期权定价的高阶紧致差分格式

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英文标题：
《High-order compact finite difference scheme for option pricing in
  stochastic volatility models》
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作者：
Bertram D\\\"uring, Michel Fourni\\\'e
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We derive a new high-order compact finite difference scheme for option pricing in stochastic volatility models. The scheme is fourth-order accurate in space and second-order accurate in time. Under some restrictions, theoretical results like unconditional stability in the sense of von Neumann are presented. Where the analysis becomes too involved we validate our findings by a numerical study. Numerical experiments for the European option pricing problem are presented. We observe fourth-order convergence for non-smooth payoff.
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中文摘要：
我们推导了随机波动率模型中期权定价的一种新的高阶紧致差分格式。该格式在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。在一定的限制条件下，给出了von Neumann意义下的无条件稳定性等理论结果。当分析变得过于复杂时，我们通过数值研究来验证我们的发现。给出了欧式期权定价问题的数值实验。我们观察到非光滑支付的四阶收敛性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> High-order_compact_finite_difference_scheme_for_option_pricing_in_stochastic_vol.pdf (257.92 KB)

2022-5-6 03:43:43 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Restrictions Applications Computation

随机波动率模型中期权定价的高阶紧有限差分方案Bertram D¨uringa，*, Michel Fourni，苏塞克斯大学数学系，英国布莱顿Pevensey II，BN1 9QH。法国图卢兹大学图卢兹和CNRS数学研究所（UMR 5219）。摘要我们推导了随机波动率模型中期权定价的一种新的高阶紧有限差分格式。该方案在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。在一定的限制条件下，给出了von Neumann意义下的无条件稳定性等理论结果。当分析变得过于复杂时，我们通过数值研究来验证我们的发现。对欧式期权定价问题进行了数值实验。我们观察到非光滑情形的四阶收敛性。关键词：期权定价、紧凑有限差分离散化、混合导数、高阶方案2000 MSC:65M06、65M12、91B281。引言对衍生资产或期权进行定价的传统方法是通过一个随机扩散过程从外部指定一个资产价格过程，然后通过无套利参数指定价格。这种方法的开创性例子是Black&Scholes关于欧式期权定价的论文[2]。这种方法导致了简单、明确的定价公式。然而，经验研究表明*相应的authorEmail地址：b。during@sussex.ac.uk（伯特伦·D¨丁），米歇尔。fournie@math.univ-图卢兹。fr（Michel Fourni’e）搜索显示，他们无法解释实际金融市场中的进口效应，例如：。

选择价格的波动（或扭曲）。在真实金融市场中，不仅资产收益率受到风险的影响，而且风险的估计通常也受到重大不确定性的影响。为了将这种额外的随机性来源纳入资产定价模型，必须引入第二个风险因素。这也使得资产回报率分布更高。这方面最突出的工作是赫斯顿模型[12]。这类模型基于一个二维随机扩散过程，具有两个相关系数ρ的布朗运动，即dW（1）（t）dW（2）（t）=ρdt，在给定的股票价格S=S（t）和随机波动率σ=σ（t）dS（t）=uS（t）dt+pσ（t）S（t）dW（1）（t），dσ（t）=a（σ（t））dt+b（t））dW（2）（t）的过滤概率空间上，其中¨是股票的drif t，a（σ）和b（σ）是随机波动率的漂移和差异。应用It^o引理，可以得到如下形式的偏微分方程：vt+sσVSS+ρb（σ）√σSVSσ+b（σ）Vσ+a（σ）Vσ+rSVS-rV=0，（1），其中r是（恒定的）无风险利率。方程（1）必须求解S，σ>0，0≤ T≤ 并受最终和边界条件的约束，这些条件取决于要定价的特定选项。对于某些模型，在附加限制条件下，可通过傅里叶方法（例如[12]，[7]）获得（1）的闭式解。另一种推导近似解析表达式的方法，参见例[1]及其引用的文献。然而，一般来说，即使在Heston模型[12]中，当其中的参数是非常数时，方程（1）也必须通过数值求解。此外，许多（所谓的美国）选项还具有额外的早期行使权。然后，我们必须解决一个自由边界问题，该问题包括（1）和期权价格的提前行使约束。

