=-ρ,γ1,3=h±（r）-ρv）hvyj，γ2,4=κhv（五）- κθ）hvyj。当多个索引与±和一起使用时 符号，第一个索引对应于上一个符号。备注1。本节中方案的推导可以进行修改，以适应其他随机变量模型，如e。g、 ，GARCH d扩散模式l（3）或3/2模式（4）。使用这些模型，偏微分方程（5）、（11）和（12）的结构保持不变，只需相应修改导数的系数。类似地，必须修改（15）-（18）中导数的系数。用修改后的表达式替换截断误差，得到（19）的等价O（h）近似值。4.2。抛物问题的高阶格式通过考虑f（x，y）的时间导数，上一节介绍的高阶紧致方法可以直接推广到抛物问题。任何时间积分器都可以用来解决[21]中提出的问题。我们认为最常见的方法是分两步进行的。

例如，tu=（1）处的差异-u）tn+utn+1，其中0≤ u ≤ 1，上标n表示时间水平，产生一类积分，包括正向欧拉（u=0）、Crank-Nicolson（u=1/2）和反向欧拉（u=1）方案。我们使用符号δ+tun=un+1-不知道。然后，在时间水平n处，节点（i，j）的结果完全离散的差分方案变为comesxl=0μαlun+1l+（1- u）αlunl=Xl=0γlδ+tunl，可写成以下形式（乘以24vhyk后）Xl=0βlun+1l=Xl=0ζlunl。

（22）系数βl，ζl根据指数（20）进行编号，并由β=（（2yj）给出- 8） v+((-8κ - 8r）yj- 8ρr）v+（8κyj+8r）v- 16κθvyj+8κθ）uk+16vyj）h+(-16ρ+40）yjvukβ1,3=±（（κθv）- 五、- κyjv）uk-（yj+2ρ）v+2vr）h+(((-yj+2）v+（（4r+2κ）yj+4ρr）v- （2κθ+4r）v）uk+2vyj）h±（4vyj+(-8yjκρ- 8yjr）v+8yjκθρv）ukh+（8ρ- 8） yjvuk，β2,4=±（（2κθv-2κvyj- 2vκ）uk-2vyjκ+2vκθ-2v）h+（（2v+2κyjv+(-4κyj+2κθ）v+8κθvyj- 4κθ）uk+2vyj）h±（（8yjκ+8yjρr）v- 4vyjρ- 8vyjκθ）ukh+（8ρ- 8） yjvuk，β5,7=（（vρ+(-yκ+κyjρ+r）v+（θ+2r）κyjv- 2rκθv）uk+vρyj）h±（2ρ+1）yjv+（（2+4ρ）κyj+(-4ρr- 2r）yj）v+(-2θ - 4θρ）κyjv）ukh+(-2.- 4ρ- 6ρ）yjvuk，β6,8=((-vρ+（yjκ- κyjρ- r） v+(-θ - 2r）κyjv+2rκθv）uk- vρyj）h±（2ρ- 1） yjv+（（2）- 4ρ）κyj+（2r）- 4ρr）yj）v+（4θρ- 2θ）κyjv）ukh+(-4ρ+ 6ρ - 2） yjvuk，ζ=16vyjh+（1- u）k（（8- 2yj）v+（（8κ+8r）yj+8ρr）v+(-8r- 8κyj）v+16κθvyj- 8κθ）h+(-40+16ρ）yjv），ζ1,3=±（2r）-（yj+2ρ）v）vh+2vyjh+（1）- u）k（±（vκyj+v- κθ）vh+（vyj- （4r+2κ）vyj+4r+2κθ- 2v- 4ρvr）vh±((-4v+8κρ）vyj+(-8κθρ+8vr）vyj）h+（8v- 8vρ）vyj），ζ2,4=±（2vκθ）- 2vyjκ- 2v）h+2vyjh+（1）- u）k（±2（vκ- κθv+κvyj）h+（4κvyj- （2v+8κθ）κvyj+2κθ（2κθ）- v）- 2v）h±((-8vκ+4vρ）yj+（8κθv- 8vρr）yj）h+(-8vρ+8v）yj），ζ5,7=vρyjh+（1- u）k（（vyjκ）- v（vκθ+2rκv+κvρ）yj- v（虚拟现实）-2rκθ+vρ）h±（-v（2vρ+v+4κvρ+2vκ）yj+v（2vκθ+4vκθρ+4vρr+2vr）yj）h+v（2v+6vρ+4vρ）yj），ζ6,8=- vρyjh+（1）- uk）k((-vyjκ+v（vκθ+2rκv+κvρ）yj+v（vr）-2rκθ+vρ）h±（v(-2vρ+v+4κvρ- 2vκ）yj+v（2vκθ）- 4vκθρ+4vρr- 2vr）yj）h+v（2v- 6vρ+4vρ）yj）。当多个索引与±和一起使用时 符号，第一个索引对应于上一个符号。选择u=1/2，即在Crank-Nicolson情况下，得到的方案在时间上为二阶，在空间上为四阶。4.3.