同样对于这个问题，人们通常不得不求助于数值近似。在数学文献中，有许多关于期权定价数值方法的研究，主要是针对单一风险因素的一维情况，并使用标准的二阶有限差分方法（例如，参见[2.5]和其中的参考文献）。最近，高阶有限差分格式（空间中的四阶）被提出，使用一个紧凑的模板（空间中的三点s）。在目前的情况下，参见[24]中的线性问题和[5,6,16]f中的完全非线性问题。关于期权定价随机波动率模型（即二维空间模型）的数值方法的研究较少。所使用的有限差分方法通常是标准的低阶方法（空间中的二阶），并且很少提供数值分析或收敛结果。其他方法包括有限元-有限体积[29]、多重网格[3]、稀疏小波[15]或谱方法[28]。让我们回顾一些相关的差异文献。[14]中比较了解决赫斯顿模型美式期权定价问题的不同方法。本文重点讨论了无运动边界的处理，并使用了二阶有限差分离散化。[13]不同的是，低阶ADI（交替方向隐式）格式适用于赫斯顿模型，包括混合空间导数项。虽然[24]中的大多数集中在标准（一维）情况下的高阶紧致格式，但在简短的注释[24，第5节]中，也考虑了随机波动（二维）情况。

然而，由于交叉扩散项的低阶近似，最终方案是二阶的。目前工作的原创性在于为具有随机波动性的（二维）期权定价模型提出了一种新的高阶紧凑有限差分方案。应该强调的是，尽管我们的演示重点是赫斯顿模型，但我们的方法自然适应了更为严格的随机波动率模型。我们推导了一个新的紧致格式，它在空间上是四阶精度的，在时间上是二阶精度的。由于多维背景、可变系数和边界条件的性质，该方案的稳定性分析是一项困难的任务。在其他假设（零相关性、周期有界条件）下，我们建立了理论结果，如vonNeumann意义下的无条件稳定性（对于“冻结系数”）。我们将在数值部分对此进行讨论。本文的组织结构如下。在下一节中，我们回顾[12]中的Heston模型及其常数参数的闭式解。在第三节中，我们引入了新的自变量，将部分微分方程转化为更易于处理的形式。在第四节中，我们推导了新的高阶紧致格式。我们在第4.3节中分析了其必要的稳定性条件。数值实验证实了该方法的良好性能，见第5节。我们给出了具有非光滑支付和观测阶收敛的欧式期权定价问题的数值结果。第6节结束。2.Heston模型让我们回忆一下[12]中的Heston模型，我们将重点介绍它。考虑一个二维标准布朗运动W=（W（1），W（2）），在给定的过滤概率空间上具有相关性dW（1）（t）dW（2）（t）=ρdt。

假设一种特定形式的drif a（σ）和随机波动率的差异b（σ），基础资产[12]的价值由ds（t）=uS（t）dt+pσ（t）S（t）dW（1）（t），dσ（t）=κ表示*(θ*- σ（t））dt+vpσ（t）dW（2）（t），（2）对于0<t≤ 带S（0），σ（0）>0和¨u，κ的T*, v和θ*漂移、均值回复速度、波动率的波动性和σ的长期平均值。请注意，我们的方法适用于其他随机波动率模型，具有不同的漂移和随机波动率的扩散系数选择，例如GARCH扩散模型dσ（t）=κ*(θ*- σ（t）dt+vσ（t）dW（2）（t），（3）或所谓的3/2模型σ（t）=κ*σ（t）（θ）*- σ（t）dt+vσ（t）3/2dW（2）（t），（4）以自然的方式（另见第4.1节末尾的备注1）。在Heston模型中，它遵循^o引理和标准的任意性，任何导数a sset V=V（s，σ，t）解出以下偏微分方程VT+sσVSS+ρVσSVSσ+VσVσ+rSVS+κ*(θ*- σ) - λ（S，σ，t）Vσ- rV=0，（5）对于S，σ>0，0，必须求解≤ t<t，并符合适当的最终条件，例如V（S，σ，t）=ma x（K- S、 0），如果是欧式看跌期权（K表示履约价格）。在（5）中，λ（S，σ，t）表示波动风险的市场价格。虽然原则上可以根据市场数据进行估计，但这在实践中很困难，结果也有争议。因此，人们通常假设风险溢价与σ成正比，并选择λ（S，σ，t）=λσ作为某个常数λ。为了简化表示，我们仅限于这一重要情况，尽管我们的方案适用于一般函数形式λ=λ（S，σ，t）。看跌期权的“边界”条件如下v（0，σ，t）=Ke-r（T）-t） ，t>t≥ 0，σ>0，（6a）V（S，σ，t）→ 0，T>T≥ 0，σ>0，作为S→ ∞, （6b）Vσ（S，σ，t）→ 0，T>T≥ 0，S>0，作为σ→ ∞.