稳定性分析除了多维性外，初边值问题（22）的稳定性分析还有两个主要困难：系数arnon常数和边界条件是非周期的。在本节中，我们考虑冯·诺依曼稳定性分析（参见[22]），即使所考虑的问题不满足周期边界条件。这种方法在文献中被广泛使用，并产生了关于方案可靠性的良好标准。其他考虑边界条件的方法，如正规模态分析[10]超出了本文的范围（对于高阶紧致格式的正规模态分析，我们参考[9]）。为了考虑可变系数，采用了“fr ozen系数”原则（如果所有“冻结”问题都是稳定的，则可变系数问题是稳定的）[10,22]。应该指出的是，在离散的情况下，这一原则绝非微不足道。[10,18,26,23]中给出了最一般的陈述，以及其中有关双曲问题的参考。对于离散情况下的抛物线问题，我们参考[20,27]。使用冻结系数法给出了必要的稳定性条件，略微加强了冻结系数的稳定性，以确保整体稳定性[20]。现在我们来看冯·诺依曼稳定性分析。我们重写了uni，jasuni，j=gneIiz+Ijz，（23），其中I是虚单位，gni是时间水平n的振幅，z=2πh/λ和z=2πh/λ是波长λ和λ的相位角，分别在[0,2π]范围内。那么，如果所有情况下，放大因子G=gn+1/gn满足关系|G，则该方案是稳定的|- 1.≤ 0.（24）可以使用（22）中的（23）找到G的表达式。我们的目标是在不限制时间步长的情况下证明冯·诺依曼稳定性（针对“冻结系数”）。

为了证明（24）成立，我们需要研究放大因子G（不是G Ivenher）的（强大的）表达式，它由13个变量中高达6阶的多项式组成。为了减少以下数值分析中的大量参数，我们假设利率为零r=0，并选择参数u=1/2（Crank-Nicolson案例）。即便如此，目前对非零相关性的完整分析似乎还是遥不可及，但我们能够给出下面的结果。定理1。对于r=ρ=0和u=1/2（Cra nk Nico l s on），方案（22）满足稳定性条件（24）。证据让我们定义新的变量sc=cosZ, c=cosZ, s=罪恶Z, s=罪恶Z,W=2（θ）- vy）vs，V=2vyκs，这允许我们仅用h，k，κ，V，W和三角函数来表示G。这将放大系数中的变量数量从10个减少到9个。新变量V具有恒定的正号。在新变量中，方案的稳定性准则（24）可以写成-8kh（nh+n）dh+dh+dh+d≤ 0，（25）带n=-4 VκfsW- Vκfs，n=-4 Vκffs，d=4(-2 W c+V c）κs，d=κs五、- 4伏连续电流c+4瓦K- 4 VκsfV+4 fWk+16κVfs，d=VκsVf- 36伏连续波c+4 fWK- 16 Vκffsk，d=4 Vκfk，其中f、f、f、f和f具有常数符号，定义为f=2cc+c+c- 4.≤ 0，f=c+c+1≥ 0，f=2cc- C- 1.≤ 0，f=2cc- C- 1.≤ 0，f=4cc- 2c- c+8≥ 0，f=4cc- 2c- c+8≥ 0.我们观察到，我们可以将我们的分析（除了d，下面处理）限制在三角函数s、s、c和cin的缩小范围[0,1]（z/2和z/2在[0,π[，cosinus函数的偶数指数]中）。很容易验证n、n、d、d和dare为正。还有待证明=dk+dk也是正的。事实上，d≥ 0和dis是W中具有正前导阶系数的二次多项式。dis的最小值由m=2Vκsff/fw和f=4cc给出-2cc-2cc+6cc+c+c-8.≤ 0

因此，m是正的，然后也是负的。因此，（25）中的分子是负的，（25）中的分母是正的，这就完成了证明。对于非零相关性，情况变得更加复杂。放大因子G的表达式中出现了附加项，我们通过ρ面临附加自由度。因为我们已经证明了ρ=0的条件n（24），所以似乎可以合理地假设它至少也适用于ρ接近零的值。然而，在实际应用中，相关性可能是强负的。我们回忆起[4]中的下列引理，可以得到的理论结果很少。引理2。对于任何ρ、r=0和u=1/2（Crank-Nicolson），它都成立：如果c=±1或c=±1或y=0，则稳定性条件（24）满足。参见[4]中的引理1。在[4]中，我们将条件（24）重新表述为约束优化问题，并采用了线搜索glo bal优化算法来寻找最大值。我们发现，稳定性条件（24）始终是确定的。每个ρ的最大值∈ [-1，0]我们总是负的，但非常接近于零。这个结果与引理2（事实上，| G）一致|-1=0表示y=0）。我们根据这些结果推测，对于非消失关联，稳定性条件（24）也满足，尽管很难给出分析结果。在我们的数值实验中，我们也观察到了一般参数选择的稳定性。为了验证格式对一般参数的稳定性，我们在第5.5节中进行了额外的数值试验。数值结果5。1.数值收敛在本节中，我们进行了数值研究，以计算格式（22）的收敛阶。由于紧凑的离散化，由此产生的线性系统具有良好的稀疏模式，可以非常有效地求解。

我们计算了范数误差rε和最大范数误差ε∞与细网格上的数值参考解相关的数值解。我们将抛物线网格比k/hto固定为一个常数，这对于抛物线偏微分方程来说是自然的，我们的方案在时间上为O（k），在空间上为O（h）。然后，对于一些表示常数的m和C，我们期望这些误差渐近收敛为ε=chm。这意味着ln（ε）=ln（C）+mln（h）。因此，双对数图ε与参数值罢工价格K=100时间到市场价格t=0.5利率r=0.05波动率v=0.1平均回归速度κ=2σθ的长期平均值=0.1相关系数ρ=-0.5表1：数值模拟的默认参数。h应渐近于斜率为m的直线。这提供了一种通过实验确定格式阶数的方法。图1显示了使用表1.0501015020025030000.10.201020030405060σSV（S，σ，0.5）中的参数，在T=0.5时的欧式期权价格的数值解。图1：欧式期权价格的数值解。关于收敛性的研究，我们参考图1中的数值参数，并参考图3中的数值参数。对于参数u，我们使用Rannacher时间步进选项[19]，即我们从四个完整的Implicit四分之一时间步（u=1）开始，然后继续使用Crank Nicolson（u=1/2）。为了进行比较，我们使用a10进行了额外的实验-210-110-410-310-210-1100hl2错误42HOC（订单3.7）第二订单（订单2.2）图2:l错误与h.10-210-110-410-310-210-1100hl∞ 错误42HOC（订单3.8）第二订单（订单2.1）图3:l∞-误差与h.标准二阶格式（基于中心差分离散化（13），我们忽略了截断误差）。我们观察到，数值收敛阶与格式的理论阶符合得很好。

选择网格时，必须确保初始条件的奇点不是网格的一个点。这样的阿梅什建筑总是以一种简单的方式实现的。然后在我们的方案中可以直接考虑非光滑支付，我们观察到四阶数值收敛。备注2。不受esh限制，即。当Payoff的奇点为网格点时，收敛速度降低为2。然而，如果对初始数据进行平滑处理，使用这种网格可以恢复四阶收敛。数值收敛性分析还表明，与标准的二阶离散相比，高阶格式具有更高的效率。在每个方案的每个时间步中，必须求解一个线性系统。对于这两种模式，对于相同的维度，这需要相同的计算时间。为了达到相同的精度水平，新方案需要显著减少网格点，换句话说，通过使用高精度或低精度方案，获得给定精度水平的计算时间大大减少。5.2. 数值稳定性分析在第4.3节的数值分析中，我们已经证明了r=ρ=0的稳定性结果定理1。为了验证一般参数的这一性质，我们进行了额外的数值试验。我们计算抛物线网格比k/和网格宽度h的变化值的数值解。绘制平面中的相关误差应允许我们根据高单元雷诺数（la R ge h）发生的k/hor振荡检测稳定性限制。[6]中也使用了这种数值稳定性研究方法。我们对ρ=0和ρ=-0.5. 对于其他参数，我们再次使用表1中的默认参数。结果如图4所示。

对于这两种情况，ρ=0和ρ=-0.5时，误差表现出类似的行为，对于非消失相关性，误差略大。误差几乎不依赖于分解网格比k/h，这证实了可以在不受时间步长限制的情况下获得数值正则解。对于更大的h值，也会导致更高的单元雷诺数，误差会逐渐增大，数值解不会出现振荡。基于这些结果和[4]中的发现，我们推测稳定性条件（24）也适用于一般的参数选择。6.结论我们提出了一个新的高阶紧致有限差分方案，用于随机波动率下的期权定价，该方案在k/h2ρ中是四阶精度的=-0.5 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.20.40.60.8100.0050.010.0150.02hk/h2ρ=0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.20.40.60.8100.0050.010.0150.02图4：ρ=-0.5（顶部）和ρ=0（底部）。空间和二阶时间精确。我们进行了von Neumann稳定性分析（针对“fro zen系数”和周期性边界数据），并证明了消失相关的无条件稳定性。在我们的数值实验中，我们观察到了一个稳定的行为，也适用于一般的参数选择。本文给出的其他数值试验和[4]中报告的后续研究结果表明，对于非零相关，该格式也是冯·诺依曼稳定的。在我们的数值收敛性研究中，我们得到了期权定价中典型的非光滑支付的四阶数值收敛性。考虑将该方案扩展到非均匀网格和美式期权定价问题，在美式期权定价问题中，早期行使期权是可能的，这将是很有趣的。