（6c）σ=0处的剩余边界条件可通过查看形式极限σ获得→ 0 in（5），即Vt+rSVS+κ*θ*Vσ- rV=0，T>T≥ 0，S>0，作为σ→ 0.（6d）该边界条件经常使用，例如在[14,29]中。或者，可以使用齐次纽曼条件[3]，即Vσ（S，σ，t）→ 0，T>T≥ 0，S>0，作为σ→ 0.（6e）对于常数参数，可以采用傅里叶变换技术，得到一个可以解析求解的普通微分方程组[12]。通过变换m，我们得到了（5）的闭式解，其中欧式看跌期权价格V由V（S，σ，t）=Ke给出-r（T）-t） 我- SI，（7）带（k=1，2）Ik=+πZ∞重新E-iξln（K）fk（ξ）iξdξ，（8）fk（ξ）=expC（T）- t、 ξ）+σD（t）- t、 ξ）+iξln S,C（τ，ξ）=rξiτ+κ*θ*vh（b+d）τ- 2英寸1.- gedτ1- Gi、 D（τ，ξ）=bk+dkv1- edkτ1- gedkτ，g=bk+dkbk- dk，dk=q（ξ） iξ）v+bk，bk=κ*+ λ- ρv（iξ+δ1k）。这里是δi，jdenotes-Kronecker三角洲。3.变量sx=ln变换下方程和边界条件的变换SK,~t=t- t、 u=exp（rt）VK，（9）（我们立即放下下面的瓷砖）我们到达了-σuxx+2ρvuxσ+vuσ+σ -Rux-κ*θ*- (κ*+ λ)σuσ=0，（10），现在是在R×R+×（0，T）上提出的。我们使用修改后的参数κ=κ来研究这个问题*+ λ, θ =κ*θ*κ*+ λ、 这既方便又标准。出于类似的原因，一些作者将波动风险的市场价格设定为零。方程式（10）可以写成-σuxx+2ρvuxσ+vuσ+σ -Rux- κθ -σuσ=0。（11） 该问题由以下初始条件和有界条件完成：u（x，σ，0）=max（1- exp（x），0），x∈ R、 σ>0，u（x，σ，t）→ 1，x→ -∞, σ>0，t>0，u（x，σ，t）→ 0，x→ +∞, σ>0，t>0，uσ（x，σ，t）→ 0，x∈ R、 σ→ ∞, t>0，uσ（x，σ，t）→ 0，x∈ R、 σ→ 0，t>0.4。

高阶紧致格式对于离散化，我们用[-R、 R]和R+by[L，R]带R，R>L>0。为简单起见，我们考虑统一网格Z={xi∈[-R、 R]：xi=ih，i=-NN} ×{σj∈ [L，R]：σj=L+jh，j=0，M} 由（2N+1）×（M+1）个网格点组成，R=Nh，R=L+mh，空间步长h，手时间步长k。让uni，jdenote给出（11）in（xi，σj）在tn=nk和letun=（uni，j）时的近似解。我们以经典的方式施加人工边界条件，这在[17]中对一类Black-Scholes方程进行了严格研究。网格上的边界条件处理如下。由于该模式的紧凑性，Dirichlet边界条件的处理是最小的。在不引入数值误差的情况下，考虑Dirichlet边界条件是向前发展的-N、 j=1- 埃尔顿-Nh，un+N，j=0，（j=0，…，M）。在其他边界处，我们施加齐次诺依曼边界条件。同质诺依曼病的治疗需要更多的关注。事实上，没有规定任何值。边界上的未知值必须根据内部的值进行外推来设置。然后引入了一个数值误差，主要考虑的是外推的理论顺序应足够高，以免影响精度的总体顺序。我们参考Gustaf sson[11]的论文讨论了近似阶对全局收敛率的影响，并证明了我们选择四阶外推公式的合理性。通过泰勒展开，如果我们取消边界上的第一个导数，验证uni，0=uni，1是很简单的-uni，2+uni，3，（i=-N+1，N-1） ，and uni，M=uni，M-1.-大学，M-2+uni，M-3，（i=-N+1，N- 1).4.1.

椭圆型问题高阶格式的推导首先，我们用拉普拉斯算子对平稳的椭圆型问题进行高阶紧致有限差分离散，该问题在变量变换y=σ/v后出现。然后将方程（11）化为二维椭圆型方程-vy（uxx+uy）- ρvyuxy+vy- Rux- κθ - vyvuy=f（x，y），（12），具有相同的边界条件。四阶紧致有限差分格式使用九点计算模板，使用参考网格点（i，j）的八个最近邻点。推导高阶紧致格式背后的思想是将微分方程作为辅助关系进行运算，以获得截断误差中高阶导数的微分近似。将这些表达式包含在方程式（12）的中心差分法中可提高精度，通常为O（h），同时保留由网格点周围的节点定义的紧凑模板。在X方向和y方向引入网格间距为h=h=h的unifo r m网格，网格点（i，j）处方程（12）的标准中心差近似为-vyjδxui，j+δyui，j- ρvyjδxδyui，j+vyj- Rδxui，j- κθ -vyjvδyui，j- τi，j=fi，j，（13），其中δx和δx（分别为δyand和δy）表示关于x（关于y）的一阶和二阶中心差近似值。相关的截断误差由τi给出，j=vyh（uxxx+uyyy）+ρvyh（uxyy+uxxy）+（2 r- vy）huxxx+κ（θ）- vhuy yy+O（h）。（14） 为了便于阅读，在这里和下文中，我们分别省略了yjand ui，j（及其衍生物）上的子标记j和（i，j）。我们现在寻找（14）中导数的二阶近似值。

分别关于x和y的微分方程（12）一次，yieldsuxxx=- uxyy- 2ρuxxy-2r+vyvyuxx+2κ（vy- θ） vyuxy-vyfx，（15）uy-yy=- uxxy- 2ρuxyy-yuxx-2κ(θ - vy+vvyuy-2ρ+2r-vyvyuxy+yux+2κvyuy-维菲。（16） 将方程（15）和（16）分别与y和x微分，并将两个表达式相加，我们得到uxyyyy+uxxxy=vy+2r2vyuxx+κ（θ+vy）vyuxy-4κ(θ - vy）+v2vyuxy-ρv+2r- vyvyuxxy- 2ρuxxy-2yuxxx+vyfx-vyfxy。（17）注意，（15）-（17）右侧的所有项都在节点（i，j）处使用基于δx，δx，δy，δy的有限差分进行紧（h）近似。例如，我们有uxxyi，j=δxδyui，j+O（h）。通过对方程（12）分别对x和y进行两次微分，并将两个表达式相加，我们得到uxxx+uyyy=-2ρuxyyy- 2ρuxxy- 2uxyy+2（κvy）- 五、- κθ）vyuxxy-（2r）- vy）vyuxxx+2（κvy）- 五、- κθ）vyuyyy-(-vy+4ρv+2r）vyuxyy+4κvyuyy+yuxy-vy（fxx+fyy）。（18） 同样，使用（15）-（17），在九点紧凑型模具中，右手侧可以近似为O（h）。